CC BY
573
УДК 539.422.5
А. Е.Буров
МОДЕЛИ РАЗРУШЕНИЯ ВОЛОКНИСТЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ1
Проведен обзор существующих моделей разрушения волокнистых композиционных материалов. Рассмотрены преимущества и недостатки аналитических и численных подходов.
Волокнистые композиционные материалы (ВКМ), обладающие высокими характеристиками механических и прочностных свойств, представляют собой привлекательную альтернативу монолитным материалам для многих инженерных приложений [1]. Несмотря на то, что этот класс композитов получил широкое распространение при создании конструкций различного назначения, решение проблемы адекватного моделирования процессов деформирования и разрушения ВКМ по-прежнему остается актуальной задачей механики деформированного твердого тела. Эта задача осложняется тем, что разрушение композитов является многостадийным, многофакторным процессом, охватывающим различные масштабные и структурные уровни материала. Поэтому описать все стадии процесса в рамках одной модели не представляется возможным [2].
Проблема надежности изделий из волокнистых композитов дала толчок к разработке множества моделей разрушения. Главной задачей была и остается необходимость создания математического аппарата, позволяющего прогнозировать основные механизмы разрушения и прочность композитов по статистическим характеристикам свойств волокон, матрицы, межфазовой границы и размерам образца. Существующие подходы моделирования разрушения ВКМ можно условно (так как зачастую используется смешанная постановка) разделить на четыре класса.
Модели механики разрушения. Особенности разрушения ВКМ, обусловленные их ярко выраженной неоднородностью и нелинейными эффектами деформирования, накладывают ограничения на применение критериальных соотношений линейной механики разрушения, разработанные для монолитных материалов. Тем не менее, результаты многочисленных исследований указывают на возможность использования данных подходов для анализа трещиностойкости композитов и получения зависимостей между предельными параметрами внешних воздействий и размерами дефектов.
Одна из первых моделей разрушения ВКМ с хрупкими волокнами, основанная на подходах механики разрушения, была разработана С. Т. Милейко, Н. М. Сорокиным и А. М. Цирлином [3]. Модель позволяет объяснить наличие немонотонной зависимости прочности композита от объемного содержания армирующих волокон за счет образования микротрещины - согласованного разрушения соприкасающихся волокон. В дальнейшем теория была развита с учетом технологических факторов, влияющих на образование хрупких зон взаимодействия компонентов, перекрытие которых обеспечивает распространение трещины, зародившейся в одном волокне, на соседние волокна [4].
При постепенном увеличении внешней нагрузки в локальной области возле кончика надреза в ВКМ развивается зона повреждений в виде разрывов волокон, пластического деформирования и разрушения материала матрицы, отслоений волокон от матрицы и т. д. Зачастую характер разрушения композитов с хрупкими волокнами позволяет экспериментально оценить размеры такой зоны [5]. Если в случае однородных материалов говорят о пластической области в кончике трещины, то применительно к ВКМ следует рассматривать зону растрескивания [4].
Наличие в ВКМ развитой зоны диссипации энергии в вершине дефекта обусловливает модели разрушения, которые учитывают перераспределение напряжений, снижение их концентрации, характерной для однородных материалов. В отличие от традиционных методов расчета на прочность, такие подходы, часто называемые нелокальными [6; 7], учитывают напряженно-деформированное состояние (НДС) не только в вершине концентратора, но и в примыкающей к ней области. Особенностью нелокальных критериев является введение в критерий прочности структурного параметра, который является константой материала для конкретного механизма разрушения и определяется экспериментально. Отношение размера этого параметра к размеру элементарной ячейки материала определяет границы применимости механики разрушения для описания разрушения ВКМ.
Согласно модели фиктивной трещины [6; 8], в вершине концентратора формируется зона высвобождения энергии, подобная трещине. Включая зону предразру-шения а , реальную трещину длиной 2а заменяют эффективной, длиной 2(а + ас), а критический коэффициент интенсивности напряжений Кс определяется по формуле
Кс = <зс^п(а + ас). (1)
Если длина основной трещины стремится к нулю, разрушающие напряжения для тела с трещиной о. достигают уровня прочности материала Ов. Отсюда:
о„ =. (2)
^с ]пас
Значение ас можно определить, сравнивая значения разрушающих напряжений для гладких и надрезанных образцов:
к
\2
(3)
Критерий фиктивной трещины рассматривался для различных композиционных материалов [6-9]. Хорошее соответствие расчетов по данной модели с экспериментальными результатами, полученными на образцах с от-
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 06-08-00477).
