Моделирование движения многих тел на примере астрономических объектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

USAGE OF INTERACTIVE TEACHING METHODS AT LESSONS OF THE RUSSIAN AND FOREIGN LANGUAGES AS ACTIVIZATION MEANS OF STUDENTS' COGNITIVE ACTIVITY

© 2015

A.A. Ganyukova, Master of Arts, Assistant Professor at the Department of foreign languages

A.T. Rakhmetova, Master of Philology, lecturer at the Department of «Methods and practice of the Russian language

and literature named after G.A. Meiramov»

The Karaganda State University named after E.A. Buketov, Karaganda (Kazakhstan)

Abstract. The usage of interactive teaching methods in the classroom for Russian and foreign languages enables to achieve new opportunities associated with establishing interpersonal interaction by external dialogue in the process of learning. A modern approach to learning should focus on bringing the novelty to the process of learning, due to the peculiarities of the life and work dynamics, the specifics of various learning technologies and the needs of the person, society and the state in developing socially useful knowledge, beliefs, traits, and qualities of character, attitudes, and experience. Today it has become apparent that we need to manage not a person, but the process of his development. The main methodological innovations are associated today with the use of interactive teaching methods. Interactive learning is primarily a dialog learning in which interaction is between teacher and student. The essence of interactive learning is that the learning process is organized in such a way that almost all students are involved in the learning process, they are able to understand and comprehend about what they know and think. Joint activities of students in the learning process, development of educational material mean that each person makes its own special individual contribution, exchange of knowledge, ideas, and ways of activity. Interactive forms of training awaken students ' interest; encourage active participation in the learning process; contribute to effective learning; have a multifaceted impact on students; provide feedback; contribute to change behavior.

Keywords: interactive forms and methods of teaching; activity approach; results of teaching; social competence; common cultural competence; intellectual competence; active training.

УДК 531.51+371.3:52

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ МНОГИХ ТЕЛ НА ПРИМЕРЕ АСТРОНОМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

© 2015

И.В. Рыжов, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической физики и астрономии, И.С. Косова, кандидат педагогических наук, доцент кафедры алгебры, Н.А. Васильев, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической физики

и астрономии,

Л.В. Жуков, доктор педагогических наук,профессор кафедры теоретической физики и астрономии

Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена, Санкт-Петербург (Россия) В.Н. Аниськин, кандидат педагогических наук, профессор кафедры информатики,

прикладной математики и методики их преподавания Поволжская государственная социально-гуманитарная академия, Самара (Россия) А.А. Васильев, учебный мастер управления информационных технологий Санкт-Петербургская академия постдипломного педагогического образования, Санкт-Петербург (Россия)

Аннотация. Современная организация учебного процесса предполагает использование компьютерных технологий при обучении различным дисциплинам естественнонаучного цикла, что позволяет расширить возможности традиционной методики обучения. В работе рассмотрены некоторые способы использования методов компьютерного моделирования в школьном курсе астрономии. Применение компьютерных технологий значительно упрощает математический аппарат и делает доступным решение задач, которые аналитически решаются не во всех вузах.

Ключевые слова: движение небесных тел; гравитационно взаимодействующие материальные точки; компьютерные технологии; компьютерное моделирование; преподавание астрономии.

Рассмотрим две задачи: движение одной и двух материальных точек в гравитационном поле силового центра.

Движение одного тела в гравитационном поле силового центра Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух гравитационно взаимодействующих материальных точек массами т1 и т2. Предположим, что начало системы координат находится в точке т1 (рис.1), т.е. в движении участвует только одна точка т2. По второму закону Ньютона тело массой т2 приобретет ускорение а2 под действием силы гравитации F =а2т2=-От1т2/гг, где в есть гравитационная постоянная, а знак минус обозначает, что эта сила направлена из точки т2 в точку т1 в сторону обратную радиус-вектору г. Проекции этой силы и, следовательно, проекции ускорения и точки можно найти из простых геометрических соображений (рис. 1).

т.-

тI

Рисунок 1

где |r| - расстояние между точками ш. и m2, x2=xb- Графическое решение представлено на рис. 3, кото-x, У2=УЬ-У . В формулах (1) параметр Gm2=M2 определяет рый показывает траекторию движения точки m2 в гра-

толыш масштаб происходящих прощхяои, но не характер витационном поле силового центра m . получающихся траекторий. Известно, что гравитацион- г "

ная постоянная имеет порядок G=10-11 ,и если рассматриваемая нами масса будет порядка ш2=1011, то M2=1.

Используя представление о том, что ускорение есть

Движение двух тел в гравитационном поле силового центра

первая производная скорости, скорость есть первая производная координаты, составим из формул (1) систему дифференциальных уравнений, позволяющую построить траектории данного движения:

<х2 = — , ау2 = ^^-Mj.jiJxl +yl )

dx.

dt dt Л

И

Для численного решения системы (2) воспользуемся алгоритмом Эйлера, который основывается на известных учащимся из школьного курса физики формулах. Метод Эйлера строится из определения производной и представления ее через рекуррентные соотношения, обозначения в которых, адаптированные к синтаксису математического пакета MathCAD, выглядят следующим образом:

X

Рисунок 4

Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из трех гравитационно взаимодействующих материальных то-

тъ - Предположим, что начало

чек массами

т.,

т.,

системы координат находится, как и в предыдущей задаче, в точке (рис. 4), т.е. в движении уже участвуют

две точки т2 и т3. В рассматриваемой системе действуют следующие силы: F2 и F3 - силы гравитационного воздействия точки т0 на точки т2 и т3; F23- гравитационная сила взаимодействия точек и ,при этом по третьему закону Ньютона F23=-F32.

