CC BY
33
P
Є P-1 _ P -
-1°nL n-1|L-1 -'n-
T
xnxn
n-1| L-1^n| L* n-1 | L-1 ± n-11 L-1 * -yT г)
1 + XnPn-1|L-1Xn
Кроме того, в соответствии с (6)
P-1 — e-1 _ — x XT
rn-1L-1 °n|L _ •
Подставляя полученные выражения в (13), окончательно имеем
-1
AV
HI2(2 + xTPn-1|L-1xn ) 0
1 + XnPn-1|L-1xn
ГДе Hn _ pTn-1Xn ■
Таким образом, алгоритм (7) — (9) сходится. 4. Рекуррентное вычисление невязки
О точности полученных оценок можно судить по
2
получающимся невязкам sn
Y - Xc.
. Вели-
чина невязки может служить критерием останова процесса идентификации. Рекуррентный характер оценивания позволяет построить процедуру вычисления невязки. Учитывая (4), запишем невязку на n-м шаге следующим образом:
Ру Xn\LCn
Yn-1\L Xn-1\LCn-1 X
Yn - XnCn X
n-1|L
T
Kn ( Уп - Cl-1Xn )
(14)
Так как в алгоритме (7)-(9) L _ Comt, то в выражении для невязки (14) необходимо принять во
внимание, что при построении оценки сп_1 использовалось также L наблюдений.
Запишем выражение для длины невязки на n - м шаге:
Yn|L -Xn\LCn
Yn- 1|L Xn-1|LCn-1
2(Y ,n -X vrc ,y X vrKn +
v n-1|L n-\\L n-1 n- 1|L n
+ (yn - <Cn—VXn ))Xn-\\LKn (yn - cn-1xn ) +
+Klxl-^Xn-^Kn +
+ (xTnKn )2) x (Уп - cTn-\Xn)2 .
(15)
2
2
Так как вследствие (3)
(Yn-1|L - Xn-1|LCn-1)TX,
n -1| L
_ YT-1 | L (I - Xn-1 L (XT-1 | LXn-1 | L )-1 XT„-l| L )Xn-!| LKn _ 0 ,
KUl-^X^LKn _
XT P XT X P x
xn1n—1| L-\a n-1| n-1| L »-1| L-\xn
(1 + xnPn-\\Lxn )
и (1 - xlKn)2 _
(1 + xn )
то подстановка полученных выражений в (15) даёт
1 + XT P XT X P x
1"l"xn/n-1|L-yi- n-1\LA n-1\Lrn-1\L-1xn T
(yn - cn-1xn Л
sn Sn+1 +
(1 + xnPn-1|LXn )
а
1
где матрица Pn-1|L-1 вычисляется в соответствии с (7), (8).
5. Заключение
Предложенный рекуррентный алгоритм (7) — (9), представляющий собой одну из модификаций алгоритма ТРА, является монотонно сходящимся.
Использование данного алгоритма, помимо пошагового уточнения оценки, позволяет производить рекуррентное вычисление невязки, величина которой характеризует качество процесса идентификации.
Литература: 1. Перельман И.И. Оперативная идентификация объектов управления. М.: Энергоиздат, 1982. 272 с. 2. Руденко О.Г., Штефан А., Хюбенталь Ф. Рекуррентный алгоритм МНК со скользящим окном при коррелированных помехах / Радиоэлектроника и информатика, 1998. 1(02). С.79-81. 3. ЭйкхоффП. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975. 683с.
Поступила в редколлегию 09.09.99 Рецензент: д-р техн. наук, проф. Нефедов Л.И.
Тимофеев Владимир Александрович, канд. техн. наук, доцент, ведущий научный сотрудник кафедры ЭВМ ХТУРЭ. Научные интересы: контроль динамических объектов. Адрес: Украина, 310166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-54.
УДК 519.237.8; 621.396.62
МНОГОМЕРНЫЕ ПОТЕЦИАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СПЕКТРАЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ РАСПОЗНАВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ
БЕЗРУК В.М.___________________________
Приводится решение многокритериальной задачи распознавания сигналов при их описании вероятностной моделью в виде ортогональных разложений с учетом совокупности показателей качества распознавания, быстродействия и реализационных затрат алгоритмов распознавания. Получаются многомерные потенциальные характеристики алгоритмов распознавания с использованием статистического моделирования на ЭВМ на выборках сигналов с разными энергетическими спектрами.