верстиями различной конфигурации и сквозными трещинами, демонстрируется в работе [9]. Протяженность зоны предразрушения, которая рассматривалась как не зависящая от формы и размеров концентратора, определялась путем подбора значения, при котором аппроксимация экспериментальных данных была наилучшей.
Согласно модели, известной как подход Нейбера-Но-вожилова [10; 11], разрушение материала определяется напряжением о , осредненным вдоль отрезка г от вершины трещины. Условие прочности имеет вид Гс
О = — j О у dr < ОВ rc О
О = — j
Kc
= О
Отсюда характерный размер rс:
2
Kc
Коэффициент интенсивности напряжений, используемый при определении значения осредненных напряжений в (5), характеризует поле напряжений только для малой (сингулярной) области в вершине трещины. Поэтому соответствие между значениями предельного коэффициента интенсивности напряжений, определенными на образцах различного типа, можно получить, только если процесс разрушения локализован непосредственно в вершине трещины.
Для оценки прочности композиционного материала с трещиноподобным концентратором напряжений также используют подход, известный в литературе как модель Панасюка-Леонова-Дагдейла [12]. Суть модели заключается в том, что зона впереди кончика трещины заменяется дополнительным разрезом длиной b, находящимся под действием напряжений, равных пределу прочности (или текучести) материала. В отличие от других подходов, с увеличением размера трещины протяженность зоны возрастает и определяется выражением
V1
, по
b = a cos----- -1
2о„
Предельную величину Ьс можно определить, учитывая, что для больших трещин размер зоны действия сил сцепления мал по сравнению с длиной трещины а, и величина номинальных разрушающих напряжений значительно меньше значения прочности материала, тогда:
b=
8
Kc
2
(9)
Тогда разрушающие напряжения для образцов с трещиной:
(4)
2о„
п
arccos
где 8^ - нормальное растягивающее напряжение вдоль отрезка интегрирования.
Вновь предполагается, что г - константа материала, и ее физический смысл заключается в предположении, что в зоне вблизи вершины трещины происходит перераспределение напряжений и, таким образом, снижается их локальная концентрация. Величину г можно оценить, используя результаты испытаний образцов с относительно длинными трещинами. В этом случае размер гс ничтожно мал по сравнению с длиной трещины. Учитывая, что в вершине трещины справедливо асимптотическое распределение напряжений, напряжения о можно выразить через коэффициент интенсивности напряжений: гс
-bc
(I0)
(5)
В предельном случае К1 = Кс и, используя знак равенства в правой части, получим:
Более сложные модели, также основанные на существовании поля когезионных сил в вершине концентратора, учитывают кинетику развития повреждений и деградацию свойств материала в зоне предразрушения [13-15]. Расчеты по этим моделям требуют значительных вычислительных затрат и знания определяющих соотношений для рассматриваемых физических характеристик материала в зоне действия сил сцепления.
Другой подход, также учитывающий существование характерного размера структуры материала основан на предположении, что разрушение наступает, когда на расстоянии йс от вершины концентратора нормальные напряжения достигают прочности материала без дефекта
о [6; 7; 16]. В терминах механики разрушения критериальное соотношение можно записать как
oc =
Kc ^2ndc
<ОП
(II)
(6)
(7)
и, соответственно, найти значение характеристического параметра d:
2
(I2)
dc =
і
2п
Kc
О„
(8)
Различные модификации данного критерия, известного в литературе как критерий прочности по напряжениям в точке, получили широкое распространение при оценке предельного состояния пластин из волокнистых композитов с концентраторами различного типа [6; 7; 16; 17].
Значительные расхождения в расчетных значениях напряжений по указанным моделям наблюдаются лишь в области трещин малой длины (рис. 1) [2]. Для расчета использовалось соотношение К /о = 0,085 м1/2.
с в 7
Одним из основных недостатков моделей механики разрушения является сложность введения в расчетные зависимости параметров, характеризующих стохастическую природу механических и прочностных свойств компонентов композита. Другое ограничение связано с невозможностью определения предельных напряжений для композитов с дефектами, длины которых меньше размеров структурной ячейки материала.
