Минимизация риска потери сообщений в сетях с фрактальным трафиком Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

уДК 5192:004.421.5 004.7 в. Н. ЗАДОРОЖНЫЙ

Т. Р. ЗАХАРЕНКОВА

Омский государственный технический университет

МИНИМИЗАЦИЯ РИСКА ПОТЕРИ СООБЩЕНИЙ В СЕТЯХ С ФРАКТАЛЬНЫМ ТРАФИКОМ

Решается проблема повышения качества информационного обслуживания в сетях передачи данных с фрактальным трафиком. Цель исследования — разработка методов обеспечения низкой вероятности потерь сообщений. В терминах теории массового обслуживания формулируется и решается задача структурной оптимизации сетей с фрактальным трафиком. Выполняются необходимые теоретические исследования и имитационные эксперименты. Разрабатываются методы определения числа каналов в узлах, гарантирующего заданную низкую вероятность потерь. Эти методы могут непосредственно использоваться проектировщиками телекоммуникационных сетей.

Ключевые слова: телекоммуникационные сети, теория очередей, фрактальный трафик, структурная оптимизация.

1. Введение. Исследования в области телеком- при измерениях трафика [3] и проектировании се-

муникационных систем показали, что трафик со- тевых устройств.

временных сетей передачи данных имеет фрак- При проектировании сетевых устройств на си-

тальную (самоподобную) структуру [1]. Случайные стемном уровне они представляются в виде систем

переменные, которыми описывают такой трафик, массового обслуживания (СМО) [4, 5]. Фракталь-задаются распределениями с тяжелыми хвостами ными СМО мы называем такие системы класса (РТХ) [2]. Свойства РТХ порождают специфические GI/GI/n/m, в которых интервалы поступления трудности, с которыми приходится сталкиваться заявок и/или время их обслуживания принад-

лежат степенным РТХ и при этом имеют конечное математическое ожидание (м.о.) и бесконечную дисперсию. Коэффициент загрузки р рассматриваемых СМО меньше единицы: р = Xb/n< 1, где b < ~ — среднее время обслуживания заявки, X = 1/а — интенсивность входящего потока заявок, a < <х> — среднее время между приходами заявок, n — число каналов в системе. Системы GI/GI/n/m, задаваемые только распределениями с легкими хвостами, будем называть классическими. Соответственно, если сеть массового обслуживания (СеМО) описывается случайными величинами, хотя бы одна из которых принадлежит степенной РТХ с бесконечной дисперсией, то эту сеть будем называть фрактальной.

Характерными представителями фрактальных СМО являются системы Pa/M/n/m, M/Pa/n/m и Pa/Pa/n/m. Символ Pa обозначает распределение Парето:

F(t) = 1 - (K/t)a , а > 0, К > 0, t L К,

где а — параметр формы, К — наименьшее значение случайной величины (с.в.) и, одновременно, масштабный параметр. Сокращенно распределение Парето с параметрами K, а будем обозначать как Pa(K; а). Типичный для фрактального тра фи ка диапазон значений а определяется неравенством 1 < а < 2. При таких а распределение Парето имеет конечное м.о., равное аК/(а — 1), и бесконечную дисперсию. Основным методом расчета фрактальных систем является имитационное моделиро вание [6, 7].

Примоделировании фрактальных очередей возникают трудности, связанные со скрытым дефектом реализации РТХ — смещением его моментов [8]. В статье [9] проблема корректной аеализа-ции РТХ в моделировании решена в общем виде за счет создания генератора случайных чисел (ГСЧ) ARAND (Accurate RAND), эффективно использующего известные хорошо проверенные ГСЧ. Моделирование, результаты которого используются ниже, выполнялось с применением метода ARAND и ГСЧ «Вихрь Мерсенна».

Наряду с этим использовались широко известные классические методы обеспечения требуемой точности результатов моделирования [10]. С учетом сказанного такое моделирование далее будет называться высокоточным.

2. Задача исследования. Дополним введенные выше обозначения следующими: A(t) — функция распределения вероятностей (ф.р.) интервалов поступления заявок, а2 — ее дисперсия, B(t) — ф.р. времени обслуживания.

