CC BY
87
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ И ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
УДК 336.763 + 330.42 + 330.43
К. В. Корнев
Новосибирский государственный университет ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090, Россия E-mail: k_kornev@gorodok.net
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ НЕНАБЛЮДАЕМЫХ ФАКТОРОВ ВРЕМЕННОЙ СТРУКТУРЫ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК
В статье рассматривается проблема моделирования временной структуры процентных ставок облигаций корпоративного сектора. Представлен предлагаемый автором подход к моделированию во времени ненаблюдаемых компонент кривой бескупонной доходности и учету влияния волатильности бумаг на кривую. Рассматривается его применение на российском рынке, как для государственных, так и для корпоративных облигаций.
Ключевые слова: кривая бескупонной доходности, облигации, фильтр Калмана, модель Нельсона - Сигеля, метод максимального правдоподобия.
Введение
Индикаторами стоимостей заимствования в зависимости от срока погашения обязательств являются кривые временной структуры процентных ставок. Такие кривые дают возможность представить общую экономическую ситуацию в терминах стоимости кредитования, позволяют оценить доступность кредитных ресурсов, состояние с ликвидностью в банковском секторе, анализировать ожидания участников рынка относительно развития экономики (например, инфляционные ожидания). Кроме того, кривые временной структуры процентных ставок могут быть использованы инвесторами для разработки инвестиционных стратегий по срочности заимствования, уровню риска, хеджированию, оценке спекулятивных стратегий, для анализа возможности временного арбитража.
Экономическая важность кривых временной структуры процентных ставок требует адекватных моделей оценки. В реальности процентные ставки по кредитам и займам на произвольные периоды времени не наблюдаются (или доступны только на короткие временные сроки). Однако для корпоративного сектора оценку такой структуры можно производить на основе рыночных котировок облигаций.
В отличие от рынка государственных ценных бумаг, корпоративным облигациям присущ ряд особенностей, приводящий к невозможности получения устойчивых оценок с использованием классических моделей: при переходе между днями оценкам свойственна большая изменчивость, и в некоторые периоды даже смена знака коэффициентов (наклонов кривых). В силу указанных проблем возникает необходимость модификации классических моделей и техники оценки кривых.
В более ранних публикациях [1] автором исследовались различные модели временной структуры процентных ставок и их применимость для корпоративного сектора. В данной работе ставится цель расширить предлагаемую ранее модель для оценки временной структуры процентных ставок корпоративных облигаций, отказавшись от ряда ограничений: учесть изменение во времени формы кривой и влияние волатильности рынка на кривую доходности. Кроме того, особое внимание уделено особенностям применения предлагаемого подхода на российском рынке.
ISSN 1818-7862. Вестник НГУ. Серия: Социально-экономические науки. 2011. Том 11, выпуск 1 © К. В. Корнев, 2011
Временная структура процентных ставок: проблемы оценки
для корпоративных заемщиков. Выбор наиболее подходящей базовой модели
Кривые временной структуры процентных ставок и их использование участниками рынка. Кривая временной структуры процентных ставок показывает зависимость процентной ставки (стоимости кредитования) от срока до погашения обязательства. Стоимость кредитования характеризует общую ситуацию в финансовом секторе: высокие ставки свидетельствуют о малой ликвидности (недостаточном объеме денежной массы в экономике) и низкой кредитной активности, низкие процентные ставки являются следствием противоположной ситуации. Поэтому кривые временной структуры процентных ставок позволяют анализировать состояние финансового рынка. Сравнивая краткосрочные ставки с долгосрочными, можно оценить ожидания участников (например, инфляционных по кривой безрисковых инструментов). Кроме того, поскольку кривые отражают стоимость денежных средств во времени, они являются основным инструментом для дисконтирования денежных потоков (расчета приведенной стоимости).
Однако основным практическим приложением кривых временной структуры процентных ставок является использование при принятии инвестиционных решений. Более длинные инвестиции, при прочих равных условиях, обычно несут больший риск, а соответственно имеют большую стоимость (большую процентную ставку). Анализируя кривую, инвестор видит, на каком сроке и какую доходность устанавливает рынок, что позволяет планировать инвестиционную стратегию, выбирая требуемую срочность инструментов. По вновь размещаемым долговым инструментам кривая процентных ставок помогает принимать инвестиционное решение, сравнивая объявленную заемщиком доходность с рыночной (с учетом срочности и риска). Если инвестор выбирает спекулятивные стратегии, кривые процентных ставок позволяют по низкорискованным заемщикам определить момент до погашения, когда цены начинают возрастать быстрее. Покупая бумаги в этот период, инвестор получает наилучший рост доходности на коротком временном промежутке. Если бумаги высокорискованные, ставки к моменту погашения могут возрастать из-за усиления кредитного риска, инвестор с помощью кривых может определить момент, когда происходит рост ставок (падение цены), и выйти из данных ценных бумаг. Кроме того, по действующим займам кривые процентных ставок позволяют инвестору производить мониторинг финансового состояния отдельного эмитента и оперативно выявлять проблемы при сравнении доходности его долговых обязательств со среднерыночными.
Проблемы оценки временной структуры процентных ставок корпоративных заемщиков. Выбор базовой модели. Основная проблема при оценке кривых временной структуры процентных ставок по облигациям корпоративного сектора является отсутствие процентных ставок в чистом виде. Такие распространенные индикаторы, как MosPrime, Libor публикуются только на короткие горизонты и представляют собой оценку по заемщикам с низким уровнем кредитного риска.
Тем не менее, производить оценку временной структуры процентных ставок корпоративного сектора возможно с использованием цен облигаций. Основной сложностью при использовании такого подхода является неустойчивость оценок, получаемых с использованием классических моделей. Это приводит к тому, что стандартные подходы и методы оценки требуют модификации.
Базовой моделью выступает параметрическая модель Нельсона - Сигеля. Рассмотрим основные предпосылки для ее выбора.
Корпоративные эмитенты практически всегда выпускают купонные бумаги. В России бескупонной является только часть государственных облигаций. Соответственно структура процентных ставок для корпоративного сектора практически всегда невидна в явном виде.
Корпоративные облигации имеют различия по уровню риска. Публичными оценками риска, признаваемыми большинством участников рынка, являются рейтинги международных рейтинговых агентств. Однако даже в рамках одного рейтинга наблюдается определенная неоднородность эмитентов.