Проектирование сложных систем, в частности систем распознавания, в настоящее время немыслимо без строгого учета совокупности показателей эффективности и затрат [1-7]. В данной статье рассмотрены некоторые особенности решения задачи Парето-оптимизации алгоритмов распознавания случайных сигналов, которые широко используются в информационно-управляющих системах. Решение сводится к нахождению согласованного оптимума (оптимума по Парето) совокупности показателей качества распознавания, быстродействия и реализационных затрат, которые характеризуют алгоритмы распознавания сигналов. При выборе алгоритмов распознавания заданы ограничения на их структуру, определяемые выбором вероятностной модели в виде ортогональных разложений случайных сигналов, что приводит к спектральным алгоритмам распознавания сигналов [3,6]. При Парето-оптимизации алгоритмов распознавания используется подход, основанный на методе рабочих характеристик [4], что
32
РИ, 1999, № 3
отличает данную работу от известных, в которых предложены решения многокритериальных задач распознавания сигналов [3,5,6].
1. Постановка задачи и метод ее решения
Сформулируем исходные данные для синтеза алгоритмов распознавания случайных сигналов. В частности, оговорим условия работы, ограничения на структуру алгоритмов распознавания и выберем состав показателей качества, характеризующих алгоритмы распознавания случайных сигналов.
Предположим, что распознаванию подлежат случайные сигналы Xі (t), t є (0,T), i = 1,M . Считается,
что распознаваемые сигналы имеют ограниченную энергию и для их описания выбрана вероятностная модель в виде ортогональных разложений случайных процессов [3,6]:
. <ю . T ____
X (t) = 2 dj Vj (t) , где dj =JX (t) Vj (t) dt; (1)
j=1 0
{Vj(t) }jj=1 — некоторая ортонормированная система базисных функций.
Выбор вероятностной модели сигналов накладывает ограничения на структуру алгоритмов их распоз -навания, которые определяются особенностями получения дискретного представления сигналов. Будем искать структуру системы распознавания сигналов в классе систем, реализуемых средствами вычислительной техники. Это определяет необходимость использования конечномерного представления сигналов в виде случайных векторов коэффициентов разложений в (1):
D1 = (d1,...,dj,...,dlL)tr. (2)
Считаем, что плотности распределения векторов D1 являются гауссовскими N(D /ф, R1) с заданными
средними векторами р1 и корреляционными матрицами R1. Известны также априорные вероятности
M
представления сигналов P.j, причем 2 рі = 1
i=1
Качество алгоритмов распознавания 5 будем оценивать совокупностью показателей эффективности
распознавания сигналов кэ (5) быстродействия кб (5)
и реализационных затрат кз (5):
K(5) = (кэ (5), кб (5), кз (5)) . (3)
Введем показатель эффективности распознавания случайных сигналов через средний риск p(s), определяемый при простой функции потерь средней вероятностью ошибочного распознавания сигналов; показатель быстродействия — через время наблюдения сигналов Тн < Т , необходимое для формирования конечномерного представления сигналов согласно (2); показатель реализационных затрат — через размерность N < L используемого конечномерного представления сигналов, которая в основном и определяет динамическую сложность алгоритмов распознавания сигналов.
Ставится задача для сформулированных исходных данных, получить алгоритмы распознавания случайных сигналов, оптимальные по безусловному критерию предпочтения — критерию Парето. Нетрудно показать, что введенные показатели качества (3) взаимосвязаны и конкурируют (антагонистичны) между собой. Поэтому невозможно добиться потенциально наилучших значений каждого из них в отдельности. При сформулированных условиях решением поставленной оптимизационной задачи является согласованный оптимум по Парето введенных показателей качества [4]. Найденный оптимум в критериальном пространстве (пространстве показателей качества
(3) ) определяет многомерные потенциальные характеристики (МПХ) алгоритмов распознавания сигналов, которые представляют собой потенциально д остижи -мые значения каждого из показателей качества при фиксированных значениях остальных показателей
[4] . Каждой точке МПХ соответствует конкретный алгоритм на множестве Парето-оптимальных алгоритмов распознавания сигналов.
