CC BY
95
Модель оценки достоверности контроля параметров телекоммуникационных систем на основе вероятностно-статистического подхода
Ключевые слова: контроль технических параметров, точность измерений, оптимальная оценка, стохастические условия, оценка достоверности, вероятностно-статистический подход.
Целью данной работы является попытка разработать модель, позволяющую оценить эффективность технического контроля состояния телекоммуникационных систем, проводимого путем измерения амплитудных, частотных и фазовых параметров сигналов, циркулирующих в элементах сетей связи. Рассмотрена обобщенная модель контроля технических параметров телекоммуникационных систем, основанная на байесовском подходе к проектированию измерительной системы и позволяющая повысить эффективность ее функционирования в стохастических условиях измерений за счет получения близких к оптимальным оценок контролируемых параметров. Предложен алгоритм обработки измерительной информации и подход к оценке эффективности контроля, основанные на представлении состояния контролируемого объекта точкой в многомерном стохастическом пространстве параметров и признаков с заданной вероятностной мерой — вектор-функцией байесовских апостериорных вероятностей. Это позволяет отнести контролируемое состояние к одному из заданных классов и оценить достоверность результатов контроля в зависимости от его полноты и точности измерений параметров. Предлагаемая модель имеет универсальный характер и позволяет выполнять сравнительный анализ эффективности самых разнообразных информационно-измерительных систем контроля, работа которых происходит в условиях воздействия случайных факторов и основана на измерении значений амплитудных, частотных и фазовых параметров высокочастотных сигналов.
Лисичкин В.Г., дт.н, доцент, Академия ФСО России, г. Орёл, lisichkin-vg@rambler.ru
Введение
Качество функционирования современных сетей связи во многом зависит от их технического состояния. Техническое состояние различных объектов телекоммуникаций (средств, элементов сетей, самой сети, каналов и трактов связи как продуктов функционирования сети) определяется некоторой совокупностью параметров и их значениями. Поэтому современные телекоммуникационные системы (ТКС), несмотря на неоднородность применяемого оборудования, конструктивную сложность, различные технологии создания, должны подвергаться полному, своевременному и достоверному контролю.
Тенденции развития ТКС определяются необходимостью увеличения пропускной способности систем передачи, снижения стоимости интеллектуальных устройств и внедрением в современные телекоммуникации принципов распределенной обработки информации. В связи с этим усложняются задачи контроля за функционированием современных высокотехнологичных и операппонноемких систем, какими в настоящее время являются сети связи. Эти задачи решаются путем совершенствования измерительных систем (ИС) контроля, что связано как е развитием встроенных систем диагностики функциональных узлов ТКС, так и с применением современных внешних средств контроля и измерительной техники. Качество решения таких задач во многом зависит от эффективности работы системы контроля, т, е. от точности измерений параметров, полноты охвата контролем наиболее важных щфаметров, определяющих состояние ТКС, достоверности результатов контроля.
Постановка задачи
Реальные измерения контролируемых параметров происходят в условиях воздействия различных помех и шумов Н = > ■■*? %l)> которые имеют случайный характер и
ухудшают точность и стабильность измерений. Задача оценки параметров в этих условиях имеет стохастический характер и может быть сформулирована следующим образом. Плотность вероятностей значений измеряемого процесса }'(/ ) в некоторой точке Г в общем случае содержит п неизвестных параметров X = (х\,х2,.-^х„)> подлежащих оценке.
На основе наблюдения и анализа контролируемой реализации Z(i)-^(z, Х) + Н(/) случайного процесса Y(t,X) необходимо выработать оценку искомого многомерного вектора X. Наиболее полные сведения о возможных значениях контролируемых параметров X даются апостериорной плотностью вероятностей wps{x)=w{x ! Z{t)} П.2]:
wps{x)=wpr{x>iziх)! jivpr(x)iv(z/x)dx' &
где в-' (д") - априорная плотность вероятностей оцениваемого
параметра; W(Z!X) ~ функция правдоподобия; © - область всех возможных значений контролируемого параметра.
