Многокритериальный выбор алгоритмов систем управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.518 Е. В. Лубенцова [E. V. Lubentsova] В. Ф. Лубенцов [V. F. Lubentsov]

многокритериальный выбор

алгоритмов систем управления

с помощью нечетких парных сравнений

Algorithm multicriteria choice of control systems with fuzzy paired comparisons

В статье рассмотрена задача многокритериального объектно-ориентированного анализа и выбора алгоритмов нечеткого и нейросетевого управления. Определены ее особенности и обоснована целесообразность применения метода нечеткого многокритериального анализа при выборе наиболее эффективного алгоритма управления биотехнологическим процессом. Доказано, что метод нечетких множеств в совокупности с процедурами метода анализа иерархии является одним из возможных методов наилучшего многокритериального выбора эффективного алгоритма управления, поскольку условия, в которых проектировщики САУ осуществляют выбор алгоритмов управления, удовлетворяют условиям этих методов.

Ключевые слова: многокритериальный выбор, алгоритм управления, нечеткое множество, парное сравнение

The article considers the problem of multi-object-oriented analysis and selection algorithms and fuzzy neural network control. The features of this task, and the expediency of applying the method of fuzzy multi-criteria analysis in selecting the most effective control algorithm biotechnological process. It is proved that the method of fuzzy sets in conjunction with the procedures of the hierarchy analysis method is one of the best possible methods of multicriteria choice of effective control algorithm, since the conditions in which designers ACS selects control algorithms, these methods satisfy the conditions.

Key words: multi-criteria selection, control algorithm, fuzzy set of paired comparisons

Многокритериальная задача выбора характеризуется рядом особенностей: варианты решений выбираются не только по количественным, но и по качественным критериям; факторы, которые необходимо учитывать при решении задачи, не все поддаются количественному учёту, часть из них учитывается на качественном уровне; не все зависимости между переменными объективны и не все они могут быть получены. Из этого следует, что ситуация многокритериального выбора связана с преодолением неопределенностей.

В настоящее время среди методов решения задач многокритериального выбора в условиях неопределенностей большое распространение методы теории нечетких множеств [1, 2], метод анализа иерархий (МАИ) [3] и другие. Каждый из указанных методов, как отмечено в [4], имеет свои достоинства и недостатки. В частности, недостатками МАИ являются ограничение на число одновременно сравниваемых объектов, длительная по времени процедура парных сравнений и допущение о взаимной независимости критериев. В связи с этим в данной статье рассмотрен многокритериальный анализ задачи выбора на основе нечеткой теории принятия решений и процедур метода анализа иерархий. Эти методы на сегодняшний день можно считать рациональными, поскольку условия, в которых проектировщики САУ осуществляют выбор алгоритмов управления, удовлетворяют условиям этих методов: информация является неточной или неполной; выбор одной альтернативы из нескольких можно осуществить на основе не одного, а множества критериев как количественного, так и качественного характера; задачи выбора являются слабоструктурируемыми, поскольку требуют учета и качественных, и количественных аспектов, причем зачастую качественные, малоизвестные и неопределенные аспекты проблем имеют тенденцию доминировать.

В качестве исходных данных в задаче выбора алгоритмов управления используются результаты исследования разработанных авторами данной статьи алгоритмов нечеткого и нейро-нечеткого управления биотехнологическим объектом и экспертные парные сравнения альтернатив по каждому критерию.

Постановка задачи и нечеткая модель

многокритериального анализа альтернатив.

Сложность задач выбора, составляющих основу принятия решений, определяется двумя основными факторами. Прежде всего, принятие решений осуществляется в условиях неопределенности. Второй фактор связан с многокритериальностью вариантов решений. Из обзора практических способов выбора можно сделать вывод, что на текущий момент времени не существует оптимального метода принятия решения по выбору алгоритмов управления интеллектуальных систем. Любой выбор связан с процессом обработки информации об альтернативах, о критериях, о возможных исходах, о системах предпочтений и способах отобра-

жения множества допустимых альтернатив во множество критериальных оценок возможных исходов.

