Модели оптимальных многомерных сигналов в пространственных системах координат Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.396:519.15

Модел! оптимальних багатовизшрних сигнал!в в просторових системах координат

Пзник В. В.

Нацншалышй ушворситот "Лызшська иолггпхшка", м. .ilbBÎB, Украша Е-mai 1 : гш>&pol-ynеI..Iviv.иа

Розглядаються модел! оптшальпих багатовишрпих дискретпнх сигпалш для вдоскопалеппя метод!в опрацюваш1я вектор1шх дапнх. як! визпачаються фупкгцямн двох i бглыне змиших. залежпнх в!д просторових координат. Досл1джепо зв'язок розгляпутпх моделей з класичпими комбшаторпими коп-ф!гурагцями. Teopieio цикл1чпих груп та обертовото симетр!ею. Описаш модел! переважають класичш аналоги за чисельшстю та р1зпомаштшстю toiikoï структури. що дае змогу розшнрнтн сферу ïx практичного застосувашш в багатовим!рпих системах керуваппя. системах зв'язку. векторппх шформацшпих техполопях.

Клюноог слова: векторпий 1КВ-прост1р: обертова симетр!я: базиспий вектор: розгортка поверхш тору: оптималышй векторппй код: векторш даш: розм!ршсть простору: багатовим1рпа система керуваппя: векторш шформагцйш технологи

Вступ

В сучасшй наущ 1 техшщ все ширшого застосувашш набувають багатовтирш дискротш сигнали, що в загальному випадку с багатовтпрними функциями просторових незалежних змшних. Наприклад, в системах автоматичного корування такими функциями можуть бути векторш поля, до взаемодш мЬк ланками систоми здшсшоеться на контактних полях ведповвдно! розм1рность у ф1зищ просто-ровий розподш опери! квантового потоку вздовж напрямку випромпиовання 1 т.п.. до корування в1д-бувасться в просторовШ систем! координат. При цьому шд координатами багатовтирного сигналу розумпоть будь-яш аргумонти, на числових осях яких фжсуеться динахпка його змши, що дае змогу корувати одночасно двома й бшыним числом вза-емопов'язаних параметр1в якогось ф1зичного про-цосу. Спсцифша багатовтпрних систем корування полягае в тому, що поведшка кожнем коровансм ко-ординати визначасться не лише керуючим доянням, а й уешо сукупшстю цих д1янь, яш утворюють вектор корування, та вектором збурювань. Яскра-вими прикладами можуть ф1гурувати система ста-бЫзащ! частотн й напругн геиератор1в в енорго-снстомах, система корування швидшетю обортання й температурою газ1в у турбореактивних двигунах 1 т.п. Стр1мкий розвиток шформащйних тохиоло-пй та глобальна комп'ютеризащя суспшьства вн-магас розроблоиия концептуально нових шдходов до швидшеного опрацювання великих масив1в да-них та надшного 1х пероенлання каналами зв'язку, використовуючи багатовтпрш дискротш сигнали.

Тому синтез та використання оптимальних моделей багатовтпрних сигнатв в просторових системах координат набувае важливого значения.

1 Огляд моделей оптимальних багатовим1рних сигнал1в

Достджоння моделей оптимальних багатовтпр-них сигнатв пов'язаио з використаииям власти-востой математичиих структур, таких як блок-схеми [1], р1зницев1 множини [2], скшченш гоометр11 й проективш геомотр11 Зшг'ора [3], матрищ Ада-мара [4], ортогоналыи латинсьш квадрати [5] та ппш комбшаторш конфшуращ!, яш продставляють собою систоми розподшу олементав серод заданого числа множин за правилами иояви иевних набо-р1в слсмсппв внзначено число раз1в. Не зважаючи на численш форми штериретащй, таш конфшуращ! взаемопов'язаш певними математичними заложно-стями. Ведомо, що поле Галуа СР (р*) [ 1 можиа зобразити як миожииу вйх клаейв лишшв за модулем довольного полшома степени в незведного над СР(р^. Полшом /(х) степеня в > 1 з коеф1щентами 1з поля СР(р) е незведним над СР(р), якщо його не можна запнеатп у вигляд1 $(х) = А(х)В(х), до А(х) \ В(х) - полшоми над СР(р). У СР) вс1 його — 1 ненулыда елементи р1зн1 та утворюють циюпчну групу за операщяо миожеиия [7]. За теоремою 31Шера [ ] гшерплощини геометр!! РС(в, де д — стешнь простого числа р, як1 розглядаються як блоки, 1 точки як олемонти, утворюють симетричну блок-схему з параметрами:

+ 1 - 1 ч- 1 :