Модели сдвигового анализа. Сдвиговой анализ - это подход, согласно которому структурные составляющие композита (например, волокно) представляются стержневыми, имеющими одну степень свободы, элементами. В качестве других допущений, как правило, предполагается, что матрица не воспринимает осевую нагрузку, волокна идеально связаны с матрицей, расположены рав-
r = —
c
I34
номерно и обладают несущей способностью только в осевом направлении. Данные упрощения позволяют построить эффективные алгоритмы решения, резко снижая размерность задачи, но при этом учитывая основные особенности деформирования и взаимодействия структурных элементов ВКМ. Кроме того, модели сдвигового анализа позволяют рассматривать большие объемы материала, что является необходимым условием, принимая во внимание вероятностную природу прочности композитов. Благодаря своей простоте и эффективности, модели сдвигового анализа получили наиболее широкое применение при анализе процессов разрушения ВКМ [ 18-20].
Концепция сдвигового анализа была впервые предложена в работе [23], при определении распределения усилий в разрушенном единичном волокне, погруженном в континуум упругой матрицы. Предполагалось, что растягивающие напряжения равномерно распределены по сечению волокна, а сдвиговые деформации сосредоточены в матрице и логарифмически затухают по мере удаления от волокна. При этом не учитывалось влияние других волокон на напряженное состояние. Эта задача (разрыв волокна в бесконечном массиве волокон) была впоследствии решена авторами работы [22], которых западные исследователи считают родоначальниками сдвигового анализа. Отметим, что подобные модели, описание которых можно найти в работе [23] были предложены и российскими учеными.
Многочисленные модели сдвигового анализа были разработаны при исследовании различных аспектов разрушения ВКМ, включая моделирование отслоения волокон от матрицы, анализ напряженно-деформированного состояния композита с трещиной, учет несущей способности и нелинейных эффектов деформирования матрицы (пластичность, вязкоупругость, ползучесть), неравномерности укладки волокон. Относительная простота разрешающих уравнений сдвигового анализа позволяет комбинировать данный подход с методами статистического анализа, предоставляя возможность моделирования значительного объема материала.
Конечно-элементные модели механики сплошной среды. Даже простейшие одиночные микроповреждения структуры ВКМ (разрыв волокна, разрушение матрицы или межфазовой границы) вызывают возникновение сложного НДС. Это определяет необходимость разработки уточненных моделей, не использующих априори законов перераспределения нагрузки на неповрежденные участки композита. Модели механики сплошной среды на базе метода конечных элементов представляют собой один из наиболее точных подходов описания НДС в волокнах и матрице при наличии микроразрушений. Кроме того, МКЭ позволяет проводить анализ НДС и взаимодействия структурных элементов композита при наличии начальной или накопленной дефектности (трещины, отверстия и т. д.) [2]. Метод конечных элементов использовался рядом авторов при плоском и объемном анализе распределения напряжений в случае одиночного разрыва волокна, что необходимо для проверки обоснованности приближенных моделей разрушения ВКМ [20; 24]. Основной задачей исследований являлось определение зависимости концентрации напряжений от объемного
содержания волокон, укладки волокон, механических свойств компонентов и уровня остаточных напряжений, а также степени взаимодействия волокна и матрицы. Для этого решалась контактная задача волокно-матрица с различными коэффициентами трения скольжения в упругой и упруго-пластической постановке.
Несмотря на развитие вычислительной техники, анализ процессов разрушения с помощью моделей МКЭ возможен только для весьма ограниченного объема материала. Как правило, анализ ограничивается рассмотрением НДС разрушенного волокна и 2-3 ближайших соседей. Использование конечно-элементных моделей для случаев произвольного расположения дефектов, кинетики их накопления с учетом статистического характера механических свойств в настоящее время не представляется возможным.
Вероятностные модели. Если функция распределения прочности волокон имеет отличный от нуля коэффициент вариации, первые разрывы волокон будут возникать уже при сравнительно низком уровне напряжений. Однако за счет наличия возле обрывов более прочных волокон возможен дальнейший рост приложенной нагрузки и возникновение разрушений в других слабых точках волокон. Такой механизм был впервые изучен в работе Розена [25], которая основывается на предположении, что прочность ВКМ определяется статистическим накоплением разрывов волокон. Обрыв не выводит из строя волокно полностью по всей длине, а лишь снижает его несущую способность в области, примыкающей к обрыву. Разрушение композита возникает, когда накопление разрывов волокон уменьшает их длину. В модели Розена основное влияние на разрушение композита имеет локальное изменение поля напряжений вблизи обрывов волокон. В месте обрыва напряжение, действующее вдоль оси волокон, равно нулю и постепенно возрастает до своего номинального значения под действием возникающих на границе раздела касательных напряжений. Протяженность зоны неравномерного поля напряжений вдоль волокон используется для определения характерного размера структуры композита. Композит представляется набором пучков таких элементов. Обрыв волокна исключает элемент от его дальнейшего участия в восприятии нагрузки и приводит к однородной догрузке оставшихся. Для получения значений разрушающих напряжений композита Розен применил аналитический подход, использующий статистику цепей, состоящих из пучков. Для этого необходимо определить неэффективную длину элемента волокна и функцию распределения прочности звеньев.
