Многомерно-временной операторный метод анализа и синтеза элементов САУ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЭНЕРГЕТИКА И ТЕПЛОЭНЕРГЕТИКА

УДК 681.51

МНОГОМЕРНО-ВРЕМЕННОЙ ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ЭЛЕМЕНТОВ САУ

А.В. КОЗЛОВ

Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет имени П.О. Сухого»,

Республика Беларусь

1. Основы многомерно-временного операторного метода анализа и синтеза элементов САУ

В отличие от традиционных методов анализа и синтеза элементов САУ с модуляцией или переменными параметрами, базирующихся на представлении произведений функций с помощью одномерного преобразования Лапласа, можно использовать многомерное преобразование Лапласа [5] и его модификацию по Луковникову [2], что позволяет устранить необходимость определения интеграла свертки и связанные с этим неудобства.

Научная идея данного многомерно-временного метода заключается в переходе от естественной одномерной временной области с переменной I к искусственной многомерной временной области с независимыми временными переменными ^, 12,...¿п ,

принадлежащими к различным сомножителям, и в последующем изображении полученной функции по модифицированному многомерному преобразованию Лапласа [2].

1.1. Многомерно-временная модификация

интегрального преобразования по Лапласу

В работе [5] изложены основные понятия, определения, леммы и теоремы, обобщающие известное интегральное преобразование Лапласа на функцию многих переменных /(¿1,12,... ¿п ), удовлетворяющую условиям кусочной дифференцируемости, предельного возрастания и равенства нулю при отрицательных значениях независимых переменных.

Применим это преобразование к случаю произведения функций отдельных переменных

/ Оь ¿2,..Лп ) = ПЛ (Ч X (11)

к=1

причем учтем, что комплексные операторы рк =(хк -1к + Рк • ¡к имеют различные вещественные 1к и мнимые ¡к единицы.

Изображением по Лапласу функции-оригинала (1.1) назовем функцию комплексных переменных Рк:

ГО ГО п

F (Рь Р2,■■■ Рп ) = I ■■■ | П !к Ок ) • ехР

0 0 к=1

= П^к(Рк X

к=1

где Fk (Рк ) _ изображение по Лапласу одномерной функции /к (¿к ).

_ Е Рк • ¿к

к=1

• dtl • dt2 •...dtn =

Обратным преобразованием (обращением) по Лапласу изображения (1.2) к оригиналу (1.1) будет равенство

,¿2¿п) = П fk(tk) =

к=1

^п-1п +*п 'ГО п

^ "■ | П^(Рк) • ехР

П(2 ^)п • ¡,

к=1

п

-Е Рк •

"1 111! +¡1« Ь 11 -¡1 •ГО

к=1

I •••■

(1.3)

dp1 • Ф2 • ■■■ Фп-

Итак, из (1.2) и (1.3) следует, что многомерное преобразование по Лапласу многомерной функции, равной произведению одномерных функций, определяется через произведение их одномерных преобразований. Кратко это будем записывать следующим образом:

п/кОк)*=. гш(Рк) или Г^Fk(Рк),=. Пл(^). (14)

к=1 к=1 к=1 к=1

Основные свойства многомерно-временного операторного преобразования приведены

в [2].

1.2. Типовые многомерные динамические звенья без модуляции

Под многомерным звеном без модуляции понимается звено, входной и выходной сигналы которого имеют одинаковую размерность. Например, если на входе такого звена имеется двумерный сигнал Хвх(р1, р2) , то на его выходе будет также двумерный сигнал

Хвых(Р^ Р2).

На примере форсирующего звена первого порядка покажем, как, используя свойства многомерно-временного операторного метода (МВОМ), можно получать передаточные функции типовых многомерных динамических звеньев без модуляции.

Известно, что форсирующее звено первого порядка описывается дифференциальным уравнением

*вых(0 = + *в,(0, (1.5)

dt

где Т - постоянная времени.

п

Если входной сигнал представлен в многомерном временном виде хвх ^) = П Хвхк (¿к )■

к=1

то уравнение (1.5) можно записать в многомерном операторном виде, следуя [3], как

п п

Хвых (Р^ Р2,..., Рп ) = Т Е Рк Е Хвхк (Рк ) + П Хвхк (Рк ) :

к=1 к=1 к=1

где р1, р2,..., рп - операторы.