Представляет интерес аналитическое решение задачи синтеза Парето-оптимальных алгоритмов распознавания случайных сигналов. Для решения задачи синтеза выберем метод рабочих характеристик [4]. Суть этого метода для поставленной задачи сводится к поиску алгоритмов распознавания сигналов путем оптимизации одного из показателей качества при условии, что остальные показатели вводятся в разряд ограничений типа равенства.
С учетом взаимосвязи введенных показателей качества решение поставленной задачи синтеза означает поиск оптимума некоторого функционала Kэ (5) = Ф[кб (5), кз (5)] на множестве допустимых алгоритмов распознавания Sдоп:
5 опт = ArgOptK (5) = Ф[кб (5),к з (5)]/ кб (5) = кз, кэ (5) = кз },
(4)
где кб, кз — некоторые фиксированные, но произвольные значения показателей качества, 5 є Sдоп .
При фиксированных, но произвольных значениях показателей к б (5) и к з (5) оптимизационная задача (4) эквивалентна, в общем случае, некоторому множеству задач скалярной оптимизации алгоритмов распознавания случайных сигналов [4]. Их решения определяют некоторое множество Парето оптимальных алгоритмов распознавания, каждому из которых в критериальном пространстве соответствует своя точка на МПХ.
Рассмотрим особенности синтеза Парето-оптимальных алгоритмов распознавания случайных сигналов при сформулированных исходных данных с применением метода рабочих характеристик. Качество распознавания случайных сигналов при сформулированных исходных данных будем характеризо -вать средним риском [3]:
M M
Р(5) = 2 2 P,r(i, к(5)) J N(D / р1,R)dD (5)
і=1к=I Ок ’ V '
где r(i, к (s)) — функция потерь от ошибочного принятия решения алгоритмом 5 в пользу к -го сигнала при действии і -го сигнала; Ок — допустимые области пространства RN , в котором принимается решение в пользу к -го сигнала.
РИ, 1999, № 3
33
Учитывая, что вектор D по условиям его формирования связан с временем наблюдения Тн и размерностью N, согласно (2) и (3), взаимосвязь введенных показателей Кэ (5) = Ф[кб (5), кз (5)] неявно определяется через функционал для среднего риска (5) и соотношений (2),(3).
Таким образом, оптимизация алгоритмов распознавания случайных сигналов с применением метода рабочих характеристик фактически сводится к минимизации среднего риска на множестве допустимых алгоритмов распознавания Sдоп . При фиксирован-
монотонности зависимости кз (5) метод рабочих характеристик всегда приводит к Парето-оптималь-ным решениям [4].
Таким образом, синтезированный алгоритм распознавания случайных сигналов определяет Парето-оптимальные решения поставленной многокритериальной задачи распознавания сигналов. Алгоритм обеспечивает потенциальное значение показателя кэ (5) при фиксированных значениях кб (5) и кз (5). В силу свойств многократного минимума можно утверждать, что для данного алгоритма распознавания обеспечивается также минимум соответственно
ных значениях Тн и N это скалярная задача синтеза, решение которой хорошо известно. В частности, для простой функции потерь ее решением является оптимальный алгоритм распознавания, определяемый решающим правилом
l = arg max pN (D/рг, R1}. (6)
i=1,m
l Фі
Решающее правило (6) совместно с процедурой формирования вектора D согласно (2) и (3) определяют структуру алгоритма распознавания случайных сигналов, оптимального в смысле (4).
Очевидно, что при разных значениях Тн < Т и N < L структура алгоритма распознавания 5 не изменяется. Обеспечивается лишь другое потенциальное значение показателя кэ (5). При условии строгой
20
40
60
20 40 60
Рис.1
показателей к б (5) и к з (5) при произвольных значениях других показателей.
2. Получение рабочих характеристик алгоритмов распознавания сигналов методом статистического моделирования
Задача анализа алгоритмов распознавания сигналов заключается в получении их МПХ, которые удобно представлять в виде рабочих характеристик -зависимостей потенциально достижимых значений одного из показателей от значений других показателей качества. Для строго монотонных зависимостей при этом фактически получаются многомерные диаграммы обмена (МД О) [4].
