CC BY
19
УДК 004.3 DOI: 10.17213/0321-2653-2015-1-27-33
МОДЕЛИ ДВУХОСНОВНЫХ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ СИНТЕЗА СЛАБОСТРУКТУРИРОВАННЫХ ХРАНИЛИЩ ИНФОРМАЦИИ
MODEL DIBASIC FUZZY SETS AND THEIR USE FOR SYNTHESIS SEMISTRUCTURED REPOSITORIES OF INFORMATION
© 2015 г. М.А. Бутакова, Е.В. Карпенко, Е.В. Климанская, А.В. Чернов
Бутакова Мария Александровна - профессор, Ростовский Butakova Maria Aleksandrovna - professor, Rostov State
государственный университет путей сообщения, г. Ростов- Transport University, Rostow-on-Don, Russia. E-mail:
на-Дону, Россия. E-mail: butakova@rgups.ru butakova@ rgups.ru
Карпенко Екатерина Владимировна - экономист первой Karpenko Ekaterina Vladimirovna - economist 1-st category,
категории, Ростовский государственный университет путей Rostov State Transport University, Rostow-on-Don, Russia.
сообщения, г. Ростов-на-Дону, Россия. E-mail: vereskuneka- E-mail: vereskunekaterina@rambler.ru terina@ rambler.ru
Климанская Елена Владимировна - ведущий программист Klimanskaja Elena Владимировна - Leading programmer,
управления информатизации, Ростовский государственный Rostov State Transport University, Rostow-on-Don, Russia.
университет путей сообщения, г. Ростов-на-Дону, Россия. E-mail: elenaklimanskaja@rambler.ru E-mail : elenaklimanskaj a@rambler.ru
Чернов Андрей Владимирович - профессор, Ростовский Chernov Andrey Vladimirovich - professor, Rostov State
государственный университет путей сообщения, г. Ростов- Transport University, Rostow-on-Don, Russia. E-mail: avche@
на-Дону, Россия. E-mail: avche@yandex.ru yandex.ru
Рассматриваются задачи построения математических моделей двухосновных нечетких множеств. Данные задачи непосредственно связаны с необходимостью разработки новых подходов к проектированию и созданию таких хранилищ данных, которые отвечали бы современным требованиям, предъявляемым к крупным информационно-управляющим системам, а именно: возможности хранения и обработки неструктурированной, нечеткой, разнородной информации сверхбольших объемов. Предложены модели двухосновных множеств и операции, применимые к ним. Введены необходимые определения и свойства. Полученные результаты позволяют дать формальное описание рассмотренного вида информации, на основе которого может быть синтезировано хранилище данных на нереляционных принципах.
Ключевые слова: нечеткие множества; интуиционистские модели; хранилища данных; слабоструктурированная информация.
The problems of building mathematical models offuzzy sets with two membership functions are considered. These problems are directly related to the need to develop new approaches to the design and development of such data storage, which would meet modern requirements for major information and control systems, namely: storage capacity and processing of semi-structured, vague heterogeneous information. The model of fuzzy sets with two bases and operations, applicable to them is proposed. The required definitions and properties are done. The results allowing giving formal description of considered types of information and data storage design meets to non-relational principles are obtained.
Keywords: fuzzy sets; intuitionistic models; data storage; semi-structured information.
Введение стью значительного числа документов, так и с рядом
других факторов. Развивающиеся в настоящее время
При обработке документированной информации, технологии радиоидентификационных меток RFID,
циркулирующей в корпоративных информационных беспроводные сенсорные сети и датчики нового поко-
сетях передачи данных весьма часто возникают слу- ления в интеграции с применением многоагентных
чаи неточности и недостаточной степени определен- интеллектуальных технологий, например на железно-
ности. Это связано как со слабой структурированно- дорожном транспорте, вовлекают в процесс обработки
данных XML-объекты, обладающие нечеткими признаками. Потребности хранения и обработки нечетких XML-объектов вызывают потребности разработки нечетких XML-баз данных, построенных в согласовании с новыми графовыми моделями хранения и доступа к данным. Однако с целью обозначения отличий предлагаемого подхода приведем некоторую детализацию существующих нечетких баз данных (БД) и принципов, положенных в их основу.