Отсюда видно, что передаточная функция форсирующего звена первого порядка будет определяться следующим соотношением

Р1, Р2,..., Р. ) = •Х,Ы,((/’1’ /’2-.-Рп)) = Т .]Трк + 1. (1.6)

Хвх(Р^ Р2’...’ Рп ) к=1

Полученные подобным (1.6) образом передаточные функции типовых звеньев без модуляции сведены в табл. 1.1, где через К обозначен коэффициент передачи, а через £, - коэффициент затухания.

Таблица 1.1

Размерност ь

звеньев

3)

4) Тип звенье Безинерционное

Идеальное

дифференцирую

щее

Форсирующее первого порядка

Форсирующее второго порядка

Идеальное

интегрирующее

Апериодическое первого порядка

Апериодическое второго порядка

5)

Одномер

ные

к

Т-р Т ■ р +1

Т2- р2 + 2х х 5- Т- р +1

(Т-р)-1 (Т-р +1) 1

(Т2- р2 + +2-5-Тх х р +1)-1

6) Многомерные

7) двумерные 8) Л-мерные

к

Т (р1 + р2)

Т (р1 + р2) + 1

Т 2(р1 + р2)2 + +2-5-Тх

Х (р1 + р2) + 1 (Т (р1 + р2) Г (Т (р1 + р2) + О"

(Т 2( р1 + р2)2 + +2-5-Тх

х (р1 + р2) + 1) "

к

Т £ рк

к=1

Т £ рк +1

к=1

Ґ П V

Т2 |£ рк]

V к=1

+

+ 2-Т-£ рк +1

к=1

Л"

Т £ рк

ч к=1 ]

Л"1

|Т £ рк +1

V к=1 ]

^ / п Л2 Л"1

+

+ 2-Т £ рк +1

к=1

1.3. Типовые многомерные звенья с модуляцией

Под многомерным звеном с модуляцией понимается звено, входной и выходной сигналы которого имеют разную размерность. Например, если на входе такого звена имеется одномерный сигнал Хвх (р1), то на его выходе сигнал будет, по меньшей мере,

двумерным Хвых(р^р2).

Такого рода звеньями, например, в системах автоматического регулирования на несущей переменного тока, являются модуляторы и их последовательное соединение через пассивные четырехполюсники [3].

Будем рассматривать амплитудную модуляцию в предположении, что модулятор и демодулятор представляют собой идеальные балансные устройства, перемножающие входные и опорные сигналы. Тогда в одномерной временной области t выходной сигнал хвых^) последовательного соединения «модулятор - четырехполюсник - демодулятор» можно записать через входной сигнал хвх (і) в виде

Хвых^) = Хвх^)- Хом^)- / ^)- Хол^^

(1.7)

где хом^), xол(t) - опорные временные сигналы модулятора и демодулятора,

соответственно, а /^) - временная передаточная функция четырехполюсника.

Введем искусственное независимое трехмерное временное пространство, так что выражение (1.7) примет вид

Хвых(^ ^ О = Хвх(0- Хом(^)- /(t1, t2)■ Xол(t3).

(18)

Тогда трехмерное изображение выходного сигнала (1.8) по Лапласу согласно [2] можно представить как

Хвых( А, Р2, Рз) = Х вх( А> Хом( Р2)- ^ (Р1, Р2)- Ход( Рз ).

Отсюда легко получить передаточную функцию рассматриваемого последовательного соединения

V(Р„Р2,Рз) = Х-"((/’|,/’2,/’3)) = х.,(Р,)- ^(Р„Р,)- (Рз). (1.9)

Хвх( А, Р„ Рз)

Полученные подобным (1.9) образом изображения выходных сигналов и передаточные функции типовых многомерных звеньев с модуляцией сведены в табл. 1.2, где также представлены их функциональные схемы.

Таблица 1.2

9) Тип звена с модуляцией

Идеальный

модулятор

(демодулятор)

Передаточные функции типовых многомерных звеньев с модуляцией 10) Функциональная схема

Хвх^ )

X

Хом^ )

Хвых^ )

11) Изображение выходного сигнала и передаточная функция

Хвых(Рl, Р2) = Хвх(Р1) Х

Х Хом(Р2)

V (Р2) = X0м(Р2)

х (t) = х и)- х (t)

вых V ' вх V ' ом'' /

Окончание табл. 1.2

12) Тип звена с модуляцией

Модулятор-

демодулятор

Модулятор -пассивный четырехполюс ник -

демодулятор

13)

*вх(0

Функциональная схема

Х0Л< ) ^)

*вых(')

X

X

х (£) = х ()- х (£)• х ()

