Многоточечные моментные функции структурных свойств полидисперсных композитов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2011. № 2 (23). С. 74—82

УДК 539.3

МНОГОТОЧЕЧНЫЕ МОМЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ СТРУКТУРНЫХ СВОЙСТВ ПОЛИДИСПЕРСНЫХ композитов

М. А. Ташкинов

Пермский государственный технический университет, 614990, Пермь, Комсомольский проспект, 29а.

E-mail: m.tashkinov@mail.ru

Приведена постановка стохастической краевой задачи теории упругости для двухфазных полидисперсных композитов. Описан метод её решения с использованием моментных функций структурных свойств высших порядков. Представлен алгоритм построения моментных функций п-ного порядка для. объёмных структур. Предложены аппроксимирующие зависимости для моментных функций. Приведены примеры вычисления моментных функций высших порядков для. полидисперсных структур.

Ключевые слова: композиты, моментные функции, стохастическая краевая задача, трехмерные модели, случайная полидисперсная структура, аппроксимация.

Введение. Композиты широко применяются в инженерной практике благодаря уникальному сочетанию физико-механических свойств, возможности задания параметров материалов и предсказания его поведения. Разработка и внедрение таких материалов сопряжены с решением ряда задач, таких как выбор матрицы и наполнителя, учёт свойств каждого из компонентов для получения необходимых качеств материала, предсказание поведения материала под нагрузкой [1]. В механике композитов создано большое количество моделей. В отдельный класс можно выделить статистические модели, основанные на применении теории случайных функций. В большинстве их них для исследования структурных полей деформирования и расчета эффективных характеристик решается стохастическая краевая задача, уравнения и граничные условия которой содержат случайные величины. Наиболее широко используется дифференциальная постановка стохастической краевой задачи теории упругости [2], общая для большинства работ [3-6], когда коэффициенты дифференциального оператора являются случайными быстро осциллирующими кусочно-постоянными функциями координат (т. е. являются постоянными для каждого компонента и скачком меняют свои значения при переходе границы между компонентами) [7].

Один из способов решения стохастических краевых задач теории упругости связан с построением систем уравнений с использованием моментных функций структурных свойств, которые несут в себе информацию о геометрии структуры композитов. Получение таких моментных функций аналитическими и экспериментальными методами сопряжено с определенными трудностями. При аналитическом построении необходимо вводить гипотезы о характере взаимного расположения элементов структуры, нуждающиеся

Михаил Анатольевич Ташкинов, аспирант, каф. механики композиционных материалов и конструкций.

в достаточном обосновании. Снижение точности оценок с увеличением порядка моментных функций обуславливает необходимость большего объёма исходной информации о структуре при построении моментных функций и многомерных законов распределения на основе экспериментальных данных. В результате оба метода оказываются недостаточно эффективными. В то же время информация, получаемая лишь моментными функциями низших порядков, недостаточна для описания структуры композитов при решении краевых задач в высших многоточечных приближениях. В связи с этим возникает необходимость в построении многоточечных моментных функций высших порядков, а также в получении аналитических выражений для них в явном виде.

В данной работе рассматриваются методы решения стохастической краевой задачи теории упругости в высших приближениях с использованием многоточечных моментных функций высших порядков, а также способы построения и аппроксимации моментных функций для синтезированных моделей матричных полидисперсных композитов со случайным образом распределенными объёмными включениями.

1. Стохастическая краевая задача теории упругости. Для математического описания композитов используется структурно-феноменологический подход, который состоит в том, что однородные физико-механические свойства компонентов структуры задаются с помощью общепринятых в механике феноменологических уравнений и критериев, а характеристики структурных полей деформирования и эффективные свойства композита вычисляются из решений краевых задач. Наибольшее распространение получил способ решения, в котором исходное стохастическое уравнение преобразуется в интегро-диф-ференциальное методом функций Грина с использованием тензора Кельвина-Сомильяны [2], а затем полученное уравнение относительно пульсаций перемещений решается методом последовательных приближений. При решении краевой задачи принимаются следующие гипотезы: физические и геометрические величины, описывающие свойства композита, считаются статистически однородными и эргодическими случайными полями; матрица и включения — однородные, упругие и изотропные; адгезия между компонентами по границам раздела предполагается идеальной; воздействие массовых сил на компоненты композитов не учитывается; геометрия и взаимное расположение элементов структуры предполагаются заданными и неизменяющимися в процессе деформирования, а сама среда обладает свойством макроскопической однородности.