Эти особенности делают неприменимым использование целого класса моделей. А именно моделей, основывающихся на стохастической динамике спот-ставок (как параметрических, например, [2; 3], так и на основе непараметрической регрессии, например, [4]), поскольку для оценки таких моделей требуются два вида входящей информации: динамика спот-ставки и долгосрочная бескупонная ставка. В случае купонных облигаций получить их затруднительно. Во-первых, по причине практически полного отсутствия динамик спот-ставок в чистом виде. А во-вторых, из-за невозможности корректного вычисления долгосрочной бескупонной ставки для купонных облигаций, через более короткие бумаги (как это делается в случае государственных облигаций). Отдельный эмитент, как правило, имеет в обращении мало выпусков (один-три). Поэтому расчет бескупонных ставок необходимо будет производить с использованием бумаг других эмитентов. Вычисление более длительной ставки одного эмитента по более короткой ставке другого, из-за различий по риску, приведет к искажению реальной временной структуры.
С учетом этих ограничений подходящими моделями для оценки временной структуры процентных ставок облигаций корпоративного сектора являются параметрические модели, основанные на форме кривых форвардных ставок и полупараметрические методы, к которым относятся сплайны. Как показало ранее проведенное автором исследование [1], сплайновые методы не являются самыми подходящими, поскольку при сходной точности вызывают необходимость оценивать большее число параметров. Кроме того, сплайновые методы не очень удобны для экономической интерпретации (ввиду содержания в своей структуре точек перегиба, которые необходимо задавать до процедуры построения, т. е. изначально аргументировать их наличие). Самыми простыми моделями с точки зрения расчетов являются обычные полиномы. Однако они имеют неудобное свойство уходить на концах (порой очень резко) в бесконечные области, что также затрудняет их использование, особенно для ограниченных выборок. Было установлено, что наилучшими как с точки зрения экономической интерпретации параметров, так и компромиссного варианта по точности и малому числу параметров является модель Нельсона - Сигеля [5] и ее развитие - модель Свенсона [6]. Обращаться к модели Свенсона следует, если кривая временной структуры процентных ставок в определенные периоды имеет сложную структуру, которую не способна описать модель Нельсона -Сигеля, и точность расчетов является очень критичной. Однако такие структуры появляются в течение не очень продолжительного времени. Поэтому в большинстве случаев наиболее подходящим вариантом является модель Нельсона - Сигеля.
Модель Нельсона - Сигеля. Приведем краткое описание модели, необходимое для понимания производимых в дальнейшем ее модификаций. Модель Нельсона - Сигеля основывается на предположениях о теоретической форме кривой форвардных ставок (которая должна быть монотонная, выпуклая и в определенные периоды "8"-образной) и задается с помощью следующего уравнения:
подлежащие оценке.
Кривая спот-ставок, получаемая интегрированием кривой форвардных ставок с последующим делением на т, задается следующим уравнением:
Общий вывод данных уравнений можно посмотреть в оригинальной работе Нельсона и Сигеля [5], более подробное его описание ранее приводилось автором в [1].
Экономически интерпретировать коэффициенты модели можно как изменение кратко-, средне- и долгосрочных компонент кривой форвардных ставок (и, следовательно, кривой доходности). Вклад долгосрочной компоненты - р0, краткосрочной компоненты - р1, и, наконец, р2 показывает вклад среднесрочной компоненты.
где /(т) - форвардная ставка; т - срок до погашения облигации; р0, р1, р2, т - параметры,
Моделирование временной структуры процентных ставок корпоративных эмитентов с использованием модификации модели Нельсона - Сигеля
Классическая модель Нельсона - Сигеля разрабатывалась для рынка государственных облигаций США и требует модификации при ее использовании для корпоративного сектора. Основная проблема: меньшая ликвидность и более низкая частота торгов. Это обстоятельство приводит к большей волатильности цен (существенной зависимости от действий и оценок риска отдельными участниками) и отсутствию торгов с определенными выпусками (или даже всеми выпусками отдельных эмитентов). Оценки кривых на основе исходной модели являются очень неустойчивыми в пределах короткого временного интервала. Наблюдается не только большая изменчивость параметров модели, но даже смена знака коэффициентов (наклонов кривых) при переходе между днями. Такие модельные результаты, естественно, не могут быть убедительными и использоваться для принятия инвестиционных решений и выбора стратегий поведения. Поэтому использование в расчетах данных за один торговый день невозможно.
Одним из решений, позволяющим учесть это ограничение, являлась модификация этой модели [1]. Идея сводилась к использованию данных за несколько временных периодов с введением в модель фиктивных переменных:
где f - фиктивные переменные; ki - коэффициенты при фиктивных переменных; I - число дней, цены которых участвуют в расчете; i - порядковый номер дня, по которому берутся цены. Такой подход предполагает, что на рассматриваемом временном интервале параметры, отвечающие за наклон функции р1 и р2, являются постоянными, что в действительности может нарушаться.
Далее в работе будет предложена иная модификация модели, позволяющая отойти от предположения неизменности компонент р0, Pi, Р2, а также учесть дополнительные ограничения.
Моделирование компонент кривой Нельсона - Сигеля. С течением времени кривая временной структуры процентных ставок может испытывать различные изменения. Так, может происходить ее параллельный сдвиг или изменение наклона на определенном участке или всей кривой. Математически это будет означать изменение ее компонент (р0, р1, р2). Поскольку компоненты кривой являются ненаблюдаемыми, для возможности их моделирования необходимо задать определенный процесс, описывающий изменение.
Пусть изменение кратко-, средне- и долгосрочной компонент р0, р1, р2 описывается определенным авторегрессионным процессом со случайной ошибкой. Первым вопросом является выбор конкретного авторегрессионного процесса, описывающего динамику каждого из ненаблюдаемых факторов. Для того чтобы задать его вид, обратимся к моделям стохастической динамики процентных ставок. Так, в модели Васичека (Vasicek model), являющейся базовой в данном классе, динамика спот ставки описывается процессом Орнстейна - Уленбека [3]:
где г - стандартный Винеровский процесс.
В этой модели величина у показывает долгосрочный равновесный уровень процентных ставок, а величина т характеризует скорость возвращения процесса к долгосрочному среднему значению. Величина о соответствует амплитуде (стандартному отклонению) колебаний краткосрочных ставок.