Модель разрушения по механизму накопления повреждений Розена дает верхнюю оценку прочности ВКМ, которая зачастую не достигается из-за реализации других механизмов разрушения. Расчеты по этой модели показывают, что средняя прочность композита может оказаться выше, чем среднее экспериментальное значение прочности входящих в него волокон.
Большинство вероятностных моделей разрушения ВКМ, разработанных в развитие подходов Розена, основано на использовании сдвигового анализа, описанного выше, с рядом дополнительных допущений. Как правило, композиционный материал рассматривается как на-
бор (пучок) однонаправленных волокон круглого сечения радиуса г, имеющих одинаковый модуль упругости Е [26]. Предполагается равномерная тетрагональная или гексагональная упаковка волокон. После разрыва волокна на его боковой поверхности действуют касательные напряжения t, которые считаются постоянными. Нормальные напряжения, действующие в волокне, изменяются линейно на неэффективной длине I от нуля (места обрыва) до номинального значения.
Статистическое распределение предела прочности волокон принимается, как правило, в виде двухпараметрического распределения Вейбулла с функцией распределения:
сматривается материал, состоящий из пучков волокон длины 5г = 0,48, по п1 волокон в поперечном сечении. Разрушение такого пучка происходит по модели ГРН.
В
Pf (о,L)- 1 -е~0'С0 ) , (13)
где L - длина волокна; о - действующие напряжения; о0 и в - параметры распределения: о0 - параметр масштаба; или характеристическая (вероятность р = 1 - е-1 • 0,632) прочность волокна на длине L0, в - параметр формы, показывающий вариацию значений прочности.
Главное отличие вероятностных моделей заключается в задании закона перераспределения нагрузки в случае разрушения волокна. Следует выделить несколько основных методов.
Модель глобального распределения нагрузки (ГРН) предложена Ibnabdeljalil и W. A. Curtin [26]. В основе модели лежит предположение, что после разрушения одного из волокон нагрузка равномерно перераспределяется между всеми оставшимися волокнами без учета концентрации напряжений.
Для оценки прочности композита необходимо определить характеристическую длину волокна dc (т. е. длину элемента волокна) и соответствующее ей значение прочности о :
c
1 1 "13+1
(14)
( 3 г " о0 tL0 в+1 8 - са V 0 о
r Т
' ) ' )
Параметр о, представляет собой характеристическую (параметр распределения Вейбулла) прочность на длине 8,, тогда как 8, - длина участка релаксации (изменение напряжений от номинального значения до нуля) при напряжении о . Значение предельных напряжений для композита прямо пропорционально о,, а распределение длин участков волокон, «вытаскиваемых» через плоскость разрушения прямо пропорционально 8,.
Модель локального распределения нагрузки (ЛРН), полученная из детального анализа расчетов по численной модели, представлена в работе [27]. Отметим, что модель называется авторами аналитической, хотя основные соотношения получены на основе аппроксимации результатов численного моделирования с использованием метода Монте-Карло. Модель ЛРН в своей основе содержит предположение, что после разрыва волокна нагрузка равномерно перераспределяется только на соседние волокна (8 волокон для тетрагональной укладки). Коэффициенты концентрации, полученные на основе сдвигового анализа, составляют: 1, 15 для четырех близлежащих волокон и 1,06 - для волокон в углах упаковки. Рас-
Рис. 1. Зависимость разрушающих напряжений от длины трещины для бороалюминия: 1 - по уравнению (10);
2 - (11); 3 - (1); о - экспериментальные данные
В работе [28] была предложена численная модель накопления локальных повреждений (НЛП) для предсказания разрушения однонаправленных ВКМ. Модель рассматривает повреждения как плоские изолированные кластеры разрушенных в одной плоскости волокон, которые растут при увеличении нагрузки за счет концентрации напряжений на краях кластеров. Основные этапы решения включают: 1) расчет ожидаемого числа обрывов волокон, <2г в объеме материала Vпри напряжении о; 2) расчет числа тех обрывов, которые за счет концентрации ведут к образованию кластера из двух обрывов при напряжении о; 3) расчет числа кластеров, состоящих из двух обрывов, приводящих к образованию кластеров из трех обрывов и т. д. Для каждого значения напряжений определяется число кластеров размера г. Для любого уровня нагрузки размер наибольшего кластера определяется условием ~ 1, т. е. во всем объеме присутствует примерно один кластер такого размера. Разрушение композита определяется таким уровнем напряжений, при котором наибольший кластер (некоторого размера г*) будет расти до размера г* + 1, затем до г* + 2 и т. д., пока не увеличится до размера всего сечения «образца». Таким образом, значение разрушающих напряжений по модели НЛП определяют нестабильный рост наибольшего кластера.
