Моделирование эквивалентной жесткости адаптивных платформ с исполнительными механизмами параллельной структуры Текст научной статьи по специальности «Физика»

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ У

УДК 681.5

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ЖЕСТКОСТИ АДАПТИВНЫХ ПЛАТФОРМ С ИСПОЛНИТЕЛЬНЫМИ МЕХАНИЗМАМИ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ

А. Ю. Кучмина, канд. техн. наук, старший научный сотрудник аИнститут проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург, РФ

Введение: одним из направлений повышения точности и надежности электромеханических систем параллельной архитектуры, например адаптивных платформ (п-подов), является применение в контуре управления моделей динамики, позволяющих прогнозировать особые положения (заклинивания) и рассчитывать оптимальные законы управления. Жесткостные характеристики подобных систем являются основным элементом прогнозирующих моделей. Целью исследования является разработка методики построения матрицы эквивалентной жесткости адаптивных платформ на подвижном основании, перемещаемых пакетами актуаторов, с учетом изменения линии действия этих актуаторов. Результаты: получены простые формулы расчета матрицы эквивалентной жесткости адаптивных платформ, перемещаемых пакетами с произвольным количеством актуаторов. Показано, что в отличие от формулы для пакета пружин в формуле для адаптивных платформ необходимо учитывать изменение длины и линии действия актуаторов. Приведенный численный пример для платформы Стюарта (гексапода) подтверждает, что влияние этих факторов существенно. Доказано, что в случае малых угловых перемещений платформы предложенная формула после упрощения аналогична формуле для расчета матрицы эквивалентной жесткости для пакета пружин. Получена формула для расчета симметрической матрицы жесткости актуатора. Практическая значимость: предложенные простые алгоритмы расчета матрицы эквивалентной жесткости адаптивной платформы эффективны при реализации прогнозирующей модели, позволяющей предсказать возникновение особых положений и разработать алгоритмы их предотвращения в реальном времени, что приведет к увеличению надежности системы и ее ресурса.

Ключевые слова — платформа Стюарта, актуатор, матрица жесткости, эквивалентная жесткость.

Введение

Создание методик расчета матриц эквивалентных жесткостей системы является актуальной задачей, которая играет важную роль при определении спектра собственных частот электромеханических систем как объектов управления.

В последнее время возник интерес к использованию электромеханических систем параллельной архитектуры, например ге-подов [1-8], в высокоточном приборостроении, робототехнике, адаптивных антеннах и т. д. Преимуществами данных механизмов являются:

1) возможность реализации перемещений одновременно по шести координатам (трем линейным и трем угловым), что трудновыполнимо при использовании классических компоновок;

2) выдерживание больших нагрузок;

3) простота и низкая стоимость устройств при серийном производстве;

4) высокая надежность, так как многие из подобных механизмов строятся по статически неопределимой кинематической схеме с многократным резервированием;

5) компактность, модульность, простота монтажа и отладки, взаимозаменяемость компонентов.

В предыдущей статье [2] рассматривались кинематическая и динамическая модели гексапо-да, который является частным случаем исполнительного механизма параллельной архитектуры с шестью актуаторами. Обобщим эти модели на случай ге актуаторов. Для этого рассмотрим ба-

зовый блок подобных систем, состоящий из двух подвижных платформ (основания и адаптивной платформы (АП)), соединенных друг с другом электромеханическими актуаторами (рис. 1). Каждый актуатор состоит из штанги с линейным электроприводом, позволяющим изменять ее длину. Каждый актуатор соединен с нижней и верхней платформами двумя шарнирами, позволяющими толкателям свободно вращаться по углам. Основание перемещается по трем линейным (х0, у0, 20) и трем угловым (Р0, 60, а0) координатам относительно некоторой базовой системы координат (БСК), где р0 — поворот относительно оси х, 60 — поворот относительно оси у, а0 — угол поворота относительно оси 2. Адаптивная платформа актуаторами перемещается по трем линей-

■ Рис. 1. Базовый блок исполнительного механизма на базе ге-подов

ным (х, у, г) и трем угловым (Р, 6, а) координатам относительно основания, где Р — поворот относительно оси х, 6 — поворот относительно оси у, а — угол поворота относительно оси г.

Для данного блока необходимо определить матрицу эквивалентной жесткости.