С учётом принятых гипотез краевая задача теории упругости для композитов со случайной структурой записывается следующим образом:

где ву — постоянный произвольно заданный симметричный тензор малых деформаций, г —радиус-вектор с компонентами (х\, Х2, Хз), граничные условия (2) заданы в перемещениях.

даг]{г)/дХ] = 0, егз(г) = 0,5 ([/„-(г) + [/¿¿(г))

(Тгу(г) = Сцш{г)ем{г), и^г) = егзг]1

(1) (2)

Геометрия структуры двухфазного композита определяется с помощью индикаторной функции

= (3)

| 0, г € Ум, у 7

где V/ — объём, занимаемый включениями; Ум— объём, занимаемый матрицей.

С помощью индикаторной функции поле структурных модулей упругости двухфазного композита записывается как

Сгзы(^ = тс1т + (1 - Л(г))Сг%,

где и — заданные модули упругости включений и матрицы соответственно. После операции осреднения получаем

где р = (А(г)) —объёмная доля включений. Предполагается, что индикаторная функция (3) обладает свойством эргодичности и статистической однородности, поэтому операцию математического осреднения можно проводить не по реализациям, а по объёму, т.е. для любых г и г\ имеем (Л(г)} = (А(г*1)).

Введём величину пульсации индикаторной функции А'(г) как А '(г) = = А (г) — (А (г)) и запишем поля структурных модулей упругости и поля перемещений в виде суммы средней составляющей и пульсации:

Сгзк1(г) = (СгМЪ) + С[]к1(т), ит{г) = {ит(г)} + и'т{?)-

При помощи преобразований, подробно описанных в [8], краевая задача сводится к интегро-дифференциальному уравнению, содержащему функцию Грина:

^-X, («>+

+ Стпк1{г1)и'^-1\п))йУ1, (4)

где Г\) — функция Грина, % —приближение, в котором решается зада-

ча. В случае первого приближения % = 1, = 0. Поля напряжений и

деформаций определяются через закон Гука (1) и перемещения (4):

е>гз(г) = 0,5{и>^г) + и>4г)), (5)

¿ц =аИ - (г) )=С'цтп(г)£шп- {С'гзтп(г)е'тп(г) }+Сг3тп(г)е'тп(г). (6)

Статистические характеристики полей напряжений и деформаций представляют собой моменты первого и второго порядка тензоров (5) и (6). Безусловные моменты М^р = {(т[3{г)(т'а[3{г)), М^ = {е[3{г)е'а[3{г)) характеризуют композит как макрооднородный материал, в то время как условные моменты являются характеристиками полей деформирования в компонентах —

матрице (е^(г))м, {(тц(г*))м, Т^ = м, Т^ = {е^{г)е'а^г))м

или включениях (записываются аналогично).

2. Моментные функции структурных свойств. Идея рассматриваемого метода заключается в том, что безусловные и условные моменты второго порядка (дисперсии) можно выразить через смешанные моменты типа (X'(г\)X'(г2) х х и^п(г1)), (^'(г1)Х'(г2)и^п(г1)и1^(г2)), которые, в свою очередь, содержат константы и моментные функции высших порядков индикаторной функции А (г) (см. [8]). При решении краевой задачи во втором приближении требуются моментные функции вплоть до пятого порядка.

Запишем выражение для моментной функции п-ного порядка:

К(г, П,...,гп) = (Х\г)Х Хп) ■ ■ • А'(4)> =

= ((Л(г) - (Xт (А(гЛ) - (Х(гЛ))) ■ ■ ■ (А(4) - <А(4)»> =

= <(А(г) - рЖп) -р)... (А(гга) - р)). (7)

Так как А(г) — статистически однородная и изотропная функция и (А(гга)) = = р = сопв!], моментные функции зависят только от расстояний между рассматриваемыми точками |гт — гп|, т.е. искомую моментную функцию второго порядка (корреляционную функцию) можно представить в виде

К2х(\г-г1\) = Пу2х(\г-г1\),

где (|г — г\|) — нормированная корреляционная функция, Их = ((А'(г))2} = = р{ 1 — р) — центральный момент второго порядка (дисперсия). Такие же соотношения справедливы для моментных функций п-ного порядка:

Кпх (г, п, г2, ...) = (г, п, г2, ...),

где Щ = {1- р)пр + (-р)п( 1 - р).