Можно сформулировать оптимизационную задачу проектирования ИС. Определение выходного сигнала измерительной системы представляется как выбор такого преобразования G над результатом измерений Z(l), чтобы минимизировать погрешность у(с, t/) между измеренным значением контролируемого параметра G{z(t)} и истинным его значением U{V(t, X)}• гДе U — вычислительная функция некоего гипотетического функционального блока (прибора) с идеализированной характеристикой вычислений:
y(G,U)= sup M{g\z{i)}-uhit,A-)]}2 =>min' (,) §t,x) С
где м{-} - математическое ожидание.
Решение этой задачи, то есть нахождение оператора С. на котором достигается niinyfG, t/)> существует не при всяких U и X. Множество тех (J, при которых y(G, можно
назвать областью синтеза вычислительных приборов U, при этом выходной сигнал функционального преобразователя G{z(i)} представляет собой выходной сигнал i/{y(f, А')} виртуального прибора U, сопровождаемый шумом G {з(/ )]■ ■
Обобщенная модель контроля
Предлагается концепция проектирования ИС, основанная на байесовском подходе к решению задачи (]). Эта концепция позволяет определить методологию повышения эффективности функционирования измерительной системы, основываясь на получении оценок кон тролируемых параметров, позволяющих минимизировать средний риск д(а"*) принятия решения в пользу оценки Х*\
д(а'* )= \w(z) iCUf*, X )yux)dx dZ=>ram z Le J **
где c(.V*. X) ~ функция потерь от принятия решения.
Данный критерий позволяет получать наилучшие оценки с точки зрения минимизации погрешности измерений [3], однако его применение связано с необходимостью иметь полную априорную информацию о контролируемом процессе, что в большинстве практических случаев затруднительно. Для преодоления таких трудностей предлагается использовать наименее предпочтительный вариант в виде равномерного априорного распределения оцениваемого параметра и простую функцию потерь c(jf*, х)= 1 - s(x* - х)- где §(} - импульсная функция Дирака. В этом случае средний риск записывается в виде I - Wpx(X) и заДача минимиза-
ции среднего риска формулируется как задача максимизации апостериорной плотности вероятностей измеряемого параметра [2,4]:
Щ{х)=Фрг{хЩг1Х)1 ¡Wpr(x)w(ZjX)dX=>max (2)
0 х*
Оценка X* вычисляется на основе решения уравнения \dWps{X)ldX\x, =0 'фи \^2Wps{x)idX2\x, <0» предполагая, что плотность вероятностей (2) непрерывна и дифференцируема по параметру X.
Предлагается следующий подход к получению оптимальной оценки х* контролируемого параметра Xj, основанный на общем соотношении (2). По наблюдаемой реализации случайного процесса Z(i). являющейся смесью полезного сигнала y(t,Xj) и шума Z(/), необходимо определить
наилучшим образом (в смысле выбранного критерия), какое конкретное значение принял измеряемый параметр Xj в этой
реализации на интервале наблюдения (о. Г)* ПРИ этом данная оценка должна быть несмещенной и эффективной:
М j х* ¡Xj }= 0, D\ х* Ixj j=> min > где Л/} } и £){.} - это математическое ожидание и дисперсия получаемой оценки соответственно. Предлагается сформулировать эту задачу в виде классической задачи распознавания, В зависимости от конкретного значения вектора параметров х = {*],:vi,...,.*■„) контролируемая система находится в одном из множества классов состояний S = (5|, S-i.....)■ Контроль любого состояния будет заключаться в измерении всей совокупности параметров X. сопоставлении результатов измерений с областью допустимых значений и принятии решения о принадлежности контролируемого состояния к одному из заданных классов.
Можно предложить подход к решению такой задачи в виде концепции представления результатов измерений контролируемых параметров Z как вектор-функции байесовских апостериорных вероятностей /Z,■(/}}]■ Данные вероятности характеризуют степень принадлежности любого результата измерений Zj(t) к каждому из множества заданных
классов [5J:
pfe^^iii')/^}
IL^M^/s*}
где pf{Sf.} — априорная вероятность jfc-ro класса состояний; P{Zi(l)/S/c } — условная по к- му классу априорная вероятность /-той реализации Z.
