Модель трехмерного пограничного слоя и ее численный анализ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6,533.6

Ю. И. Д и м и т р и е н к о, А. А. 3 а х а р о в, М. Н. К о р я к о в

МОДЕЛЬ ТРЕХМЕРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ И ЕЕ ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ

Предложена модель трехмерного пограничного слоя, в которой полные уравнения Навье - Стокса решаются не для всей области обтекания, а в тонком пограничном слое, в остальной области осуществляется решение уравнений идеального газа. Предложен численный алгоритм решения системы уравнений трехмерного пограничного слоя. Проведены численные исследования модели на примере трехмерного обтекания полусферы высокоскоростным газовым потоком.

E-mail: dimit.bmstu@mail.com

Ключевые слова: газодинамика, пограничный слой, численное моделирование.

Обычно считается, что система уравнений Навье - Стокса для вязкого теплопроводного газа более точно описывает газодинамические процессы высокоскоростного обтекания тел, чем система уравнений Эйлера для идеального газа. Во всяком случае расчет теплообмена между газом и поверхностью осуществляется в рамках модели вязкого газа [1...3]. Однако условия прилипания, которые ставятся для вязкого газа на обтекаемой поверхности [3, 4], с физической точки зрения кажутся менее адекватными, чем условия непроницаемости для идеального газа. В самом деле, если представить обтекание плоской поверхности высокоскоростным потоком вязкого газа, то молекулы газа, удаленные от поверхности тела на некотором расстоянии x, за время t при установившемся движении с постоянной продольной скоростью v будут проходить расстояние l = v't. Здесь v' — скорость движения газа на расстоянии x, которая связана с v зависимостью, близкой к параболической: v' = v(x/h)2, где h — константа, обычно называемая толщиной пограничного слоя, которая зависит только от свойств самого газа, тогда l = v(x/h)2t. В то же время молекулы, прилипшие к телу, остаются неподвижными для всех времен t. Оценим расстояние l. Для скорости v=103 м/с (около 3 М) летательного аппарата длиной L = 5 м, толщину погранслоя h можно примерно выбрать равной h = 1 мм. Тогда получаем, что молекулы, отстоящие от поверхности на расстояние всего лишь x = 0,1 мм, за время полета t = 102 c перемещаются от близких к ним в начальный момент молекулам, прилипшим к поверхности, на 1 км!

Указанного противоречия модели с физической картиной движения газа лишена модель пограничного слоя, в которой газ, обтекающий

твердую поверхность, считается идеальным, а на поверхности тела формулируются двумерные уравнения, которые получают из уравнений Навье - Стокса путем введения определенных допущений [5, 6]. С физической точки зрения такая модель фактически допускает существование поверхности разрыва в газе — это внешняя поверхность пограничного слоя, на которой осуществляется сшивка решений для идеального и вязкого газа.

В данной работе была предпринята попытка проведения численных исследований обтекания тел высокоскоростным потоком, в которых поток изначально разделяется на область течения идеального газа и тонкий пристеночный слой вязкого газа, рассматриваемый в рамках системы точных уравнений Навье - Стокса. Целью работы было проведение сравнительного анализа решения, получаемого по такой модели, с решениями в рамках моделей идеального и вязкого газа во всей области.

Система уравнений Навье - Стокса. Рассмотрим систему уравнений вязкого теплопроводного газа (уравнения Навье - Стокса), состоящую из уравнения неразрывности, уравнений движения и уравнения энергии. Записанная в бескоординатной форме, эта система в рассматриваемой области V движения потока газа имеет следующий вид [4]:

(др + V.рv = 0, Эг и

■ Р + «V + рЕ-Т„ ) = 0, (1)

Р + У-((рЕ + р) - Ту • V + я) = 0.

К этим уравнениям присоединяются определяющие соотношения вязкого совершенного газа:

р = Ярв, е = смв, Е = е + ^|2/2, (2)

Ту = V )Е + V + У® V7 ), (3)

я = -XV в. (4)

Здесь р — плотность газа; ^ — время; х — радиус-вектор; Е — полная

м2

энергия газа, Е = смв + ; см — теплоемкость при постоянном объе-

п I |2 1

ме, в — температура газа; V = мм{ — квадрат модуля скорости; р — давление; Я — газовая постоянная (Я = К/и, ¡л — молекулярная масса

газа, К — универсальная газовая постоянная); Е — метрический тензор; Ту — тензор вязких напряжений в газе; q — вектор потока тепла, 11, ¡1 — коэффициенты вязкости газа, Я — коэффициент теплопроводности газа; V — набла-оператор Гамильтона [7]. Коэффициенты вязкости и теплопроводности газа являются функциями температуры, зависимости (¡1(0), ¡(в) и Я(в) для воздуха выбирались согласно классической модели из [1].

