CC BY
40
УДК 551.461.2
ТВ. Белоненко, В.В. Колдунов
МЕЖГОДОВАЯ ИЗМЕНЧИВОСТЬ АЛЬТИМЕТРИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ УРОВНЯ ОКЕАНА НА ВОСТОЧНО-САХАЛИНСКОМ ШЕЛЬФЕ*
Изучение гидродинамических характеристик океанологических полей на охотоморском шельфе Сахалина является важной задачей в связи с активным освоением этого района нефте- и газодобывающими компаниями. Одним из наиболее перспективных направлений в этом исследовании являются дистанционные методы зондирования океана [1].
В данной работе анализируется спутниковые альтиметрические наблюдения за уровнем моря в трех различных пунктах шельфа Охоткского моря:
1) 46° с.ш. 143° в.д. - в заливе Анива,
2) 49° с.ш. 145° в.д. - к востоку от мыса Терпения,
3) 53° с.ш. 144° в.д. - к юго-востоку от г. Оха (месторождение «Сахалин-1»).
Массив альтиметрической информации получен со спутников: ERS-1, ERS-2, Jason
и TOPEX/POSEIDON (Т/Р) и представляет собой карты аномалий уровня с дискретностью 7 суток с 14 октября 1992 г. по 5 января 2005 г. Дискретность повторения треков различна для разных спутников: Jason - 7 суток, Jason и TOPEX/POSEIDON (Т/Р) -10 суток, Geosat Follow-On (GFO) -17 суток, ERS-1, ERS-2 и Envisat - 35 суток.
, Для исследования временных рядов с дискретностью 7 суток продолжительностью
13 лет, применяется вейвлет-анализ - аппарат, наиболее приспособленный для изучения структуры неоднородных и нестационарных океанологических процессов. Теория вейвлетов является мощной альтернативой анализу Фурье и дает более гибкую технику обработки сигналов, в частности, - анализа временных рядов. Вейвлет-преобразование сигнала является обобщением спектрального анализа, в основе которого лежит классическое преобразование Фурье. Применяемые для этой цели базисы названы вейвлетами, солитонообразными функциями двух аргументов - масштаба и сдвига. В вейвлет-анализе роль простых колебаний играют вейвлеты. Понятие частоты классического спектрального анализа здесь заменено масштабом, и, чтобы перекрыть «короткими волнами» всю временную ось, введен сдвиг функций во времени. В отличие от традиционного пребразования Фурье, вейвлет-преобразование обеспечивает двумерное представление исследуемого одномерного сигнала в частотной плоскости (частота - положение). Аналогом частоты при этом является масштаб аргумента базисной функции, а положение характеризуется ее сдвигом. Это позволяет локализовать крупные и мелкие детали сигналов, одновременно локализуя их на временной шкале. Иными словами, вейвлет-анализ можно охарактеризовать как локализованный спектральный анализ или спектральный анализ локальных возмущений. Термин «вейвлет» происходит от английского слова wavelet, буквальный перевод которого означает маленькая волна. Основное здесь то, что вейвлет-преобразование не просто «режет» исследуемый объект на куски, а выделяет из него компоненты
© Т.В. Белоненко, В.В. Колдунов, 2006
'Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 04-05-64876
разных масштабов и что каждый компонент анализируется с той степенью детальности, которая соответствует его масштабу.
В качестве базисных функций нами были выбраны вейвлеты Морле, которые, как нам представляется, хорошо приспособлены для исследования процессов, содержащих климатическую и синоптическую составляющие [2-12].
Аналитическое представление вейвлета Морле задается следующим выражением:
-Г/ а'
Вейвлет Морле - это уединенная плоская волна, модулированная гауссианой. Параметр а задает ширину гауссианы, параметр к0 - частоту плоской волны, t - время, е - основание натуральных логорифмов, i - мнимая единица. Обычно выбирают конкретные значения этих параметров. В пакете MATLAB вейвлеты Морле задаются в виде:
х2
¥(?) = Се 2 cos(5x) где С - константа. График вейвлета Морле представлен на рис. 1:
-6-4,8-3,6-2,4-1,2 о 1,2 2,4 3,6 4,8 6
Time» sec
01 23456789 10
Frequency, rad/sec
Рис. 1. Вещественная часть вейвлета Морле (слева) и его преобразование Фурье (справа).
Исходные реализации состояли из 639 значений. Диапазон изменчивости уровня от - 18 до 31 см. Наибольшей изменчивости исходные значения достигают в пункте 49° с.ш. 145° в.д. - к востоку от мыса Терпения и в пункте 46° с.ш. 143° в.д. - в заливе Анива, наименьшей в пункте 53° с.ш. 144° в.д. - («Сахалин-1»).
Analyzed Signal (length * 939)
10.1992 091994 0S.1996 Otm« 06.2000 Of.iOOl 04.1004
Рис. 2. График исходной реализации и вейвлет-преобразование в пункте 46° с.ш., 143° в.д.
cm Analyzed Signal (length = $39)
Л0.19М 09.1994 08.1.9« 0"l*W 062000 OS.IOOJ 04.1004
lO.Wi 09.15*4
05.2005 04.2004
Puc. 3. График исходной реализации и вейвлет-преобразование в пункте 49° с.ш., 145° в.д.