я- 1

к = 1

9-1

А =

1

Ч- 1

в шшу внасшдок операцш змщення, доповнення, шворсш, перестановок або упорядкування, не змпио-^ ючи сво1х комбшаторних властивостей. Параметри

В [ ] показано, що РС(в, д) визначають цикль чну р1знпцеву множину з параметрами V, к, А, де РС( в, дв) мае V точок 1 стшьки ж гшерплощпн,

к

площини переакаються по шдпростору розм1рносп ( в — 2), який мае А точок, а точки у будь-якш гшерплощиш визначають (V, к, А) — р1знпцеву множину у виглядо лишыв и слеменпв за модулем V. Там же наводиться перелис деяких амей р1знп-цевих множин з коротким 1х описом. До типу в належать з1Шеров1 р1зницсв1 множини з параметрами ( ), яи е гшерплощинами в РС(я, ц), ц = рг; тип ^ (квадоатпчш лишки в СЕ(ря), рг = 3(шос14) з параметрами V = рг = 4Ь — 1,к = 2Ь — 1, А = Ь — 1; тип Не (р = 4х2 + 27) р- просте число; тип Т (прост! числа-близнюки); тип В — бшвадратпчш лишки простих чисел виду р = 4х2 + 1 де х — непарне число; тип Во — бшвадратпчш лишки \ пуль за модулем простих чисел виду р = 4х2 + 9, де х — непарне число; тип Оо — восьмиричш лишки \ нуль за модулем простих чисел виду р = 8 а2 + 49 = 64Ъ2 +441, де а — непарне, а Ь — парне; тип Ш4 — узагальнення типу Т, р$р\ q такщо (р — 1, е/ — 1) = 4.

В робот [8] запропоновано об'еднати р1зновиди комбшаторних кошргурацш в математичиу конструкцию, у якш ввдображеш сшлыи для великого класу класичних комбшаторних кошргуращй вла-СТИВОСП у ВИГЛЯДО ПОСЛ1ДОВНОСП цших додатних чисел к1, к2,... ,..., кп, де число кп знаходиться к1

му, причому уа 11 числа, включно з утама сумами з двох, трьох 1 т.д. поруч розмщених чисел ви-черпують натуральный ряд ввд 1 до (в — 1) р1впо по Д раз1в, де в — сума уах чисел ще! послщов-ность Така комбшаторна структура дштала назву «идеальна кшьцева в'язанка» (1КВ). Ввдзначено, що цпкл1чнш V, к, А — р1знпцевш множит будь-якого типу взаемно однозначно вщповщае 1КВ з параметрами в = v,n = к, Д = А, а також цпкл1чна блок-схема з такими ж параметрами, де в — сума елеменпв ¡деально! кщьцево! в'язапки, п кшыйсть елеменпв, Д — число кщьцевих сум з одпаковими числовими сумами. Щлм того, 1КВ з параметрами в,п, Д = 1 вщповщае цикл1чпш проективпш площи-ш (п — 1)-го порядку 1 приводить до геперагщ множини (п — 2) попарно ортогональних латинських квадрапв порядку (п — 1). Там же описаш методп та алгоритми побудови повних множин 1КВ, ви-значення умов кшування та обчислення кшькосп 1зоморфних вар1анпв 1КВ з фшеованими параметрами, а також методи побудови дво- та тривтир-них 1КВ. Багатовтпрш 1КВ мають зиачио бшыне 1зоморфних р1знов1ццв пор1вняно з одновтирними 1КВ 1 можуть перетворюватися з одше! конструкнД

п

або

п

* п(п — 1) то,- = -,

■1=1 г Д ■

4 п(п — 1)

Шг = —- + 1;

(2)

и=1 " Д

(Ш1, Ш2, . . . , Ш() = 1.

Комбшагщ утворюються поатдовним додаваи-иям вектор1в з урахуванням вщповщиих моду.шв ш1,ш2, ... ,шь. У статта [ ] розглядаеться метод опттпзащ! багатовнм1рш1х систем за допомогою векторннх 1КВ, якнй г'рунтуеться на використанш взаемозв'язку обертово! симетр1'1 в-го порядку та за-кодоваиою в шй асиметричиими 1КВ- структурами.

система з кшьцовою структурою дае змогу зд1й-спювати керуваппя нею на множит N = п(п — 1) 11

п

„шв. Метод передбачае використання оптималыю1 п

познщям якого присвоеш значения ввдповадних ваг

2 Постановка задач1

Задача полягае в розробленш вдосконалеиих ме-тод1в побудови моделей оптимальных багатовтпр-них дискретиих сигнатв з пехшпшошгаи яыашми показииками за надпппстю, завадост1йшстю, роз-дшыгою здатшетю та захищошетю вщ носанкщо-нованого доступу для систем рад1озв'язку, 1нфор-мащйиих тохнолопй швидшеного опрацюваиия ма-сив1в з великим числом атрибупв набору даних \ надпшого 1х пересилання каналами зв'язку, прое-ктування багатовим1риих систем керуваиия фуикць ями багатьох змшних в просторовШ систем! координат. Пряма задача оптим1защ1 полягае у розширенш д1апазоиу р1зномаштносп днекретних стан1в бага-товнм1рно1 системи керування при використанш фь ксованого числа базисних кодових сигнал1в для керуваиия системою. В обернешй постановщ розглядаеться задача мптпзащ! числа базисних кодових сигна.шв для керування системою у фжсованому д1апазош и дискретних стан1в.