Рассмотрим четыре случая граничных условий для системы уравнений (1)-(4).

На твердой непроницаемой поверхности обтекаемого тела 21 к системе (1) присоединяется граничное условие прилипания и условие теплового баланса:

V = 0, ^в. п = де, (5)

где — заданный тепловой поток.

На границе входа потока 23 (сверхзвуковой и дозвуковой) задаются условия:

Р = Рe, V = Ve, 0 = 0 (6)

где ре, ve, ве — заданные значения.

На дозвуковой границе выхода потока 24 задается одно условие, и еще четыре условия формулируются при численной аппроксимации решения [4, 8]:

р = ре, ^ = о, М = 0, (7)

дп дп

Эv

где — = п • V ® V — нормальная производная вектора скорости. дп

На сверхзвуковой границе выхода потока 24 граничные условия не задаются, но при численной реализации формулируются четыре условия:

* = о, М = 0. (10)

дп дп

На плоскости симметрии 25 задаются условия симметрии:

р 0, V • п = 0, ^ = 0, I = 1,2, М = 0. (8)

дп дп дп

Начальные условия к системе (1)-(4) имеют вид

г = 0: р = р°, V = 0, Е = аув°, (9)

где р0, в0 — заданные значения.

Модель трехмерного пограничного слоя. Классическая теория пограничного слоя основана на системе допущений относительно распределения функций по нормали к обтекаемой поверхности тела [5] и представляет собой систему двумерных уравнений в частных производных. Чаще всего рассматривается модель установившегося пограничного слоя.

Модель трехмерного пограничного слоя построим следующим образом. Построим по нормали к поверхности твердого тела 2р обтекаемой потоком газа, еще одну поверхность 2 которую назовем внешней границей пограничного слоя. Расстояние к между поверхностями 21 и 2 вычисляемое по нормали к 2р назовем толщиной пограничного слоя. Будем полагать, что к является переменной функцией координат X1, X2, связанных с поверхностью 21, функция к(Х1, X2) предполагается заданной. Область V, ограниченную поверхностями 21, 2 24 и, возможно, 23, 25, назовем пограничным слоем.

В области Ve пограничного слоя будем предполагать справедливыми трехмерные уравнения Навье - Стокса (1)-(4). В области V \ Ve будем полагать справедливыми уравнения движения идеального нетеплопроводного газа (уравнения Эйлера):

+ V■ рг V , =0,

dt

дРг v g

dt

дргЕг

+

dt

+

V (vg ®vg + pgE) = ° (1°)

V- ((E + Pg) v g ) =

Р. = ЯРв, ея = ^, Е, = ег + IV, |2/2. (11)

Индексом , далее будем обозначать величины, относящиеся к идеальному газу.

На внешней поверхности пограничного слоя 2 являющейся границей раздела идеального и вязкого потоков, формулируются следующие условия непрерывности:

Р = р., V ■ П = У8П, V Т; = 0, П ■ Тм ■т1 = 0, в = в,. (12)

Здесь %1,1 = 1,2 — единичные векторы в касательной плоскости к 2 = V, П

Граничные условия на поверхностях 23 входа потока идеального газа, выхода потока 24 и на плоскости симметрии 25 имеют вид (6)-(8). Начальные условия к системе (10)—(11) совпадают с (9).

Уравнения Навье - Стокса и Эйлера в подвижных адаптивных координатах. Введем, кроме декартовых координат х], ортогональные криволинейные координаты Х'] и адаптивные криволинейные координаты Ху, которые согласованы с границей рассматриваемой геометрической области. Тогда система уравнений Навье - Стокса (1) может быть записана в адаптивных координатах Х'] следующим образом [1] в недивергентном виде:

Р + E p j dt & adXj

4?РР

Ha

= 0,

| ((pV) +

3

+e

a,ß=l

P'

1dX1

4? (Raß _ paß )

Ha \ '

ößr +

4i

Ha

(Raß _ Taß )Г

Y

ßa

= 0, (13)

д4?'PE + E p 1

dt a=i adxj

4s'pv

Ha

E p;

э 4?