10.1991 09.1?94 08.1»« 0?.1Э*8 06,2000 05.2002 04.2004
Рис. 4. График исходной реализации и вейвлет-преобразование в пункте 53° с.ш., 144° в.д.
По графику вейвлет-изобажений (рис. 2-4) мы можем определить, какие именно масштабы (или частоты) определяют изменчивость уровня на разных отрезках времени. По оси ординат представлены масштабы изменчивости до 5 лет. Межгодовая изменчивость низкочастотных колебаний аномалий уровня моря различна за исследуемый промежуток времени. На вейвлет-изображении для всех трех реализаций лет выделяются выраженные максимумы энергии колебаний в низкочастотной области от 3 до 5 лет, но только в начале реализации - с 1992 по 1999 г., а далее максимумы в низкочастотной области отсутствуют во всех трех пунктах наблюдения.В дальнейшем, с 1999 до 2004 г., в пункте, находящемся в заливе Анива, происходит локализация экстремумов энергии колебаний в диапазоне изменчивости 1-2 года. В пункте «Сахалин-1» для этого же промежутка времени отмечается также небольшие максимумы, но энергия колебаний существенно меньше, что на вейвлет-изображении соответствует значительно меньшим по интенсивности и по площади выделенным областям повышенной энергии. Отмеченная закономерность представлена в графиках линейных коэффициентов для масштаба изменчивости 2 года, где диапазон изменчивости для пункта в заливе Анива значительно больше (в 2,5 раза), чем для других пунктов (рис. 5). Насколько меняется межгодовая изменчивость колебаний с периодом 2 года за исследуемый промежуток времени в этих пунктах восточно-сахалинского шельфа также фиксируется на графиках (рис. 5).
В пунктах 49° с.ш. 145° в.д. и 53° с.ш. 144° в.д. хорошо выделяются колебания масштабов 1.5 года для периода 1996-1998 гг., в то время как в заливе Анива этому промежутку времени соответствует как раз пониженная интенсивность колебаний уровня.
Рис. 5. Графики линейных коэффициентов масштаба колебаний 2 года для пунктов 46° с.ш. 143° в.д. (а), 49° с.ш. 145° в.д.(Ь) и 53° с.ш. 144° в.д. (с).
Для всех пунктов выделяются годовые и полугодовые колебания, однако интенсивность их различна для разных промежутков времени, что хорошо прослеживается на рис. 6 и 7. Особенности изменчивости колебаний годовых и полугодовых масштабов отчетливо проявляются на графиках соответствующих линейных коэффициентов. В этом отношении вейвлет-анализ является замечательным инструментом исследования межгодовой
изменчивости соответствующих масштабов. В частности, в пункте 53° с.ш. 144° в.д. с 1992 до 1995 гг. практически полностью отсутствовали годовые колебания уровня, в то время как в пункте 46° с.ш. 143° в.д. они в промежуток времени 1994-1995 гг. были максимальны - до 50 см. В пункте 46° с.ш. 143° в.д. годовые колебания становятся менее интенсивными в 1997 г. и в 2001 г., хотя в целом для этого пункта интенсивность годовых колебаний значительно выше, чем для остальных пунктов. Это же замечание имеет место при рассмотрении полугодовых колебаний (рис. 7). Во всех трех рассматриваемых пунктах интенсивность полугодовых колебаний для 1994-1995 гг. превышает ее для других периодов, в пунктах 49° с.ш. 145° в.д. и 53° с.ш. 144° в.д. в другие моменты времени колебания этих масштабов выражены очень слабо, за исключением пункта 46° с.ш. 143° в.д. в нем после 1995 г. изменчивость полугодовых колебаний по-прежнему присутствует, но становится меньше.
10.1993 09.1994 0§.1»« 07.1998 0*0000 ОбДО« 04.2004
Рис. 6. Графики линейных коэффициентов годовых колебаний для пунктов 46° с.ш. 143° в.д. (а), 49° с.ш. 145° в.д.(Ь) и 53° с.ш. 144° в.д. (с).
Рис. 7. Графики линейных коэффициентов полугодовых колебаний для пунктов 46° с.ш.
143° в.д. (а), 49° с.ш. 145° в.д.(Ь) и 53° с.ш. 144° в.д. (с).
На этих рисунках хорошо видно преимущество применения вейвлет-анализа для нестационарных процессов, так как теория вейвлетов, являющейся мощной альтернативой анализу Фурье, дает более гибкую технику обработки временных рядов. Классический анализ Фурье основан на возможности исследования функций во временной и частотной областях с помощью прямого и обратного преобразований Фурье, которое демонстрирует замечательную способность преобразования Фурье фокусировать в точку «размазанную» по времени информацию о периодичности функции при переходе из временной области в частотную. Достигается это за счет того, что ядро преобразования Фурье не локализовано во времени, но имеет предельную локализацию в частотной области. Это обстоятельство и делает преобразование Фурье прекрасным инструментом для изучения процессов, свойства которых не меняются со временем. Спектральный анализ (преобразование Фурье) плохо применим к анализу нестационарных сигналов, в частности, отдельные особенности
сигнала (например, пики или разрывы) вызывают незначительные изменения частотного образа во всем интервале частот от -оо до <», которые «размазываются» по всей частотной оси, что делает их обнаружение по спектру практически невозможным. Этот недостаток существует даже при резком увеличении числа гармоник, которые оказывают влияние на форму самого сигнала и за пределами локальных особенностей сигнала, поэтому по составу высших составляющих спектра практически невозможно оценить местоположение на временной оси особенностей сигнала и их характер.