3 Метод вир1шення задач1

Вир1шення задач1 полягае в знаходженш способу

п

точок коордннатно! сики цього простору фжсова-ним числом р1зних способ1в. Для цього необхщно

1

V =

домогтися взаимно однозначного ввдображення множит уах можливих кшьцевнх вектор-сум п - посль довноста та множини координат уах вузлових точок 1-вим1рно1 координатно! йтки. утворонсм п бази-сними векторами 1-вим1рного простору фжсованим числом сиособ1в.

Метод базусться на використанш тоор1°1 комбша-торних конфшурашй [1] та тоор1°1 ¡дсалышх шльцо-вих в'язанок (1КВ) комбшаторних структур, оло-монтами яких иостають числа або воктори. яш на ввдмшу ввд загально ввдомих р1зницових множин та шших класичних комбшаторних конфшурацш ма-ють ширший доапазон р1зновцгцв й багатший наб1р властивостей 1х тонко! структури [8. 9]. Для синтезу та доелвджоння оптималышх багатовтирних дискретних сигнал1в в просторових системах координат доцшыго притягнути тооротичш положения \ методи ¿-вим1рного комбшаторного анал1зу.

4 Методи синтезу одно- та ба-гатовизшрних 1КВ

Один 1з шдход1в до побудови одновим1рних £ = 1 1КВ базусться на використанш властивостей иол1в Галуа та гоомотр1й над ними. Для побудови 1КВ з параметрами V, к, А, де в — сума елеменпв щеально! шльцево! в'язанкн, п — шльшеть елеменпв, К — число кшьцевнх сум з однаковими числовими сумами, необхвдно знайти незввдний над полем СР(ря) по-лшом, визпачити иервшний елемепт х цього поля з максимально можливим порюдом згаданого елемен-та та обчислити степеш х°, х1,..., х/', (г = — 2), яш повинш "пробшати" уей значения ненульових еле-менпв СР(ря).

Метод побудови 1КВ [8] за допомогою апарату теор11 пол1в Ралуа полягас в наступному :

- за параметрами 5 = ю,п = к, К = X знайти порвкний незввдний над полем Ралуа полшом ввдповщного степени:

- внзначнтн порвшний полшом розшироного поля:

- обчислити уей нонульов1 елементи цього поля 1 побудуватп граф. вершинами якого с елементи

,ж2, (г = д8 — 2);

- на побудованому граф1 обрати вершини. яким ввдиовщають однаков1 значения коофщятв при будь-якому з фшеованих стоиошв:

- сполучивши уй суйдш пари вершин ребрами, отримати граф1чно ввдображоння 1КВ у ви-гляд1 багатокутника. вписаного в иобудований граф.

Розглянемо ввдображоння 1КВ з параметрами п = 4, Д = 1,5 = 13 па множит елементв кругового поля Ралуа. У даному внпадку порвкний оломонт

х толя ОР(32) задовольняе р1вняння /(х) = х3 — х — 1, де /(х) — незввднпй полшом над ОР(32),р = 3, в = 2

Табл. 1 Елементи ОР(32), утвореш за незввдним полшомом /(х) = х3 — х — 1

х1 = ж х8 = 2х2 + 2

х2 х2 X9 = ж + 2

х3 = X + 1 х10 = х2 + 2х

х2 + X х11 =2х2 + х + 1

х5 = х2 + X +1 х12 = х2 + 2

х6 = х2 +2х + 1 ж13 = 1

х7 = 2х2 + 2х + 1

У шльцевпй граф 1з 5 = 13 вершинами впи-саний чотирикутник (п = 4), вершинам якого х1,х3,х9,х13 вщповщають нулыда коефщентп при степенях (рис. 1). СумЬкш вершини цього чотири-кутника розносош по колу обортовсм симотр11 13-го (Я = 13) порядку па ввдеташ, кратш числовим значениям (1.2.6.4). яш е базисними векторами однови-хйрного 1КВ-простору.