Введем БСК Е0 = (о0, [е0]), где о0 — начало координат БСК; [е0] — тройка базисных векторов (ортов) БСК (рис. 2). Для углов, векторов и матриц вращения нижний индекс — это номер системы координат (СК), верхний индекс является номером СК, относительно которой определяется угловое и линейное положения, второй верхний индекс обозначает номер СК, в которой рассчитываются координаты векторов. Матрицы вращения еу имеют вид

Cj К ) = ci (Pj) ■ c2 (Qj) ■ C3 (aj),

где фу:

Pj

j

a

а Pj,

j

и a j — углы про-

стейших вращений относительно осей х, у и г соответственно; матрицы простейших вращений имеют вид

ci(Pj)=

C2 (Qj ) =

10 0 0 cos(pj) —sin(pj) 0 sin(pj) cos(Pj)

cos(Q j) 0 sin(Q j) 0 10

—sin(Qj) 0 cos(Qj)

C3 (a f) =

cos(aj) —sin(aj) sin(aj) cos(aj)

Введем связанную систему координат с основанием (ОСН) СК ОСН E1b = (o1b, [e1b]), где o1b — начало координат СК ОСН, которое относительно БСК определяется координатным столбцом rib'0; [e^J — тройка базисных векторов (ортов) СК ОСН, ориентация СК ОСН относительно БСК определяется углами простейших вращений ф°6.

Чтобы задать начальное положение АП, введем систему координат начального положения АП СК АП0 Е1с = (o1c, [e1c]), где o1c — начало координат СК АП0, которое относительно СК ОСН определяется координатным столбцом ri1'1; [e1C] — тройка базисных векторов (ортов) СК АП0, ориентация СК АП0 относительно СК ОСН определяется углами простейших вращений ф^.

Чтобы задать положение АП, введем связанную систему координат нижней платформы СК АП Е- = (о-, [е-]), где о- — начало координат СК АП, которое относительно СК АП0 определяется координатным столбцом г^'16; [е-] — тройка базисных векторов (ортов) СК АП, ориентация СК АП относительно СК АП0 определяется углами простейших вращений ф1С. Положение СК АП относительно БСК описывается вектором г0, координатный столбец которого в БСК может быть вычислен по формуле

„0,0 0,0

16,16

= r1b' + C16lr1 ' + C1C r1

,16 1c,1c I

а угловое поло-

жение характеризуется матрицей вращения с0 = с°6с1Ьс1с, где с- — матрицы вращения от соответствующих углов фУ.

Определим координаты крепления шар-

в

СК ОСН: г1166д16, где нижний индекс

ниров на основании Г1Ь'1Ь г16,16 г16,16 г16у2 ' ...' Г1Ьу; ' ...' 1Ь\п обозначает номер шарнира на основании.

Аналогично введем координаты крепления

шарниров на адаптивной платформе в СК АП:

гЦ]1' г11у2' ...' гУ1' ...' г—' где нижний индекс

обозначает номер шарнира на АП.

Текущие длины актуаторов могут быть определены как расстояния между соответствующими шарнирами основания и АП по форму-

■ Рис. 2. Системы координат базового блока

ле j =

,16,16 _ „16,16

1 ji

— r.

■16 ji

; = 1..6, где г!6;'16 — координаты точки крепления шарниров на нижней платформе

в СК ОСН, которые рассчитываются следующим образом: rj = rj

16,1^ _ „16,16 , 16 I „ 1c,1c , 1с 1,1 , _

*1c

c1c lr1

сГ r1j1 , i - 1..П.

В итоге выражение для текущих длин примет вид

]16ji = hji =

.16,16 , 161 1c,1c , 1с 1,1

l1c

c1clr1

Ci r • — r-,

C1 r1 j

,16,16

16ji

= l0i + Alai, i =

(1)

r16,16 + 16 r1,1 — r16,16 r1c + c1c r1 ji x16ji

; Alai — текущие удлине-

где l0i — начальные значения длин актуаторов, l0i =

ния штоков актуаторов; Alai = х; + —, x£ — деформация актуатора; у£ — угол поворота ротора двигателя

1i

актуатора; — передаточное число редуктора.

Продифференцировав г?'0 и с?, учтя свойства кососимметрических матриц, получим выражения для линейных v?'0 и угловых ю°' скоростей АП в БСК:

,0,0 _ „0,0

16,1^ , „16 1с,1с

= v16 + С1Ц r1c' + c1c r1

ffl

0,16 16

0 16 1c,1c c16 c1cv1 ;

0,0 „0 0,16 , 0 1c,1 Q1 = C16®16 + C1Q1 ,

(2)

где v?:0 — скорость ОСН в БСК; ш?16 — угловая скорость движения ОСН относительно БСК в СК ОСН;

< ... > — кососимметрическая матрица вида ([x,y,z\ j —

0 —z y z 0 — x —y x 0

; v:

1c,1c

— линейная скорость ОСН

в СК АП0; ш^'1 — угловая скоро

Угловые скорости ш0'0, ю016 и ю1с'1 могут быть определены через скорости простейших враще-

зость ОСН относительно СК АП0 в СК ОСН.