Порядок моментной функции и количество переменных, от которых она зависит, могут не совпадать. В таком случае моментные функции высших порядков могут быть выражены через моментные функции низших порядков:

К1 (г, г, п) = (1 - 2р)К2{г, п), К\ (г, г, г, п) = (1 - 302)К2х(г, п),

К{ (г, г, гъ г2) = (1 - 2р)к1{г, гъ г2) + В2хК2{гъ г2), К\ (г, г, Т\, г2, гз) = (1 - 2р)Кх(г, Т\, т2, г3) + П2хК3х(гъ г2, г3) +р302х, Кх (г, П, П, г2, г2) = (1 - Ар + Ар2) Кх(г, ?!, г2)+

+р (1-3р + 2р2) [К2х(г, п) + К2х(г, г2)] .

Моментные функции строятся для синтезированных объёмных структур. Процедура синтеза реализована с использованием различных алгоритмов и позволяет управлять такими параметрами, как разброс диаметров сфер (включений), сторона куба (выделенного объёма), объёмная доля включений.

Значения моментной функции в зависимости от шага |гт — гп\ вычисляются с помощью следующей процедуры. Синтезированный фрагмент структуры разбивается сеткой с шагом 1г = сс>с?тш, где с?т;п — диаметр минимального включения. В узлах сетки проверяется наличие матрицы или включения, затем индикаторной функции (3) присваивается значение 0 или 1. Для получения значения моментной функции ?г-ного порядка (7) задаются расстояния |гт — гп\. Для всех пар узловых точек сетки, отстающих друг от друга на данные расстояния, вычисляются произведения Х'(г)Х'(г1) ■ ■ ■ Х'(гп) и делятся на количество таких пар узловых точек. Для вычисления следующего значения шаги пропорционально увеличиваются и процедура повторяется. При нулевом шаге точки радиус-векторов г, Г\, ..., гп совпадают, следовательно, <Л/(70<А)/(г1)---Л/(г,„)) '= {Х'(г)Х'(г) ■ ■ ■ Х'(г)) = В™. Таким образом, при нулевом шаге нормированные моментные функции (г, Г\, Г2,...) всегда принимают значение, равное единице.

В настоящей работе при вычислении значений моментных функций все расстояния между точками принимаются одинаковыми: \г — Г\\ = \г — Гг| = = | Г\ — г21 = ... = | гт — гп |. Для построения моментных функций второго и четвертого порядков используется кубическая сетка (рис. 1, а), для функций третьего порядка — гексагональная сетка (рис. 1, б), моментные функции пятого порядка строятся на кубической центрированной сетке (рис. 1, в). При расчетах расстояние между узлами сетки бралось равным радиусу наименьшего включения (со = 0,5).

Рис. 1. Схематическое изображение ячеек сеток, используемых при построении моментных

функций

3. Аппроксимация моментных функций. Для использования моментных функций при нахождении статистических характеристик полей деформирования в компонентах композитов необходимо знать их аналитический вид. Для того чтобы точнее подобрать единую аппроксимирующую зависимость для моментных функций одинакового порядка, но построенных для разных структур, можно нормировать переменную |гт — гп\ на величину, отражающую свойства структуры. Это позволит «приблизить» кривые функций друг к другу. В данной работе для нормирования была использована величина осреднённого минимального расстояния между включениями <1,аг,д, которая вычисляется путем осреднения расстояний от центра каждой сферы (включения) до центра ближайшей к ней сферы.

В качестве универсального выражений для аппроксимации нормирован-

а

б

в

ных моментных функций предлагается следующая зависимость:

(гага \

а'"Я ¿=0 ]=о 7

где п — порядок функции.

В настоящей работе использовались синтезированные структуры с параметрами, указанными в табл. 1. Радиусы включений (сфер) распределены по равномерному закону. Величины, характеризующие радиус и расстояние, указаны в безразмерных условных единицах.