Наиболее ранние идеи сохранения неточной информации высказывал в своей работе родоначальник реляционной теории БД Э. Кодд [1] в концепции хранения null-значений. Такие значения, конечно, использовали не аппарат теории нечетких множеств, а концепцию трехзначной логики (истина, ложь, не точно). Далее аппарат хранения не полностью определенных значений пополнился четырехзначной и более логикой и интервальным типом атрибутов. Хранение именно нечетких значений в БД осуществлялось выделением полей для функции принадлежности. Развитие в виде построения новых отношений, дополняющих реляционные, осуществлялось в двух направлениях: отношения подобия (similarity relationship) в работах [2, 3] и отношения возможности (proximity relationship) в работе [4].
Ключевым моментом определения таких нечетких БД является то, что значения в одном домене не должны быть атомарными.
Рассмотрим одно значение di домена, где i -это индекс атрибута в кортеже, домен обозначим Di, di е Di. Обозначим р (Di) - степень множества Di. Нечеткое отношение R определяется декартовым произведением р(Dj)х р(D2)х...х р(Dm), а принадлежность в конкретном случае определяется ее семантикой. Например, если Di имеет смысл названия железнодорожной станции, а D2 имеет смысл названия железных дорог, то («Ростов-на-Дону», «Октябрьская железная дорога») е р (Dj )х р (D2) не
принадлежит по семантическому отношению R («Название станции», «Название железной дороги»).
Для отношения подобия для некоторого домена Di определяется граница отсечения, барьер (threshold):
Tres (Di ) = min < min Is (x, y)]
4 [x,yedj
где S - некоторая метрика; d, с Dj; i = 1,2,...,n, j = 1,2,..,m .
Для того чтобы исключить появление одинаковых кортежей в рассматриваемых БД, вводится уровень избыточности:
Level (D, )< min \s (x, y)|,
V j x,yedjjndkj \ V
где i,k = 1,2,...,n ; j = 1,2,...,m .
Отношение подобия для двух кортежей
ti =[dil, dг2,..., dim ] И tk =Kl' dk2,...> dkm ] опРеДеляется [5]
Ti n Tk = 0, если i ф k ,
где Ti ,Tk являются множествами возможных интерпретаций ti, tk.
Модели нечетких БД используют теорию возможностей [6], в которой используются несколько отличающиеся от вероятностных возможностные меры и функции распределения возможностей. Среди заслуживающих внимания моделей нечетких БД можно также указать модель неполной и неопределенной информации Prade-Testemale [7], модель информационных знаний Umano-Fukami [8], GEFRED модель [9]. В числе объектно-ориентированных моделей нечетких БД следует упомянуть FOOD (Fuzzy Object-Oriented Data model) модель [10], FIRMS (Fuzzy Information Retrieval and Management System) модель [11], UFO (Uncertainty and Fuzziness in an Object-oriented model) модель [12], FOODM (Fuzzy Object-OrientedDatabasesModel) модель [13].
Модели двухосновных нечетких множеств
Перейдем к разработке графовой модели для нечеткой слабоструктурированной информации. В любой нечеткой модели, использующей нечеткие множества, интервалы и числа, должны быть определены как операции над множествами (u, n, дополнение и
т.д.), так и отношения (с, с, =, >, <, >, <). Для отличия
этих операций над нечеткими множествами и отношений, там где это необходимо при неоднозначности понимания будем использовать индекс F либо ~,
например, нестрогое включение - сF , с . Заметим также, что наши определения отличаются от первоначально введенных Л. Заде и развиваются в работах К.Т. Атанассова [14, 15], в которых данный подход называется интуиционистскими нечеткими множествами. Они задаются двумя функциями (функцией принадлежности и функцией непринадлежности), которые в общем случае могут быть слабо связаны между собой. Как указывается в работе [16], это перспективный подход в области двухосновных нечетких множеств. В связи с достаточной оригинальностью подхода в этих работах приведем основные положения более детально, чтобы затем выделить отличия, внесенные авторами статьи.