лЧ0 л«0

ний Ф1, Ф 1b и Ф 1 :

„0,16 „0 • 0 . lc,1 „1c-1c. 0,0 „0 0-0

®16 = е16<р 16 ; ю1 = е1 «г» 1 ; = c1 Е1 «р 1,

(3)

где ej — матрицы Эйлера вида ej = c3 (aj )с2 (öj )ex | c3 (aj )ву | e

от соответствующих углов,

= [1 0 0]T, ey = [0 1 0]T, e2 = [0 0 1]T.

Получим скорости изменения длин актуаторов v,, продифференцировав (1):

16 1c,1c , 16 1с/ 1,1\T lc • 1c c16 v1, + c16 C1 \ r1 ji / e1 Ф1 2 [r16,16 + c16r1c,1c + ^Cj.1,1 — r16,16l ër1c ^c1c r1 +c1c C1 r1 ji r16ji J

16,16 + c16 [r1c,1c + C1cr1,11 — 16,16 r1c + c1c [X1 + C1 r1 ji J r16ji

x i, i — 1..n,

(4)

где иа1 — скорости удлинения штоков актуаторов, которые в случае винтовой передачи могут быть опре-

О;

делены по формуле va; = —-, О£ — угловая скорость двигателя; х; — скорость деформации актуатора;

1;

^16ji,16 = c16v1c,1c + c16C1c /r1,1\ e1cpP1c

= c1c v1 ' + c1c C1 \r1 ji / e1 «Р1

скорость относительного поступательного движения шарниров

одного актуатора в СК ОСН.

Известен алгоритм расчета матрицы эквивалентной жесткости пакета пружин [9, 10], который может быть использован в случае малых перемещений АП относительно основания и малых изменений длин актуаторов. В этом случае матрица эквивалентной жесткости пакета пружин определяется по формуле

f\ _ \ лгр1 f\ rri1,T rri1 _

C T1jiCpi T1 ji , T1 ji =

i=1

I 0 I

rj

(5)

vi =

где I — единичная матрица размерности 3x3; Cpi — симметрическая матрица коэффициентов жесткости ¿-й пружины размерности 6x6.

Формула (5) может быть применена только в режиме стабилизации при малых относительных перемещениях платформ и для других режимов работы базового блока не пригодна. Используя идеи подхода, изложенного в работе [3], найдем алгоритм расчета матрицы эквивалентной жесткости для общего случая.

Матрица эквивалентной жесткости подвижной платформы с п актуаторами

Обобщенные силы упругости, действующие на АП, описываются выражением вида [2]

Qc =

п г1Ьу;'1уЬ

-е16'Т Е г^С-

= ИЬу;

1=1 ч у;

ЛЬу; V; , '-111 I О 1;

-1с'Т Е ;=1

16у;'1у6

Г1Д\ е1С'Т е16'Т г1у_С

г1у; / е1 е1с 16у; С;

-1у;

у; т О

к

' ки* = = + 'о; 1;

(6)

где С1 — коэффициенты упругости актуатора соответственно.

Рассмотрим случай упругой деформации конструкции и линеаризуем (6) путем разложения в ряд Тейлора:

Qc @ ^ ^с )8д = _С(д)5д,

(7)

где q — обобщенные координаты системы; Jq — матрица Якоби от Qc по обобщенным координатам систе-

мы; 5q — вариации обобщенных координат; д = Представим матрицу C в блочном виде:

С =

1сДс г1

ф1с

; C — матрица эквивалентной жесткости.

е11 е12 е21 е22

где ^^ c12, C21, C22 — блоки матрицы эквивалентной жесткости. Найдем линеаризованные выражения для обобщенных сил Qf :

п г16};'1у6

Qf =-е16'Т Е^

— / ;=1 1

16у; С;

'16у; _' = _е16'Т Vг16у;'1у6С + „16/г мрг1Ьу;ДуЬС 'о;* . 'гу; 'о;* = е1с Ег1у; С; +е1с Ег1 у; С; дЬР

;=1

;=1

(8)

исходя из определения (7):

где

Qf » ^ (Qf )5д = _е1Ь'Т Е С; ^ (ЬТ1уЬ ) + е1Ь'Т Е 'о;*С;^ ;=1 ;=1

Т /„16у;'1уЬ\ О „165„1сДс ,„1Ь„ 1с/1,1 \Т „1с5ф1с

(; ) = е1Ь 5г1 ' + е1Ь с1 \г1'; / е1 5Ф1 '

5д =

г1Ьу;дуЬ г1 у;

'1ЬУ; 1;

16 г16у;'1уЬг16у;'1у6'Те16

е1с г1 у; г1 у; е1с

'1ЬУ;

-1у;

(у )3

5г

+

е1Ь с^/ г1 )Т в1с г11Ьу;'1уЬГ11Ь/;'1уЬ'Т е1Ь с^/ Щ \Т в^

'1Ьу;

(у )3

г1Ьу;'1уЬ г1 у;

'1Ьу; 1;

1с,1с

5ф1с.