Задание такой динамики отражает важное с экономической точки зрения свойство процессов, связанных с динамикой процентных ставок, - возвращение к определенному среднему уровню. Поскольку фондовый рынок во многом зависит от случайных сигналов (слухов), такая динамика выглядит достаточно логичной. Появление информации вызывает рост активности и быстрое изменение цены инструмента, а следовательно, и его доходности (процентной ставки). В дальнейшем рынок постепенно возвращается к средним уровням. Если же поступившая информация относительно инструмента подтверждается, происходит его перемещение в другую группу с соответствующими параметрами риска и средними уровнями ставок.
Если процентные ставки имеют свойство возвращаться к определенным уровням, можно предположить, что и отдельные компоненты кривых (отвечающих за их форму и разную временную динамику), изменяясь во времени, ведут себя аналогичным образом. Процентные ставки на различных сроках до погашения представляют собой динамику спот-ставки, скорректированной на рисковую надбавку (в зависимости от срочности инструмента), являющуюся на конкретном сроке константой. Основываясь на данном утверждении, зададим динамику всех трех компонент кривой временной структуры процентных ставок с помощью следующего авторегрессионного уравнения:
р,-,, = сА-,,-1 + + ¿и,,
где в,,, - ,-я компонента кривой (, = 0, 1, 2) в момент времени с{ - параметр, отвечающий за скорость возвращения процесса к среднему уровню; - компонента, отвечающая за средний уровень (но численно не являющаяся им); - случайная ошибка компоненты , в момент времени ,.
В такой постановке равновесный уровень компонент (исходя из стационарности процессов) в,- вычисляется из равенства
Е(Р,,,) = с,Е(р,,-) + f .
Отсюда равновесный уровень:
Р, =
f,
i - с,
в,,, являются ненаблюдаемыми компонентами, динамику которых требуется оценить исходя из наблюдаемых компонент - процентных ставок Я(т). Тогда модель временной структуры процентных ставок можно представить при помощи системы уравнений в следующем виде:
R (m, t) = Po,t + ( +Р2,()
1 -exp I -
m
/I — |-P2,t exp I -m l + st
"Po,t" C0 0 0" "P0,t-i" d0,t
P1,t = 0 с1 0 Pi,t-i + fi + du
_P2,t _ 0 0 с2 _ _P2,t-i _ _ f2 _ _d2,t _
Предполагается, что для любого периода t ошибки st и dit независимы (это гарантирует независимость между st и pit, а также независимость между dit и P,,t-i).
Предложенная нами модель относится к классу моделей пространства состояний. Для оценки моделей такого класса существует несколько алгоритмов. В частности, можно воспользоваться подходом, известным в литературе (преимущественно посвященной физическим исследованиям) как фильтр Калмана. Применение фильтра калмана в экономических исследованиях можно посмотреть в [7].
Особенности применения фильтра Калмана для оценки временной структуры процентных ставок. Рассмотрим особенности применения фильтра Калмана для оценки поставленной выше задачи расчета кривых временной структуры процентных ставок.
Нелинейность модели. Рассматриваемая нами модель является нелинейной, это не позволяет напрямую использовать уравнения фильтра Калмана. Для решения этой задачи возможно обратиться к расширенному фильтру Калмана (Extended Kalman filter), имеющему несколько отличий.
В общем случае расширенный фильтр Калмана позволяет проводить оценку нелинейных моделей пространства состояния с дифференцируемыми функциями, осуществляя линеаризацию нелинейных уравнений путем разложения в ряд Тейлора до членов первого порядка.
Рассмотрим в общем случае модель пространства состояний, описываемую двумя нелинейными уравнениями:
y = W (zt, a)+m+St st,
at = V (at-i) + f + Rtdt,
где W и V - некоторые нелинейные дифференцируемые функции, а ошибки некоррелированны и нормально распределены с нулевым матожиданием: st ~ N(0, Ht), dt ~ N(0, Qt).
Обозначим JV - Матрицу Якоби функции ¥( ), а Jw - Матрицу Якоби W( ) как функции от а при определенных значениях ^ Тогда уравнения работы фильтра можно представить в следующем виде:
а-1 = V (ам«) + Ъ,
лг\г- 1
ВА\г-1 _ JV (аг-1\г-1 ) ^Аг-1\г-1 JV (аг-1\г-1 )
= w (^ а*-1)+т, = ^ (-1 ^ (а,\,-1) + 8ДА
г
К1 = ^4^-1 JW (аг\г-1 ) ^--1 ,
Щ\г = Щ\(-1 1К ,
1 + Кг (У - Уг\г-1) •
ша
(1) (2) (3)
аг\г ~ аг\ гС более подробным выводом данных уравнений можно ознакомиться в [8; 9]. В уравнении (1) зависимая переменная у(вектор цен) вычисляется непосредственно из нашей модели:
Ум =Х'СРге-К ("г) " • (4)
г=1
Матрица Якоби Jw, необходимая для уравнений (2)-(3), в общем виде рассчитывается следующим образом:
да
да!
да.
дwL
да,
В нашем случае матрицу Якоби Jw можно определить как матрицу, составленную из первых частных производных вектор-функции (4) по параметрам р.
Логарифмическая функция правдоподобия запишется в виде
1 (У\\ е) := "X [|1п (2я) + ^ (-1) + 2( - Уг\г-1)' ( - Уг\г-1)) • (5)
Таким образом, поиск решения осуществляется следующим образом:
1) задаются начальные условия параметров (9);
2) при данных значениях параметров осуществляется применение фильтра Калмана ре-куррентно для наблюдений каждого периода;
3) по полученным значениям рассчитывается функция правдоподобия;
4) ищутся новые значения параметров (на основе какого-либо оптимизационного метода).
5) шаги 2-4 повторяются до достижения максимума функцией правдоподобия.
Переменный размер выборки. Второй проблемой, возникающей при расчете кривых временной структуры процентных ставок, является возможное отсутствие торгов с определенными ценными бумагами в конкретный день. Поэтому выборка наблюдений по дням будет переменной размерности. Это означает, что параметр g, отвечающий за размерность вектора уг, будет зависеть от дня торгов, т. е. для каждого конкретного дня g = gt•
Переменная размерность выборки по дням не является препятствием для применения алгоритма. Отличие заключается лишь в переменной размерности матриц (в зависимости от дня торгов), использующихся для внутренней работы фильтра. Поэтому в алгоритме оценки при его реализации на программном уровне необходимо предусмотреть в качестве дополнительной переменной размерность матриц. Получаемые на выходе итоговые данные каждого шага будут сопоставимы.