Коэффициенты аппроксимирующего выражения вычисляются методом смешанных градиентов. На рис. 2 представлено сравнение графиков моментных функций, построенных на сетке для структуры № 2, с графиками аппроксимирующих выражений для этих функций. Коэффициенты выражения (8) можно найти в табл. 2.

Наибольшее отклонение графика аппроксимирующего выражения наблюдается при построении моментной функции 2-го порядка, но при это максимальная величина не превышает 0,05. Для моментных функций 3-го, 4-го и 5-го порядков максимальная величина отклонения составляет около 0,02, поэтому графики практически совпадают. Как видно, выражение (8) с достаточной точностью аппроксимирует моментные функции, а следовательно, может быть использовано для аналитических вычислений.

Графики нормированных многоточечных моментных функций второго, третьего и четвертого порядков для структур с параметрами, указанными в

Таблица 1

Объёмная доля, р Кол-во включений, N Минимальный радиус включений Максимальный радиус включений Величина

Структура № 1 0,20 1047 4 12 18,9941

Структура № 2 0,25 1193 4 16 18,2389

Структура № 3 0,30 976 4 28 19,5464

Таблица 2

Функция 2-го порядка Функция 3-го порядка Функция 4-го порядка Функция 5-го порядка

Структура № 1 С1 3,1762 4,1242 4,7187 4,9281

0 = 0,20) С2 3,2175 3,1281 3,8203 3,9610

Структура № 1 С1 3,1128 3,8509 4,2839 4,5152

0 = 0,25) С2 2,4707 2,0138 2,5263 2,6647

Структура № 3 С1 2,9704 3,5150 4,0205 4,2141

0 = 0,30) С2 1,8648 1,2450 1,5240 1,5690

¡х(г,г1,г2,

= ехр -

с 1

¿аьд

££|

i=0 ]=О

г г -

Шп)

0,8 0,6 0,4 0,2 0

|г-г*1|

\

\

\

V, -1—1— ■—(—■] 1—-

О 0,5 1,0 1,5 2,0 йа.

/л(г,г1,г2,г3)

0,8 0,6 0,4 0,2 О

О

0,5

1,0

в

Г-Г1

1,5 2,0 й,

•аод

1\{г,П,г2)

0,8 0,6 0,4 0,2 о

| г - п|

0,8 0,6 0,4 0,2 О

0 0,5 1,0 1,5 2,0 б Г,Г1,Г2,Гз,Г4) ^ауд

\г-п\

О 0,5 1,0 1,5 2,0 й,

•аюд

Рис. 2. Сравнение графиков моментных функций: сплошная линия —график моментной функции, построенной по сетке; штриховая линия — график аппроксимирующего выражения; а) моментная функция 2—го порядка, б) моментная функция 3—го порядка, в) моментная функция 4—го порядка, г) моментная функция 5—го порядка

Я(гЛ)

| г - п I

А /л

0,8 0,6 0,4 0,2

01_

0 0,5 1,0 IX

а

¿аьд

/лС^Гьгг)

0,8 0,6 0,4 0,2 0

,3

У/1

г - п

0

0,5 1,0 1,5 2,0

/|(Г,Г1,Г2,ГЗ,Г4)

б

0,8 0,6 0,4 0,2 0

/у

г - п

0 0,5 1,0 1,5 2,0 ¿а

Рис. 3. Графики аппроксимирующих выражений многоточечных нормированных моментных функций для структур с различной объёмной долей: а) 2-го порядка, б) 3-го порядка, в) 4-го порядка, г) 5-го порядка; 1) р = 0,2, 2) р = 0,25, 3) р = 0,3

табл. 1, аппроксимированных выражением (8), представлены на рис. 3. Коэффициенты выражения (8) вынесены в табл. 2.

Выводы. На основании исследований моментных функций индикаторной функции А (г) можно сделать два важных вывода. Первый состоит в том, что моментные функции являются локальными. Область затухания моментных функций соответствует области статистической зависимости, т. е. области, в которой значения моментных функций отличны от нуля. Если моментные функции быстро затухают, то считается, что в расположении элементов структуры имеет место ближний порядок [5]. Это означает, что на формирование полей деформирования в некоторой области, содержащей произвольно выделенное включение, решающее влияние оказывают лишь ближайшие к нему включения из их произвольного большого множества. Второй вывод заключается в том, что моментные функции имеют область отрицательных значений, что свидетельствует о наличии периодических составляющих в этих случайных полях [9].