На основании закона всемирного тяготения

где At = ?ъ - ?называют шагом итерационной схемы (3). Зная начальные значения проекций ускорения, скорости и координат, получим:

(4)

Fi = -Gm0mJ\r1\l, F±=-Gmjn,l F13=-Gm2m3/\r23\2,

где |r2|, |r3|, |r23| - расстояния между соответствую. Выражая

щими материальными точками

m;

т и

Рисунок 2

На рис. 2 представлен алгоритм решения, реализованный в математическом пакете MathCAD.

проекции этих сил из соответствующих прямоугольных треугольников (рис. 4), на основании второго закона Ньютона получим соотношения для проекций ускорений ах2, ау2, ах3, ау3:

Fx2 cosCo,) = F2 -Ч Fx3 = F3 cos{tr2) = F3 ,

k, I I I

Fy2 = F2sm(,a1) = F2^i-% Fy3 = F3 sm(a2)=F3 * k r, |

Fx^=F2.cos (a1) = F21 ^ Fx31 = F3cos(a.)=F31^

kä k»I

Fy23 = F.a sm(a.) = ^iZAl. Fy31 = F, sin(«,) = F31 ~У^

(?)

ksl

Ы

Fv, + FV„ Fv, + FpT -r^J a\!,=-

w,

Подставляя (4) в (5), получим:

ч-_ (х3 — х2)

Рисунок 3

¿Г1\ = —G

ах, =-G

ai\ =—G

~xiY +0,з - „»■С

mi(y3-yJ

т0х3

*>' I

«•«Уз

л)2)

Ф)

Как и в предыдущей задаче, полученные выражения (6) могут быть положены в основу итерационной схемы численного расчета системы дифференциальных уравнений методом Эйлера. По сравнению с предыдущей задачей, данная итерационная схема решает совместно уже восемь дифференциальных уравнений. Рекуррентные формулы данного метода имеют следующий вид:

На рис. 5 показаны траектории движения двух материальных точек и в гравитационном силовом центре . Рис. 5а демонстрирует модель движения Земли и Луны относительно Солнца. Начальные условия: М1:=10, М2:=3, М3:=0,001, х1:=0, у1:=0, х20:=15, у20:=0, х30:=18, у30:=0, vx20:=0, vy20:=1, vx30:=0, vy30:=0,002.

Рис. 5б демонстрирует движение в гравитационном поле Солнца двух небесных тел ( М1:=1, М2:=0,5, М3:=0,5,х1:=0, у1:=0,х20:=10, у20:=0, х30:=15, у30:=0, vx20:=0, ve20:=0,4, vx30:=0, vy30:=0,6).

Рисунок5б

Заключение

Знание учителем компьютерного моделирования и численных методов, создает предпосылки для демонстрации на уроках астрономии движений небесных тел, не прибегая к интегрированию сложных дифференциальных уравнений, о существовании которых учащиеся могут даже не подозревать.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Глазков В.В. Компьютерное моделирование: Учебное пособие. Саранск: Мордов. гос. пед. ин-т., 2004. 224 с.

Рисунок 5а

MODELLING OF THE MOVEMENT OF MANY BODIES ON THE EXAMPLE OF ASTRONOMICAL OBJECTS

© 2015

I.V. Ryzhov, Candidate of Physico-mathematical Sciences, Professor at the Department «Theoretical Physics

and Astronomy»,

I.S. Kosova, Candidate of Pedagogical Sciences, Assistant Professor at the Department of «Algebra» N.A. Vasilyev, Candidate of Physico-mathematical Sciences, Professor at the Department of «Theoretical physics

and astronomy»,

L.V. Zhukov, Doctor of Pedagogical Sciences, Professor at the Department «Theoretical physics

and astronomy»,

Russian State Pedagogical University A.I.Gertsen, St. Petersburg (Russia) V.N. Aniskin, Candidate of Pedagogic Sciences, Associate Professor, Professor at the Department «Informatics, Applied Mathematics and Technique of Their Teaching», Samara State Academy of Social Sciences and Humanities, Samara (Russia) A.A. Vasilyev, educational master at the technical management department of information technologies St. Petersburg academy of post-degree pedagogical education, St. Petersburg (Russia)

Abstract. The modern organization of educational process assumes use of computer technologies when training in various disciplines of a natural-science cycle that allows expanding possibilities of a traditional technique of training. In work some ways of use of methods of computer modeling in a school course of astronomy are considered. Application of computer technologies considerably simplifies mathematical apparatus and makes available the solution of problems which analytically are solved not in all higher education institutions.

Keywords: celestial motion; gravitationally interacting material points; computer technologies; computer modeling; teaching astronomy.