Модели проективной плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

М.А. Чешкова

УДК 514.75

М. А. Чешкова

Алтайский государственный университет, Барнаул cma@math.asu.ru

Модели проективной плоскости

Если вдоль некоторой замкнутой кривой на поверхности локальная ориентация в касательном пространстве меняет знак, то поверхность называется односторонней. Простейшей односторонней поверхностью является лист Мебиуса. К односторонним поверхностям относится также бутылка Клейна, скрещенный колпак, Римская поверхность, поверхность Боя. Римская поверхность и поверхность Боя являются моделями проективной плоскости. Пусть в евклидовом пространстве

Е" заданы две гладкие вектор-функции: 2 л -периодическая и 2 л -антипериодическая. Используя заданные функции, определяются модели проективной плоскости. С помощью системы компьютерной математики строятся модели проек-

^ 3

тивной плоскости в Е .

Ключевые слова: скрещенный колпак, лист Мебиуса, Римская поверхность, поверхность Боя, проективная плоскость.

Впервые уравнение односторонней поверхности, открытой Мебиусом, было получено Машке [1]. Если гауссова кривизна листа Мебиуса равна нулю, то он называется плоским. Библиография работ на эту тему дана в работе [2]. В [3—6] изучаются односторонние поверхности.

Если на поверхности в Е" существует замкнутая кривая (дезориентирующий контур), обладающая тем свойством, что при ее обходе локальная ориентация в касательном пространстве меняет знак, то поверхность называется односторонней.

© Чешкова М. А., 2016

В евклидовом пространстве E3 рассмотрим гладкую замкнутую неплоскую кривую у без самопересечения, заданную 4ж -периодической вектор-функцией р = р(и), которая не является 2ж -периодической и 2 ж -антипериодической. Так как р(и) = р(и + 4ж), вектор-функция

1

5 (и) = — (р(и) + Pi (и)), где Pi (и) = р(и + 2ж)

есть 2 ж -периодическая не равная нулю, а вектор-функция 1

l(и) = 2(р(и) - р1 (и)) есть 2ж -антипериодическая не равная нулю.

Определим поверхность P уравнением

r (и, v) = (1 + cos(v))s(u) + sin(v)l (и), (1)

и = -ж,.ж; v = -ж, ж .

Теорема. Поверхность P есть модель проективной плоскости.

Доказательство. Рассмотрим проективную плоскость как фактор-пространство [7, с. 75]:

SP = [-ж,ж]X[-ж,ж]/[(-ж,-v) « (ж,v),(-u,-ж) « (и,ж)].

Так как

r (ж, v) = (1 + cos(v))s^) + sin(v)l (ж),

r(-ж,-v) = ((1 + cos(v))^(-ж) + sin(-v)l(-ж),

5(-ж) = 5(ж),l(-ж) = -l(ж) ,

r (-и,-ж) = (1 + cos^))s (-и) + sin(-ж)l (-и) = 0,

r(и, ж) = (1 + cos(^))s(u) + sin^)l(и) = 0 ,

то имеем r(ж,v) = r(-ж,-v),r(и, ж) = ^-и,-ж). Следовательно, поверхность P есть модель проективной плоскости.

М. А. Чешкова

Следствие. Пусть вектор-функция г = г (и, V) определяет модель проективной плоскости, а функция / = /(и,V) удовлетворяет следующим условиям:

1) / = /(и,V) не обращается в нуль на промежутке [-л, л],

2) /(л,V) = /(—л,-V), /(и, л) = /(-и,-л).

*

Тогда вектор-функция г (и, V) = /(и, v)r(u, V) также определяет модель проективной плоскости.

Примеры

Рассмотрим некоторые модели проективной плоскости в

Е3.

1. Скрещенный колпак с крышкой. Положим s(u) = (5^(и)^т(и), 0),

/ (и) = (сс8(и / 2) сс8(и), cсs(u / 2)* 81п(и), 81п(и / 2)), р(и) = s(u) + /(и).