(9)

(10)

Подставив (10) в (9) и приведя подобные слагаемые, получим выражения для матриц ^1, Cl2:

„11

= Е С; ;=1

I _ I

'о;* +-о;* е1 '1Ь);

-1у;

1Ь'Т 1Ьу;дуЬ 1Ьу;'1уЬ'Т 16 " " е1с

с г1 у; г1 у;

у )3

=ЕС;

;=1

п

е12 =Е С ;=1

' е1Ь'Тг1Ьу;'1уЬг1Ьу;'1уЬ'Те1Ь

1 _ 1 'о;* + 'о;*е1с г1 у; г1 у; е1с

]1Ьу;

О

3

„1с / 1Д\Т „1с „1с / 1Д\Т „1с

с1 \ г1);/ „1 =ЕСс1 \ г1)) „1 ;=1

(11)

где I — единичная матрица 3x3; С; — приведенная жесткость ¿-го актуатора, которая определяется по формуле

С; = С;

I _ I

' „1Ь'Т 1Ьу;дуЬ 1Ьу;дуЬ'Т „16 1о;* + 'о;*е1с г1 у; г1 у; е1с

'1Ьу; + /

11Ц

т

(12)

Найдем линеаризованные выражения для обобщенных моментов Qм:

п г11Ь.у;'1уЬ

г» ^„1с ,Т / 1 ' 1\1с ,т 16 ,Т 1у; п

^ =_Е „1 ' \ г1й) е1 ' е1Ь ' 16; С;

;=1

'1Ьу; '-у;

'1Ь); _' 11 у; 'о;*

= п„1С'Т Iг1д \„1с,Т„1Ь'Тг1Ьу;,1уЬС + п„1С'Т Iг1д \„1С,Т„1Ь'Тг1Ьу;,1уЬС ¿о;* . = Е„1 \г1у; е1 е1с г1 у; С; + Е„1 \г1у; /е1 е1с г1 у; С ,1Ь;;;

;=1

;=1

'11

1Ьу; у;

(13)

исходя из определения (2):

J5rlс'lc (Им )5г11с'1с + ^ (Ям )5ф1с = е215г11с'1с + е225Ф1с'

1С'1С

'5^

5ф1

(14)

где слагаемое ^5г1слс (Qм )5г11с'1с вычисляется следующим образом:

Т !п 1с,1с 1с,Т/ 1'1\„1С'Т„1Ь'Тт /1Ь);Д)Ь\51с ,1с +

5^'^ ^м )5г1 ' =_ЕС; 1 ' \г1);/е1 ' е1Ь' ^5г]1С'1с (V )5г1 + ;=1

;=1

1 ^с'Т „1'1\Лс'Т1Ь'Т т

ЕС;'о;*„1 Ое1 е1Ь ^дс

г16у;,1уЬ

Г1 у;

'1Ьу;

'-у;

5г!с'1с =

= _Е «Г ) „1с'Т С; ;=1

' „1Ь'Тг16у;'1уЬг1Ьу;'1уЬ'Т „16

I _ I+ 'о;*е1с г1у; Г1 у; е1с

1 (у

'1Ьу; Ч.);

5г1 ' =_Е„1 \г1);]е1 С;8г1 ' (15)

;=1

а матрица п

„ пЛс,Т I„ИХ Ас'Тъ Т

„21 =Е„1 \Г1 у;/е1 С; = „12. (16)

;=1

Вычислим слагаемое ^ф1с (Qм )5ф1с. Для этого введем следующие замены:

V (Qм )5ф1с = _Е:1 а5ф- () ^'Ч ))

V ((^'Ч)5ф1с = ^ (((г)) )) + „1с '^г1)^г1Ь); ' 1а5ф1с (а, )5ф- (17)

где r1bji,j _ „1с,Tc1b,Trlbji,ljb. _ _ C где r1 ji _ С1 С1с r1 ji ' CTi _ Ci

1-

^Qi

¡1bji ji

. Найдем выражение для Jg^jc (&i )S9jc:

1bji,1jb,T 1b 1c/ 1,l\T„1cXm1c

T . ^ 1c j ' „1с C1 \ j 81 Jg»lc (CTi)8ф1c _ CiQ*—- w/

'g91c

,jc,T/ rj,1\ gm1c

(j I

(18)