Различие облигаций по уровню риска. Когда рассматриваются государственные облигации, объектом выступает один эмитент - государство. Поэтому всем выпускам (за исключением субординированных) присущ одинаковый уровень риска эмитента.
При переходе к корпоративным эмитентам возникают отличия в уровнях риска не только в зависимости от времени погашения, но и от индивидуальных особенностей конкретных эмитентов. На одном сроке до погашения бумаги эмитента с более высоким уровнем риска (при прочих равных условиях) будут иметь больший уровень доходности, поэтому уравнивать их на одной кривой некорректно.
Для решения этой проблемы разобьем всех эмитентов на группы в зависимости от уровня риска. Индикатором будет выступать кредитный рейтинг эмитента (либо конкретного выпуска в случае его индивидуальных особенностей).
Будем считать, что в рамках одной группы облигации одинаковы по риску (либо различия невозможно идентифицировать). Если это предположение нарушается, такие отличия необходимо моделировать при помощи либо фиктивных переменных (также подлежащих оценке), либо отдельной количественной переменной. Однако учитывая, что бумаги для проведения анализа уже разделены на разные группы по рейтингам (которые можно считать объективной оценкой кредитного риска), более точная количественная идентификация внутри данной группы носит субъективный характер, поэтому нежелательна (исключение могут составлять риски некредитного характера). Использование фиктивных переменных для каждого эмитента также невозможно, поскольку большинство эмитентов имеют только несколько выпусков, поэтому на разных сроках могут присутствовать бумаги только одного эмитента (например, одного на коротких, другого на длинных). Если предположить, что спрэд определяется не только временной структурой, но и индивидуальным риском, то эти два эффекта фиктивная переменная разделить не сможет и учтет единой мерой. Поэтому если для такой структуры ввести фиктивную переменную, она исказит временной эффект (поглотит либо усилит). С учетом указанных ограничений следует вводить фиктивную переменную только для некоторых отдельных выпусков.
Учет волатильности. Индивидуальная волатильность. Строго говоря, каждый выпуск имеет индивидуальную котировку и индивидуальную волатильность. Основной вопрос заключается в существенности таких различий и возможных последствиях их учета или игнорирования.
По умолчанию в общем случае не следует предполагать различие дисперсий по выпускам в силу их индивидуальных особенностей (что будет в определенной мере аналогом учета бумаг для оценки кривой с разными весами). Это связано с малым размером выборки по дням и присутствием только определенных бумаг на конкретных сроках. Отклонение конкретной цены может служить сигналом как об изменении структуры кривой (т. е. характеристик исследуемого объекта), так и об индивидуальном эффекте. Поскольку мы априори не знаем, какие бумаги являются «эталонными», и пытаемся оценить среднерыночную структуру, более корректно оценивать соответствие кривой всем бумагам в среднем. Следовательно, введение индивидуальной дисперсии для конкретного выпуска возможно в том случае, если он явно демонстрирует повышенную (пониженную) волатильность относительно большинства бумаг с сопоставимыми сроками до погашения. Также будем предполагать независимость ошибок отдельных бумаг в рамках одного дня.
Исходя из этого, матрица ковариации е, будет
Н, = се2Е,,
где Е, - единичная матрица в момент времени , индивидуальной размерности (£, х gt); с2 -
остаточная дисперсия (скаляр).
Кластеризация волатильности. Еще одна особенность моделирования волатильности касается самой природы финансовых активов. В экономической теории финансовых рынков известно, что активам свойственна особенность кластеризации волатильности, т. е. ее повышение в определенные периоды, связанное с усилением неопределенности, и снижение в другие.
На рис. 1 представлены остатки цен (отклонения фактических цен от расчетных, которые выражены в процентах от номинала) нескольких выпусков ОФЗ по всем торговым дням за декабрь 2008 г. Выпуски на графике расположены последовательно в течение каждого дня (т. е. сначала показаны остатки цен нескольких выпусков в рамках первого дня, затем остатки в рамках второго дня и т. д.). Видно, что присутствует гетероскедастичность: в начале ме-
сяца разброс остатков цен различных выпусков относительно модели выше (в обе стороны), далее происходит постепенное снижение отклонений.
5
4
3
-4
День
Рис. 1. Остатки по дням за декабрь 2008 г. по бумагам ОФЗ
Для того чтобы показать зависимость количественно, возьмем квадраты остатков. На их основе посчитаем средний по выпускам квадрат остатков в рамках каждого дня и построим коррелограмму полученных средних по дням квадратов остатков. На коррелограмме (рис. 2) можно видеть сильные автокорреляции.
1
0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1
Рис. 2. Коррелограмма средних по дням квадратов остатков
Наличие такой структуры вызывает необходимость учета кластеризации волатильности в ошибке. Одной из наиболее подходящих моделей для моделирования динамики дисперсии условной по предыстории являются модели ОЛЯСИ. Наиболее популярным для практических целей является процесс ОЛЯСИ(1,1), позволяющий в большинстве случаев описать требуемую структуру. Добавим данный процесс в ошибку основной модели. Тогда условную по предыстории остаточную дисперсию можно вычислить рекуррентно:
се2д =ю + 5с2^ _1 +ТЕ2_1.
Безусловная дисперсия процесса ОЛЯСИ(1,1) вычисляется по формуле
с2 =-
та
1 -5-у
(6)
Поскольку мы не предполагаем различие дисперсий по отдельным наблюдениям в рамках одного торгового дня, 82— вычислится как средний по дню квадрат ошибок:
2
1
е2-1 =—Е((
St-l 1=1
" Л-1|г-2
0
3
4
Тогда матрицу Н в момент времени , можно представить как
Ht = с2,,Е, = (® + 5см + Уем) Е .
