CC BY
316
Системный анализ
31
УДК 681.5(07)
М. ШЕЙХ ЭЛЬ НАЖЖАРИН, А. Г. СЕНЬКОВ, Белорусский национальный технический университет
МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА И АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ПИД-РЕГУЛЯТОРА
В работе на примере системы автоматического регулирования температуры в помещении показана возможность использования пакета компьютерного моделирования Simulink для решения задач идентификации, моделирования и синтеза систем автоматического управления.
In the paper is considered a system of automatic control of the temperature in a room and is shown a method of its ’ synthesis by using components of Simulink software package.
В связи с повсеместным развитием современных компьютерных технологий существенно изменились подходы к решению задач анализа и синтеза систем автоматики. Прикладные пакеты MATLAB, DesignLab, Work-Banch, VisSim и др., используемые для исследования и проектирования электромеханических систем, позволили качественно изменить и существенно расширить возможности инженера.
В качестве примера использования системы компьютерной математики (СКМ) Matlab для моделирования, анализа и синтеза объектов и систем автоматики рассмотрим задачу синтеза системы автоматического регулирования (САР) температуры воздуха в помещении, в роли которого может использоваться учебный сушильный шкаф типа ШСУ, имеющий объем сушильной камеры 10 л и максимальную температуру нагрева 150 0С. Структурная схема САР изображена на рис. 1.
Для синтеза САР с типовым законом регулирования необходимо иметь математическое описание составляющих ее элементов (звеньев).
Получим теоретическим путем математическую модель помещения как объекта управления. Значение температуры воздуха в помещении 0 зависит от двух величин: мощности работающего электронагревателя P и температуры наружного воздуха 0Н. В данном случае для упрощения последующих рассуждений мы будем пренебрегать другими обстоятельствами, которые могут влиять на температуру
в помещении, такими, например, как уровень солнечного освещения или скорость ветра снаружи. Для получения математической формулы, отражающей эту зависимость, будем руководствоваться сведениями из области теплофизики и теплообмена. В процессе нагрева помещения одна часть тепловой мощности электронагревателя Р1 расходуется на увеличение температуры в помещении, а другая часть Р2 - рассеивается наружу путем теплопередачи через стены. Соответствующие математические формулы имеют следующий вид:
Р = Л .
1 dt
(1)
Рис. 1. Структурная схема САР температуры воздуха в помещении: 0 - управляемая величина (температура); 0д - значение температуры, измеряемое датчиком; 0ЗАд -заданное (требуемое) значение температуры; e - ошибка регулирования; u - управляющее воздействие регулятора на объект управления (ОУ); 0н - возмущающее воздействие на ОУ (температура снаружи); Woy - передаточная функция ОУ по управляющему воздействию; W0F - передаточная функция ОУ по возмущающему воздействию; йд - передаточная функция датчика;
WPEr - передаточная функция регулятора
1, 2015
СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА
32
Системный анализ
P =~y (е-0н ), (2)
где с [Дж/°С] - теплоемкость помещения; S [м2] -площадь стен; к [Вт/(м0С)] - коэффициент теплопроводности стен (зависит от материала стен); l [м] - толщина стен.
Учитывая, что сумма обеих мощностей равна мощности электронагревателя, получим:
^ (е-ен )=р.
dt l К
Преобразуем эту формулу таким образом, чтобы все члены, содержащие выходную величину (температура 0), располагались в левой части уравнения, а входные величины (P и 0н) -в правой части, получим в итоге математическое описание рассматриваемого объекта управления:
где dQ [Дж] - количество теплоты, переданное от окружающей среды датчику за малый промежуток времени dt; 0д [вС] - температура чувствительного элемента датчика; кд [Дж/(0Сс)] -некоторый постоянный коэффициент, характеризующий теплопроводность чувствительного элемента датчика; сд [Дж/0С] - теплоемкость чувствительного элемента датчика (зависит от его массы и удельной теплоемкости металла).
Приравняв выражения (6) и (7), получим:
dQ л
гд^+ед=е, (8)
Стт
где Тд = —— [с.] - постоянная времени датчика.
"Д
Передаточная функция датчика равна:
1
WA(s) =
V + 1
(9)
T----
dt
е = kp+е
н
(3)
где T = —— [с.] - постоянная времени; K = -!— S к S к
[0с/ Вт] - коэффициент преобразования.
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка. Передаточные функции ОУ по управляющему и возмущающему воздействиям, соответственно, равны:
WOY(s) = ^of(s) =
is:
7i + l' 1
Г;у + 1 .
(4)
(5)
Также теоретическим путем достаточно легко получить математическую модель датчика температуры, в качестве которого в нашем случае используется термосопротивление. Если такой датчик поместить в среду с некоторой температурой 0, отличной 0д, то будет происходить теплообмен между чувствительным элементом датчика и окружающей средой, в результате чего температура датчика будет стремиться к температуре среды, при этом, соответственно, будет меняться и его сопротивление. Математически этот процесс будет описываться следующими формулами:
dQ — Кд ^0 0д)dt, (6)
dQ = cRdQR, (7)
В нашем случае для измерения температуры использовалось термосопротивление PtlOOO, для которого значение постоянной времени может быть определено из паспортной документации и составляет приблизительно Тд «20с.