вых V ' вх V > ом V > од V /

14) Изображение выходного сигнала и передаточная функция

Хвых( Рl, Р2, Рз) = Х вх( Р1) Х Х Хом(Р2)' Ход(Рз)

У (Р2 , Рз) = Хом(Р2) Х

Х Ход(Рз)

Хвых(Р^ Р2 , Рз) = Хвх(Р1) Х Х Хом(Р2)' У (Рl, Р2) Х

Х Ход(Рз)

х (ї) = D.\х (ї)* х (ї)1х

вых V / їУ вх V / ом\ /]

х Ход(ї)

1.4. Правила преобразований многомерных структурных схем

При получении многомерных передаточных функций типовых динамических звеньев использовались линейные математические операции в многомерной операторной области.

Это позволяет модифицировать известные для линейных САУ правила преобразований структурных одномерных схем на многомерные схемы с целью получения в дальнейшем общей передаточной функции всей системы.

Важно отметить, что получение передаточных функций звеньев или их соединений без обратных связей принципиально отличается от случая наличия обратных связей. Рассмотрим правила структурных преобразований для этих двух классов соединений раздельно.

1.4.1. Структурные преобразования соединений динамических звеньев без обратных связей

Последовательное соединение звеньев

Итак, будем представлять звено «модулятор - линейный четырехполюсник -демодулятор» в виде структурных схем, представленных на рис. 1.1, где

W (Р^ Рі, Рз) = Хом(Р2)- W (Р^ Р 2 ) * Ход(Рз).

При последовательном соединении звеньев без модуляции число искусственных независимых переменных не добавляется и тогда согласно уравнениям для случая на рис. 1.2, а

Х вых! (Рі, Р2) = Х вх (Рі, Р2) * Щ( Рl, Р2),

Хвых (Рі, Р2) = Хвых! (Рі, Р2) * ЩРl, Р2) ,

^ых^ Р2) = Xвх(Рl, Р2 ) * ЩР^ Р2 ) * W2(Рl, Р2).

W (Р^ Р2 , Рз) = Хом(Р2) Х Х W (Рl, Р2)* Ход(Рз)

Хом(ї ) Ход(ї )

Хвх(ї ) X хі(ї) Dt х2(ї ) ь X хвых(. )

►

а)

Х вх( Рі)

или

Хвх(Рі) ^

Хвых(Рl, Р2 , Рз)

б)

Рис. 1.1. Структурные схемы САУ «модулятор - линейный четырехполюсник - демодулятор» в мгновенных значениях (а) и в операторном (б) виде

Получен такой же, как и для линейных одномерных САУ, результат. При последовательном соединении звеньев передаточные функции перемножаются.

W (Р^ Р2) = ЩР^ Р2)* ^(Р^ Р 2 ) .

При последовательном соединении модулирующее-демодулирующих звеньев (динамических звеньев с модуляцией) результат оказывается тот же, но увеличивается число независимых переменных. Так, например, для случая, показанного на рис. і.2, б,

W (РЬ Р2,..., Р5) = W1( Рl, Р2, Рз)* W2( Рl, Р2,..., Р5).

Хвх(Рl, Р2) ------------------►

а)

Х вх( Рі)

б)

Рис. 1.2. Последовательное соединение динамических звеньев без модуляции (а)

и с модуляцией(б)

Параллельное соединение звеньев

Аналогичным образом можно показать, что передаточные функции при параллельном соединении складываются, причем для четырехполюсников без модуляции (рис. 1.3, а) число переменных сохраняется

W (РЬ Р2) = Щ( РЬ Р2) + W2( Pl, P2), а для четырехполюсников с модуляцией сигналов увеличивается (рис. 1.3, б)

W (Р1, Р2,..., Р5) = Wl( Р1, Р2, Рз) + W2( Р1, Р2,..., Р5).

Хвых1( Р^ Р2)

а)

Рис. 1.3. Параллельное соединение динамических звеньев без модуляции (а)

и с модуляцией(б)

1.4.2. Структурные преобразования соединений звеньев с обратными связями

Структурная схема динамического звена без модуляции, охваченного обратной связью, представлена на рис. 1.4.

Для этого соединения можно записать временные выражения для выходного сигнала в виде

Хвых(t) = (хвхО) ± Хвых^)• D2t ) • D1t ,

или

xвых(t ) = Хвх(0- 1 — D t D ■ (U0)

1 — D1t • D2t

Рис. 1.4. Звено с обратной связью без модуляции

Сомножитель, стоящий при входном сигнале хвх ), представляет собой некоторую временную передаточную функцию.