Рассмотрим фрактальную систему M/Pa/1. Средняя длина L очереди в ней, согласно формуле Полячека — Хинчина [4], здесь при любом р > 0 составляет

еай(2)

L = = <ю

2(1 -Р)

поскольку второй момент b(2) времени обслуживания, распределенного здеть по з-кону Парето при 1 < а < 2, бесконечен. Этот пример поясняет, почему при конечном буфере (т.е. в системе M/Pa/1/m) снижение вероятности пот ри заявки за счет выбора достаточно большого размера m Туфера и/или за счет повышения быстродействия канала оказывается малоэффективным.

В [11] проблема снижения вероятности потерь рассматривается более детально. В [12] показано, что при фрактальном трафике стратегия борьбы с потерями заявок за счет увеличения буферов и/или ускорения каналов крайне неэффективна. Высказана и путем моделирования обоснована гипотеза, что радикальное снижение вероятности потерь может быть обеспечено увеличением числа каналов в СМО. Теоретическая задача, которая решается в данной статье, состоит в исследовании эффективности этого метода в условиях фрактального трафика. Прикладной задачей статьи является разработка соответствующего метода структурной оптимизации фрактальных сетей.

3. Асимптотика вероятности потерь в классических многоканальных СМО. В классической системе с бесконечным числом каналов С1/С1/<х> оба распределения А^), Б^) имеют конечную дисперсию. Н едав но дока зано [П 3], что в таких СМО с ро стом нагруски рдсп]ездесение рк вероятностей чиела О са-нятых каналов сходится к гауссову распределению N (К, ок), т ■ е- Пз "О сПк.

0Т =

л-еЧа

-еор

(к - к )а

(1)

где к = СК , стО=СК + к0, к = С'(со з аО) ,

Р = |[1 з ВД^д

0

На практике скзникает задача выбора такого наименьшего кисса п канасов, которое при отсут-ствиибуфера для скасенсязоявоо (т. е. при т = 0) обеспечивалобы малуювероятность потер и заявки, не превосходящро оаданной велиоины 0О■ Назовем эту задачу задачейнахождения п(И), подразумевая, что И — достаточномалая вероятность(например, 10-4 или 10-15й Прз известидмдии исходной системы С1/С1/<х> реепределении рк задачу нахождения п(И) можно переформулировать и решатькак задачу нахождение соипиньшев о л, удовлетворяющего условию Р(к > п) < И,т.е. условию 1 — Р(к < п) < И. Рассматривая к, п, Р(к < п) как непрерывные величины, мы можем просто найти такое п, при котором 1 — Р(к < п) = И, т.е. решить при заданном малом И уравнение

1 - F(n) = П,

(2)

где Р(п) — ф.р. с.в. к.

При бялыпой загрузке (т.е. при болыпом ХЬ) задача (К( нахождения п(е)) может решаться за счет ар и менения га уссовой аппро зси мации (а) распределения рк [13].

Рдкомотрим конкретный пример — кистему Г1/Г2/ап, в которой гамма-распределзниз [14] Г1 имеет параметзы а 1 = к/3, (! = 2/3 и гамма-распределение Г2 — параметры (е2 = 1К3, Р2 = 1/30. (^ледоваделсск, м.о. интервалов поступлекия заявдк Х-1 = а = «1/Р1 = 1/2, и диспераия этих интерва-кос а1 = а/Р,е = 3/4. Сревнее время обслуживднза в этой системе Ь = а(КР2 = (0. Далее, используя И прмупы (1), последователь но найдем К =СК = (0 , к = Св(дО з аО) = 0, Р = 2,86826... (наиболее сложная для расчета величина), д( ~СК + к0= 31,07300 .