Конкретизация параметров фильтра Калмана и определение начальных значений. Процессы изменения отдельных компонент кривой не зависят друг от друга (матрица С диагональная). Поэтому будем предполагать некоррелированность ошибок ненаблюдаемых факторов, т. е. зададим матрицу ковариации как
я=я=
Со 0 0
о < 0
0 0 с2^
Теперь конкретизируем модель пространства состояний для нашей задачи. Матрицы модели будут выглядеть следующим образом:
а, = Ь,, т( = 0, = Е ^ х g), Я, = Е (3 х 3), Т, = С, Л = /
Начальные значения процессов можно получить из условия стационарности:
а0 =(1 - С )-1 • /; уес (Л ) = (ЕМ - С ® С )-1 • уес (Я),
где уес( ) - операция преобразования матрицы в вектор; ® - произведение Кронекера;
Н = ю Е
Н 0 1 -5-у ^^
Вектор неизвестных параметров (0) состоит из параметров ненаблюдаемых процессов и остаточных дисперсии: С,, /и с^ , ю, 5, у. Факторами (Я) являются купонные платежи (СР,) и
сроки до погашения (т,). Зависимой переменной выступает цена облигации в процентах от номинала (у,,,). Решение ищется путем максимизации логарифмической функции правдоподобия (5) по вектору неизвестных параметров.
Моделирование временной структуры процентных ставок
на примере российского рынка корпоративных облигаций
Проиллюстрируем применение предложенной модели на реальных данных. Для этого опишем некоторые особенности, присущие купонным корпоративным облигациям при определении цен в торговых системах (для понимания специфики подготовки выборки переменных), и отдельные особенности параметров выпусков. Далее представим результаты применения предлагаемой в работе модели на данных российского рынка и их интерпретацию.
Особенности определения цен купонных облигаций, параметров выпусков на рынке и группировка облигаций по уровню риска эмитентов. Параметры облигационных займов (номинал, ставка купона, дата погашения / оферты, периодичность выплат, субординиро-ванность займа) брались по данным вэб-ресурсов \ Цены облигаций взяты на сайте ММВБ 2.
Дата погашения и дата оферты. Как правило, корпоративные эмитенты при выпуске облигационного займа определяют размер купонных платежей не на весь срок, а только на определенную его часть (например, два года, при сроке погашения четыре). Если купонные платежи определены неполностью (не до установленного срока погашения), эмитент должен объявить дату оферты (в параметрах выпуска), в которую держатели имеют право предъявлять бумаги к досрочному выкупу. В 2008-2009 гг. это была достаточно распространенная практика на российском рынке, когда выпуск полностью предъявлялся к оферте (за исключением случаев установления соглашения с держателями). Поэтому оферта ничем не отлича-
1 См.: www.cbonds.ru;www.rusbonds.ru.
2 См.: www.micex.ru.
ется от обычного погашения бумаг и позволяет любому держателю аналогично предъявить имеющиеся ценные бумаги к выкупу. Под сроком погашения будем понимать срок до даты оферты (при ее наличии) либо до даты погашения (при отсутствии оферты).
Определение цены купонной облигации. Зависимой переменной выступает цена облигации. В качестве цен использовались рыночные котировки облигаций российских эмитентов по данным ММВБ за декабрь 2008 г. (как период значительной нестабильности на финансовом рынке для проверки устойчивости модели). Котировки облигаций обычно публикуются торговыми системами в процентах от номинала (обычно 1 000 руб.).
Особенностью ценообразования купонных облигаций является наличие накопленного купонного дохода (НКД), который выплачивается покупателем предыдущему держателю вместе с ценой облигации при осуществлении сделки. НКД (при осуществлении сделки) рассчитывается как доля купонного платежа, приходящаяся на период от даты начала купонного периода до даты сделки:
НКД, = CP,
t -t0
t -10 + m,
где t - дата сделки; СР1 - размер 1-го купона; ^ - дата начала 1-го купонного периода; т1 -срок, оставшийся до выплаты 1-го купона.
Таким образом, в реальных условиях расчет фактического значения моделируемой переменной (у), т. е. фактически выплачиваемой цены в момент покупки, происходит не на основе публикуемой биржей котировки, а по следующей формуле:
y = P + НКД, =£ CPe
-R(m
где (n - 1) - число оставшихся к выплате купонов (последней выплатой является номинал).
Группировка облигаций по уровню риска эмитента. В работе использовались 5 наборов облигаций. Критерием являлся уровень риска, который определялся на основе оценок международных рейтинговых агентств (Moody's, Standard & Poor's, Fitch) 3.
Эмитенты в соответствии с присвоенным рейтингом были разбиты на следующие группы:
• ГКО / ОФЗ (выделены в отдельную группу, как бумаги особого эмитента и базовый индикатор рынка);
• BBB;
• BB;
• B;
• CCC.
Деление на рейтинговые подгруппы (+ / -) не учитывалось, поскольку, как показано в [1], разница не является существенной (например, при делении с помощью фиктивных переменных они оказываются не значимыми).
Результаты моделирования временной структуры процентных ставок российского рынка корпоративных облигаций. Для иллюстрации работы предлагаемой модели (в частности наиболее важной для нас характеристики - устойчивости) использовались данные за декабрь 2008 г. В это время на финансовых рынках усилились кризисные явления: происходил существенный рост числа дефолтов (особенно по облигациям третьего эшелона), снижение ликвидности у организаций, сокращение кредитования (в том числе МБК). Все это вызывало падение цен облигаций и значительный рост волатильности котировок. Поэтому указанный временной период наилучшим образом подходит для проверки модели на устойчивость и в целом на работоспособность.
Модель в целом хорошо аппроксимирует фактические данные в стабильные периоды, что видно по информационным статистикам в табл. 1. В кризисный период аппроксимация естественно ухудшается. Основной причиной является существенный рост разброса между ценами разных эмитентов и даже между ценами нескольких выпусков одного эмитента на схожих сроках до погашения и значительное увеличение выбросов.
1=1
3 См.: www.moodys.com;www.standardandpoors.ru;www.fitchratings.ru.
Таблица 1
Информационные статистики по модели
ОФЗ БББ ББ Б ССС
Я2 февраль 2008 г. 0,996 0,973 0,824 0,852 0,428
Я2 декабрь 2008 г. 0,962 0,918 0,68 0,65 0,326
В такой ситуации наиболее важным фактором становится устойчивость кривых к выбросам и отражение среднерыночных тенденций. В табл. 2 приведены оценки параметров модели (с,, /) для выбранного нестабильного периода (декабрь 2008 г.) и /»-значения, показывающие уровень значимости оценок.
