CC BY
92
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл № ФС77 - 48211. Государственная регистрация №0421200025. ISSN 1994-0408
электронный научно-технический журнал
Модель нелинейного деформирования и накопление
повреждений в полимерных композитах
# 02, февраль 2014
В01: 10.7463/0214.0687567
Русланцев А. Н., Думанский А. М.
УДК 620.22
Полимерные композиционные материалы получают все более широкое распространение в авиационной и ракетной технике, поскольку обладают уникальными физико-механическими характеристиками, без которых реализация многих проектов была бы невозможна, поэтому разработка методов, позволяющих описывать свойства полимерных композтов с учетом структурных и технологических факторов является актуальной задачей.
Большинство моделей деформирования слоистых композитов основаны на создании методов расчета деформации материала с произвольной схемой укладки, основываясь на характеристиках слоя. В [1] экспериментально показано, что механические свойства слоя в направлении армирования слабо зависят от напряжений, в то же время при деформировании слоя в направлении поперек волокон и при сдвиге проявляется нелинейная зависимость Е2 и С12 от напряжений. В работе [2] показано незначительное упрочнение при растяжении слоя в направлении армирования.
Во многих работах показано, что нелинейные свойства пакета в основном определяются нелинейностью сдвиговых характеристик слоя [3, 4, 5]. В работе [6] описание нелинейных свойств осуществляется при помощи соотношения Рамберга — Осгуда. В [7] предполагается, что нелинейность вызвана растрескиванием матрицы. В [5] нелинейные свойства слоя при сдвиге аппроксимируются полиномом второй степени.
В данной работе с помощью матричных алгоритмов и аналитической аппроксимации кривых деформирования в плоскости слоя при сдвиге предлагается метод построения нелинейных определяющих соотношений пакета по характеристикам слоя.
Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана
Введение
1. Модель нелинейного деформирования
рис.1
рис.2
В международном Проекте Third World-Wide Failure Exercise (WWFE-III), посвященном разработке моделей деформирования и разрушения полимерных композитов [1], приведены данные нелинейного деформирования при сдвиге в плоскости слоя (рис. 1).
Рис. 1. Кривые деформирования при сдвиге в плоскости слоя: 1 — углепластики АБ4/3501-6; 2 — 1М7/8552; 3 — 040/800; 4 — стеклопластик ЬУ556/60
Поскольку нелинейные свойства слоя и пакета в основном определяются нелинейными свойствами слоя при сдвиге в плоскости слоя [4], выполним аппроксимацию кривой деформирования при сдвиге. Для примера рассмотрим низкомодульный высокопрочный углепластик АБ4/3501-6, получивший широкое распространение в авиационной и ракетно-космической технике. Упругие характеристики слоя следующие: Е1 = 126 МПа, Е2 = 11 МПа, 012 = 6.6 МПа, ^12 = 0.28.
Для большинства углепластиков можно выделить начальный линейный участок на диаграмме деформирования при сдвиге, поэтому будем использовать следующую аппроксимацию (рис. 2):
т12 = #06Т12 - /Н(т - т*),
где д06 — модуль сдвига на начальном участке; Н () — функция Хэвисайда; / — аппроксимирующая функция.
Для углепластика АБ4/3501-6 для аппроскимации была использована экспоненциальная функция:
/(т) = 2.0ехр(0.024(т - т*)) Н(т - т*),
где т* = 35 МПа.
Рис. 2. Аппроксимация кривой деформирования в плоскости сдвига для углепластика АБ4/3501-6. Кружками показана экспериментальная зависимость [1]
Матрицу жесткости слоя представим в следующей форме: [012] = [012] - [О0] /, где [О02] — матрица жесткости слоя без учета нелинейности;
0 0 0
[О0] = 0 0 0
0 0 1
вспомогательная матрица.
Переход к матрице жесткости пакета осуществляется по теории слоистых пластин:
[Оху] = ^[Тг][012][Тг]тЫ = [0Ху] - [0] /
где [ОХу] = Е[Тг][О02][Тг]тЫг; [О] = Е[Т][0о][Тг]тЫ; [Т] — матрица поворота; Ы —
г г
относительная толщина ¿-го слоя.
Матрица податливости вычисляется как обратная матрице жесткости:
[£*] = ([0Ху][1] - [О]/)-1 = ([/] - [0Ху]-1[0]/)-1[0Ху]-1,
где 1 — единичная матрица.
Пусть [А] = [0Ху]-1[0], [5£у] = [0Ху]-1. Произведемдиагонализациюматрицы [А]: [А] = = [Л][Б][Л]-1, где [Л] — матрица, составленная из нормированных собственных векторов, а [Б] = (А1, Л2, А3) — диагональная матрица собственных значений. Тогда, разложив в ряд, получим
([1] - [А]/)-1 = 1 + А / + (А /)2 + ... = Л(1 + Б / + (Б /)2 + ...) Л-1,
1 + Б/ + (Б/ )2 +... = * )
л - А/
Таким образом, матрицу податливости пакета можно представить в следующем виде:
1
] = [Л] Шав
1 - Аг/
рис.3
Связь между напряжениями и деформациями осуществляется следующим образом:
{в«} = {в(г-1)} + [£«] ({<7«} - {а^}). (1)
Деформаций по осям х и у при одноосном растяжении вдоль оси Ох вычисляются следующим образом:
=■(0 = Л—)
+ с (<(г) _ <(г-1))- в(г) = в(г-1) + 5 (<(г) - а(г-1))
х ^х + схх(ах <х 7) ву = ву + сху (<х <х ).