с \ E + P

v psj

adX5 Ha

a,5,a=1

Ha dXa

+ E m aßsw

ß,s,a=1

He

p

дк.

■ + v„r!

e^ va a ae

V dX У

Здесь \а — компоненты вектора скорости в физическом базисе Г координат Х']; gаp = 01 а О, 'р&у — метрическая матрица этого базиса,

а также

V?=H,H,H„ r'ß„ =-L_-LH5

Hß dX'ß a HY dX''

aß ~>

r, = dXL, ß

, = dx' 1 = dX'1

1 dX'1

3 1

taß = Maßklv„ = E Maßea —

lk ^ TT

e rn=1 П -

, Ha=4saa, Raß=pvavß+p5aß,

PSe ^ VT

(14)

e 3X,s % Y Ye

M'1kl = /d15iJ5kl + ß2 (5'k5]1 + 5'l51k).

Запишем систему (1) также и в полных дифференциалах [4]:

р

p4s' д-+EpiadYi

dt p 0=1 dX p

d 1

p4s'

3

= E

= E p i

:dXi

V Ha ,

dvY ^ 1

-+ E —

dt a,s=1 H а

f

PS

„ dvY dp

va —- + S ^

\

W

a,s=1

a dXs aY dXs V v у

i Г~7 Л Г~. \

+ v vT7

a s sa

JJ

PS

ldXs

&

Ha

T

ay

Jg ~ ~

. у 6 rpasT^y

H sa

p4s'

de + e p s

dt ^

Ul a s=1

V

f

va de d —a--+ p-

H a dXs ds

4g'v

Ha

E p s

a,s,a=\

1dXs

XpPLa

Ha Ha dXa

\W

(15)

V

а а

3 m aßS№ ( ^ dvß ~ V

Psa+ v rß

а = E -

^dXs s sa

V У

P + v г*

sdXa a as

где ю* — функция диссипации.

Граничные условия к системе уравнений (13) или (15) в адаптивных координатах имеют вид: на жесткой стенке

Vг = 0, - Л—п1 = а ;

дХ1 е

на границе входа потока

р = Ре, V1 = , в = ве,

где у'е, ве — заданные значения скорости и температуры; на дозвуковой границе выхода потока:

' д*т п дв 1 п р = ре, п'-- = 0, --п = 0;

И Ие дХ' дХ1

на сверхзвуковой границе выхода потока:

(16) (17)

nJ

dvm

0, ^ ni =0;

дХ' дХ1 на поверхности симметрии:

р = 0, Ш = 0, п1 ^ = 0, в = 0, дХ1 1 дХ1 дХ1

(18)

(19)

(20)

d

где п — компоненты вектора нормали и т1т — компоненты векторов в касательной плоскости. Начальные условия в адаптивных координатах записываются следующим образом:

г = 0: р (0, X ) = р0, Г (0, Х>) = 0, Е (0, Xi ) = еув°. (21)

Система уравнений Эйлера (10), (11) также может быть записана в адаптивных координатах и имеет вид (13), но вязкие напряжения Тав и тепловые потоки за счет теплопроводности (правая часть уравнения энергии в (13)) в ней отсутствуют.

Алгоритм численного решения уравнений модели трехмерного пограничного слоя. При численном решении систем уравнений модели трехмерного пограничного слоя исходная связанная задача движения вязкого потока, описываемого системой (13), и идеального потока, описываемого той же системой, но без вязкости и теплопроводности, разделяется на каждом временном шаге по времени на две отдельные задачи. Вначале решается задача (13) для идеального газа во всей области V с граничными условиями непроницаемости на поверхности обтекаемого твердого тела 21. Далее по этому решению находим значения функций р на внешней границе пограничного слоя Ъ Затем осуществляется решение задачи (13) для вязкого теплопроводного газа в области V пограничного слоя с условиями (12) на внешней границе Ъе, причем функции р в этих условиях полагаются известными и берутся из полученного решения для идеального газа на предыдущем временном шаге. Далее осуществляется переход к следующему временному шагу.