Х+1

Х2+Х

Х2

Х

2 0 Х2+2

Х2+ Х +1

2

Х'+2Х+1

2

2Х'+2Х+ 1

2Х2+2

2Х +Х+1

Х +2

Х2+2Х

Рис. 1. Граф1чно зображения 1КВ (1. 2. 6. 4) у по„ш обертово! снметр11 13-го (5* = 13) порядку

Ведомо, що для побудови р1зних вар1анпв 1КВ-простору з однаковими параметрами та ведповвдни-ми оптнмалышмн структурннмн иропоршями мо-жуть годнтнея однаков1 порвкш полшоми, нато-мкть р1зним полшомам в1дпов1дають 1КВ з однаковими параметрами. Наприклад. перв1си1 пол1но-ми /1(х) = х2 — 2 1 /2(ж) = х2 + х + 1 ввдповвдають одному з вар1анпв 1КВ. тод1 як для рошти вар1ант1в доводиться дошукувати ппш полшоми. Проблема побудови повиих имей 1КВ ускладиясться гце й на-яви1стю чнеленннх не1зоморфннх вар1ант1в 1КВ. як1 не вдасться побудуватп за допомогою матоматично-го апарату теор11 пол1в Ралуа [1]. Тому виникла потреба в розроблонш таких метод1в синтезу моделей оптималышх багатовтпрних сигнал1в. як1 б могли задоволышти широке коло фах1вшв в облает! багатовтпрних систем керуваиия. вокторних шформащйних технолог1й та рад1озв'язку.

1

Нехай задана 1KB ki,k2,... ... ,kn з параметрами (S, п, R), де S = т\ х (mi, т2) = 1. Алгоритм побудови двовтпрного IKB-простору включав в себе виконання настуиних операцш:

- на иоопдовносп Кп = (ki, k2,... ,ki,..., kn) кшьцев1 суми Sj ^^ j ki

знаити j = 1, 2,...,щ

- на множит кщьцевих сум Sj ,j = 1,2,...,п зпайти впорядковаш пари чисел (aj, bj),j = 1,...,п, де (a,j = Sj (mod mi), bj = Sj (mod m2);

- впорядкувати пари чисел (aj, bj) за зростап-ням чпсловпх значень елеменпв bj, й ввдпо-ввдно aj;

- внзначнтн елементн двовим1рно1 1KB ((kij,k2j)); kii = ai,k2i = 6i;ky = aj — aj_i(mod mi) (k2j = bj — 6j_i(mod m2);j = 2, 3,...,п.

Наприклад, одновим1рна 1KB (2, 5,1, 3,10), де S = 21, п = 5, R =1, mi = 3, m2 = 7 перетворюеться у двовиьйрну 1KB ((1,0), (1,1), (0,1), (0, 2), (1, 3)). Цей впорядкований na6ip с базисом двовтирного векторного IKB-простору, а множила ycix к1льце-вих вектор-сум, взятих по комплексному модулю mod (3, 7)

п(п — 1) + 1 = 21 дпскретнпх cnrnanis у пол1 торо!-

3х 7

( п = 5)

Табл. 2 Оптималышй монол1тно-груповнй код на 2D-IKB ((1,0), (1,1), (0,1), (0,2), (1,3))

BaroBi розряди векторного коду

(1.0) (1,1) (0.1) (0,2) (1,3)

(0,0) 1 1 1 1 1

(0.1) 0 0 1 0 0

(0,2) 0 0 0 1 0

(0,3) 0 0 1 1 0

(0.4) 1 1 0 0 1

(0,5) 1 1 1 0 1

(0,6) 1 1 0 1 1

(1.0) 1 0 0 0 0

(U) 0 1 0 0 0

(1,2) 0 1 1 0 0

(1,3) 0 0 0 0 1

(1,4) 0 1 1 1 0

(1,5) 0 0 0 1 1

(1,6) 0 0 1 1 1

(2,0) 0 1 1 1 1

(2Д) 1 1 0 0 0

(2,2) 1 1 1 0 0

(2,3) 1 0 0 0 1

(2,4) 1 1 1 1 0

(2,5) 1 0 0 1 1

(2,6) 1 0 1 1 1

Такий код забезпечус оптимальие керування системою, стан яко! визначасться функщя-( = 2)

цевих вектор-сум, взятих по комплексному модулю mod (mi, m2,..., mt), утворюе t — ви-м1рну решику mi х m2 х ..., xmt = n(nR i), або mi x m2 x ..., xmt = n(nR i) + 1, яка р1вночасно e

координат ща peniiTKii, причому коордииати ко-

R

^1етод дае змогу зд1йсшовати б1сктивне перетворения векторного IKB-простору однМ розм1рност1 в npocTip iiinio'i розм1рност1 за дотрпмання умо-ви (2). Теоретично icnyc безл1ч 1КВ-простор1в pi3iio'i po3MipnocTi та cnoco6iB i'x перетвореиня одних в in-nii, причому 3i збшьшеииям числа базових вектор1в 1KB простору багатомаштшсть BapiaiiTiB фор-муваиия таких простор1в иабувас швидкого темпу зростания без обмежень на число базових вектор1в i розм1рн1сть 1KB простору.