При помощи описанной выше модели нелинейного деформирования была построена зависимость продольных и поперечных деформаций пакета со схемой укладки [0/± 45°/90°] от величины напряжений. Соответствие экспериментальных и расчетных данных показано на рис. 3.
400
350
300
250
3 200
150
100
50
\
\ \ / /
\ \ \ ..... \ /
/ ■ \ 1 / / / 1 4
-2
(ц, -'■>.
"А
а б
Рис. 3. Зависимость деформаций от напряжений: а — схема укладки [0/ ± 45/90] (кружками показана экспериментальная зависимость, сплошной линией — теоретическая, пунктирной — без учета нелинейности сдвиговых свойств); б — схема укладки [±45]
2. Феноменологическая модель накопления повреждений
Представим матрицу податливости в следующем виде:
[Бху ] = [Д£][50у ],
(2)
где
[Д£] = [Я] Жав Запишем выражение (1) с учетом (2)
1
1 - Аг/
[Я]
1
{вху } = [ДБ][Б0Ху ][<ху ].
Матрица [Д$] показывает влияние нелинейных свойств на деформацию пакета. Ее влияние можно оценить при помощи такой величины, как норма ||Д$||. Например, при
деформировании в линейной области функция / равна нулю, матрица [Д$] — единичная, и, соответственно, не оказывает влияния на величину деформаций.
Норма матрицы ||Д$|| определяется ее собственными числами и равна норме матрицы
-—- ) [9]. Можно видеть, что в начальный момент норма матрицы равна единице, а
\1 - /
с ростом функции / увеличивается и норма ||$||.
Однако величина накопленных повреждений в начальный момент равна нулю, поэтому для оценки величины накопленных повреждений, можно использовать следующее выражение:
W = 1 - 1
||Я Г
В начальный момент его значение равно нулю, а с ростом нормы ||$|| растет и W.
Заключение
Предложена модель, описывающая нелинейное деформирование полимерных композиционных материалов и позволяющая разделить влияние укладки слоев и нелинейность при сдвиге на свойства пакета, выполнен соответствующий расчет для описания нелинейного деформирования образцов из углепластика АБ4/3501-6, показывающиий удовлетворительное согласие расчетных и экспериментальных данных.
Представлены соображения по описанию накопления повреждений в композитах.
Список литературы
1. Caddour A.S., Hinton M.J., Li S., Smith P.A. Damage prediction in polymeric composites: Update of Part (A) of the Third World-Wide Failure Exercise (WWFE-III) // 18th Int. Conference on Composite Materials. QinetiQ Ltd, 2011. 5 p. Available at: http://www.iccm-central.org/ Proceedings/ICCM18proceedings/data/2.%20Qral%20Presentation/Aug23(Tuesday)/T45%20 Mechanical%20and%20Physical%20Properties/T45-5-IF1621.pdf, accessed 01.1.2013.
2. Лагас П.А. Нелинейный характер зависимости «напряжение-деформация» для слоистых графитоэпоксидных пластиков// Аэрокосмическая техника. 1985. №4. С. 102-111.
3. Hahn H.T., Tsai S.W. Nonlinear Elastic Behavior of Unidirectional Composite Laminate // Journal of Composite Materials. 1973. Vol. 7. P. 102-118. DQI: 10.1177/002199837300700108
4. Думанский A.M., Русланцев А.Н., Карасева А.А. Расчет нелинейного деформирования перекрестно армированных углепластиков // Материалы IX Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2012) (Алушта, 25-31 мая 2012 г.). М.: Изд-воМАИ, 2012. С. 363-365.
5. Rotem A., Hashin Z. Failure Modes of Angle Ply Laminates // Journal of Composite Materials. 1975. Vol. 9. P. 191-206. DQI: 10.1177/002199837500900209
6. Bogetti T., Hoppel C., Harik V., Newill J., Burns B. Chapter 5.12 — Predicting the Nonlinear Response and Progressive Failure of Composite Laminates: Correlation with experimental results // In: Failure Criteria in Fibre Reinforced Polymer Composites: The World-Wide Failure Exercise. Elsevier, 2004. P. 961-975. DOI: 10.1016/B978-008044475-8/50034-2
7. Schueker C., Petterman H.E. Combining elastic brittle damage with plasticity to model the non-linear behavior of fiber reinforced laminates // In: Mechanical response of composites / Camanho P.P., Davila C.G., Pinho S.T., Remmers J.J.T. (Eds). Springer, 2008. P. 99-117. (Ser. Computational methods in applied sciences; vol. 10). DOI: 10.1007/978-1-4020-8584-0,5.