Параметры К, ок гауссовой аппроксимации ик распределения рк найдены, и можно решать задачу (2). Одновременно с гауссовой аппроксимацией ик посредством высокоточного моделирования найдено действительное распределение р . Оба

Pjf, ff»

500 1 000 1500 2 ООО 2500

1 .Е+ОО

1.Е-07

Р (к > п )

Рис. 1. Слева: распределение рк (линия с маркерами) и его гауссова аппроксимация gk; справа — хвост Q = 1 — F(n) = P(k > n) распределения F(n), рассчитанный на основе действительного распределения pk (линия с маркерами) и на основе его гауссовой аппроксимации gk

распределения показаны на рис. 1 слева. Справа на рис. 1 показаны найденные по распределениям рк и gk зависимости ветчины 1 — Р(п) от п2, вместе с соответствен)нцими зшиями и уравнениями тренда. Близкие к единице значения коэффициентов достоверностс И2 свидетельствуют о достаточно высокой тоgниcни понучзнных уравнений.

Из рис. 1 видно, чно использование аппроксимации gk приво=ит к; зенижннию вероятноети 1 — Р(п) на несколько пор gдков.

Сравним ееперт резуюиаты решения задачи (2), получаемые на основс респродслений рк и gk. Используя построеннос на основе действительного распределееия ок у=авнение црен=а (см. рис. 1), запишем

1 лн(о) = Р(С о о) = И,9259вЛе(°2.

С учетом этой фо=муне1 )=>авнеаон (2) принимает вид:

6,9259e"

= Q

Решая его отн=сительно л, получаем: n = yjb175,41nQ +119,5 ■

n = .Jb 88,51nQ +121,7.

1 £-04 1 E-06 1.E-12 1.E-12

Q

(3)

Аналогичное р2шение, ос=obанное на гауссовой аппроксимации gk (см. рес. 1), дает формулу

(4)

Решения (3) и (4) срсвниваются на рис. 2.

В целом, вы п олненное исследование конкретной классической многоканальной системы показывает, что, во-первых, можно эффективно обеспечить малую вероятность потерь за счет наращивания числа каналов, даже не используя буфер для хранения заявок; во-вторых, для решения задачи обеспечения малой вероятности потерь в общем случае следует предпочесть моделирование применению асимптотических аппроксимаций; в-третьих, уменьшение вероятности потерь на несколько порядков достигается за счет относительно небольшого повышения избыточности числа каналов (см. рис. 2).

4. Фрактальные многоканальные СМО. В качестве примера, характеризующего асимптотику вероятностей рк фрактальных СМО, приведем (см. рис. 3) распределение рк для системы Ра/Ра/ю,

Рис. 2. Решение задачи (2), основанное на распределении рк (линия с маркерами) и решение, основинное на гауссовой еппрексленция дк

в которой интереаты постепления заявок описываются законом Ра(1/5; 1,25), а вн>ене оНслуживания — законом с менее тяжелым хвостом Ра(10/3; 1,5). В этой системе X = (, Ь р 10. П=и моделировании через нее прошло более),))5еинмлн заявок.

На рис. 3 справа для малых вероятностей И превышения заданного числа п кнналоо показана линия тренда, описываемая уравнснием

И = Юсте-0'0133 о)

Используя его, находим решение задачи (2) в виде о = у/- еОД91р И + 2Н2,59. В соответствии с этим для обеспечения, например, вероятности потерь И = 10-6 достаточно установить в системе 35,8, т.е. 36 каналов.

Многочисленные иимитационные эксперименты повышенной точности с разнообразными фрактальными системами GI/GI/ю показывают, что зависимость И(п) с ростом п в любой такой системе при большой (порядка ХЪ = 10) загрузке с высокой точностью описывается формуосй

Q0)~ coe~

(5)

где с0, С — некоторыеконстанты, свои для каждой конкретной системы. Приближение (5) позволяет рекомендовать для борьбы с потерями зсявок наращивание числа каналов в оиастоме као эффективную

Cn

Рис. 3. Слева — распределение рк в рассматриваемой системе Ра/Ра/ю; справа — линия тренда зависимости Р(к > п) от п2 в системе Ра/Ра/ю

Рис. 4. Слева — распределения вероятностей состояний узлов 1—4 сети; справа — линии тренда зависимостей Р(к > п) от п2 для узлов сети

универсальную стратегию. При этом даже при весьма малых И избыточность числа каналов (по сравнению со средним числом ХЪ используемых каналов) оказывается относительно невысокой.

5. Фрактальные СеМО с многоканальными узлами. Имитационные эксперименты с различными СеМО, содержащими многоканальные узлы без буферов, показывают, что приближение (5) с высокой точностью выполняется и для узлов таких сетей.