Тогда решающее правило объективного распознавания будет заключаться в следующем: любой измеряемой реализации Zj(i) приписывается принадлежность к тому классу,
апостериорная вероятность которого в соответствующей точке пространства максимальна:
Y2; eSk прннятьрешение:
Z, е Sk при P{Sk /Z,} = maxP[s;/zj, (4)
zj<isk при p{skizj}*m-a)ip^jizi), k,j*-1.v,
Это правило принятия решения (критерий идеального наблюдателя) является оптимальным в том смысле, что в данном случае суммарная по всему пространству Z вероятность ошибки является минимально возможной для любых разбиений пространства на классы по этому правилу и принципиально не уменьшаемой при распознавании состояний ТКС по единичной реализации измерений \ 1],
Если свести задачу оптимальной оценки к одномерной, то критерий идеального наблюдателя изменится [4|:
L ' m?M
Получение оптимальной оценки но данному критерию связано с необходимостью знать вею априорную информацию о контролируемом процессе. Это функции плотности вероятности измеряемого параметра и реализации случайного процесса jV(xj)t М'[-(-(/)], а также условная плотность
вероятности И-'[г; (/)/.*,-]■ 13 большинстве практических случаев это является затруднительным, поэтому предлагается рассматривать самый неблагоприятный вариант равновероятного распределения ¡у(х.) и №[?,(/)]■ В этом случае опенка по
критерию максимума апостериорной вероятности заменяется оценкой но критерию максимального правдоподобия:
¿{;г;')= w\zj(t)lXj\^> max, / = 1,и-
Для ТОГО чтобы получить достаточно простые аналитические выражения, необходимо выполнение ряда ограничений, главными из которых являются следующие: шум яМ должен быть белым, а сигнал 2.(/) должен быть финитным как
по спектру, так и во времени. Тогда критерий максимума функции правдоподобия будет иметь следующий вид [3,4]:
L(xj) = (27K,-rAfTexpl--iïz,(i)- Y{!,*,)] 2dtl=>max'
[ Ko J
(5)
где Xj — среднее значение измеряемого параметра; AF -ширина спектра измеряемого сигнала; Л'^, =СТщ/ЛР - спектральная плотность шума; сгЦ, - мощность шума.
Эквивалентные преобразования позволяют перейти к более удобным для последующей реализации выражениям функции правдоподобия. Перепишем выражение (5) в виде
\[z2 (/) - 2 Z(/)Y(i, xi ) + Y2 (/, Xj ф/ => max1
1
(3)
!п /Д.*,-) =--т
NI о
Поскольку первое слагаемое от измеряемого параметра не зависит, его при максимизации можно не учитывать:
In И;
Ni и
ZU)Y(i,Xi)-Yz(r
II:
max
(6)
Если речь идет об оценке амплитудных параметров контролируемого сигнала (Л/- = Ут/ )н ТО в предположении постоянства амплитуды на интервале измерений {О, Т) можно записать: У(1,Ут1) = Ут;У(г)- При этом оптимальная оценка
амплитуды у*. определяется как решение уравнения с1{\\\ЬХУт1))1с]Ут1 и записывается в следующем виде [5|:
С = | P'M™ )Z{t)dt\h
¡r%Vml)di
Это выражение для оценки амплитуды одновременно служит алгоритмом измерений. Получаемая оценка является несмещенной и имеет дисперсию Щт =Рщ /2Рс =1/2й2 ,
где /г = рс /рш - отношение мощностей полезного сигнала и шума.
При оптимальной оценке фазовых параметров: = (р,-> слагаемое }'-(/, ) в выражении (6) определяет среднюю мощность сигнала и от ф(. не зависит, поэтому оптимизационная функция принимает вид [5]
i
in 1{Й)=-Дг Í
n.~ j
В силу случайного разброса значений параметров и погрешностей измерений при осуществлении контроля, а также из-за различных факторов, имеющих методический характер (неполнота контроля, невозможность учета взаимозависимости параметров и сопутствующих влияний, несовершенство выбранных метода, критериев и способов обработки данных измерении) результаты контроля I имеют четыре исхода с вероятностями:
p[s,í- Р\Z2(/ )/5]} + P\S2 ; ■ Р{Z2{t)lS2} '
_/>{S,}-P{Z,(f)/S|}_ .