Известно [5], что большинство методов многокритериального анализа преобразует вектор частных критериев, по которым оцениваются альтернативы, в скалярный интегральный критерий [6], поскольку решение задач с одним критерием хорошо отработано. Однако объединение критериев ухудшает значение качественных характеристик [7]. При таком подходе сложно учитывать качественные критерии, которые применяют эксперты [8]. Одним из хорошо зарекомендовавших себя в технических, экономических и социальных системах математических методов работы с качественной информацией в условиях неопределенности является теория нечетких множеств [3]. Для построения модели принятия решений воспользуемся методом нечеткого многокритериального анализа вариантов [10]. Данный метод не требует ни количественных оценок частных критериев, ни процедуры скаляризации. Метод позволяет учесть особенности проектирования систем и базируется на следующих принципах [8]:

- критерии рассматриваются как нечеткие множества, которые заданы на универсальном множестве альтернатив с помощью функции принадлежности;

- функции принадлежности нечетких множеств определяются по экспертным парным сравнениям альтернатив;

- коэффициенты важности критериев концентрируют соответствующие нечеткие множества;

- решения принимаются путем пересечения нечетких множеств-критериев, что соответствует выбору такого алгоритма управления, который лучше других удовлетворяет одновременно всем критериям [11].

Предположим, что известны: А = {Ар А2, ...., Ак} - множество алгоритмов управления; К = {Кр К2, ... Кк} - множество количественных и качественных критериев оценки алгоритмов.

Многокритериальный анализ альтернатив состоит в упорядочении элементов множества А по критериям К. При разработке модели принятия решения будем учитывать некоторые особенности проектирования систем.

1.

На первоначальном этапе проектирования исчерпывающие точные значения характеристик управляемого объ-

екта (процесса) принципиально невозможно получить. В условиях такой неопределенности характеристикам алгоритмов управления соответствуют нечеткие множества «высокое быстродействие», «высокая помехозащищенность», «высокая надежность», «высокая доступность элементной базы», «низкая стоимость» и т. п. Нечеткие множества {Кк}, заданные на множествах возможных значений характеристик алгоритмов управления, ответственных за реализацию общих требований к проектируемой системе, определяют экспертные лингвистические оценки типа «очень низкий», «низкий», «средний», «выше среднего» и «высокий». Использование для лингвистической оценки свойств объектов пяти термов позволяет оценить объект достаточно точно при сохранении простоты модели.

2. При принятии решения самое важное определить пре-

ние парных сравнений альтернатив типа «по критерию К! первый алгоритм А1 превосходит второй А2» удобнее для эксперта, чем определение абсолютных значений критериев для каждого алгоритма управления.

различной, но не всегда существенной. Знания о важности критериев отражены в экспертных высказываниях, например при управлении биосистемой для режима хемостата использование информации о концентрации биомассы значительно важнее информации о концентрации субстрата, чем для режима турбидостата, следовательно критерий К! значительно важнее критерия К4.

Обозначим как ¡¡ы (Л.) число из интервала [0, 1], которым алгоритм управления Л] С А оценивают по критерию К. С К: чем больше число ¡¡] (Л]), тем лучше алгоритм Л.по критерию К,] =1, к, I = 1,п. Тогда критерий К. можно представить нечетким множеством К на универсальном множестве алгоритмов управления А:

имущества одного варианта перед другими. Использова-

3.

Для разных технологических режимов управляемой системы, например биосистемы, важность критериев будет

К

(1)

где (А) - степень принадлежности элемента Ак нечеткому множеству.

На первом этапе необходимо выбрать метод построения функций принадлежности нечетких множеств. При выборе метода построения функций принадлежности для формализации рассматриваемой задачи необходимо учитывать вид решаемой задачи, сложность получения экспертной информации для ее решения, достоверность экспертной информации, а также трудоемкость алгоритма обработки информации при построении функции принадлежности [12]. К методам, учитывающим данные особенности, относятся статистический метод, метод парных сравнений, метод экспертных оценок. В работе [12] установлено соответствие между данными методами построения функций принадлежности и задачами принятия решений. С использованием результатов сравнительного оценок соответствия методов построения функций принадлежности задачам принятия решений, приведенных в [12], можно отметить, что для решения задач оценки, выбора и выработки альтернатив метод парных сравнений для всех перечисленных задач имеет значение уровня соответствия не ниже 0,5 и для задачи выбора альтернатив превышает метод ранговых оценок в 1,9 раза, а для задачи выработки альтернатив - в 1,3 раза. Поэтому находить степени принадлежности нечеткого множества (1) целесообразно по методу построения функций принадлежности на основе парных сравнений [2].

Парные сравнения удобно задавать такой матрицей:

А =

Кх К2 .. . Кп

Кх аи ах2 . . ахк

К2 а21 а22 . . а2к

Кп акх ак2 . . акк

где а. - преимущество алгоритма управления А. перед алгоритмом А.(., ] = 1,... к), определяемое по шкале относительной важности [3].