У иаведеиих прикладах числов1 значения 1KB ki,k2,...,ki,...,kn е базисом одновим1рного векторного IKB-простору, де кожей вектор можна однозначно податн у внгляд1 модульноТ (кшьцево1) суми будь-яко! кшькост1 иослвдовно розм1щених за кшьцевою схемою базисних вектор1в 1KB. На ввд-Miny в1д числових (одновтпрних), 1KB розм1рност1 t> 2 е ^^исом t — вим1рного векторного IKB-простору, де кожен вектор можна подати у вигляд1

них за кшьцевою схемою вектор1в 1KB. За таким же

сумою базисних вектор1в цього простору.

Bifliiociio незначна частпна в1д загально! к1ль-KOCTi IKB-npocTopiB з ф1ксованимп параметрами може утворюватися з доскоиалих циюпчних v, k, X -р1зницевих множин (Perfect Cyclic Difference Sets) [2], де вй набори параметр1в прив'язаш до

S = v

MeTpi'i, у по.ш яко! знаходяться щ множннн. На ввдмшу в1д класнчннх р1зннцевнх множин, в 1KB загального виду порядок симетр11' S* може пабува-ти pi3iinx зиачеиь в деяких теоретично внзначеннх

п R = 1

трактуваншо 1KB, в по„ш обертово! симетр11' порядку S* можуть зароджуватпся б1льше, н1ж при фшсова-S = п

IKB-простору. В контекст! сказаиого шд одиовим1р-иою 1KB будемо розумии не лише посл1довн1сть цщих додатних чисел (ki,k2,... ,ki,... ,kn) , кшьце-Bi суми яких вичерпують иатуралышй ряд в1д 1 до

( S — 1) R S

а ширше коло р1зновид1в 1KB, для яких вимога гцодо перелшу кшьцевих сум с не обов'язковою. За таких умов базисом IKB-простору постае кшьцева посль довшсть цших додатних чисел ki,k2,..., ki,... ,kn, yci к1льцев1 суми яко! с неоднаковими за деяким фь

ксованим модулем. Кшыисть вар1антав 1-вим1рного 1КВ-простору заложить ввд порядку обортово! симе-тр1'1 Б*, у пол1 яко1 знаходиться 1КВ п-го порядку, до п(п — 1) <5* < п(п — 1)2, п — число базисних вектор1в 1КВ-простору. В [9] показано, що з1 збшь-шенням п зростае кшыйсть породжених обертовою симетр1яо вар1анпв 1КВ-иростор1в, утвороних на багатомаштносп комбшащй 1х базисних вектор1в з урахуванням р1зномаштних способ1в впорядкуван-ня моду.шв, причому збшыноння простнх дшышшв числа 5* приводить до зростання кшькосп вар1ан-пв вокторних 1КВ-иростор1в.

Властивосп векторного 1КВ-простору \ вщкрит-тя великого класу вокторних 1КВ-структур типу «31рка Слава УкраЫ!» [8], базисш векторп якпх можуть змпиовати взаемно розмщення всорсдиш кшьцово! структури за схемою з1рки р1зного порядку симетр11, покриваючи коордииатиою йткою уй вузлов1 точки просторово! ретштки з1ркового 1КВ-простору, розширюс перспоктиви використаи-ня моделей оптималышх багатовтпрних сигнатв у задачах, пов'язаних 1з проблемою захисту шформа-Щ1 в1д носанкщонованого доступу. Нижчо наводиться повний список базисних воктор1в для иобудови двовиьйрного 1КВ-простору з параметрами п = 4, Д =1 = 3 то2 = 4 12 < 5 < 36 (табл. ).

Табл. 3 Вар1анти базисних воктор1в двовихйрного 1КВ-простору з параметрами п = 4, ^ = 1 12 < 5 < 36, То1 = 3 т2 = 4

BapiaiiT Базисш вектори

1 (0.1) (1.0) (0.2) (2.2)

2 (0.1) (1Д) (0.2) (2Д)

3 (0.1) (1Д) (2Д) (2,2)

4 (0.1) (1.2) (0.2) (2,0)

5 (0.1) (1.2) (1.D (2Д)

6 (0.1) (1.2) (2Д) (2,3)

7 (0.1) (1.3) (0.2) (2,3)

8 (0.1) (1.3) (1.D (2,2)

9 (0,2) (1.0) (0.3) (2,2)

10 (0,2) (1.0) (1.D (2,2)

11 (0,2) (1.0) (1.3) (2,2)