В качестве примера на рис. 4 слева приведены распределения вероятностей состояний четырех узлов сети, полученной модификацией соответствующей четырехузловой сети, описанной в [13]. При модифика,=и - охранРИЫ маршрутная матрица М сети:

М =

и бесконечное число паналов в каждом узле. Входящий поток и время обслуживания в каждом узле изменены, и наданы следующим образом. Извне в сеть поступают четыре входящих потока. В первый узел извне поступает рнгулярный поток с интенсивностью 2. Ва осе рой узел — пуассоновский поток с интенсивностью 2. В третий унел — поток с интервазами пеступлення.рвспределедными по закону Ра(0,2; 1,25). И в четвертый узел — поток с интервалами поступления, распределенными по закону Ра(1/15; 1,5).

(од о,н о,н о 1

о о,н о,с о,2

о,с о о,2 од

ч о,а о,2 о,5 о ,

Время обслуживания в первом узле детерминированное и равно 0,5. Во втором узле оно распределено экспоненциально со средним 1. В третьем узле — по закону Ра(1/6; 1,5). В четвертом узле — по закону Ра(0,4; 1,25).

На рис. 4 справа приведены полученные в результате моделирования зависимости вероятностей Р(к > п) от п2 для всех четырех узлов в виде соответствующих линий тренда и их уравнений.

Результаты эксперимента подтверждают гипотезу о хорошей точности приближения (5) не только в изолированных системах, но и в узлах сетей. Наиболее значимым в законе (5) является то, что наращивание числа каналов в узлах при относительно небольшой их избыточности приводит к резкому снижению вероятности потерь. Это при обслуживании фрактального трафика кардинально отличает стратегию наращивания числа каналов от стратегии увеличения объема буферов и/или производительности каналов, которая при степенных РТХ с бесконечной дисперсией совершенно бесперспективна [12].

6. Задача и метод оптимального распределения каналов. Пусть заданы маршрутная матрица сети, распределения вероятностей B.(t) времени обслуживания в узлах I (I = 1, ..., М), входящий поток (входящие потоки) заявок. Буферы для хранения заявок в узлах сети отсутствуют. Требуется распределить N каналов N >> М) по узлам сети таким образом, чтобы минимизировать сумму вероятностей потерь в узлах.

Задача оптимального распределения каналов возникает при построении (развитии) телекомму-

никационной сети с фрактальным трафиком, если используется стратегия наращивания числа каналов в узлах. Какое бы число каналов ни имелось в нашем распйряжении, не практике оно всегда конечно, и от тегй, как мы распределим эти каналы по узлам, зависит эффеокивность их использования.

С учетом найденного результота (5) формально задачу оптимальнр го рагп р еде лннпя ка н ало в можно переписать следую щим обраа ом.

2 Q (n)=2<

(6)

2 "i = N ,

п. > 0, (' = 1, ..., М.

Все коэффициенты сд. и С. здесь известны. Действительно, на практике задече оптимального распределения каналов может решаться только с использованием моделирования, а как с его помощью определяются эти коэффициенты, было продемонстрировано выше.

В форме (6) решение задачи распределения каналов не составляет труда. Она может решаться любыми известными численными методами оптимизации. Мы можем, например, рассматривать варьируемые переменные п. как непрерывные величины, отыскивать решение каким-либо градиентным методем я аатеи соответствующим образом округлять полуаенные не целыт ептоиавьные значения. Если нас не устраивает погрешность, вносимая округлениями, мы аожем с самого начала решать задачу как целнписпеннию, испнльзуя подходящие квазиградгентные методы.

7. Пример оптимкльного распределения каналов. Решим задачу оптрмального распределения N = 100 канасов по чеоырвм узлам сени, рассмотренной в разделе 5. Используп даноыо ее моделирования, представленные ыа рис. 4 с права, запишем задачу в фо■ ме (6):

0,860 k

-0,0743ní -

1 + 5,6561e

1 -0,0336"? -0,011"?

+1,6991 3 + 44,462e 4

^ mm,

(7)

2"

100

п > 0, i = 1, ..., 4.