Имеем

Г (и, V) = (1 + cсs(v))(5 СС8(и), 5 8ш(и), 0) + +siп(v )(cсs(u / 2)cсs(u),cсs(u / 2)siп(u),siп(u / 2)).

Если у поверхности (2) срезать крышку, то получим скрещенный колпак [3, а 304]. Используем следствие к теореме. Положим

/ (и, V) = ■ 1

2 + siп(3 / 2и) siп( V) Построим эти поверхности (рис. 1).

Рис. 1. Скрещенный колпак и его деформация

2. Римская поверхность. Рассмотрим случай, когда s(u) = (0,0,1 / 4 вш(ы)), I(и) = 1 / 2^(и / 2),1/ 2 sш(u / 2),0).

Линия s = s(u) у этой поверхности есть отрезок прямой.

В прямоугольных координатах данная поверхность определя-

2 2 2 2 2 2 ется уравнением у I + IX + х у + хуг = 0. Мы получили

Римскую поверхность [3, ^ 305]. Построим ее (рис. 2).

Рис. 2. Римская поверхность

3. Поверхность Боя. Используем следствие к теореме. Положим

/ (и,V)= 1

2 + 8т(3 / 2и) 8т( V)

М.А. Чешкова

Тогда поверхность r(u, v) = - 1

- ((1 + cos( v))(0,0,1/ 4 sin(u)) +

2 + sin(3/2u)sin(v) + sin(v)((1 / 2 cos(u / 2),1/ 2 sin(u / 2), 0))) есть поверхность Боя [3, с. 305]. Если

1

f(u,v)=

2 + sin(5 / 2u ) sin( v )

то односторонняя поверхность имеет 5 «рогов». Построим ее (рис. 3).

Рис. 3. Поверхность Боя

Список литературы

1. Mashke H. Note on the unilateral surface of Moebius // Trans. Amer. Math. 1900. Vol. 1/1.

2. Сабитов И. X. Изометрические погружения и вложения плоского листа Мебиуса в евклидовы пространства // Известия РАН. 2007. Т. 71, № 5. С. 197—224.

3. Кривошапко С. Н., Иванов В.Н., Халаби С.М. Аналитические поверхности. М. 2006.

4. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М., 1981.

5. Чешкова М.А. О бутылке Клейна // Известия Алтайского университета. 2012, № 1/1. С. 130—135.

6. Чешкова М. А. Обмотка тора и лист Мебиуса // Сборник трудов семнадцатой региональной конференции по математике. Барнаул, 2014. С. 37—40.

7. Борисович Ю. Г., Близняков Н.М, Израилевич Я. А., Фоменко А. Т. Введение в топологию. М., 1995.

M. A. Cheshkova The model of projective plane

If along a closed curve on the surface local orientation of the tangent space changes sign, then the surface is called a one-sided surface. The simplest one-sided surface is the Mobius strip. Klein bottle, cross-cap, Roman surface and Boy's surface are also one-sided surfaces. Roman surface, Boy's surface are models of projective plane. We define two vector functions in the Euclidean space En : 2 л -periodic and 2 л -antipe-riodic. Using the obtained functions model for the projective plane are given. We construct in the Euclidean space E3 model for projective plane with a help of mathematical package.

УДК 514.76

Ю. И. Шевченко

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград ESkrydlova@kantiana.ru

Голономность, полуголономность и неголономность однородных и псевдооднородных пространств

Показано, что в общем случае однородное пространство является полуголономным гладким многообразием. Найдено условие голономности однородного пространства. Показано, что проективное пространство обладает голономностью 1-го порядка и тривиальностью 2-го порядка. Доказано, что псевдооднородное пространство, вообще говоря, неголономно.

Ключевые слова: голономность, полуголономность, неголономность, однородное пространство, псевдооднородное пространство.

© Шевченко Ю. И., 2016 168