Рассмотренные модели дают различные значения прочности волокнистого композита (рис. 2) [29].
Итак, несмотря на многообразие существующих моделей и достаточно хорошее соответствие результатов численных расчетов экспериментальным данным, многие вопросы, касающиеся моделирования разрушения ВКМ, остаются открытыми. Одним из них является невозможность одновременного моделирования нескольких, зачастую взаимосвязанных, элементарных механизмов разрушения (например, отслоения, обрыва волокна и разрыва матрицы).
Неоднородность структуры и сложное НДС волокнистых композитов определяет необходимость создания
дискретных моделей деформирования и разрушения, уменьшающих размерность задачи, но отражающих при этом основные микромеханизмы разрушения.
Независимо от используемого подхода в моделировании структуры ВКМ, в расчетах необходимо учитывать статистическую природу механических свойств компонентов. Важным аспектом является возможность расчета «образцов» реальных или близких к ним размеров.
Очевидно, что наиболее перспективными являются модели, объединяющие несколько рассмотренных выше подходов. Объединение теории сдвигового анализа (или более сложного анализа НДС микроразрушений) с методологией вычислительного эксперимента на базе метода конечных элементов представляет наилучшее сочетание для разработки новых моделей деформирования и разрушения ВКМ.
о*
МПа
50 |____I_________I_______I_I_________I____I_____I____
0 4 8 12 16 т, МПа
Рис. 2. Зависимость предела прочности волокнистого композита от прочности границы раздела: 1 - по модели ГРН; 2 - по модели ЛРН; 3 - по модели НЛП
Библиографический список
1. Батаев, А. А. Композиционные материалы: строение, получение, применение / А. А. Батаев, В. А Батаев. Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2002.
2. Буров, А. Е. Моделирование разрушения и трещи-ностойкость волокнистых металлокомпозитов / А. Е. Буров, И. И. Кокшаров, В. В. Москвичев. Новосибирск : Наука, 2003.
3. Милейко, С. Т. Прочность бороалюминия - композита с хрупкими волокнами / С. Т. Милейко, Н. М. Сорокин, А. М. Цирлин // Механика полимеров. 1973. № 5. С. 840-846.
4. Милейко, С. Т. Распространение трещины в бороалюминиевом композите / С. Т. Милейко, Ф. X. Сулейманов, Н. С. Саркисян // Механика полимеров. 1976. № 5. С. 1010-1017.
5. Серенсен, С. В. Несущая способность тонкостенных конструкций из армированных пластиков с дефектами / С. В. Серенсен, Г. П. Зайцев. Киев : Наук. думка, 1982.
6. Исупов, Л. П. Нелокальные критерии разрушения: сравнительный анализ и применение для слоистых композитов / Л. П. Исупов // Механика композитных материалов. 1998. № 2. С. 198-200.
7. Bavaglia, S. Application of a non-local failure criterion to a crack in heterogeneous media / S. Bavaglia, S. E. Mikhailov // Damage and Fracture Mechanics : Computer aided assessment and control. Computational Mechanics Publ., 1998. P. 155-164.
8. Waddoups, M. Macroscopic Fracture Mechanics of Advanced Composite Materials / M. Waddoups, J. R. Eisenmann, B. E. Kaminski // J. of Composite Materials. 1971. Vol. 5. P. 446-454.