Использование метода ленточных адаптивных сеток. Система уравнений (13) имеет второй порядок производных, и для ее решения был реализован модифицированный метод ЛАС. Модификация осуществляется на основе метода расщепления по физическим процессам, при котором на каждом временном шаге вычисления разбиваются на два этапа.

1. На первом этапе решается система в виде (13) без вязкости и теплопроводности:

р

dt

д

а=1

дх1

л рГ

на

0,

dtшр

) + 2

a,ß=1

pj

дх1

л

на

R

aß

5ы +

л

на

RaßrY JV 1 ßa

0, (22)

д4ё'PE

dt

+E p

д

дх1

Л ру1(E + P)

H

0.

a=1

Для ее численного решения применяется метод ЛАС на основе схемы типа Мак-Кормака [4, 9] или ТУО [10], значения же в граничных узлах вычисляются с помощью разностной аппроксимации граничных условий в точности так же, как и для идеального газа.

2. На втором этапе решается параболическая часть системы в виде (15) без конвективных членов и без уравнения неразрывности:

p4s'

-dv'

dt de

a,s=1

P'

*dXs

л

Ha

T

ay

Jg - -

+ \ 6 t as г^

Ha

- E P SadT

xp\ дв_

Ha Ha dXa

(23)

+4s'

Для ее решения применяется метод, основанный на расщеплении дифференциальных операторов по координатным направлениям. В этих целях система (23) записывается в следующем векторном виде:

Р f- = AU, + F„

где дифференциальный оператор имеет вид

(24)

AU = P'

d

( 5

i dXk

E Äzf'

z =1

1 dXn

5 dU 5

+ Eßipn + Eс и

^ Zj s^ j dXn Zj szuz

z =1

(25)

z=1

а координатные столбцы иж и таковы:

и. = (,, ?з,еув)Т = (0,0,0, ю*)) .

Ненулевые матрицы А]ар имеют следующий вид: а,

Aä,„ n,i=4g'M,a 1

a+1,ß+1

p, = 1,2,3, j =4gM'mlvm,

A5 = 4gXgni, Mj I=MmspP imP kßpl.

ß = 1,2,3,

Для численного решения полученной системы квазилинейных параболических уравнений (24) применим метод расщепления по координатным направлениям, с использованием экономичных разностных схем, пригодных для уравнений с переменными коэффициента-

ми. Аппроксимируя операторы

и dt

и AUs соответствующими

разностными выражениями, в результате получим четырехшаговую разностную схему:

О т (U m+1/4 _JJJ m ) _ At Л J m+1/4

»ys s J 2 1 s '

Pm (U m+1/2 _ J m+1/4 ) _ At д j m+1/2 ' \ s s J ry 2 s '

A (26)

~m/T-;-m+3/4 7-7- m+1/2 \ At » 7-7-, P (Us _ Us )_ТЛ3Js

m+3/4

Рт (+1 - ) = А (л1 + Л2 + Л3) ит+ш + (Лоит + Р™) А*,

где рт, и™, ¥™ — значения функций после первого этапа метода расщепления по физическим процессам, полученные с помощью решения системы уравнений (22), а и?+1/4, и™+ 1/2, и™+3/4, и?+ 1 — значения функций на промежуточных шагах разностной схемы. Линейные дифференциальные операторы Л соответствуют координатному направлению вдоль адаптивной координаты:

л

Л U _ P а —

а s 1 ЭХ'

'E AP a ft П BZP

dU,

z_1 ;ЭХö

^ Ya

a,ß_1 0X

Л 5

Л 0Js _ E P а^ E +E ад

(27)

Z_1 dX v у

z_1

аФв

Первые три разностных уравнения в системе (26) решаются методами прогонки относительно Usm+1/4, Usm+1/2, Usm+3/4, соответственно, а последнее уравнение — по явной схеме относительно Usm+1 [11].

Численное моделирование. Численное моделирование осуществлялось с помощью программного комплекса Sigma, разработанного на кафедре ФН-11, который был модифицирован для реализации описанного выше численного алгоритма решения задачи о трехмерном пограничном слое. Численный анализ проводился на примере задачи о трехмерном обтекании полусферы сверхзвуковым потоком (М = 4).

Параметры набегающего потока были следующими (граничные условия (6)):

pe = 0,0179 кг/м3, v1e = v2e = 0, v3e = 1218 м/с, pe = 1185 Па.