Напомним, что в соответствии с подходом Л. Заде, нечеткое число A{x,MA (x)J ((Z-R)-ram, унимодальное) задается функцией принадлежности
Ц A ( X) =
г i a - X ,
LI-I, если X < a,
ni x- a ,
RI-I, если x > a,
c
где а - мода, Ь > 0, с > 0 - левый и правый коэффициенты нечеткости. Обратим внимание, что при
х = а I (0) = R (0) = 1.
Таким образом, для 0 < цА (х) < 1 дополнением будет являться функция 1 - ц А (х). Графически это показано на рис. 1 а. Воспользуемся теперь двумя функциями: ц^ (х) - функцией принадлежности и
ц А (х) - комплементарной ей функцией так, чтобы 0 < ц А (х) < ц А (х) < 1. Нечеткое значение в таком случае можно «отмерять» как от 0, так и от 1, т. е. {цА2 (х) - цАг (х)}. Теперь нечеткое множество (число) А определяется следующим образом: если цА[ (х) = 0, то А{х,цА2,0}, если цА2 (х) = 1, то
А {х, 1, ца } . Эти соображения иллюстрируются на рис. 1 б, в.
Таким образом, в общем виде эти рассуждения можно формализовать в виде определения нечеткого множества (числа):
А (ц^ ц2 ) = К ц1 (х), ц2 (х), х 6 и} , (1)
где и - универсальное множество; ц - функция принадлежности, ц 2 - комплементарная к функции принадлежности; ц1 > ц2.
Операция пересечения нечетких множеств, исходя из (1), определяется:
А(ц^ ц2 )п в (цз, ц4 ) =
= |х,тт (ц1 (х), цз (х)),тах (ц2 (х), ц 4 (х))}. (2)
Операция объединения:
А(ц^ ц2 в (цз, ц4 ) =
= {х,тах (ц1 ( х), цз ( х)),min (ц2 ( х), ц 4 ( х))}. (3)
При ц2 = 0 и ц4 = 0 (2) и (3) имеют смысл операций, определенных в общепринятом смысле. Зададим теперь ц2 = 0 , ц3 = 1 в (2) и (3) и получим для
одного множества A его дополнение AC :
A|х, цA (x),0,x e U}, (4)
Ac {x,1, ц A (x), x eU }, (5)
где U - универсальное множество.
Формулы (2) и (3) при применении их к (4) и (5) дадут соответственно 0 и U :
A (ц,0) n Ac (1, ц) = {x, min(ц(x),l), max(0, ц(x))} = = {x ц(x), ц(x)};
A (ц,0) u Ac (1, ц) = {x, max(ц(x), l), min(0, ц(x))} = = {x,1,0}.
Для определения числа (1) требуется некоторое уточнение. Покажем контрпример. Пусть даны треугольные нечеткие числа:
A (ц1, ц 2 ) = {(a, 0.1,0), (й, 0.2,0.1), (с, 0.4,0.2)} и B(ц3,ц4) = {(a,0.9,0.3),(й,0.5,0.3),(с,0.5,0.3)} . Тогда, применяя (4), получаем
(A n В) (ц5, цб ) = {x, ц5, ц6 } = = {( a,0.1,0.3), (й,0.2,0.3), (с,0.4,0.3)},
из чего можно сделать вывод о том, что
ц5 (a) < цб (a), ц5 (й) < цб (й), ц5 (с) > цб (с) и имеется противоречие.
Для его преодоления в (2) и (3) предлагается внести дополнительное условие:
min(ц (x), ц2 (x)) > max(ц2 (x), ц4 (x)), Vx e U .
x 0
x 0
Рис. 1. Функция принадлежности и комплементарная к ней функция
1
1
0
x
б
а
в
Тогда вышеприведенные рассуждения можно формализовать в виде Определения 1.
Определение 1
Двухосновное (расширенное) нечеткое множество (без вырожденных случаев).