Решая эту задачу с помощью сервиса «Поиск

решения» Excel, получаем: п = 13,23, п2 = 28,6, п3 = 19,9, п4 = 38,27 или, округляя:

n, = 13, n, = 29, n, = 20, n = 38.

1 '2 ' 3 '4

(8)

8. Проверка оптимального решения. Оптимальное распределение каналов (8) нетрудно проверить, используя ту же имитационную модель, с помощью которой получены данные рис. 4.

Задав в модели соответствующее решению (8) число каналов в каждом из узлов 1-4 и выполнив моделирование (с прохождением через сеть 10 млн заявок), находим сумму вероятностей потерь в четырех узлах: + ,2 + ,3 + ,4 = 1,8106.

Чтобы подтвердить оптимальность распределения (8), сравним его с равномерным распределением каналов и с распределением каналов, обеспечивающим одинаковые коэффициенты загрузки узлов.

С помощью той же имитационной модели сети, задав равномерное распределение каналов (по 25 каналов на каждый узел), получаем Q + ... + Q4 = 0,0024. Распределение каналов, обеспечивающее одинаковые коэффициенты загрузки узлов р. = 0,33 (это распределение n1 = 9, n2 = 30, n3 = 16, n4 = 45) дает суммарную вероятность потерь Q + ... + Q4 = 0,00026. В обоих случаях суммарная вероятность потерь на несколько порядков хуже, чем при найденном выше оптимальном распределении каналов.

9. Добавление буферов для хранения заявок. При проектировании телекоммуникационной сети после оптимального распределения каналов по ее у лам естественно в каждый узел добавить буфер для хранения заявок (сообщений).

Чтобы выбрать размеры буферов, можно выполнить моделирование сети при неограниченных размерах буферов и определить их максимальное содержимое.

Выполнив такое моделирование при прохождении 10 млн заявок, определяем, что максимальное содержимое буферов в узлах 1—4 составило 2, 2, 3 и 4. Многократно повторяя это испытание, можно видеть, что максимальное содержимое этих четырех буферов меняется, но никогда не превышает величин 4, 4, 5 и 7 соответственно. Эта ситуация кардинально отличается от ситуации, возникающей при наращивании объемов буферов или быстродействия единственного канала [12]. Поэтому, установив в узлах данной сети буферы, например, достаточные для хранения 100 заявок, мы полностью исключим потери.

10. Заключение. В результате исследования установлено следующее.

При борьбе с потерями сообщений в сетях с фрактальным трафиком стратегия повышения числа каналов обладает кардинальными преимуществами перед стратегиями увеличения буферов и производительности каналов.

Хвост Q(n) функции F(n) распределения состояний СМО и узлов СеМО с бесконечным числом каналов имеет при малых Q (больших n) асимпто-ти ку (5).

Достаточная для решения задач оптимизации точность приближения (5) обеспечивается, как правило, уже при загрузке ХЬ = 10.

Законом (5) для фрактальных систем и сетей предопределяется высокая эффективность наращивания числа каналов как метода борьбы с потерями.

Предложенный в статье метод оптимизации распределения каналов по узлам фрактальной сети с очередями может быть непосредственно использован проектировщиками телекоммуникационных сетей с фрактальным трафиком, прост в применении и обеспечивает радикальное снижение вероятности потерь вплоть до ее полного устранения.

Библиографический список

1. Leland, W. E., Taqqu, M. S., Willinger, W., Wilson, D. V. On the Self-Similar Nature of Ethernet Traffic. ACM/ SIGCOMM Computer communications review, 1993, 146—155 pp.

2. Crovella, M. E., Taqqu, M., Bestavros, A. Heavy Tailed-Probability distributions in the World Wide Web. — 5 (6): 835 — 846, December, 1997.

Cm

i=1

0,0174"

+

i = 1

3. Czachorski, T., Domanska, J., Pagano, M. On stochastic models of Internet traffic. Information technologies and mathematical modeling. 2015, 289 — 303 pp.

4. Kleinrock, L. Queueing Systems: V. II — Computer Applications / L. Kleinrock. — N. Y. : Wiley Interscience, 1976. — 576 p.