Трехмерная адаптивная сетка для области V движения потока по поверхности полусферы была построена также с помощью генератора сеток комплекса Sigma [9,12]. В критической точке полусферы располагался вырожденный сеточный элемент 0-грид [12]. Размеры сетки для всей области обтекания были следующими: 50Х24Х25 (30 000 узлов). Размер сетки для области Ve погранслоя: 100Х24Х20 (48 000 узлов). Толщина h области погранслоя составляла примерно 20 % от толщины всей области обтекания.

Были проведены три серии численных расчетов: 1) для идеального газа во всей области V обтекания, 2) для вязкого газа во всей области V, 3) для модели с трехмерным пограничным слоем. На рис. 1 представлены результаты расчетов обтекания тела потоком идеального газа в виде распределения основных газодинамических параметров в окрестности тела: плотности, температуры, давления и продольной компоненты скорости.

Качество полученных расчетов достаточно высокое: при численном счете формируется граница ударной волны, отошедшей от тела, зона размытости поверхности волны не превышает 2-3 разностные ячейки.

На рис. 2 показаны результаты решения той же задачи обтекания, но для вязкого теплопроводного потока (решались уравнения (1), (2) во всей области V обтекания), а также результаты, полученные по мо-

Рис. 1. Распределение параметров сверхзвукового газового потока, обтекающего поверхность полусферы (идеальный газ): а — плотность (кг/м3); б — температура (К); в — давление (Па); г — продольная скорость V3 (м/с)

С

density

""""У 0.0108 0.0192 0.0276 0.038 0.1Ж4 0.0528 0.0612 0.0696 0.078 0.0864 0.0М8

0.0129 0.0203 0.0277 0.0352 0.0426 0.05 0.0575 0.0649 0.0723 0.0797 0.0872

С'' G

pressure Н""™

цех» »ma» м»» 7ям» иам i>.» u>*<» ITM. I». ; ¡»и "'•"» "-04 'О""14 г'""14

temperature

temperature гоо 278 357 435 513 592 670 748 827 905 98"

204 282 360 438 516 594 671 749 827 905 983

v«3 V»3

-4 83«-05 124 247 371 495 618 742 865 989 l.ll»>03 1-24 а.03 -8.37»-05 124 248 372 497 621 745 869 993 1.12*03 Г24ИОЗ

Рис. 2. Расчет по модели вязкого газа (а-г) и модели трехмерного погранслоя (д-з): а, д — плотность (кг/м3); б, е — температура (К); в, ж — давление (Па); г, з — продольная скорость V3 (м/с)

дели трехмерного пограничного слоя. На рис. 2 сверху вниз показаны графики плотности, давления, температуры и продольной компоненты скорости.

Отличие результатов расчетов для трех рассмотренных случаев достаточно существенное. Вследствие условия прилипания газа к поверхности тела область заторможенного потока в окрестности критической точки для вязкого газа оказывается более широкой по сравнению с идеальным газом. Благодаря этому области максимальных значений давления и температуры в окрестности точки торможения также являются более протяженными по поверхности обтекаемого тела.

В модели с трехмерным пограничным слоем ударная волна, отошедшая от тела, располагается ближе к телу, чем в модели полностью вязкого газа. В остальном характер распределения газодинамических параметров потока почти такой же, как и для вязкого газа.

Различия в численных значениях параметров потока для всех трех моделей можно усмотреть на примере значений в критической точке на поверхности сферы, которые указаны в таблице. Наиболее существенно меняется плотность газа, в вязком газе она возрастает примерно на 12 %, а в модели погранслоя — на 21 %. Давление в критической точке для вязкого газа также возрастает, но менее существенно — на 8 %. Температура вязкого газа, наоборот, немного ниже, чем идеального, — на 1 %. Значения давления и температуры в модели погранслоя в критической точке практически совпадают с соответствующими значениями для модели вязкого газа.