Для нечеткого множества A (х), определяемого
на универсальном множестве U , х е U , расширенное представление которого имеет вид
A (м-1, ц2) = К Mi (х), М2 (х);х е U},
где 0 < ц 2 (х) < м1 (х) < 1, и для некоторого множества
B (х), определяемого на универсальном множестве
U , х е U , расширенное представление которого имеет вид
B (ц3, ц4) = {х, м3 (х), м4 (х); х е U} ,
где 0 < ц4 (х) < ц3 (х) < 1, определены операции
пересечения и объединения при условии
min (ц1 (х), ц3 (х)) > max (ц2 (х), ц4 (х)), Ух е U
соответственно (2) и (4), а дополнение определено следующим образом:
A° (ц^ ц 2 ) = {х ц1 (х), ц2 (х);х eU }C =
= {х, ц2 (х) ,0; х е U}и {х,1, ц1 (х); х е U},
BC (ц3, ц4 ) = {х, ц3 (х), ц4 (х); х еи }C =
= {х, ц4 (х) ,0; х е U} и {х,1, ц1 (х); х е U}.
Определив важнейшие операции над расширенными нечеткими множествами, обратимся к определению мощности нечеткого множества. Мощность нечеткого множества A (с конечным носителем), которое также называют сигма-числом, определяется суммой функций принадлежности:
\A\ = £ц a (х), х еи .
С учетом расширенного представления нечеткого числа, его сигма-число определяется как
|A| = £{(ц1 -ц2 ); х еи } = count (A) . (6)
Из (6) вытекает Свойство
count (A n B) < min (count (A), count (B)) < count (A и B).
Подведем итог данного раздела, в котором были разработаны основы двухосновного расширенного представления нечетких множеств, определены три важнейшие операции (объединения, пересечения, дополнения) и формула для определения сигмц-числа расширенного нечеткого множества.
Бинарные отношения в двухосновных нечетких множествах
Целью этого раздела статьи является определение основных отношений между расширенными нечеткими множествами, подобно известным для нечетких множеств.
Отношения задаются на декартовом произведении нечетких множеств. В традиционном виде это выглядит следующим образом. Пусть А1,А2,...,Ап являются нечеткими множествами, заданными элементами соответствующих универсальных множеств и1,и2,...,ип. Декартовым произведением А1, А2,..., Ап являются нечеткие подмножества множества и = и1 х и2 х ...х ип с п-мерной функцией принадлежности
мА1хА2Х...ХАп (х1,х2,...,Хп) = = ™п(ма (Х1 ), мА (Х2 ),..., мА (Хп)).
Рассмотрим определение декартова произведения для расширенного множества.
Определение 2
Декартовым произведением двухосновных расширенных нечетких множеств А1, А2,..., Ап, заданных элементами соответствующих универсальных множеств и1,и2,...,ип является нечеткое подмножество пространства и1 х и2 х... х ип с функцией принадлежности
МА1 хА2 х...хАп (х1, Х2 ,..., Хп ) =
= {™П (мА (Х1), МА (Х2 ),..., МА (Хп )),
тах (МА (Х1) , МА (Х2 ) ,..., МА (Хп ))} ,
где ма (хг ) - функция принадлежности; м А (хг) -комплементарная функция для м а (хг).
В матричном виде для А = |хг-, ма (хг), мА (хг)} и
В = |уг, ма (уг), мА (Уг)} декартово произведение представляется:
'(мА (Х1), Мса (Х1 ^
А х В = (МА (Х2 ), МА (Х2 ))
(цA (хП ) , цА (хП ))у <((цb (У:),цА (У1))(цB (У2),цА (У2))...
...{цв (УП),цА (Уп)». (7)
Нечеткие отношения в наиболее близком к сути способами [17]. В связи с рассматриваемыми далее статьи аспекте рассматривались в работе [15]. Опре- отношениями эквивалентности и частичного порядка деляются они следующим образом. Для конечных (=, <, >), а точнее их фаззифицированными аналога-
непустых нечетких множеств X и 7 задается отно-
шение RQ, Ое{х1, х2, х3, х4, х5, х6 задания i -го декартового произведения, который определяет вид отношения нии X хг7 з RО в формате
Д0 = |(( X у) , Цд0 ( X у) , VRО)\ Х 6 Х & У 6 7} ,
где цR0 : X хг 7 ^ [0,1], VRo : X х17 ^ [0,1] - функции принадлежности и непринадлежности соответственно 0 < Цд0 (x, у) +V R0 (x, у) < 1.