Найдем выражение ^^с ( ' /Гу' )$Ф1 , для этого воспользуемся свойством кососимметриче-ских матриц (19) 1

Xi(j ,cpjc)_5s1c,Vrljl-(rj)T Sejc, Sejc,T(rjjj)((,pjc) + (rjjj)T 8ej, (19)

где X; (у1 'ф^] — матрица, зависящая от аргументов Гу и ф1с; 5е1с — вариация матрицы Б^. Тогда с учетом (19)

-1,1 Xelc

.1с

Jgpic (jrjji,i ) _Sej^jrjji,i + ejc,T(j j _

1ji 4ji

1ji 1 ji

1ji 1ji

_( XiSplI rj + (rjjj )T 5e1cr1bji,1 + ejc,T / j Srj _

_( гЦП Xi Spjc + (rj Г .i (ji,j,p1c )Spjc + sjc,T( j Srjj1,

(20)

где (г(6У';'1'ф1с) — матрица, зависящая от аргументов Гу^'1 и ф1с; Зг!^'1 — вариация коорди

1ji

нат Srjjji,j, которая вычисляется по формуле

1ji

SrjP _(cjc,Tcjb,Trlf1 jb -jejc8pjc.

Подставив (21) в (20), получим

(21)

Т /,.1c,T /„1,1 \„1bji,1 W lc

JSp;c (B1, \jj ) _

_/rjbji,jV XiSpjc + (rfjfV ni8pjc + ejTjj1 -jejc8pjc _

_ riji

j Xi

rljlf .i -ejcTrj)(ejc + ejc,T( j(rjfej

4ji/\4ji

1ji/\ iji /

Spj

lc

(22)

где Xi (rijjj ,pjc

Xi _

и .i ((

1bji,j pjc

-eos(ajc |sin

.lc

вычисляются по формулам 0

-eos(ajc I1

sinla; IX

lc\ „,1,1 - Xlji

yjj

-sin!ajc Isin

)jc )zjjj- eos

* )xjjj xjjj

-sin! ajc leos

>1c )y1j1

■ eos! ajc |eos(ejc

*l !zlji

,1c

X-

1,1 iji

ac zi,i 3j )ziji

.i _

-eos| ajc )sin(ejc Ixj

iji

in(ejc )xj

eos( ejc )х—

sin( ajc |sin

-sin(ajc |eos

ejc )Щ

1bji,1

— eos( a

.lc

еов

\1c

7j |Xj1b/i,i - sin(ar )yi¡i

-eos[al )y1ji

1bji,1 iji

1bji,1

(23)

Подставив (18) и (22) в (17), получим

т /„1с,т/„1д\„16);д 1с

^(„1 ' \г1);]г1 Ь ' а;)) =

,1Ь);,1

.1Д\

1с,г 1д\/г1Ь);1\г „1с

1)Г X; + г1у; / Л _ „1 \г1у; /\г1) ;

С;

1_

'о;*

'1Ьу Чу;

5ф1с

^ • „1с'Т С;

„1Ь'Т г1Ь);'1)Ьг1Ь);'1)Ь'Т „16

е1 ~ г1 г1 е1с

1 'о;* + „1с г1у; ±1); 1_ +'о;*

Чу;

•)

ДЬ);д

ЛЛ

1с,т/1д\ /ш;д\г „1с

1)Г X; г1); Л _ „1 \г1/\г1 у; „1

С; 1 'о;*

; '1Ь ); 1); .

1с / 1'1\ 1с

с1 <) „15ф1 =

С_1с 1 с,Т / 1,1 \ 1с/ 1'1\ „1со 1с

5ф1 + „1 ' (г1); )е1 ' С;с1 (г1); ) „1 8ф1 . (24)

Тогда выражение для матрицы C22 будет

„ ^.Лс/Т/ 1Д\ 1с,Т^ „1с /„1Д \ „1с

„22 =Е„1 ' О„1 ' С;с1 (г1,';) „1

Е

;=1

;=1

•^ X; + (г1)1 Г Л; _„1с'Т()(г11уЬ);'ЛТ „1с

С;

1-

'о;*

'1Ьу; Чу;

(25)

Выражения (11), (16) и (25) являются моделью матрицы эквивалентной жесткости адаптивной платформы, перемещаемой пакетами актуаторов, с учетом изменения линии действия этих актуаторов.