Матрица парных сравнений А является диагональной (%= 1) и обратно симметричной (а. = а.-1, ] = 1, к). Степеням принадлежности нечеткого множества (1) соответствуют координаты собственного вектора Ж = ..., ^к)) матрицы А: (Л.) = у = 1,..., к, ¡а(Р) = ] = 1,к.

Собственный вектор Ж находят при помощи следующей системы уравнений:

(А - ХЕ) . Ж = 0, (2)

где Ж - собственный вектор;

Х - собственное значение матрицы А.

Согласно принципу Беллмана-Заде [11], наилучшей будет альтернатива, которая в наибольшей степени одновременно удовлетворяет всем критериям. Нечеткое решение представляет собой пересечение частных критериев [10]:

d=^ n n...n о = ^--- (3)

где a. - коэффициент относительной важности критерия К. , причем

a1 + a2 + ... + an=1.

Показатель степени a в формуле (3) концентрирует функцию принадлежности нечеткого множества Kt в соответствии с важностью критерия K.

Коэффициенты относительной важности критериев могут быть определены с помощью метода парных сравнений Саати [9]. В соответствии с нечетким решением (3) наилучшим будет алгоритм управления с максимальной степенью принадлежности [14]:

D = arg max (A ), «D (A ), ... , «D(A)).

Решение задачи многокритериального анализа и выбора интеллектуальных алгоритмов для управления биотехнологическим процессом. Рассмотрим разработанную и адаптированную к задаче управления процессом биосинтеза и режимам его функционирования -хемостату и турбидостату - методику выбора алгоритмов управления, которая позволяет проектировщику САУ на основе нескольких критериев получить результат, показывающий эффективное в данном случае решение, т.е. лучший алгоритм управления. Количество сравниваемых альтернатив в рассматриваемой задаче равно пяти, что исключает недостаток метода МАИ, проявляющийся в громоздкости при ранжировании по ряду критериев в случае анализа более девяти альтернатив [13]. Кроме того, это позволило правомочно использовать процедуры МАИ для проверки непротиворечивости суждений экспертов и определения коэффициентов относительной важности критериев с помощью метода парных сравнений.

С учетом проведенных исследований систем управления биосистемой сравним пять вариантов системы управления А, + А5 по критериям К, + К5. В качестве вариантов рассмотрим типовой ПИД-регулятор (А1), нечеткий регулятор (А2) с двумя входами: концентрацией биомассы и уровнем в аппарате, нечеткий регулятор (А3) с двумя входами: концентрацией субстрата и концентрацией биомассы, нейро-нечеткий регулятор (А4) с выводом по Мамдани, нейро-нечеткий регулятор (А5) с выводом по Суге-но. Ранжирование альтернатив, анализируемых на основе матриц парных сравнений, осуществляется на основании собственных векторов w, получаемых в результате решения уравнения: М х w = 1maxxw.

В качестве основных были выделены критерии качественного содержания: возможность работы без априорного задания математической модели объекта управления эффективность управления (К2); вычислительная сложность реализуемых законов (алгоритмов) управления на объекте (К3); способность интегрируемости в действующие схемы управления (К4); сглаживание управляющего воздействия (К5). Множество выбранных критериев является незамкнутым. Его можно дополнить с учетом требований к конкретной системе управления. Экспертные парные сравнения вариантов приведены в табл. 1.

Парные сравнения проводятся в терминах доминирования одного элемента модели над другим. Используемая в общем случае исходная информация может быть неточной, неполной и противоречивой. Для про-

Табл. 1.

Критерий

ЭКСПЕРТНЫЕ ПАРНЫЕ СРАВНЕНИЯ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ

Парные сравнения

Почти слабое преимущество А2 перед А1 Слабое преимущество Аз перед А1 Существенное преимущество А4 перед А1 Очевидное преимущество А5 перед А1

Отсутствует преимущество А1 перед А2 Существенное преимущество Аз перед А1 Существенное преимущество А4 перед А1 Абсолютное преимущество А5 перед А1

Слабое преимущество А2 перед А1 Существенное преимущество Аз перед А1 Существенное преимущество А4 перед А1 Очевидное преимущество А5 перед А1

Существенное преимущество А2 перед А1 Очевидное преимущество Аз перед А1 Существенное преимущество А4 перед А1 Очевидное преимущество А5 перед А1

Слабое преимущество А2 перед А1 Существенное преимущество Аз перед А1 Существенное преимущество А4 перед А1 Существенное преимущество А5 перед А1

К

2

К

з

К

5

верки непротиворечивости исходной информации с учетом, что случайная согласованность для матрицы парных сравнений размерностью 5 х 5 равна 1,12 [3], были вычислены вектор приоритетов, максимальное собственное значение 1тах , индекс согласованности ИС и отношение согласованности ОС. Так как полученное оказалось равным ОС = 2,46 % < 10 %, то нет необходимости пересматривать высказывания экспертов [3].