В соответствии с данным определением, а также представлением декартова произведения в матричном виде (7) для введенных нами расширенных множеств объединение и пересечение имеют следующий вид.
Пусть декартово произведение
А х1 В = {((x, у) , Ца (х) ЦВ (х),
ЦА (х )цВ (х)) х 6 и А , у биВ } , тогда для R 6 FRXl (X!, 7) и 5 6 (X2, 72)
ми, нас будет интересовать задание t -норм (t ■
}, где х; - способ / * ч
конорм) на полной решетке (L , < I, представляю
зведения который V ^ '
определяет вид отношения на декартовом произведе- щей собой частично упорядоченное множество, подмножества которого имеют точную нижнюю и верхнюю границы. В формальном виде полная решетка
(И, < L») определяется как [18]
1* = {(х1, Х2 )6[0,1]2 х1 + Х2 < 1} ,
(x1, Х2 )<L* (у^2 )« Х1 < У1 Л Х2 > у2 .
Обозначив 0 * = (0,1) и 1 . = (1,0), получаем
определение нечетких t -норм (t -конорм) для рассматриваемого нами случая:
1) любое монотонное, ассоциативное и коммутативное отображение (И) ^ L* является нечеткой (t -нормой) , если
(V'X)
S ZTD ( 1 *, X ) = X' Vx e L ;
(8)
(R и 5) 6 РДипюпХ1 (X1 и X2, 71 и 72) отношение в матричном виде записывается как
У1 Ут
X1 (HRuS (X1' У1) ' HRuS (X1' У1 )) (HRuS (X1' ym )' HRuS (X1' Ут ))
x2 (HRuS (X2 ' У1 ) ' HRuS (X2 ' У1 )) (HRuS (X2 ' ym )' HRuS (X2 ' Ут ))
Xn (HRuS (Xn ' У1 )' HRuS (Xn ' У1 )) •■■ (HRuS (X1'ym )' HRuS (X1' Ут ))
(R n S) e FRintX^ (X1 n X2,71 n 72 ) отношение в матричном виде записывается как
У1 Ут
X1 (^nS (X1' У1) ' HRnS (X1' У1 )) • (HRnS (X1'Ут )' HRnS (X1' Ут ))
x2 (^nS (X2 ' У1 ) ' HRnS (X2 ' У1 )) • (HRnS (X2 ' Ут )' HRnS (X2 ' Ут ))
Xn (^nS (Xn ' У1 )' HRnS (Xn ' У1 )) • (HRnS (X1'Ут )' HRnS (X1' Ут ))
Отношение нечеткого включения определим с использованием сигма-чисел нечетких расширенных множеств X, 7, вычисляемых по (6):
FRmd\Xx с X2,7! с Г2 | =
count (X n Y ) count(X )
Для дальнейшей формализации отношений нам понадобится определение t -норм (t -конорм), которые могут быть в общем случае заданы различными [19].
2) любое монотонное, ассоциативное и коммутативное отображение (И) ^ И является нечеткой (t -конормой) , если
(0х) = х, Ух 6 (9)
Другие свойства (8) и (9) можно узнать из работы
Отношение нечеткой эквивалентности сформулируем как
FReqXl (X! = X2,7! = Г2 ) =
T
FR
FRincl^Xj СX2,7! с72
FRinclX I 71 с 72, X1 с X2
(10)
Если в (10) принять за t -норму TFR (x, y) = = max (x, y), то
count (X n Y )
FRinclX =
xi
max (count (X), count (Y))
Отношение FRleqXi, которое в нечетком смысле
эквивалентно <, получим с помощью фаззификации этого отношения порядка. Учитывая, что нечеткие множества в данной работе представлены в (L - R )-виде, рассмотрим левое и правое замыкания множества А
LRa (х) = sup jA (y)| y e Z, x e Z, y < xj, (11)
где Z - произвольное непустое множество; A - нечеткое множество,
RLa ( х) = sup jA(y)| y e Z, х e Z, х < yj . (12)
Заметим, что в (16) и (17) используется высота множества A , то есть height (A) = sup jA (х)| х e Z j .