12 (0,2) (1.0) (2.3) (2,2)

13 (0,2) (1.D (0.3) (2Д)

14 (0,2) (1.2) (0.3) (2,0)

15 (0,2) (1.2) (1.D (2,0)

16 (0,2) (1.2) (1.3) (2,0)

17 (0,2) (1.2) (2Д) (2,0)

18 (0,2) (1.2) (2.3) (2,0)

19 (0,2) (1.3) (0.3) (2,3)

20 (0,2) (2.2) (2Д) (1.0)

21 (0,3) (1.D (1.3) (2,2)

22 (0,3) (1.2) (1.3) (2,3)

23 (0,3) (1.2) (2.3) (2Д)

24 (0,3) (1.3) (2.3) (2,2)

У табл. 3 занесет yd BapiaiiTii впорядкованих за кшьцовою схемою базисиих воктор1в, кожей з яких

ДОЗВОЛЯВ здшешовати в1дл1к ДВОВИм1рИИХ BOKTOpiB у просторовому ncwii ортогонально! координатнем ci-тки 3 х 4, яка покривае поверхню тору, утворюючи п(п — 1) = 12 вузлових точок.

На вщмшу ввд класичиих копфиурацш, вектор-ний ¿-вим1рпий IKB-npocTip задаеться параметрами п, Д, S* mi, m-2,..., т4, де n — число базисних t — виьйрних BeKTopis, Д- кшыйсть р1зпих cnoco6iB розкладання базисних воктор1в за правилами отри-мання кшьцових вектор-сум з урахуванням комплексного набору модул1в mi, m2,..., mt, S*- порядок обертово! CHMeTpi'i, яка породжуе ¿-вим1рпий IKB-npocTip.

Один i3 методов швидкеи розбудови набор1в базисиих воктор1в г^рунтуеться па використанш властивостей 1KB як р1зновиду мультишпкативних груп, що дае змогу перетворюватп одш BapiaiiTii набор1в в iiiini за допомогою множення базисних BOKTOpiB на вщповщш воктор-коофшденти. Напрнклад, з набору № 1 двовиьйрних t = 2 базисних вектор1в ((0,1), (1,0), (0, 2), (2, 2)) можна отримати з ToniiicTio до роворсування три BapiaiiTii базисних BOKTOpiB множенням воктор1в цього

(1, 3), (2, 1), (2, 3)

Множення здшсшоеться за комплокеннм модулем mod (3, 4): ((0,1), (1, 0), (0, 2), (2, 2)) * (1, 3) ^ ((0, 3), (1, 0), (0, 2), (2, 2)); Bapiam № 9 (реверс) ((0,1), (1, 0), (0, 2), (2, 2)) * (2,1) ^ ((0, 1), (2, 0), (0, 2), (1, 2))

вере) ((0,1), (1, 0), (0, 2), (2, 2)) * (2, 3) ^ ((0, 3), (2, 0), (0, 2), (1, 2))

гою цих же вектор-коефщятв аналоично можна отримати ciM груп pi3inix BapiaiiTiB базисних вокто-piB з ToniiicTio до реверсування по чотири набори в кожшй з п'яти груп та по два набори у двох трупах (табл. 4).

Порнп п'ять рядшв таблищ починаються 3i схе-мн розмщення базисних вектор1в на координатнш 3 х 4

сшосться опоращя множення на вектор-коефщягаи (1, 3), (2,1) та (2, 3) вщповщно з приведениям пра-воруч новоутвороних BapiaiiTiB. У шостому рядку цМ таблищ розм1щеи1 шоста i сьома групп базисних вектор1в, яш вщлзняються в1д рештн тнм, що в кожшй rpyni можлнве взаемно поротвороння BapiaiiTiB №2 i №19, та №7 i №13 за допомогою двох (1, 3) (2, 3)

(2, 1)

всорсдиш групп у самих себе з реверсуванням. Щ дв1 мультипл1кативн1 групп с незв'язаш мЬк собою. Обираючи початок вщлшу координат вектор1в в одшй i3 12-ти вузлових точок координатно! атки, можна загалом отримати 24 * 3 * 4 = 288 BapianriB базисних набор1в воктор1в, но рахуючи дзоркально симетричних вщображень та можливоста взаемоза-Miiin ортогоналышх кшьцових осой коордннатно! ciTKii, розмщено! на поверхш тору. Будь-який i3 288 na6opiB базисних вектор1в створюс двовтпрний