9. Аннин, Б. Д. Оценка прочности композитных пластин с концентраторами напряжений методами линейной механики разрушения / Б. Д. Аннин, В. Н. Максименко // Механика композитных материалов. 1994. № 3. С. 343-351.
10. Нейбер, Г. Концентрация напряжений / Г. Нейбер. М . : Л. : Гостехиздат, 1947.
11. Новожилов, В. В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности / В. В. Новожилов // Прикл. математика и механика. 1969. Т. 33. Вып. 2. С. 212-222.
12. Партон, В. 3. Механика упругопластического разрушения / В. 3. Партон, Е. М. Морозов. М. : Наука, 1985.
13. Gonzalez, C. Toughness of fiber-reinforced titanium as a function of temperature: experimental results and micromechanical modeling / C. Gonzalez, J. Llorca, A. Weck // Acta Mater. 2004. № 52. P. 3929-3939.
14. Chen, J. Application of decohesive model with mixed damage scale in fracture analysis of composite materials / J. Chen, A. New // Fatigue Fract. Engng. Mater. Struct. 2001. № 24. P. 761-769.
15. Li, S. Use of a cohesive-zone model to analyze the fracture of a fiber-reinforced polymer-matrix composite /
S. Li, M. D. Thouless, A. M. Waas et al // Composites Science and Technology. 2005. № 65. P. 537-549.
16. Whitney, J. M. Stress fracture criteria for Laminated composites containing stress concentrations/ J. M. Whitney, R. J. Nuismer // J. of Composite Materials. 1974. Vol. 8. P. 253-265.
17. Govindan, P. P. Tensile fracture behaviour of notched boron-aluminum composite laminates / P. P. Govindan,
B. R. Nageswara, V. K Strivastova // Forshung im Ingen-ieurwesen. 2000. Vol. 66. P. 24-30.
18. Landis, C. M. Micromechanical simulation of the failure of fiber reinforced composites / C. M. Landis, I. J. Beyerlein, R. M. McMeeking // J. Mech. Phys. Solids. 2000. № 48. P. 621-648.
19. Numerical method for failure simulation of unidirectional fiber-reinforced composites with spring element model / T. Okabe, H. Sekine, K. Ishii et al // Comp. Sci. Tech. 2005. № 65. P. 931-933.
20. Xia, Z. Multiscale modeling of failure in metal matrix composites / Z. Xia, W. A. Curtin, P. W. M. Peters // Acta Mater. 2001. № 49. P. 273-289.
21. Cox, H. L. The elasticity and strength of paper and other fibrous materials / H. L. Cox // Br. J. Appl. Phys. 1952. № 3. P. 72-79.
22. Hedgepeth, J. M. Local stress concentrations in filamentary structures / J. M. Hedgepeth, P. V. Dyke // J. Comp. Mat. 1967. № 1. P. 294-309.
23. Овчинский, А. С. Процессы разрушения композиционных материалов: имитация микро- и макромеханизмов на ЭВМ / А. С. Овчинский. М. : Наука, 1988.
24. Gonzalez, C. Micromechanical modelling of deformation and failure in Ti-6Al-4V/SiC composites /
C. Gonzalez, J. Llorca // Acta Mater. 2001. № 49. P. 3505-3519.
25. Rosen, B. W. Tensile failure of fibrous composites /
B. W. Rosen // AIAA J., 1968. № 2. P. 1985-1994.
26. Ibnabdeljalil, M. Strength and reliability of notched fiber-reinforced composites / M. Ibnabdeljalil, W. A. Curtin // Acta Mater. 1997. № 45. P. 3641-3652.
27. Foster, G. C. Tensile strength of titanium matrix composites: direct numerical simulations and analytic model
/ G. C. Foster, W. A. Curtin // Int. J. Solids Structures. 1998. № 35. P. 2523-2536.
28. Batdorf, S. B. Tensile strength of unidirectional reinforced composites / S. B. Batdorf // Int. J. of Reinforced Plastics and Composites. 1982. № 1. P. 153-164.
29. Буров, А. Е. Получение волокнистого композита с использованием нанопорошков и оценка его прочности / А. Е. Буров, Г. Г. Крушенко, В. В. Москвичев // Тяжелое машиностроение. 2007. № 10. С. 14-16.
A. E. Burov
MODELS OF FAILURE OF FIBROUS COMPOSITES
Review ofmodels forfailure of fiber-reinforced composites is presented. Strengths and weaknesses ofexisting analytical and numerical approaches are considered.