При построении отношения FRleqXi следует учитывать, что нечеткие множества с разной высотой в нем использовать нельзя, поэтому будем считать используемые нами расширенные нечеткие множества нормализованными (либо имеющими одинаковую высоту) и определим для них по аналогии с (11) и (12) нечеткие замыкания:
FLRB (A) = LR (A) \ LR (A n B), (13)
FRLB (A) = RL (A) \ RL (A n B), (14)
где 0 < цА (х) < HA (х) < 1, 0 < hB (x) < HB (x) < 1.
На основе (13) и (14) нечеткое отношение «меньше или равно» FRleqX имеет вид:
FRleq4 \Xj <X2,7j <72 j =
= Tfr (FRinclx1 (FRL7 (X), FRLx (7)), FRinclXx (FRLX (7), FRL7 (X))).
Заключение
Предложенные в статье методы и модели формального описания нечеткой слабоструктурированной информации, а также введенные операции с интуиционистскими (двухосновными) множествами являются базой для построения хранилищ больших объемов данных, которые не могут быть заданы традиционными реляционными отношениями. Заметим, что современное состояние проблемы таково, что большинство существующих и использующихся баз данных основываются именно на реляционных моделях, что не отвечает таким требованиям, как качество, скорость, безошибочность предоставления самой разнородной информации пользователям.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научных проектов 15-0103067 - а; 15-08-01886 - а +ОФИМ.
Литература
1. Codd E. Extending the Database Relational Model to Capture More Meaning // ACM Trans. on Database Sys. 1979. № 4. P. 156 - 174.
2. Buckles B., Petry F.A. Fuzzy Model for Relational Databases // Int. Jour. Fuzzy Sets and Systems. 1982. № 7. P. 213 -226.
3. Buckles B., Petry F. Fuzzy Databases and their Applications // Fuzzy Information and DeciKlationships.
4. Shenoi S., Melton A. Proximity Relations in Fuzzy Relational Databases // Int. Jour. Fuzzy Sets and Systems. 1989. № 31. P. 287 - 296.
5. Petry F.E. Fuzzy Databases. Principles and Application. Kluwer Academic Publishers, 1999. 235 p.
6. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике: пер. с фр. М., 1990. 288 с.
7. Вестн. АСУ «Экспресс-3». 2012. № 1 (3), Изд. ОАО "ВНИИЖТ", С. 5.
8. Umano M., Fukami S. Fuzzy relational algebra for possibility-distribution-fuzzy-relation model of fuzzy data // Jour. of Intell. Inf. Syst. 1994. № 3. P. 7 - 28.
9. Media J.M., Pons O., Vila M.A. GEFRED: A generalized model of fuzzy relational data bases // Inf. Science. 1994. № 76(1-2). P. 87 - 109.
10. Bordogna G., Lucarella D., Pasi G. A fuzzy objected oriented data model. In Proc. of the 3-rd IEEE Int. Conf. on Fuzzy Systems. FUZZ-IEEE'94, 1994. P. 313 - 318.
11. Mouaddib N., Subtil P. Management of uncertainty and vagueness in databases: The FIRMS point of view // Int. Jour. of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge Based Systems. 1997. № 5(4). P. 437 - 457.
12. Van Gyseghem N. Imprecision and uncertainty in the UFO database model // Jour. of Amer. Soc. For Inform. Sci. 1998. № 49(3). P. 236- 2522.
13. Martin N., Pons O., Vila M.A. Fuzzy types: A new concept of type for managing vague structures // Int. Jour. of Int. Syst. № 15(11). P. 1061 - 1085.
14. Atanassov K.T. Intuitionistic Fuzzy Sets // Theory and Applications, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg GmbH. 1999. 335 p.
15. Atanassov K.T. On Intuitionistic Fuzzy Sets Theory, Springer Verlag, berlin Heidelberg. 2012. P. 327 p.
16. Теория нечетких множеств: Новый виток развития // Тарасов В.Б. Научная сессия МИРИ. Т. 3. 2006. С. 1 - 3.
17. Klement E.P., Pap E. Triangular Norms. Springer Science +
Business Media, Dordrecht. 2000. 390 c.