Алгоритмы построения матриц эквивалентных жесткостей для платформы Стюарта (гексапода)

В рассматриваемых системах в штатных режимах работы отношение 1о;* / »1 , поэтому выражение для приведенной жесткости актуатора можно упростить:

С; = С

I ^ + 'о;*е1Ь'Т г1Ь};'1)Ьг1Ь};'1)Ь'Те1Ь

„1Ь'Т г1Ь);'1)Ьг1Ь);'1)Ь'Т „16 е1с г1 у; г1 у; е1с

(() )2

(26)

и выражение для матрицы C22 будет

Е1с,Т / 1,1 \ 1с,Т^ 1с/ 1Д\Т 1с „1 ' (г1); )„1 ' С;с1 \г1;) „1

Е

;=1

г1 у;

X;

;=1

Л; _ „1сТЩ г)

„1с „1

1-

'о;*

'1Ь); Чу;

i Е¿сТ/г11 „1сТС.с1с /„11 \Т „1с

;=1

> „Г" )еГ"СсП) с. (27)

С учетом (26) и (27) получаем упрощенную формулу для расчета матрицы эквивалентной жесткости

Т

С =

Е С;

;=1

;=1

ЕС;с1с )У „1с

Е „1с'Т (г1)1) „1с'Т С; Е „1с'Т () „1с'Т С;с1^г^ ;=1 ;=1

= Ет;*сР;*тГ ;=1

Т

Т;* =

о

1с,Т / 1,1 \ 1с,Т

„1 \г1); е1

, Ср;* =

С; о о о

(28)

где Cpi* — симметрическая матрица коэффициентов жесткости ¿-го актуатора размерности 6x6.

В случае малых угловых перемещений АП выражение (28) примет вид

Е C

i—1

Е C

i—1

1 f

Е<jс E^ij

i=1 i=1

—E Ti**C pi*T; i=1

|T T —

** 5 J-i** -

(29)

что согласуется с формулой (5), где матрица Ср рассчитывается следующим образом:

pi

*Cpi* —

,16,T 1bji,1jb 1bji,1jb,T 1b

C

"1c ji

4ji

c1c

^Oi* 0

0

(30)

Применим формулу (28) к построению матрицы эквивалентной жесткости платформы Стюарта (гек-сапода). Гексапод — это исполнительный механизм параллельной архитектуры с шестью актуаторами, параметры которого указаны в таблице. т

При г—.1 =[0,0,0]т [м], ф1с =|о° ,00,001 матрица эквивалентной жесткости

C —

0,7177 0 0 0

-0,1794 0

0

0,7177 0

0,1794 0 0

0 0

6,9646 0 0 0

0

0,1794 0

0,2176 0 0

-0,1794 0 0 0

0,2176 0

0 0 0 0 0

0,0712

;109

при rj — [0,1;-0,1;0,1] [м], Ф1с —

1c

—|0и,0°,0°

матрица эквивалентной жесткости

C—

при rjj1 —[0,0,0] [м], ф1<с — |15и,-15U,15°J матрица эквивалентной жесткости

0,6303 -0,1768 1,0399 -0,0011 -0,1371 -0,0227

-0,1768 0,6790 -1,0250 0,1524 0,0018 -0,0251

1,0399 -1,0250 7,0907 0,0470 0,0426 -0,0007

-0,0011 0,1524 0,0470 0,2147 -0,0076 -0,0300

-0,1371 0,0018 0,0426 -0,0076 0,2285 0,0316

-0,0227 -0,0251 -0,0007 -0,0300 0,0316 0,0582

1c Г 0 0 0Т

х109

C—

0,6780 0,0165 0,0600 0,0387 -0,1574 0,0725

0,0165 0,7689 -0,0440 0,1738 -0,0315 -0,0726

-0,0600 -0,0440 6,9530 -0,0089 0,0162 0,0599

-0,0387 0,1738 -0,0089 0,1958 0,0099 -0,0641

-0,1574 -0,0315 0,0162 0,0099 0,2063 -0,0446

0,0725' -0,0726 0,0599 -0,0641 -0,0446 0,0938

;109

■ Параметры гексапода

Параметр Номер актуатора

1 2 3 4 5 6

Жесткость С,, Н/м 1,4109

Координаты шарниров СК АП, м х = 0,1362 y = 0,2097 г = 0 х = 0,1362 y = -0,2097 г = 0 х = 0,1135 y = 0,2228 г = 0 х = -0,2497 y = 0,0131 г = 0 х = 0,1135 y = -0,2228 г = 0 х = -0,2497 y = -0,0131 г = 0

Координаты шарниров СК ОСН, м х = 0,2497 y = 0,0131 г = 0 х = 0,2497 y = -0,0131 г = 0 х = -0,1135 y = 0,2228 г = 0 х = -0,1362 y = 0,2097 г = 0 х = -0,1135 y = -0,2228 г = 0 х = -0,1362 y = -0,2097 г = 0