Экспертным высказываниям соответствуют такие матрицы парных сравнений:

А (К3) =

Ах А2 А3 а4 а5

Ах 1 1 1/5 1/5 1/9

а2 1 1 1/7 1/5 1/7

Аз 5 7 1 1 1/3

а4 5 5 1 1 1/3

а5 9 7 3 3 1

А (к4) =

А! а2 Аз а4 А5

А1 1 1/5 1/7 1/5 1/7

а2 5 1 1/3 1/5 1/7

А3 7 3 1 1/2 1/2

а4 5 5 2 1 1/2

а5 7 7 2 2 1

А (к5) =

Ах А2 Аз А4 А5

Ах 1 1/3 1/5 1/5 1/5

а2 3 1 1/5 1/3 1/3

Аз 5 5 1 3 2

а4 5 3 1/3 1 1

а5 5 3 1/2 1 1

(4)

В каждой матрице пять элементов соответствуют парным сравнениям из таблицы 1. Остальные элементы найдены с учетом свойств диаго-нальности и обратной симметричности матрицы парных сравнений.

Степеням принадлежности нечеткого множества (1) соответствуют координаты собственного вектора Ж = матрицы А: /лы (А]) =

wj, j = 1,..., К, /лс(Р/)= ] = 1, к. Собственный вектор Ж находят при помощи системы уравнений (2). Эта неоднородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы (А -XЕ) равен нулю. Найдем его:

Уравнение имеет решение:

\ = 5,11; = - 0,00192; = - 0,00192; = -0,0544; = -0,0544.

Следовательно, X = 5,11. Найдем соответствующий вектор:

Рассмотрим систему

- 4,11с + с1 + 3с 0 + 5с + 9с А = 0;

0 1 2 3 4

с - 4,11т +3с + 5с + 7с = 0;

0,333т0 + 0,333с1 - 4,11с2 + 3с3 + 5с4 = 0;

0,2с0 + 0,2с 1 + 0,333с 2 - 4,11с 3 + 3с4 = 0;

' 0 ' 1 ' 2 ' 3 4 '

0,111с0 + 0,143с 1 + 0,2с2 + 0,333с3- 4,11с4 = 0. (5)

Система (5) имеет только нулевое решение. Введем условие нормировки с0 + с1 + с2 + с3 + с4 = 1. Для нахождения собственного вектора Ж используется замена одного из уравнений (5) условием нормировки. В результате решения системы получаем собственный вектор весов Ж = (с0

, с1, с2, с3, с4 ), с0 =0,373, с1 = 0,358, с2 = 0,158, с3 = 0,075; с4 = 0,036.

Применяя формулу (2) к матрицам (4), получим следующие нечеткие множества:

К3 =

0,056 0,061 0,130 0,185 0,549

Ах А2 А3 А4 А5 )

0,048 0,055 0,185 0,199 0,479

А^ А^ у4п

0,048 0,048 0,187 0,185 0,521|.

А1 Агу А3

к 0,043 0,062 0,183 0,256 0,438

А^ А^ А4 А^

(6)

0,053 0,082 0,448 0,181 0,221

А1 Л2 А3 А4 А5

Из (6) следует, что не существует варианта, доминирующего по всем критериям, поэтому решение будет зависеть от важности самих критериев. Коэффициенты важности критериев К! + К5 равны: а! = 0,376; а2 = 0,357; а3 = 0,156; а4 = 0,074; а5 = 0,036. Следовательно, при принятии решения наиболее важны возможность работы в режиме хемостата без априорного задания математической модели объекта управления (К!). С учетом важности критериев по формуле (3) получаем такие нечеткие множества:

А\ А2 АЪ А4 А5 10,048°'156 0,048ОД56 0,1870'156 0Д850'156 0,521°'156 '

Исходя из результатов нечетких множеств и согласно формуле (3), получаем следующий результат:

[ 0,322 0,339 0,462 0,528 0,759

[ А А А А А

Анализируя полученное нечеткое решение, можно сделать вывод о преимуществе алгоритма А5 перед остальными, а также о слабом преимуществе варианта А2 над вариантом А, и варианта А4 над вариантом А3.

Таким образом, сделаем выводы о результатах проделанной нами работы.

1. Обоснована целесообразность использования метода нечеткого многокритериального анализа в сочетании с процедурами МАИ при выборе наилучшего варианта алгоритма управления биотехнологическим процессом.