З x 4

тора

Вар. №1

О1 Вар. №11

2

О12 Вар. №12

О1 . 21

2

О12

. 24

О1 .2

О12

Вар. №9

О12 Вар. №1О

О12 Вар. №2О

О12 .S

О12 .З

О12 Вар. №19

О12

.4

О1 Вар. №1S

О1 Вар. №16

О1

. 2З

О1

. 22

2

О1 .Т

О12

Вар. №14

З З x З З x

2 x x 2 ^ 1 x x 2 x x 2 x x

1 x 1 x 1

О x О x О x О x

О1 Вар. №17

З x З З x З

2 x x 2 ^ 1 x x 2 x x 2 x x

1 x 1 1 x

О x О x О x О x

О1 Вар. №1Б

З x З З x З

2 x x 2 ^ 1 x x 2 x x 2 x x

1 x 1 1 x

О x О x О x О x

О1 .6

З x x З x З x x З x

2 x 2 ^ 1 x 2 x 2 x

1 x x x 1 x 1 x x

О О О О

О12 .Б

З x x x З З x x x З

2 x 2 ^ 1 x 2 x 2 x

1 x x x 1 1 x x x

О О О О

О12 Вар. №1З

З x З x x З x x x З

2 x 2 ~ 1 x 2 x 2 ~ 1 x

1 x x x 1 x x x

О О О О

О12

2

2

Табл. 5 Характеристика 2D i 3D 1КВ-простор1в

Число базисних BeKTopiß Кшыисть BapiaHTÍB IKB-простору Po3MÍpn 2D-IKB простору Po3Mipn 3D-IKB простору

n 2D 3D mi x m-2 mi x m-2 x тз

3 4 - 2 x З -

4 24 - З x 4 -

Б 272 - 4 x Б, З x Т -

6 384 128 2 x 1Б, Б x 6 З x 1О 2 x З x Б

7 540 180 2 x 216 x 7, З x 14 2 x З x 7

ГКВ-проспр, який покривае пп(п — 1) = 12 вузлових точок координатно! атки 3 х 4 за рахунок вико-ристання уах можливих кшьцевих вектор-сум. що дае змогу керувати системою, стан яко! визначас-ться функщями двох = 2) змшних на множит 12-ти 11 фшсованих сташв у двовтпрному простора Керування такою системою можна зд1йсшовати двшковим 1КВ-кодом. позищям якого присвоено ваги базисних вектор1в 1КВ-простору, причому для цього достатиьо мати систему кодування двовтир-

п = 4

вектор1в. Характеристика 2 Б 1 ЗБ 1КВ-простор1в з числом базисних вектор1в вщ 3 до 7 приведена у табл. 5.

5 Обговорення

Дослщження моделей оптималышх сигнал1в пов'язано з використанням класичнсм теор11 ком-бшаторних конфшуращй [10]. 3 появою векторних шформащйних технолопй виникла потреба вдоско-налення метод1в опрацювания даних за допомогою оптималышх багатовтпрних код1в 1 сигнал1в в про-сторових системах координат. Р1зновидшсть про-сторово! структури оптималышх багатовтирних сигнал1в залежить вщ иараметр1в 1КВ-простору, яш взаемоиов'язаш формулами (2). У загальному ви-

ння визначаеться функщями t змшних на п(п — 1)

п

( п — 1)

дових сигнал1в керування. водночас забезпечивши над1йшсть, завадоспйшсть та роздшьну здатшеть системи керування. Модел1 оптималышх векторних сигнал1в в просторових системах координат дощль-но використати для вдосконалення метод1в швидко-

атрибупв, вироваджуючи векторш технолог!! в ба-

вою симетр1яо, вщкривають можливосп для досль дження. синтезу та практичного застосування цього класу моделей в радюзв'язку, векторних шформащйних технолоиях та багатовтпрних системах керування. Проглядаеться глибинний зв'язок явища «вкладених» векторних 1КВ-иростор1в р1зно1 роз-хнрноси з геометричним законом розиодшу нату-ралышх ряд1в чисел в симетричних полях обортовсм симетр11. Запропоноваиа методолоия оптималышх багатовтпрних систем керування дозволяе зменши-ти шформащйну та структурну надхпрноси систем та полшшити 1хш техшчш характеристики. Палира р1зновид1в векторних 1КВ-простор1в стр1мко зро-стае з1 збшыпенням порядку й обертово! симетр11, в якШ закладена шформащя про неосяжну гармошю та первозданну досконалкть геометрично! розбудо-ви Всесвиу.