Таблица 2
Параметры оценки модели
С0 Р С1 Р с2 Р /0 Р /1 Р /2 Р
ОФЗ 0,868 0 0,723 0,01 —0,545 0,9 0,015 0,87 -0,006 0,98 -0,491 0,97
БББ 0,951 0,02 -0,007 0 —0,627 0,97 0,005 0,98 -0,099 0 0,090 0,99
ББ 0,761 0,01 -0,997 0,09 0,212 0,9 0,038 0,7 1,030 0,075 -0,890 0,58
Б 0 1 0,978 0 0,119 0,98 0,202 0,07 -0,001 0 0,159 0,99
ССС -0,019 0,01 -0,319 0,03 -0,657 0 0,143 0,01 0,186 0,081 0,496 0,02
Оценки показывают, что в некоторых ситуациях один из параметров ненаблюдаемого процесса, отвечающий за средний уровень, оказывается незначимым. Скорее всего, это связано с длиной выбранного для моделирования периода (месяц), т. е. в ряде случаев достаточно только авторегрессионной компоненты для описания динамики коэффициентов. На более длительном временном отрезке (полугодие, год) ситуация может быть другой. Однако для наиболее рискованной группы (ССС) даже на коротком временном промежутке требуются обе компоненты, что, видимо, объясняется большим различием характеристик бумаг и эмитентов в данной группе. Тем не менее, видно, что в случае, когда компонента, отвечающая за средний уровень, оказывается незначимой, ее оценка достаточно мала (особенно в сравнении со значением соответствующей авторегрессионной компоненты). Поэтому ее исключение из модели не приводит к заметному изменению остальных оценок. Традиционно более значимыми являются коэффициенты, отвечающие за изменение долгосрочной компоненты. Это объясняется усилением кризисных явлений и формированием на всем рынке в целом устойчивых трендов. Также везде значимы коэффициенты, отвечающие за изменение краткосрочной компоненты, что говорит о влиянии на рынок спекулятивных мотивов (покупка / продажа на «отскоках» цен). Динамика среднесрочной компоненты по дням в рамках рассматриваемого периода практически везде оказывается незначимой, т. е. в рассматриваемый период она не испытывала существенных изменений во времени (за исключением наиболее рискованной группы ССС). Однако если обратиться к среднеквадратическим отклонениям по дням оценок самих среднесрочных компонент кривой р2 (табл. 3), то заметно, что они малы в сравнении с абсолютными значениями оценок коэффициентов, т. е. фактически они близки к константам во времени. Поэтому исключение авторегрессионных процессов для среднесрочных компонент не приводит к изменению оценок в остальной части модели.
Для иллюстрации коэффициентов самих кривых (Р^ в табл. 3 приведены их средние значения и указаны их среднеквадратические отклонения по дням.
Таблица 3
Коэффициенты кривой и их среднеквадратические отклонения по дням
Группа Р0 СВ0 Р: Ср1 Р2 Ср2
ОФЗ 0,112 0,0089 -0,021 0,076 -0,318 0,00014
БББ 0,099 0,0028 -0,098 0,00008 0,242 0,000026
ББ 0,160 0,012 0,515 0,0015 -0,129 0,00046
Б 0,202 0,0028 -0,028 0,044 0,180 0,00035
ССС 0,141 0,000027 -0,141 0,046 1,444 0,00011
Относительно малая величина среднеквадратических отклонений по компонентам (р0, р1, р2) позволяет судить об отсутствии резких скачков кривой при переходе между днями. При этом происходит учет изменения их значений во времени. Данный подход не только позволяет получать устойчивые оценки кривых временной структуры процентных ставок, но и более детально выявлять причины изменений этой структуры во времени.
По данным табл. 2 и 3 можно выявить несколько особенностей. Коэффициент р0 отвечает за долгосрочный уровень. Его динамику описывают параметры с0 и/0. Как видно коэффициенты с0 для группы низкорисковых (в рамках России) облигационных групп (ОФЗ, БББ и ВВ) достаточно близки к 1 (хотя процессы и остаются стационарными). В нашем случае это свидетельствует о том, что процессы имеют небольшие тренды, которые по статистическим данным являются восходящими. Экономически это означает, что на рынке наблюдался постепенный рост долгосрочных процентных ставок. Кроме того, для этих групп (кроме ОФЗ) модельные коэффициенты р0 имеют наибольшую дисперсию (т. е. наибольшую изменчивость, а следовательно, наибольшее влияние на изменения (в данном случае дополнительной нормировки не требуется, поскольку каждая компонента уже отражает собой процентную ставку на разном сроке, т. е. представлена в сопоставимой размерности)). В данной группе риска основное влияние на изменение временной структуры процентных ставок оказывали долгосрочные тенденции. Для группы ОФЗ влияние долгосрочной тенденции ниже, однако оно остается достаточно существенным. Для более рискованных групп (Б и ССС) в данном периоде большее значение имеют краткосрочные факторы. Причем модельный расчетный коэффициент р1, отвечающий за краткосрочную динамику, по отношению к компонентам другой срочности имеет наибольшую дисперсию для наиболее рискованной группы ССС.
Выявленные особенности можно объяснить следующим образом: в период кризиса многие бумаги существенно обесценились, поэтому, чтобы не фиксировать убытки, участникам пришлось отказаться от спекулятивных стратегий, перейдя к инвестиционным. Выгоднее было просто держать бумаги, получая по ним купонный доход, в ожидании роста рынка либо их погашения. По рискованным бумагам существенно возрос риск дефолта эмитентов (вероятность неисполнения обязательств), соответственно инвестиционная стратегия (держать до погашения) стала более рискованной. Поэтому, чтобы не уходить с эмитентом в дефолт, держатели могли выбирать стратегию постепенной продажи облигаций. В результате на рынок в большей части оказывали влияние краткосрочные решения участников. Также каждое сообщение о новом дефолте на рынке (или информация о проблемах у определенного эмитента) вызывает резкие кратковременные колебания. Это и отражается в большем влиянии на общую структуру процентных ставок краткосрочных компонент. Наличие отрицательного знака перед с1 является странным результатом с теоретической точки зрения. Возможно, это подтверждает отсутствие определенной тенденции и свидетельствует о наличии колебаний.