Таблица

Значения параметров газового потока в критической точке на сфере, рассчитанные по различным моделям

Модель Плотность Pq, кг/м3 Давление />0', атм Температура, К

Идеальный газ 0,078 0,221 994

Вязкий газ 0,087 0,238 983

Трехмерный пограничный слой 0,095 0,238 983

Выводы. Предложена модель трехмерного пограничного слоя, заключающаяся в том, что полные уравнения Навье - Стокса решаются не для всей области обтекания, а в тонком пограничном слое. Во всей остальной области осуществляется решение уравнений идеального газа. Предложен численный алгоритм решения системы уравнений трехмерного пограничного слоя. Проведенные численные исследования на примере трехмерного обтекания полусферы высо-

коскоростным газовым потоком показали, что для рассмотренного класса задач модель трехмерного погранслоя в целом дает результаты, близкие к результатам, получаемым по модели полностью вязкого газа. Это позволяет говорить о перспективности модели, поскольку она, в целом сохраняя особенности уравнений Навье - Стокса в окрестности обтекаемого тела, в области, удаленной от тела, дает решение в рамках модели идеального газа и может быть применена для более сложных задач с системой ударных волн, косых скачков и т. п.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. К р а с н о в Н. Ф. Основы аэродинамического расчета. - М.: Высшая школа,1981.

- 496 с.

2. Л у н е в В. В. Течение реальных газов с большими скоростями. - М.: Физмат-лит. - 2007. - 327 с.

3. Ч е р н ы й Г. Г. Газовая динамика. - М.: Наука, 1986. - 424 с.

4. Д и м и т р и е н к о Ю. И., К о т е н е в В. П., 3 а х а р о в А. А. Метод ленточных адаптивных сеток для численного моделирования в газовой динамике. - М.: Физматлит, 2011. - 280 с.

5. Л о й ц я н с к и й Л. Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1975. - 679 с.

6. Ш е в е л е в Ю. Д. Пространственные задачи вычислительной гидродинамики.

- М.: Наука, 1986.

7. Д и м и т р и е н к о Ю. И. Тензорный анализ / Механика сплошной среды. Т. 1.

- М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. - 456 с.

8. Г и л ь м а н о в А. Н. Методы адаптивных сеток в задачах газовой динамики. -М.: Наука: Физматлит, 2000. - 248 С.

9. Д и м и т р и е н к о Ю. И., 3 а х а р о в А. А. Автоматизированная система для моделирования газовых потоков методом ленточных адаптивных сеток // Информационные технологии. 2009. - № 6. - С. 12-16.

10. Д и м и т р и е н к о Ю. И., К о р я к о в М. Н., 3 а х а р о в А. А., С ы з д ы-к о в Е. К. Развитие метода ленточно-адаптивных сеток на основе схем ТУЭ для решения задач газовой динамики // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2011. - № 2. - С. 87-97.

11. Д и м и т р и е н к о Ю. И, 3а х а р о в А. А., А б б а к у м о в А. С. Развитие метода ленточно-адаптивных сеток для моделирования сверхзвуковых потоков вязкого теплопроводного газа в каналах // Актуальные направления развития прикладной математики в энергетике, энергоэфективности и информационно-коммуникационных технолгиях. Сборник трудов международной научно-технической конференции, посвященной 180-летию МГТУ им. Н.Э. Баумана. - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. - С. 138-143.

12. Д и м и т р и е н к о Ю. И., 3 а х а р о в А. А., К о р я к о в М. Н., С ы з д ы-к о в Е. К., А б б а к у м о в А. С. Разработка программного обеспечения для математического моделирования в задачах сверхзвуковой аэрогазодинамики перспективных летательных аппаратов // Супервычисления и математическое моделирование. Сб. тезисов док. XII Международного семинара, г. Саров, 1115 октября 2010. - С. 34-35.

Статья поступила в редакцию 27.10.2011.

Димитриенко Юрий Иванович родился в 1962 г., окончил в 1984 г. МГУ им. М.В. Ломоносова. Д-р физ.-мат.наук, профессор, заведующий кафедрой «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана, действительный член академии инженерных наук. Автор более 200 научных работ в области вычислительной механики, нелинейного тензорного анализа, термомеханики композитов, математического моделирования в науке о материалах.

Андрей Алексеевич Захаров родился в 1983 г., окончил в 2005 г. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Кандидат физ.-мат.наук, доцент кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 20 научных работ в области вычислительной газодинамики и компьютерной геометрии. Михаил Николаевич Коряков родился в 1987 г., окончил в 2010 г. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Аспирант кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор нескольких работ в области вычислительной газодинамики.