Таким образом, рассмотрен способ решения стохастической краевой задачи теории упругости с использованием моментных функций структурных свойств. Описан алгоритм построения моментных функций n-ного порядка на различных типах сетки. Приведено универсальное аналитическое выражение для аппроксимации моментных функций высших порядков. Для ряда полидисперсных структур получены графики и коэффициенты аппроксимирующего выражения.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 11-01-96030-р_урал_а).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Buryachenko V. A. Micromehcanics of heterogenous materials. New York: Springer-Verlag, 2007. 687 pp.

2. Лифшиц И. M., Розенцвейг Л. Н. К теории упругих свойств поликристаллов // ЖЭТФ, 1946. Т. 16, №11. С. 967-980. [Lifshits I. М., Rozentsveig L. N. Theory of elastic properties of polycrystals // ZhETF, 1946. Vol. 16, no. 11. Pp. 967-980].

3. Волков С. Д., Ставров В. П. Статистическая механика композиционных материалов. Минск: БГУ, 1978. 206 с. [Volkov S. D., Stavrov V. P. Statistical mechanics of composite materials. Minsk: BGU, 1978. 206 pp.]

4. Ломакин В. А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. М.: Наука, 1970. 139 с. [Lomakin V. A. Statistical problems of the mechanics of solid deformable bodies. Moscow: Nauka, 1970. 139 pp.]

5. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных материалов. М.: Наука, 1977. 400 с. [Shermergor Т. D. Theory of elasticity of microheterogeneous media. Moscow: Nauka, 1977. 400 pp.]

6. Соколкин Ю. В., Ташкинов А.А. Механика деформирования и разрушения структурно неоднородных тел. М.: Наука, 1984. 116 с. [Sokolkin Yu. V., Tashkinov A. A. Mechanics of deformation and dracture of structurally inhomogeneous bodies. Moscow: Nauka, 1984. 116 pp.]

7. Паньков А. А. Статистическая механика пьезокомпозитов. Пермь: ПГТУ, 2009. 480 с. [Pankov A. A. Statistical mechanics of piezocomposites. Perm: PGTU, 2009. 480 pp.]

8. Ташкинов M.A., Вильдеман В. Э., Михайлова Н. В. Метод последовательных приближений в стохастической краевой задаче теории упругости структурно-неоднородных сред// Механика композиционных материалов и конструкций, 2010. Т. 16, №3. С. 369-383; англ. пер.: Tashkinov М.А., Vil'deman V.E., Mikhailova N. V. Method of

successive approximations in a stochastic boundary-value problem in the elasticity theory of structurally heterogeneous media // Composites: Mechanics, Computations, Applications, An International Journal, 2011. Vol. 2, no. 1. Pp. 21-37. 9. Christensen R. M. Mechanics of composite materials. New York: Willey-Interscience, 1979. 348 pp.; русск. пер.: Кристенсен P. Введение в механику композитов. M.: Мир, 1984. 336 с.

Поступила в редакцию 25/III/2011; в окончательном варианте — 16/V/2011.

MSC: 74А40, 74В20

MULTIPOINT MOMENT FUNCTIONS OF STRUCTURAL PROPERTIES FOR POLYDISPERSE COMPOSITES

M. A. Tashkinov

Perm State Technical University,

29a, Komsomolskiy prospekt, Perm, Russia, 614990.

E-mail: m.tashkinov@mail.ru

The stochastic boundary-value problem of elasticity theory for two-phase polydisperse composites is stated. The solution method with using high order moment functions is described. Algorithm of synthesis of n-order moment functions for 3D structures is presented. Approximating expression for moment functions is suggested. Examples of calculation of high-order moment functions for polydisperse structures are given.

Key words: composites, moment functions, random, polydisperse structure, 3D models, boundary-value problem, approximation.

Original article submitted 25/111/2011; revision submitted 16/V/2011.

Mikhail A. Tashkinov, Postgraduate Student, Dept. of Mechanics of Composition Materials & Structures.