8. Sun T.C., Tao J., Kaddour A.S. The prediction of failure envelopes and stress/strain behavior of composite laminates: Comparison with experimental results // In: Failure Criteria in Fibre Reinforced Polymer Composites: The World-Wide Failure Exercise. Elsevier, 2004. P. 890-902. DOI: 10.1016/B978-008044475-8/50030-5
9. Ланкастер П. Теория матриц: перев. с англ. М.: Наука, 1978. 280 с.
SCIENTIFIC PERIODICAL OF THE BAUMAN MSTU
SCIENCE and EDUCATION
EL № FS77 - 48211. №0421200025. ISSN 1994-0408
electronic scientific and technical journal
A model of nonlinear strain and damage accumulation
in polymer composites
# 02, February 2014
DOI: 10.7463/0214.0687567
Ruslantsev A. N., Dumansky A. M.
This paper presents a model to predict a nonlinear strain of the carbon laminate; the model is based on the relations between the theory of laminated plates and the non-linear approximation of deformation curve of unidirectional layer at the shear in the layer plane. The explicit expressions of stiffness and compliance matrices were obtained via multiplying the matrices that correspond to the elastic characteristics by the matrices, considering the non-linear properties of the laminate. The paper suggests an approximation option for the non-linear properties of the layer at the shear using an exponential function. Some considerations on damage accumulation in carbon laminates were made.
Publications with keywords: nonlinear strain, carbon fiber reinforced plastic, theory of laminated plates
Publications with words: nonlinear strain, carbon fiber reinforced plastic, theory of laminated plates
1. Caddour A.S., Hinton M.J., Li S., Smith P.A. Damage prediction in polymeric composites: Up-date of Part (A) of the Third World-Wide Failure Exercise (WWFE-III). Proc. of the 18th Int. Conference on Composite Materials (ICCM18). QinetiQ Ltd, 2011. 5 p. Available at: http://www.iccm-central.org/Proceedings/ICCM18proceedings/data72.%20Qral%20 Presentation/Aug23(Tuesday)/T45%20Mechanical%20and%20Physical%20Properties/T45-5-IF1621.pdf, accessed 01.1.2013.
2. Lagace P.A. Nonlinear stress-strain behavior of graphite/epoxy laminates. AIAA Journal, 1985, vol. 223, no. 10, pp. 1583-1589.
Bauman Moscow State Technical University 105005, Moscow, Russian Federation
References
3. HahnH.T., Tsai S.W. Nonlinear Elastic Behavior of Unidirectional Composite Laminate. Journal of Composite Materials, 1973, vol. 7, pp. 102-118. DOI: 10.1177/002199837300700108
4. Dumanskiy A.M., Ruslantsev A.N., Karaseva A.A. Raschet nelineynogo deformirovaniya perekrestno armirovannykh ugleplastikov [Calculation of nonlinear deformation of cross-reinforced carbon plastics]. Materialy 9Mezhdunarodnoy konferentsiipo neravnovesnymprot-sessam v soplakhistruyakh (NPNJ'2012) [Proc. of the 9th International Conference on Nonequi-librium Processes in Nozzles and Jets (NPNJ'2012)], Russia, Alushta, 25-31 May 2012. Moscow, MAI Publ., 2012, pp. 363-365.
5. Rotem A., Hashin Z. Failure Modes of Angle Ply Laminates. Journal of Composite Materials, 1975, vol. 9, pp. 191-206. DOI: 10.1177/002199837500900209
6. Bogetti T., Hoppel C., Harik V., Newill J., Burns B. Chapter 5.12 — Predicting the Nonlinear Response and Progressive Failure of Composite Laminates: Correlation with experimental results. In: Failure Criteria in Fibre Reinforced Polymer Composites: The World-Wide Failure Exercise. Elsevier, 2004, pp. 961-975. DOI: 10.1016/B978-008044475-8/50034-2
7. Schueker C., Petterman H.E. Combining elastic brittle damage with plasticity to model the non-linear behavior of fiber reinforced laminates. In: Camanho P.P., Davila C.G., Pinho S.T., Remmers J.J.T., eds. Mechanical response of composites. Springer, 2008, pp. 99-117. (Ser. Computational methods in applied sciences; vol. 10). DOI: 10.1007/978-1-4020-8584-0.5
8. Sun T.C., Tao J., Kaddour A.S. The prediction of failure envelopes and stress/strain behavior of composite laminates: Comparison with experimental results. In: Failure Criteria in Fibre Reinforced Polymer Composites: The World-Wide Failure Exercise. Elsevier, 2004, pp. 890902. DOI: 10.1016/B978-008044475-8/50030-5
9. Lancaster P. Theory of matrices. New York, Academic Press, 1969. (Russ. ed.: Lancaster P. Teoriya matrits. Moscow, Nauka, 1978. 280 p.).