5. Zwart, A. P. Queueing Systems with Heavy Tails. Eindhoven University of Technology, 2001. — 227 p.

6. Asmussen, S., Binswanger, K., Hojgaard, B. Rare events simulation for heavy-tailed distributions. Bernoulli 6 (2), 2000. — P. 303-322.

7. Boots, N. K., Shahabuddin, P. (2000). Simulating GI/ GI/1 queues and insurance risk processes with subexponential distributions. Unpublished manuscript, Free University, Amsterdam. Shortened version in: Proceedings of the 2000 Winter Simulation Conference, 2000. — P. 656-665.

8. Zadorozhnyi, V. N. Fractal Queues Simulation Peculiarities, in Communications in Computer and Information Science, 2015. -P. 413-432.

9. Zadorozhnyi, V. N. Peculiarities and Methods of Fractal Queues Simulation, in 2016 International Siberian Conference on Control and Communications (SIBCON), sec. Fundamental Problems of Communications, Russia, Moscow, May 12 — 14, 2016. DOI: 10.1109/SIBC0N.2016.7491713. IEEE Catalog Number: CFP13794-CDR. ISBN: 978-1-4799-1060-1. — Режим доступа : http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?arnumber= (дата обращения: 30.08.2016).

10. Kleijnen, J.P.C. Statistical Techniques in Simulation, Part 1, Marcel Dekker, New York. 1974.

11. Zadorozhnyi, V. N. Simulation modeling of fractal queues, in Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines (Dynamics), 2014, December, 2014, pp. 1—4. DOI: 10.1109 / Dynamics. -2014.7005703.

12. Задорожный, В. Н. Метод ускоренного расчета буферов для фрактальных систем с очередями / В. Н. Задорожный // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. — 2013. — № 1 (117). — С. 216 220.

13. Моисеев, А. Н. Бесконечнолинейные системы и сети массового обслуживания / А. Н. Моисеев, А. А. Назаров. — Томск : Изд-во НТЛ, 2015. — 240 с.

14. Korn G. A., Korn T. M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. General Publishing Company, 2000. — 1151 p.

ЗАДОРОЖНЫЙ Владимир Николаевич, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления». Адрес для переписки: zwn2015@yandex.ru ЗАХАРЕНКОВА Татьяна Романовна, аспирантка кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления».

Адрес для переписки: ZakharenkovaTatiana@gmail.

Статья поступила в редакцию 12.09.2016 г. © В. Н. Задорожный, Т. Р. Захаренкова

com

Книжная полка

004.7/З-26

Замятина, О. М. Вычислительные системы, сети и телекоммуникации. Моделирование сетей : учеб. пособие для магистратуры по направлению «Информатика и вычислительная техника» / О. М. Замятина. - М. : Юрайт, 2016. - 159 с.

В пособии кратко изложены основы теории моделирования систем, приведены различные виды классификации моделирования и моделей, рассмотрена математическая основа моделирования сетей, средства моделирования сетей, а также разработан практический курс в рамках дисциплины «Моделирование сетей ЭВМ и систем телекоммуникаций». Соответствует актуальным требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования. Для студентов, обучающихся по магистерской программе 230100 «Информатика и вычислительная техника» (специализация «Сети ЭВМ и телекоммуникации»).

004/Д79

Дубинин, Е. А. Оценка относительного ущерба безопасности информационной системы : моногр. / Е. А. Дубинин, Ф. Б. Тебуева, В. В. Копытов. - М. : РИОР; М. : ИНФРА-М, 2015. - 191 с.

В монографии исследуется адекватность существующих способов оценки ущерба безопасности информационной системы. Для повышения достоверности оценки относительного ущерба безопасности информационной системы предложено использовать мнения экспертов. Разработан модифицированный метод сложения функций принадлежности нечетких экспертных оценок, который учитывает важность мнений экспертов и пригоден для носителей в относительных величинах. Модифицированный метод сложения функций принадлежности нечетких экспертных оценок пригоден для реализации в системах менеджмента и аудита информационной безопасности.

Для специалистов в области аудита безопасности объектов информатизации, а также для преподавателей, студентов и аспирантов технических специальностей.