В общем случае не удается получить аналитические выражения для рабочих характеристик алгоритмов распознавания произвольных случайных сигналов. В качестве примера приведем рабочие характеристики,
которые получены методом статистического моделирования для задачи распознавания 9-и сигналов с различными энергетическими спектрами (рис. 1). При этом на ЭВМ программно реализован алгоритм распознавания сигналов, который определялся обобщенным разложением Карунена-Лоэва, полученным при спектральном представлении сигналов в базисе дискретных экпоненциальных функций (Т = 0,15 с, L = 64), а также байесовским классификатором (6), построенным в N -мерном пространстве общих признаков Карунена-Лоэва [3].
Оценки показателя К э (5) в виде средней вероятности ошибки распознавания сигналов
20
40
60 l
l
20
40
60 l
P
ошср
при различ-
ных значениях Тн и
34
РИ, 1999, № 3
5
Рис.2
N получены в процессе статистических испытаний по выборкам объемом 400 реализаций для каждого сигнала. В результате найдены рабочие характеристики алгоритмов распознавания сигналов в виде некоторого семейства зависимостей (рис. 2, а,б).
Каждой точке рабочих характеристик соответствует Парето-оптимальный алгоритм распознавания с конкретными параметрами, для которого достигается потенциальное значение показателя качества распознавания Рошср при фиксированных значениях показателей быстродействия Тн и реализационных затрат N . Из рис.2 видно, что зависимости имеют строго монотонный характер и поэтому являются МДО, которые показывают, как осуществ-
ляется обмен значений введенных показателей качества.
Проведено также сравнение классов алгоритмов распознавания, основанных на байесовском классификаторе (6) при разных ортонормированных базисах — общих признаках Карунена-Лоэва и дискриминантных признаках [3]. Сравнение выполнено методом, предложенным в работе [7] и основанным на использовании их рабочих характеристик. Рабочие характеристики в виде МДО были получены для указанных алгоритмов распознавания в виде зависимостей Рошср = f (N) при фиксированных значениях Тн (рис.3, А— общие признаки; В — дискриминантные признаки). Получено, что при малом числе информативных признаков (N =2-4) класс алгоритмов распознавания сигналов с дискриминантными признаками безусловно лучше класса алгоритмов распознавания с общими признаками Карунена-Лоэва. При большем числе признаков (N =4-9) безусловно лучшим является класс алгоритмов с общими признаками Карунена-Лоэва.
3. Выводы
Получено решение задачи Парето-опти-мизации алгоритмов распознавания случайных сигналов при их описании вероятностной моделью в виде ортогональных разложений. Оптимизация выполнена методом рабочих характеристик с учетом совокупности показателей качества распознавания, быстродействия и реализационных затрат. Анализ алгоритмов распознавания выполнен методом статистического моделирования для заданных выборок сигналов. В результате получены многомерные потенциальные характеристики алгоритмов в виде МДО введенной совокупности показателей качества. С использованием МДО проведено сравнение алгоритмов распознавания при выборе разных ортонормированных базисов сигналов, в которых они представляются.
Литература: 1. Дубов Ю.А., Травкин С.И., Якимец В.Н. Многокритериальные модели формирования и выбора вариантов систем. М.: Наука, 1986. 296с. 2. Подиновский В. Д., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.:Наука, 1982. 256с. 3. Омельченко В.А. Основы спектральной теории распознавания сигналов. X.: Высш. шк., 1983. 159с. 4. Гуткин Л.С. Проектирование радиосистем и радиоустройств. М.: Сов.радио, 1986. 288с. 5. Омельченко В.А. Многокритериальные
задачи распознавания сигналов. 41. Распознавание сигналов в условиях априорной неопределенности /Отбор и передача информации. 1989. Вып. 3. С. 13-15. 6. Омельченко В.А. Ортогональные разложения случайных сигналов и полей. К: УМК ВО, 1991. 165с. 7. Губонин Н.С. Об одном методе сравнения классов проектируемых сис-тем/Автоматика и телемеханика. 1986. №9. С. 114-123.
Поступила в редколлегию 18.09.99 Рецезент: д-р техн. наук Яковлев С.В.
Безрук Валерий Михайлович, канд. техн. наук, ведущий научный сотрудник кафедры ПОС ХТУРЭ. Научные интересы: моделирование и многокритериальная оптимизация систем распознавания сигналов. Увлечения и хобби: туризм, литература. Адрес: Украина, 310726, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-94-26.
РИ, 1999, № 3
35