Радиус ОСН, м 0,25

Радиус АП, м 0,25

Высота, м 0,5

при и1,1 = [

— 0,1;0,1;—0,1] [м], ф^ =1-15 ,15 ,-15 матрица эквивалентной жесткости

C =

1,3276 -0,2792 -1,0700 0,0480 -0,1947 0,0322

-0,2792 1,0924 1,2678 0,1605 0,0148 0,1059

-1,0700 1,2678 5,9800 -0,0654 -0,0433 -0,1077

0,0480 0,1605 -0,0654 0,2101 -0,0102 0,0970

-0,1947 -0,0322 0,0148 0,1059

-0,0433 -0,0102 0,1573 0,0080

-0,1077 0,0970 0,0080 0,1248

;109

Приведенные примеры расчетов для матрицы эквивалентной жесткости C показывают существенное влияние изменения длины актуаторов и линии их действия.

Заключение

В статье приведены простые формулы расчета матрицы эквивалентной жесткости АП, перемещаемых пакетами актуаторов. Рассмотрено применение данных формул для построения матрицы эквивалентной жесткости для платформы Стюарта (гексапода) и приведен численный пример для гексапода с параметрами, указанными в таблице.

Показано, что в отличие от формулы для пакета пружин (5) в формуле для АП (28) необходимо учитывать изменение длины и линии действия актуаторов. Из приведенного примера видно, что влияние этих факторов существенно.

Показано, что в случае малых угловых перемещений платформы формула (28) переходит в (29), которая аналогична формуле для расчета матрицы эквивалентной жесткости для пакета пружин.

Получена формула (28) для расчета симметрической матрицы коэффициентов жесткости ¿-го актуатора.

Литература

1. Проблемы создания систем адаптации космических радиотелескопов/ Ю. Н. Артеменко, А. Е. Городецкий, В. В. Дубаренко, А. Ю. Кучмин, И. Л. Тарасова // Информационно-управляющие системы.

2010. № 3. С. 2-8.

2. Артеменко Ю. Н., Агапов В. А., Дубаренко В. В., Кучмин А. Ю. Групповое управление актуаторами контррефлектора радиотелескопа // Информационно-управляющие системы. 2012. № 4. С. 2-9.

3. Анализ динамики систем автоматического управления актуаторами контррефлектора космического радиотелескопа/ Ю. Н. Артеменко, А. Е. Городецкий, В. В. Дубаренко, А. Ю. Кучмин, В. А. Агапов // Информационно-управляющие системы.

2011. № 6. С. 2-6.

4. Проблемы обработки и передачи информации в локальной вычислительной сети системы управления радиотелескопа/ Ю. Н. Артеменко, А. Е. Городецкий, В. В. Дубаренко, М. С. Дорошенко, А. Ю. Куч-мин // Информационно-управляющие системы. 2009. № 4. С. 2-8.

5. Особенности выбора электроприводов зеркальной

системы космических радиотелескопов/ Ю. Н. Арте-

менко, А. Е. Городецкий, М. С. Дорошенко, А. С. Ко-

новалов, А. Ю. Кучмин, И. Л. Тарасова // Мехатрони-ка, автоматизация, управление. 2012. № 1. С. 26-31.

6. Дубаренко В. В., Кучмин А. Ю. Метод повышения качества наведения большого радиотелескопа миллиметрового диапазона c адаптивной зеркальной системой // Информационно-управляющие системы. 2007. № 5. С. 14-19.

7. Городецкий А. Е., Курбанов В. Г., Тарасова И. Л., Кучмин А. Ю. Электроприводы системы логического управления положением контррефлектора космического радиотелескопа // Антенны. 2011. № 4. С. 52-55.

8. Городецкий А. Е., Курбанов В. Г., Тарасова И. Л., Кучмин А. Ю. Структура системы логического управления положением контррефлектора космического радиотелескопа // Антенны. 2011. № 4. С. 56-59.

9. Гаврилов С. В., Коноплев В. А. Компьютерные технологии исследования многозвенных мехатронных систем. — СПб.: Наука, 2004. — 191 с.

10. Gimmelman V. G., Gorodetsky A. E., Dubarenko V. V., Kuchmin A. U. Identification of Radiotélescope RT-70 Pointing System as Object of Control // V Intern. Conf. on Antenna Theory and Techniques, ICATT. 2005. С. 537-543.