При преобразовании по Лапласу временных передаточных функций алгебраические операции сохраняются.

Например, для последовательного соединения L{Dlt•D2t }= Щ(р) -Ж2(р) интеграл свертки не требуется.

Следовательно, результат (1.10), например, в двумерной операторной области, может быть записан как правило структурного преобразования в виде

Ж (р1, р2) =-------^(Pl, Рг)--------.

1 ±ЩР^Рг)- ^2(Р1,Рг)

Для многомерных звеньев с модуляцией, охваченных обратными связями, структурные преобразования, такие как для многомерных звеньев без модуляции, не подходят.

Рассмотрим одиночный модулирующе-демодулирующий четырехполюсник с единичной обратной связью (рис. 1.5, а). Для него в одномерной временной области можно записать выражение для выходного сигнала в виде

Если перемножение сигналов осуществляется в канале обратной связи (рис. 1.5, б), то выходной сигнал можно определить в виде

Теперь видно, что введение обратной связи просто преобразует исходный блок перемножения в новый блок перемножения без обратной связи, но с другой опорной временной функцией.

В искусственной двумерной временной области тогда можно записать

Выражение (1.11) соответствует структурной схеме представленной на рис. 1.5, в, где четырехполюсник с модуляцией заменен на четырехполюсник без модуляции с передаточной функцией F(р2).

Хвых(^ ^ = Хвх(^Х Ф(0.

В двумерной операторной области это соотношение запишется обычным образом:

Х вых (Р1, Р2) = Х вх (Р1 ) • F (P2),

(111)

I (!)

+

а)

Х вх( Рі)

Хвых(Рі, Р2)

в)

Рис. 1.5. Звено с обратной связью с модуляцией для временной области (а, б) и для многомерной операторной области (в)

Выражение (1.11) можно использовать и для других схем многомерных звеньев с модуляцией, например содержащих в прямом канале и канале обратной связи динамические звенья.

2. Применение многомерно-временного операторного метода к исследованию структуры двухфазного АД

В работе [4] получено уравнение движения ротора двухфазного асинхронного электродвигателя (АД) в следующем виде

dш _ і dt R

| иа ■dt - иа • | Ир ■dt - ш • (| мр • dt

(2.1)

где иа, Ир - напряжения на обмотках управления и возбуждения; ш - скорость вращения

двигателя; J - момент инерции двигателя; R - приведенное сопротивление обмотки ротора.

По уравнению (2.1), в качестве примера, построим структурную схему двухфазного АД в одномерной временной области (рис. 2.1), например, при амплитудной модуляции напряжения управления

иа _ т^у _0-t•Uym • СО8(ш0 ^f),

где напряжение возбуждения ир _ ивт -8т(ш0 ^), а через К _—1----------------обозначен

R• J

коэффициент передачи электродвигателя.

и

р

Рис. 2.1. Структурная схема двухфазного АД во временной области

Так как структурная схема двухфазного АД содержит много блоков перемножения, то для расчета угловой скорости вращения двигателя ш целесообразно применить многомерно-временной операторный метод. Для этого изобразим структурную схему в многомерной операторной области в виде, представленном на рис. 2.2.

ГВХ1( Л, Р2, Рз)

®(Рі, Р 2, Рз, Ра)

иу (Р2)

Рис. 2.2. Структура двухфазного асинхронного двигателя в многомерной операторной области

Запишем изображения сигналов иа, ир в многомерной области

и„(Рі,Р2) = М(Рі)•иу(Р2) = Дт-и„(Рз) = и„-

Рі Р2 + ®с

Р3 + Ш°

В многомерной операторной области входной сигнал 7ВХ( р1, р2, р3) будет определяться следующим образом

7ВХ (Рі, Р» Рз) = 7ВХ1 (Рі, Рг, Рз) - 7ВХ2 (Рі, Р 2 , Рз) = = ДА, Рг) • ^ Ю°

ивт 'Ю0 - £( Р )• иУ” ' Рг

2^ 2 , 2 ^\Гз) 2 2 . 2

(2.2)

Рз +ш

0

Рі Р2 +®0

где

А( Р Р ) - иУт Р 1 В( Р ) - ^вт ' Ю С

А\Р\, Рг) _ 2 ' 2 . 2 . , В(Рз) 2 , 2

Рі Р2 +®0 Рі + Р2 Рз +®0 Рз

Постепенно, сначала по оператору р1 , потом по р2 и, наконец, по оператору Р3, перейдем во временную область и получим выражение:

^ут ^вт ^ ,/ . 2 / ^ ! 2 / ^\ ! иут ^вт ^ • /о А

Увх ----------------і1«п К ^) + cos К ^)і+---2--мп(2* ю0 -*) -

® о 2 * ® 0

иут ^вт ^ ( , Мп(2 * ®0 * І) ^

_ Ш0 *і +-

„2 ^0 п

Ш0 V 2

Согласно (1.11), многомерное изображение сигнала угловой скорости вращения Ш(р1, р2, Р3, р4) можно определить в виде

Шр Р2 , Pз, Р4 ) = 7вх (Р1, Р2 , Рз) • Р(Р4 ) (2 3)

где Р(р4) = ш(р^Рг>Рз,Р4) = ¿|ф(^4)|-многомерная передаточная функция опорной (Рl, Р2, Рз)

временной функции ф(^4), которая определяется из решения дифференциального уравнения (2.4), которое получено при I = t1 = 12 = t3 = ^:

/

.Увх* -7- + Ф dt

У dt у

- ** Увх. (2.4)

Таким образом, уравнения (2.2), (2.3), (2.4) полностью определяют угловую скорость вращения двухфазного АД в многомерной операторной области.

Из структурной схемы (рис. 2.1) видно, что хр - это гармоническая функция, поэтому

приходится иметь дело с дифференциальным уравнением с переменными параметрами, получение точного решения которого представляется довольно затруднительным.

Решим поставленную задачу, имея в виду тот факт, что электродвигатель представляет собой фильтр низких частот [1]. Из-за этого колебания с частотами, близкими к несущей, сильно ослабляются. Следовательно, сигналы увх и хр можно представить в виде

иут ■ ивт ^ { t 5Ш(2 • Ш0 • 0] иут • ивт ^

Увх =-------2---I Шо ^ +-------------1~--------------t.

Ш0 V 2 У Ш0

и2 и2 {11 ] и2

Хр2 = -в^ СС82(Шо ^) = ^т-I- + - • 008(2 • Шо ^)]« -^.

Ш0 Ш0 V 2 2 у 2^ Ш0

Поэтому, используя структурную схему (рис. 2.1), можно получить дифференциальное уравнение для нахождения скорости вращения двухфазного АД:

dш | 2 к dш + и1т'К К • ивт • иут ^ t

— + Хр • Ш = К • увх или — + вт , • Ш =------------------- -1.

dt р х СИ 2 • ш2 ш0

Решая это неоднородное линейное уравнение первого порядка для нулевого начального условия щ(0) = 0, получим

и 2 К

и -о-Ш и -0-Ш3 и •О^3 --

Ш = 2 и ут “ М° • t - 4 и ут “ Шо + 4 и ут ^ Шо ^ £ 2^

ивт и1-к и!т-к '

вт вт

Этот результат совпадает с известным результатом плавного пуска двухфазного АД, что подтверждает правомерность применения многомерно-временного операторного метода анализа и синтеза элементов САУ.

Заключение

Одномерный операторный метод на основе одномерного преобразования Лапласа неудобен для тех классов САУ, где имеются элементы, сигналы которых представляются в виде произведения по меньшей мере двух временных функций.

Предлагаемый многомерно-временной метод позволяет упростить математическую базу анализа и синтеза подобных САУ.

Литература

1. Власов Н. П. Теория линейных следящих систем, работающих на переменном токе /Н. П. Власов. - М. : Энергия, 1964. - С. 103-128.

2. Луковников В. И. Многомерный операторный метод анализа систем с модуляцией //Вестник КГТУ, посвящ. 65-летию проф. Соустина Б. П. /В. И. Луковников. -Красноярск : Изд. КГТУ, 1998. - С. 102-110.

3. Луковников В. И. Типовые многомерные динамические звенья / В. И. Луковников, А. В. Козлов // Вестник ГГТУ им. П. О. Сухого. - Гомель 2000. - № 2. - С. 47-54.

4. Луковников В. И. Электропривод колебательного движения / В. И. Луковников. - М. : Энергоатомиздат, 1984. - С. 91-96.

5. Смышляева Л. Г. Преобразование Лапласа функций многих переменных / Л. Г. Смышляева. - Л. : Изд. ЛГУ, 1981.- 132 с.

Получено 20.06.2005 г.