Теоретический способ получения математической модели объекта в данном случае имеет тот недостаток, что с его помощью весьма затруднительно точно определить конкретные числовые значения входящих в выражения (3)-(5) коэффициентов K, T, так как они зависят от многих факторов (площадь и высота помещения, толщина и материал стен и т.д.) Поэтому в данной работе использовался смешанный способ получения математической модели объекта: структура модели (вид уравнения, связывающего вход и выход звена) определялась теоретическим путем, а значения коэффициентов - путем идентификации.
На вход объекта подавалось ступенчатое воздействие: электрический нагревательный элемент был включен, при этом значение выделяемой на нем тепловой мощности было постоянным и равнялось 100 Вт. Температура воздуха в сушильной камере каждые 3 с. измерялась термосопротивлением, подключенным к измерителю типа «Сосна-ООЗМД», данные измерений передавались в компьютер. Для обработки результатов измерений и решения задачи идентификации использовались инструменты библиотеки System Identification, входящей в состав пакета Simulink. В качестве
СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА
1, 2015
Системный анализ
33
Рис. 2. График переходной функции объекта управления: кривая серого цвета - экспериментальная, кривая черного цвета - расчетная
структуры модели объекта была выбрана модель типа «вход-выход» (по английски «Output-Error», сокращенно ОЕ) [1], апериодическое звено 1-го порядка.
В результате была определена передаточная функция объекта управления по управляющему воздействию (рис. 2). Она оказалась равной:
Wl( 5)
K
(г+1)5
(io)
где K * 0,78 [°С/Вт]; T1 * 502 с.
Для более точного совпадения экспериментальной и расчетной кривых структура модели в Simulink была задана также в виде апериодического звена 2-го порядка. Были получены следующие результаты расчета:
W2( 5)
K
(T3s + 1)(T4s +1) ’
(11)
где K * 0,78 [°С/Вт]; T3 * 391 c.; T4 * 98 c.
В качестве меры оценки точности идентификации использовалось максимальное по модулю отклонение расчетной кривой от экспериментальной:
А = max |0(t) — 0эксп (0|. (12)
t
Были получены следующие значения: А1 = 9,9 °С - для апериодического звена 1-го порядка, А2 = 1,9°С - для апериодического звена 2-го порядка. Лучшая точность аппроксимации объекта с помощью апериодического звена 2-го порядка может объясняться тем, что передаточная функция (11) на самом деле является произведением передаточных функций двух последовательно соединенных звеньев:
Рис. 3. Созданная в Simulink динамическая модель САР температуры в помещении
объекта управления (сушильного шкафа) и датчика температуры:
ВД = 0оу(^д(*). (13)
Таким образом, из (13) можно выразить передаточную функцию объекта управления по управляющему воздействию:
= W2(s)= K(TAs +1)
Жд(5) (7^ + 1)(Г45 + 1)
(14)
Задача синтеза САР на основе ПИД-регу-лятора состоит в определении значений коэффициентов Kp, Kj и Kd, при которых обеспечивается требуемое качество регулирования САР. Для настройки коэффициентов ПИД-регулято-ра используем входящий в состав Simulink компонент NCD Outport, реализующий графический интерфейс для настройки параметров динамических систем. Simulink-модель рассматриваемой системы показана на рис. 3.
В качестве устройства управления в данной схеме используется компонент PID Control-
Рис. 4. Переходная функция САР по задающему воздействию при полученных в результате настройки значениях коэффициентов ПИД-регулятора
1, 2015
СИСТЕМНЫЙАНАЛИЗ И ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА
34
Системный анализ
ler (with Approximate Derivative), представляющий собой модель реального ПИД-регулятора. Ограничения, задаваемые для коэффициентов ПИД-регулятора, обусловлены соображениями конечной величины управляющего воздействия и:
О < Kp < 10,
О < K < 0,5, (15)
О < Kd < 0,1.
Требуемые показатели качества регулирования: нулевая статическая ошибка ест = 0 ;
перерегулирование с < 20%; время регулирования tPEr < 720 с.
В результате получены следующие значения коэффициентов ПИД-регулятора: Kp = 3,6182; Kj = 0,0095 ; Kd = 0,01. Вид переходного процесса САР по задающему воздействию показан на рис. 4.
Таким образом, СКМ Matlab и входящий в ее состав пакет моделирования Simulink предоставляют инженеру достаточно широкие возможности и удобные средства моделирования работы и синтеза систем автоматического управления динамическими объектами.
Литература
1. Дьяконов В., Круглов В. MATLAB. Анализ, идентификация и моделирование систем. Специальный справочник. - СПб: - Питер, 2001.
СИСГЕМНЫЙАНАЛИЗ И ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА
1, 2015