UDC 681.5

Modeling of Equivalent Stiffness of Adaptive Platforms with the Parallel Structure Executive Mechanism

Kuchmin A. Yu.a, PhD, Tech., Senior Researcher, radiotelescope@yandex.ru

aInstitute of Problems in Mechanical Engineering, 61, V. O., Bol'shoi St., 199178, Saint-Petersburg, Russian Federation

Purpose: One of ways to increase accuracy and reliability of electromechanical systems with parallel structure such as an adaptive platform (for example n-pods) is application of control loop dynamics models allowing to predict special positions (jamming) and to calculate the optimal control laws. Stiffness characteristics of such systems are the key element of predictive models. Therefore, the purpose of this research is to develop methods of constructing a matrix of equivalent stiffness of an adaptive platform moved by packets of actuators taking into account changes of the action line of the actuators. Results: There have been obtained simple formulae for calculating the matrix of equivalent stiffness of an adaptive platform moved by packets of an arbitrary number of actuators. It has been shown that in contrast to the formula for a packet of springs the formula for adaptive platforms should be modified to take into account changes of length and the action line of the actuators. The given numerical example for Stewart platform (hexapod) confirms significant effect of these factors. It has been proven that in case of small angular displacements of a platform the proposed formula after simplification is analogous to the formula for calculating equivalent stiffness of matrix package springs. There has been obtained a formula for calculating a symmetric stiffness matrix of the actuator. Practical relevance: The proposed simple algorithms for calculating matrix equivalent stiffness of an adaptive platform are effective for implementing the predictive model allowing to predict occurrence of specific positions and to develop algorithms for their prevention in real time that will increase reliability of the system and its capacity.

Keywords - Stewart Platform, Actuator, Equivalent Stiffness, Stiffness Matrix.

References

1. Artemenko Yu. N., Gorodetskiy A. E., Dubarenko V. V., Kuchmin A. Yu., Tarasova I. L. Problems of Development of Space Radio Telescope Adaptation Systems. Informatsion-no-upravliaiushchie sistemy, 2010, no. 3, pp. 2-8 (In Russian).

2. Artemenko Yu. N., Agapov V. A., Dubarenko V. V., Kuchmin A. Yu. Co-operative Control of Subdish Actuators of Radio Telescope. Informatsionno-upravliaiushchie sistemy, 2012, no. 4, pp. 2-9 (In Russian).

3. Artemenko Yu. N., Gorodetskiy A. E., Dubarenko V. V., Kuchmin A. Yu., Agapov V. A. Analysis of Dynamics of Automatic Control System of Space Radio Telescope Subdish Actuators. Informatsionno-upravliaiushchie sistemy, 2011, no. 6, pp. 2-6 (In Russian).

4. Artemenko Yu. N., Gorodetskiy A. E., Dubarenko V. V., Do-roshenko M. C., Kuchmin A. Yu. Data Processing and Data Transfer Problems in the Local Area Network of a Radio Telescope Control System. Informatsionno-upravliaiushchie sistemy, 2009, no. 4, pp. 2-8 (In Russian).

5. Artemenko Yu. N., Gorodetskiy A. E., Doroshenko M. S., Dubarenko V. V., Konovalov A. S., Kuchmin A. Yu., Tara-sova I. L. Problems of the Choice of Electric Drives of Space Radio Telescope System Dish System. Mekhatronika, avto-

matizatsiia, upravlenie, 2012, no. 1, pp. 26-31 (In Russian).

6. Dubarenko V. V., Kuchmin A. Yu. An Approach to Improve the Quality of Pointing a Millimeter Wave Range Large Radio Telescope with an Adaptive Dish System. Informatsi-onno-upravliaiushchie sistemy, 2007, no. 5, pp. 14-19 (In Russian).

7. Gorodetsky A. E., Kurbanov V. G., Tarasova I. L., Kuchmin A. Y. The Electric Drives of Logical Control System of Sub-reflector of Space Radio Telescope. Antenny, 2011, no. 4, pp. 56-59 (In Russian).

8. Gorodetsky A. E., Kurbanov V. G., Tarasova I. L., Kuchmin A. Yu. The Structure of Logical Control System of Sub-reflector of Space Radio Telescope. Antenny, 2011, no. 4, pp. 56-59 (In Russian).

9. Gavrilov S. V., Konoplev V. A. Komp'iuternye tekhnologii issle-dovaniia mnogozvennykh mekhatronnykh sistem [Computer Technology Research Multilink Mechatronic Systems]. Saint-Petersburg, Nauka Publ., 2004. 191 p. (In Russian).

10. Gimmelman V. G., Gorodetsky A. E., Dubarenko V. V., Kuchmin A. U. Identification of Radiotelescope RT-70 Pointing System as Object of Control. VInt. Conf. on Antenna Theory and Techniques, ICATT, 2005, pp. 537-543.