2. В качестве лучшего решения выбирается альтернатива, удовлетворяющая одновременно всем критериям в максимальной степени.

3. Рассмотренный подход может быть использован при многокритериальном анализе других алгоритмов управления, характеристики которым даются с помощью лингвистических переменных.

4. Данную методику можно реализовать в виде программного продукта и включить в состав алгоритмического и программного обеспечения САПР САУ, что значительно сократит время на принятие решения, повысит эффективность принимаемого решения и его обоснованность.

ЛИТЕРАТУРА 1. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений / пер. с англ. Под ред. Н. Н. Моисеева, С. А. Орловского. М.: Мир, 1976. 165 с.

2. Борисов А. Н., Крумберг О. А., Федоров И. П. Принятие решений на основе нечетких моделей. Примеры использования. Рига: Зи-натне, 1990. 184 с.

3. Саати Т.Л. Принятие решений. Метод анализа иерархий / пер. с англ. М.: Радио и связь, 1993. 320 с.

4. Андрейчикова О.А. Принятие решений в условиях взаимной зависимости критериев и альтернатив сложных технических систем // Информационные технологии, 2001. № 11. С. 14-19.

5. Масютина Г. В., Лубенцов В. Ф. Методика решения многокритериальной задачи выбора для управления динамической системой // Проблемы управления, передачи и обработки информации-АТМ-ТКИ-50 : сб. трудов международ. науч. конф. / под ред. А. Г. Александрова и М.Ф. Степанова. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2009. С. 128-130.

6. Хубка В. Теория технических систем. М.: Мир, 1987. 208 с.

7. Никульчев Е. В. Многокритериальные системы принятия решений для задач управления // Автоматизация в промышленности. 2005. № 7. С. 45-46.

8. Ротштейн А. П., Штовба С. Д., Штовба Е. В. Многокритериальный выбор бренд-проекта с помощью нечетких парных сравнений альтернатив // Управление проектами и программами. 2006. № 2. C. 138-146.

9. Саати Т. Л. Взаимодействие в иерархических системах // Техническая кибернетика. 1979. № 1. С 68-84.

10. Ротштейн А. П., Штовба С. Д. Нечеткий многокритериальный анализ вариантов с применением парных сравнений // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. № 3. С. 150-154.

11. Беллман Р., Заде Л. Принятие решений в расплывчатых условиях // Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М.: Мир, 1976. С. 172-215.

12. Захаров В. А. О выборе методов построения функций принадлежности для формализации задач принятия решений. URL: http:// www.smolensk.ru/user /sgma/MMORPH/N-12-html/borisov/zakharov/ zakharov.htm (дата обращения: 27.09.13).

13. Андрейчиков А. В., Андрейчикова О. Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике. М.: Финансы и статистика, 2000. 368 с.

14. Штовба С. Д. Введение в теорию нечетких множеств и нечеткую логику. URL: http://matlab.exponenta.ru/fuzzylogic/book1/4_6.php (дата обращения: 27.01.14)

ОБ АВТОРАХ Лубенцова Елена Валерьевна, доцент кафедры информационных систем, электропривода и автоматики Невинномысского технологического института (филиал) Северо-Кавказского федерального университета, кандидат технических наук. 357108, г Невинномысск Ставропольского края, ул. Гагарина, д. 1. Телефон (86554) 7-17-32. E-mail: lubenchov@nti.ncstu.ru

Лубенцов Валерий Федорович, заведующий кафедрой информационных систем, электропривода и автоматики Невинномысско-го технологического института (филиал) Северо-Кавказского федерального университета, доктор технических наук, доцент. 357108, г Невинномысск Ставропольского края, ул. Гагарина, д.1. Телефон: (86554) 7-17-32. E-mail: lubenchov@nti.ncstu.ru

Lubentsova Elena Valerevna, assistant professor of information systems, electric drives and automation in the Nevinnomyssk Technological Institute (branch) of the North Caucasus Federal University, Candidate of Technical Sciences. 357108, Stavropol Territory Nevinnomisk str. Gagarina, 1. Telephone: (86554) 7-17-32. E-mail: lubenchov@nti.ncstu.ru

Lubentsov Valery Fedorovich, Head of the Department of Information Systems, drive and automation technology in the Nevinnomyssk institute (branch) of the North Caucasus Federal University, doctor of technical sciences. 357108, Stavropol Territory Nevinnomisk str. Gagarina, 1. Telephone: (86554) 7-17-32. E-mail: lubenchov@nti.ncstu.ru