Висновки

Модат оптималышх багатовтпрних сигнатв зручио штерпретувати у вигляд1 впорядковаио-го набору п базисних t-втпрних вектор1в IKB-просторово! системи координат, утворонсм на множит кшьцевих (модулярних) сум цих вектор1в, яка

Biraipnoi системи вщлшу IKB-иростору фшеованим числом R р1зних cnoco6iB. Критер1ем оптимальности

п

Biraipnoro IKB-простору заданих po3MipiB фшеова-мою здшсшоеться двшковим монолтю-груповим

п(п — 1) и фшеованих сташв у t-втпрному фазовому npocTopi. Чисельна багатомаштшеть просто-

здШсшовати опттпзащю, обираючи лшнп з них за пещлбними ознаками, наприклад, методом вщйка-ння або скороченням довжини коду, добором вщ-иовщних значень вагових розрядов тощо. Це дозволяв розробляти модел1 оптималышх багатовтпрних кодових сигнатв та оптималышх багатовтпрних систем керування у фазовому npocTopi велико! роз-MipnocTi встановлених po3MipiB. Модат дозволяють вирпнувати в прямш та оберненш остановщ завдан-ня проблему подолання шформащйно1 надхпрноси багатовтпрних систем керування. систем зв'язку, опрацювания векторних масив1в даних. завадоспй-ких систем кодування та перетворення форми iii-формащ! залежно вщ конкретно поставлено! опти-хйзацпшем задачь

References

[1] Woisstoin Е. W. Block Design. From MathWorld Л Wolfram Wob Resource

[2] Woisstoin E. W. Perfect. Difference Set. From MathWorld Л Wolfram Wob Resource.

[3] Woisstoin E. W. Plane. From MathWorld Л Wolfram Wob Resource.

[4] Woisstoin E. W. Hadamard Matrix. From MathWorld Л Wolfram Wob Resource.

[5] Orthogonal Latin squares. Encyclopedia of Mathematics.

[6] Rowland T. and Woisstoin E. W. Galois Extension Field. From MathWorld Л Wolfram Wob Resource.

[7] Woisstoin E. W. Cyclic Group. From MathWorld Л Wolfram Wob Resource.

[8] Riznyk V. V. (2016) Models of optimum discrete signals on the ring combinatorial configurations. Visn. N'l'UU KP1, Ser. Radioteh. radioaparatobuduv., no. 64, pp. 10-22. (in U krainian)

[9] Riznyk V. ("2016) Multi-modular Optimum Coding Systems Based on Remarkable Geometric Properties of Space, Advances in Intelligent Systems and Computing, pp. 129148. DOl: 10.1007/978-3-319-45991-'2_9

[10] Weisstein E. W. Configuration. From MathWorld Л Wolfram Web Resource.

Модели оптимальных многомерных сигналов в пространственных системах координат

Ризнык В. В.

Рассматриваются модели оптимальных многомерных дискретных сигналов для усовершенствования методов обработки векторных данных, определяемых функциями двух и более переменных, зависящих от пространственных координат. Исследована связь рассмотренных моделей с классическими комбинаторными конфигурациями, теорией циклических групп и вращательной симметрией. Описанные модели превосходят классические аналоги по количеству и разнообразию топкой структуры, что дает возможность расширить сферу их практического использования в многомерных системах управления, системах связи, векторных информационных технологиях.

Ключевые, слова: векторное ИКВ-прострапство: вращательная симметрия: базисный вектор: развертка поверхности тора: оптимальный векторный код: векторные данные: размерность пространства: многомерная система управления: векторные информационные технологии

Models of optimum multidimensional signals in the solid systems

Riznyk V. V.

Models of optimum multidimensional discrete signals using novel design based on the "perfect" vector combinatorial configurations, namely the concept of Ideal Ring Bundles (IRB)s for development of new directions in fundamental and applied research in vector information technologies presented. IRB means an n-st.age cyclic sequence of semi-measured terms, e.g. integers for which the set of all circular sums enumerates row of natural numbers by fixed times. Development of vector multidimensional models and techniques, based on the remarkable geometric properties of rotational symmetry-asymmetry relationships allows configure optimum multidimensional control systems for reproduce the maximum number of combinatorial varieties in the systems with a limited number of basis vectors. The modular vector sums of connected basis vectors of an IRB-space enumerate the set of t.-coordinates specified with respect to t.-dimensional cyclic frame reference exactly R-t.imes. The remarkable technical merits of IRB space, which properties hold for the same set of the IRB-monolit.hic vector code in varieties permutations of its terms is demonstrated, and method for design of two- or multidimensional vector signals coded based on the optimum binary monolithic code is presented. Proposed vector models of optimum multidimensional discrete signals provide, essentially, a new approach to generalize them to great class of optimized problems in radio-telecommunications, navigation and vector information technology. Moreover, the optimization embedded in the underlying combinatorial models. The favourable qualities of the Optimum Multidimensional Ring code provides breakthrough opportunities to apply them to numerous branches of science and advanced technology, with direct applications to vector data telecommunications, vector encoded design, and optimal vector information technology.

Key words: vector IRB-space: rotating symmetry: basis vector: development of torus surface: optimum vector code: vector data: dimensionality: multidimensional control system: vector information technology