P\s]}-P{z2(t)/S¡}+P}■ p{z2(t)/s2} '
1_ 0
/tiя получения оптимальной оценки фазы необходимо иметь генератор опорного сигнала }'(/, <р), который должен перестраиваться но измеряемому параметру <р в интервале времени (0,7') до тех пор, пока не будет получено максимальное значение сигнала на выходе интегратора. Значение фазы опорного сигнала Y(t, (р) 13 момент получения максимума будет давать искомую оценку ф*. Эта оценка является несмещенной, а дисперсия ошибки, как и при оценке амплитуды, зависит от отношения мощностей сигнал/шум: ¡j =
Поскольку синтез схем оптимальных измерителей амплитуды, частоты и фазы требует точного знания множества априорной информации, а устройства, реализующие оптимальную схему, должны быть абсолютно точно выполнены, предлагается переходить к синтезу близких к оптимальным измерительных схем, дающих квазиоптимальную оценку. Первый подход при осуществлении синтеза квазиоптимальных устройств - упрощение сложных схем, составляющих оптимальный измеритель, другой подход заключается в использовании схем дискриминаторного типа.
Оценка эффективности контроля
Для оценки достоверности результатов измерений предлагается обобщенная модель функционирования ИС в виде дерева исходов при двух альтернативном контроле. В этом случае контролируемое состояние может принадлежать одному из двух классов: когда в контролируемой среде
отсутствуют отклонения от норм, и при наличии хотя бы
одного отклонения. Оценка контролируемого состояния производится па основе байесовского подхода в соответствии с соотношением (3) для вектор-функции апостериорных вероятностей [p{$í !Z;(t)}],i,к-1,2. Решающее правило объективного распознавания (4) в этом случае записывается в виде
P{S\!Z¡{t)} > P{S2/ZM> i=h2' z ¡ çs2
рк /г М-р* - . . ,
При контроле одиночного параметра вероятность отсутствия или наличия отклонения по любому параметру V с плотностью распределения определяется выражениями
= ххЬ + ,р*у х № .
где а=дт|П,А = ^тах — нижняя и верхняя допустимые границы изменения х.
Если случайные погрешности измерений имеют плотность распределения у/-, (е) и не зависят от измеряемых параметров, то априорные условные и безусловные вероятности правильных ^б/б'а также ошибочных Рб1в>Р&< заключений о состоянии среды записываются в виде:
Р<х> = p\s\}'P{Z\} = jV,Ц jtfSÍeWejA- ¡
Pm =r{zI(0/5,}=PM; pü = pis2} ■ r{z2(t)/s2}=
= £ Wx{x{ ^2{s)de+^V2{s\iE^dx+ JЩЦ jw&jtfe)dx;
&A, =P{Zi }=/Ц) - j ;
p„5 = ^v2(e)ds+ p^jrfsj dx;
= | »'|(v j |tf'2(f )í/f j1:/.v+ £ dx ;
p„m = p{za (t)/s2 } = Ц j"í пa ;
mp, (7)
где PHfó=a - ошибка первого рода, связанная с ложным выявлением отклонения от нормы, а Р&и = р ~ ошибка второго рода (пропуск имеющегося отклонения). Для оценки эффективности контроля предложено использовать два вида показателей: ¿)| - \ „а_р, если все ошибки одинаково важны, и />>=|-р, максимально учитывающий вероятность
ошибки второго рода, при этом ошибка первого рода ограничивается в допустимых пределах: а< А.
В |5] выполнен расчет и приведены графические зависимости вероятностей ошибок первого и второго рода от средне к вадрати чес к и х отклонений измеряемого параметра гг,, и
погрешности его измерения 0(., а также от величины допуска
на контролируемый параметр ¿^ = _пг] м ' зависи"
мости рассчитаны для нормального и равномерного законов распределений ^ (д-), ич (е). поэтому позволяют оценить
диапазон значений достоверности контроля параметров: ошибки измерений будут максимальны для равномерного и минимальны для нормального законов распределения.