18. Cornelis C., Deschrijver G., Kerre E.E. Classification of Intuitionistic Fuzzy Implicators: An Algebraic Approach // Proc. of the 6-th Joint Conf. on Inf. Sci., North Corolina, USA, 2002. P. 5 - 9.
19. Deschrijver G., Cornelis C., Kerre E.E. On Representation of Intuitionistic Fuzzy t-Norms and t-Conorms // IEEE Transaction on Fuzzy Systems. 2004. № 1(12). P. 45 - 61.
References
1. Codd E. Extending the Database Relational Model to Capture More Meaning. ACM Trans. on Database Sys, 1979, no. 4, pp. 156 - 174.
2. Buckles B., Petry F. A Fuzzy Model for Relational Databases. Int. Jour. Fuzzy Sets and Systems, 1982, , no. 7, pp. 213 - 226.
3. Buckles B., Petry F. Fuzzy Databases and their Applications. Fuzzy Information and DeciKlationships.
4. Shenoi S., Melton A. Proximity Relations in Fuzzy Relational Databases. Int. Jour. Fuzzy Sets and Systems, 1989, no. 31, pp. 287 - 296.
5. Petry F.E. Fuzzy Databases. Principles and Application. Kluwer Academic Publishers, 1999, 235 p.
6. Dyubua D., Prad A. Teoriya vozmozhnostej. Prilozheniya kpredstavleniyu znanij v informatike: per. s fr. [Theory of possibilities. Applications to knowledge representation in computer science: per. with FR]. Moscow, Radio i svyaz' Publ., 1990, 288 p.
7. VestnikASU«Ekspress-3 [Bulletin of the AMS "Express-3]. 2012, no. 1 (3), p. 5.
8. Umano M., Fukami S. Fuzzy relational algebra for possibility-distribution-fuzzy-relation model of fuzzy data. Jour. of Intell. Inf. Syst., 1994, no. 3, pp. 7 - 28.
9. Media J.M., Pons O., Vila M.A. GEFRED: A generalized model of fuzzy relational data bases. Inf. Science, 1994, no. 76(1-2), pp. 87 - 109.
10. Bordogna G., Lucarella D., Pasi G. A fuzzy objected oriented data model. In Proc. of the 3-rd IEEE Int. Conf. on Fuzzy Systems. FUZZ-IEEE'94, 1994, pp. 313 - 318.
11. Mouaddib N., Subtil P. Management of uncertainty and vagueness in databases: The FIRMS point of view. Int. Jour. of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge Based Systems, 1997, no. 5(4), pp. 437 - 457.
12. Van Gyseghem N. Imprecision and uncertainty in the UFO database model. Jour. of Amer. Soc. For Inform. Sci., 1998, no. 49(3), pp. 236 - 252.
13. Martin N., Pons O., Vila M.A. Fuzzy types: A new concept of type for managing vague structures. Int. Jour. of Int. Syst., no. 15(11), pp. 1061 - 1085.
14. Atanassov K.T. Intuitionistic Fuzzy Sets. Theory and Applications, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg GmbH, 1999, 335 p.
15. Atanassov K.T. On Intuitionistic Fuzzy Sets Theory, Springer Verlag, berlin Heidelberg, 2012, 327 p.
16. Tarasov V.B. Teoriya nechetkih mnozhestv: Novyj vitok razvitiya. Nauchnaya sessiya MIRI [Scientific session MIRI,], 2006, vol. 3, pp. 1 - 3.
17. Klement E.P., Pap E. Triangular Norms. Springer Science + Business Media, Dordrecht, 2000, 390 p.
18. Cornelis C., Deschrijver G., Kerre E.E. Classification of Intuitionistic Fuzzy Implicators: An Algebraic Approach. Proc. of the 6-th Joint Conf. on Inf. Sci., North Corolina, USA, 2002, pp. 5 - 9.
19. Deschrijver G., Cornelis C., Kerre E.E. On Representation of Intuitionistic Fuzzy t-Norms and t-Conorms. IEEE Transaction on Fuzzy Systems, 2004, no. 1(12), pp. 45 - 61.
Поступила в редакцию 20 января 2015 г.