Интересен также факт, что, в отличие от остальных групп, на изменения кривой ОФЗ первым по значимости фактором являлась краткосрочная составляющая, которая имела небольшой отрицательный тренд (т. е. снижение краткосрочной составляющей кривой процентных ставок) на фоне общего роста. Видимо, это можно объяснить тем, что ОФЗ входят в ломбардный список ЦБ РФ, что позволяет банкам привлекать под их обеспечение кредиты у Центробанка. На фоне малой ликвидности банковской системы в тот момент времени это была одна из альтернатив получить наличные денежные средства, что и создавало спрос на ОФЗ, вызывая снижение краткосрочных ставок. Однако влияние было ниже общих тенденций роста ставок, поэтому совокупное влияние всех компонент также показывало рост.
Для группы БББ дисперсии краткосрочной и среднесрочной компонент крайне малы, поэтому можно сделать вывод, что участники просто перешли к стратегии держать до погашения (чтобы не фиксировать убытки).
Группа ББ занимает промежуточное место по риску. Поэтому в ее динамике наблюдается как влияние долгосрочной, так и краткосрочной компоненты. При этом краткосрочная компонента по расчетам не имеет определенной тенденции, более того, ее процесс близок к особому типу нестационарности, возникающем при коэффициенте равном -1. Такое значение является странным результатом и, возможно, является следствием недостатков оценок, получаемых на основе расширенного фильтра в нелинейных моделях. С другой стороны, поскольку для моделирования был выбран кризисный период, вероятно, именно это является
причиной такого неоднозначного результата. В целом на динамику кривых группы BB в большей части оказывают влияния долгосрочные тенденции, однако присутствует определенная меняющаяся реакция на краткосрочную информацию.
Для того чтобы графически проиллюстрировать динамику отдельных компонент кривых, в отличие от фильтров, обратимся к сглаживающим схемам. Фильтр Калмана позволяет определить модельные значения ненаблюдаемых факторов. Рассчитываемые значения являются условными по предыстории до момента, в который происходит их оценка [1, ..., t - 1]. Такие оценки более удобны для осуществления прогнозирования. В нашей задаче более интересна историческая динамика ненаблюдаемого процесса, которую можно проиллюстрировать более точно, если использовать всю имеющуюся историю наблюдений (т. е. не только до момента t - 1).
Воспользуемся сглаживающей Калмановской схемой, основанной на алгоритме Рауча -Тунга - Стрибеля (Rauch - Tung - Striebel Algorithm) [11], позволяющей отразить изменения компонент с учетом всех данных. Ненаблюдаемые параметры с учетом всей истории наблюдений вычисляются из уравнения
bt|T _
C •(bi+1|T - f) + Kt -(bt+1]t - f):
где С; и К{ вычисляются по следующим формулам:
С=с- ( е - ),
К=сащ^.
На основе описанного преобразования приведем две графические иллюстрации наиболее интересных динамик ненаблюдаемых компонент (которые указывались выше).
13
19
День
Рис. 3. Динамика долгосрочной компоненты кривой ОФЗ
25,00
20,00
а)
и
К О га -о
? Ч
а.
15,00
10,00
5,00
0,00
13
19
День
Рис. 4. Динамика краткосрочной компоненты кривой ОФЗ
7
Совокупное влияние компонент на изменение кривой ОФЗ на начало и конец месяца приведено на рис. 5.
12,00
10,00
8,00
6,00
4,00
2,00
0,00
/
[ месяца — — КБД на конец месяца
1 1
1 1..........
20 220 420 620 820 1020 1220 1420 1620 1820 2020 Срок до погашения
Рис. 5. Изменение кривой процентных ставок ОФЗ
Видно, что в целом процентные ставки возросли. Однако также видна описанная выше динамика - снижение краткосрочных процентных ставок (начальный участок кривой на конец месяца лежит ниже начального участка кривой на конец месяца), что удается выявить только с использованием моделирования всех компонент.
Рассмотрим результаты моделирования волатильности котировок. В табл. 4 приведены параметры процессов ОЛЯСИ и безусловные дисперсии (с2), рассчитанные по формуле (6).
Таблица 4
Параметры оценки процесса GARCH
Группа а 8 Y 2 СТ
ОФЗ 0,11 0,81 0,16 4,22
BBB 0,65 0,71 0,17 5,11
BB 8,43 0,55 0,03 19,23
B 3,27 0,89 0,01 36,02
ССС 34,11 0,28 0,08 53,61
Видно, что безусловные дисперсии возрастают при переходе к более рискованным группам облигаций. Это является ожидаемым результатом. В случае дефолта эмитента котировки падают очень существенно. Если дефолт не объявлен, держатель получает платежи по облигациям в полном объеме. Если эмитент допускает дефолт, сумма выплат (как доля от величины задолженности) составит (1 - LGD), где LGD (Loss Given Default) - экономические потери в случае дефолта. Облигационные займы, по сути, представляют собой беззалоговое кредитование. Если обратиться к международной практике, то банковское соглашение Базель 2 (в стандартизованном подходе) устанавливает уровень потерь в размере 45 % по обычной задолженности (и 75 % по субординированной) [12. П. 287, 288]. Таким образом, дефолт в среднем приводит к существенным потерям. Поэтому любое сообщение о его возможности вызывает значительное падение котировок, следствием которого является повышение вола-тильности. В более рискованных группах вероятность таких событий возрастает, и поэтому в них следует ожидать большей волатильности в среднем по группе.
В целом все процессы являются стационарными. Однако для ОФЗ он близок к нестационарному. Также можно наблюдать, что влияние лаговых переменных на модель дисперсии группы CCC ниже, чем в остальных группах. При этом большое влияние принадлежит константе. Это свидетельствует о меньшем уровне кластеризации волатильности, т. е. индивидуальные проблемы конкретных высокорисковых компаний в этот период выходят на первый уровень, в отличие от общерыночных тенденций. Поэтому отдельные факты не ведут к колебаниям рынка в целом.
В группе бумаг ССС ожидаемо прослеживается наибольшая волатильность. Однако модель достаточно хорошо описывает среднюю структуру рынка. Кривые являются относительно устойчивыми и резко не реагируют на отдельные выбросы.