Выражения (7) справедливы в условиях измерения контролируемых параметров по единственной реализации случайного процесса. Если при контроле измерения повторяются / раз, то новые значения получаемых ошибок аир можно определить по формулам
а= ¿с/о^(!-<*)'"'; М- ¿С/О-РУУЧ
где щ ~ число положительных результатов контроля при его неоднократном повторении / раз, причем ! <1 •
Анализ данных выражений показывает, что многократное измерение параметра л- в процессе контроля позволяет увеличить вероятность ошибки первого рода а и одновременно уменьшить вероятность ошибки второю рода р. Это свойство практически можно использовать для изменения соотношения между исследуемыми параметрами или характеристиками объектов контроля, определяющими достоверность полученных результатов, в зависимости от наличия мешающих факторов. Для оценки достоверности результатов, полученных после проведения контроля, служат апостериорные вероятности правильных !Р^н и ошибочных
-я*; Р&н - Р* заключений о контролируемом состоянии, которые обычно принимаются по совокупности значений измеренных параметров.
Связь между априорными и апостериорными условными вероятностями определяется выражениями:
Р*=Р,{\-р) + а1\-Рц)\ (8)
Рт^Р^-аЖР^-т+т-Ш-,
Р*т = /?/>„ /[/ЗРН + (1 -а){\-?„)]. (9)
Показатели (8), (9) связаны с вероятностями ошибок по параметрам а и р, а через них - е характеристиками рассеивания параметров ах и погрешностей измерений ■
Зависимости Р*№ и /£„ от (1х/ау И сте/ал- При нормальных
законах распределения параметров и погрешностей измерений показаны на рис. 1.
Достоверность контроля совокупности параметров зависит от ошибок измерений одиночных параметров а,, Р/, ¿-1,2,...,»^ а также от числа контролируемых параметров т и полноты контроля т/п (п - общее число параметров, определяющих техническое состояние ТКС).
С—----□ 10-' I^U____._
0.01 0,02 0.05 0.1 0,2 0J 3 0д)1 0,02 0,0? ОД 0.2 0J I
а) о)
Рис. 1. Графики апостериорных условных вероятностей ошибок первого {а) и Второго (й) родов
Вероятности ошибок контроля, в предположении независимости т контролируемых параметров, можно определить следующим образом [6]:
а° =1—(1—аг,)"1;
ш Г
Данные выражения позволяют оценить условные вероятности ошибок и достоверность контроля в зависимости от его полноты, характеристик контролируемой среды и средств контроля.
Заключение
Предлагаемая модель оценки достоверности контроля основана на проверке технического состояния телекоммуникационных систем с помощью измерения некоторой совокупности амплитудных, час тотных и фазовых параметров сигналов, циркулирующих в элементах ТКС, и позволяет, во-первых, за счет применения квазиоптимальных методов обработки получать оценки контролируемых параметров, близкие к оптимальным; во-вторых, оценивать достоверность результатов контроля в условиях случайного воздействия помех в зависимости от его полноты и точности измерений параметров.
Данная модель носит универсальный характер, так как основывается на предварительных расчетах вероятностей ошибок контроля для нормального и равномерного законов распределений. Это позволяет выполнять оценку достоверности контроля в интервале значений от минимального до максимального (соответственно для равномерного и нормального законов распределения контролируемых параметров и погрешностей измерений). Поэтому с помощью этой модели можно проводить сравнительный анализ эффективности самых разнообразных информационно-измерительных систем, работа которых происходит в условиях воздействия случайных факторов и основана на измерении значений различных параметров высокочастотных сигналов,
J1 итературл
1. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. ■ М.: Радио и связь, 1982. - 624 с.
2. Куликов E.H. Методы измерений случайных процессов. - М.: Радио и связь. 1986. - 246 с.
3. Вии Tpttc Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Т.1. Пер. с англ. - М, : Сов. Радио, 1972. - 744 с.
4. Тихонов ВН.. Харисов В Н. Статистический анализ н синтез радиотехнических устройств и систем, - М.: Радио и связь, 1991, -608 с.
5. Лисичкин В.Г. Резонансные измерения параметров окружающей среды: монография. Орел: Им-во Академии ФСО России, 20П. - 286 с.
6. Лесин H.H. К вопросу об оценке достоверности контроля сложных объектов И Надежность и контроль качества. № S, 1982, -С. 44-49.