70,00 -
^ 60,00 --/ -
1 50,00 --/- -
о 40,00 ---
х 30,00 4----
| 20,00 4-
с: 10,00 [-
0,00 J-,-,-,-,-,-,-,-,-,-г-
10 210 410 610 810 1010 1210 1410 1610 1810 2010 Срок до погашения
Рис. 6. Форма кривой процентных ставок ССС
В данной группе риска процентные ставки (по сравнению с докризисными периодами) возросли очень сильно (кривая показывает на малых сроках ставки до 70 %). Это логичная ситуация при большом числе дефолтов. Отметим, что бумаги некоторых эмитентов (по одному из выпусков которых был допущен дефолт) иногда показывали доходность до 2,5 тыс. %.
Форма кривой этой группы нехарактерна для государственных облигаций: кривая имеет отрицательный наклон. Это связано со спекулятивными характеристиками данных бумаг. Эмитенты обычно хорошо обслуживают долг (платят купонные платежи) и имеют основные проблемы только в период погашения займа. Поскольку в данной группе компании обычно имеют в обращении малое число выпусков (чаще всего 1), кредитный риск по ним возникает ближе к моменту погашения этого займа. Следовательно, участники могут свободно вкладывать средства в бумаги на больших сроках до погашения с целью получать купонный доход, но при приближении срока погашения пытаются продать их, чтобы не нести кредитного риска при погашении.
Таким образом, мы проиллюстрировали на реальных данных пример работы модели. Модель демонстрирует достаточный уровень устойчивости, в частности для описания кризисных явлений (отсутствуют резкие изменения структуры при переходе между днями, что было свойственно классической модели). Полученные результаты хорошо согласуются с экономическим смыслом и позволяют более глубоко выделять и описывать различные тенденции.
Заключение
В работе была рассмотрена проблема моделирования кривых временной структуры процентных ставок для облигаций различных групп риска. Для корпоративных облигаций был выявлен ряд ограничений (малая ликвидность, неоднородность по риску, кластеризация во-латильности), не позволяющих использовать классические модели. Основной причиной является неустойчивость получаемых оценок.
Для решения выявленных проблем была предложена модель, способная учесть наиболее значимые ограничения и подход к ее оцениванию. Проверка модели производилась на примере российского рынка корпоративных облигаций различных групп риска на данных кризисного периода (конец 2008 г.). Полученные результаты демонстрируют устойчивость оценок к выбросам и в большинстве случаев хорошую согласованность с экономическим смыслом. Рассмотренный подход позволяет хорошо описать среднерыночную ситуацию, более глубоко понять структуру происходящих на рынке изменений и проанализировать поведение участников. В частности, проведенные расчеты позволили выявить, что на структуру процентных ставок в период кризиса влияние долгосрочных тенденций снижается при переходе к более рискованным группам облигаций и увеличивается влияние краткосрочных компонент.
Однако также было получено несколько неоднозначных результатов (отрицательные значения отдельных ненаблюдаемых факторов), которые могут быть как следствием влияния экономического кризиса, так и неоптимальности оценок, получаемых с применением расширенного фильтра Калмана в нелинейных моделях. Расширенный фильтр Калмана использует линеаризацию функций, что при значительной нелинейности исходной модели может приводить к большим искажениям в оценках. Поэтому развитием предложенного подхода может являться применение математических методов при поиске параметров, дающих более эффективные оценки в нелинейных моделях. Например, алгоритмам, использующим метод Монте-Карло для интегрирования многомерной плотности [13].
Список литературы
1. Корнев К. В. Оценка кривых временной структуры процентных ставок российского рынка облигаций различных групп кредитного риска // Вестн. Новосиб. гос. ун-та. Серия: Социально-экономические науки. 2010. Т. 10, вып. 1. С. 119-132.
2. Vasicek O. An Equilibrium Characterisation of the Term Structure // Journal of Financial Economics. 1977. № 5. P. 177-188.
3. Bjork T., Christensen B. Interest Rate Dynamics and Consistent Forward Rate Curves // Mathematical Finance. 1999. Vol. 9, № 4. P. 323-348.
4. Stanton R. A. Nonparametric Model of Term Structure Dynamics and the Market Price of Interest Rate Risk // Journal of Finance. 1997. Vol. 52, № 5. P. 1973-2002.
5. Nelson C. R., Siegel A. F. Parsimonious Modeling of Yield Curve // Journal of Business. 1987. Vol. 60. P. 473-489.
6. Svensson L. E. Estimating and Interpreting Forward Interest Rates: Sweden 1992-1994. NBER Working Paper № 4871. Cambridge, Mass., 1994.
7. Tanizaki H. State-Space Model in Linear Case: A Survey // Kobe-Gakuin University. 1992. Vol. 24, № 1. P. 121-141.
8. Ribeiro M. Kalman and Extended Kalman Filters: Concept, Derivation and Properties / Institute for Systems and Robotics. IST, 2004.
9. Grizzle W., Song Y. The Extended Kalman Filter as a Local Asymptotic Observer for Nonlinear Discrete-Time Systems // Journal of Mathematical Systems, Estimation and Control. 1995. Vol. 5, № 1. P. 59-78.
10. Гамбаров Г., Шевчук И., Балабушкин А. Оценка срочной структуры процентных ставок // Рынок ценных бумаг. 2004. № 13. С. 44-52.
11. Rauch H. E., Tung F., Striebel C. T. Maximum Likelihood Estimates of Linear Dynamic Systems // AIAA Journal. 1965. Vol. 3, № 8. P. 1445-1450.
12. Basel Committee on Banking Supervision. International Convergence of Capital Measurement and Capital Standards. A revised Framework - Comprehensive Version. Bank for International Settlements, 2006.
13. Цыплаков А. Сделать тайное явным: искусство моделирования с помощью стохастической волатильности // Квантиль. 2010. № 8. С. 69-122.
Материал поступил в редколлегию 08.10.2010
K. V. Kornev
MODELING THE DYNAMICS OF UNOBSERVABLE VARIABLES TERM STRUCTURE OF INTEREST RATES
The article introduces author's approach to modeling term structure of interest rates for bonds of the corporate sector. The article gives an approach to modeling unobserved components of the yield curve through the time and accounting impact volatility of securities on curve. The article discusses it application on the Russian market of government and corporate bonds.
Keywords: yield curves, bonds, Kalman filter, Nelson - Siegel model, maximum likelihood estimation.