Именно это обстоятельство делает преобразование Фурье плохим методом для исследования функций, характеристики которых эволюционируют во времени. Например, преобразование Фурье не отличает сигнал, представляющий собой сумму двух синусоид, от сигнала, состоящего из тех же синусоид, но включающихся последовательно. Для устранения этого недостатка нужно локализовать преобразование Фурье на промежутках конечной длины. Таким приемом пользовались многие авторы, вычисляя оценки спектра мощности не только по всей длине временного ряда, но и по его различным частям, с помощью оконного преобразования, которое позволяет получить эволюцию спектра во времени. Здесь важно подчеркнуть, что окно преобразования имеет постоянную ширину, которая характеризует длину интервала АТ, который в свою очередь определяется мерой временного разрешения, в то время как ширина спектральной линии определяет меру частотного разрешения. Известно, что обе эти характеристики обратно пропорциональны.
' Поэтому, естественное для анализа нерегулярных сигналов стремление повысить временное разрешение всегда приводит к уменьшению разрешающей способности в области частот (рис. 4), К этому следует добавить, что при использовании оконного преобразования возникает проблема выбора ширины окна во временной области. Слишком широкое окно может обеспечить разумное представление низкочастотных компонентов ряда, но его ширина будет избыточной для гармоник с высокой частотой, поскольку все интересные нерегулярности в высокочастотной области спектра сгладятся. Наоборот, достаточно узкое окно даст возможность изучить вариации во времени высокочастотных компонентов, но оно не будет адекватным для низкочастотных гармоник.
Возвращаясь к вопросу о сравнении вейвлет-анализа и его преимуществах относительно спектрального анализа, отметим, что особенности изменения вклада составляющих годовых и полугодовых колебаний с течением времени при спектральном анализе вообще никак не выделяются, график спектра давал бы традиционно общую картину количественной оценки вклада при определенных частотах, усредненную по всей шкале времени.
Локализованные максимумы энергии на вейвлет-изображении могут означать области энергоснабжения от внешних источников. Обратим внимание также на то, что области повышенной энергии часто имеют определенный наклон относительно системы координат. Вытянутые области максимальной энергии связаны, вероятно, с передачей энергии от одних временных масштабов к другим, Когда этот наклон направлен из области больших периодов в область низких - идет поток энергии от крупномасштабных движений к мелкомасштабным, связанный с нелинейной генерацией турбулентности, обусловленной динамической неустойчивостью крупномасштабных движений. Например, это происходит для пункта в заливе Анива для второй половины 1998 г., когда энергия колебаний 1,5-1 год перераспределяется в сторону сезонных колебаний. Другой пример - аналогичный наклон вправо области повышенной энергии для масштабов 1,5-2 года для пункта 53° с.ш. 144° в.д.
При наклоне влево происходит перераспределение энергии по масштабам от более высоких к более низким. Для пункта в заливе Анива обширная область максимума
энергии низкочастотных колебаний в 3-4 года наклонена вправо для промежутка времени 1998-99 гг. Это значит, что энергия колебаний, соответствующая масштабу 3-4 года, постепенно передается по другим масштабам в сторону более низких частот. Происходит энергоснабжение крупномасштабных движений от мелкомасштабных. Подобные процессы получили название в физике «движений с отрицательной вязкостью». Соответствующие коэффициенты турбулентного обмена имеют отрицательный знак. Подобные явления достаточно хорошо известны в метеорологии, когда энергоснабжение крупномасштабных струйных течений в высоких слоях атмосферы происходит от циклонов. В океане явления, связанные с отрицательной вязкостью, изучены чрезвычайно мало, хотя при решении обратных задач оценки коэффициентов турбулентного обмена нередко имеют отрицательное значение.
В 1997 г. два самых знаменитых немецких математика, Мюллер и Хирцебрух, написали статью о развитии математики за последние сто лет. За это время, по их мнению, произошло два важнейших события - доказательство великой теоремы Ферма и появление вейвлет-анализа. Не было в последние годы другой математической концепции, которая бы так стремительно проникла во все естественные науки, многие области техники, экономику и финансы.
В данной работе мы показали возможности вейвлет-анализа для изучения океанологических полей на примере исследования изменчивости уровня океана. Возможности г этого аппарата открывают широкие перспективы в этом направлении.
Summary
Belonenko Т. К, Koldunov V.V. Interannual variability of altimetry sea-level measurements in the Eastern Sakhalin shelf area.
Sea-level variability in the Sakhalin shelf area is studied. The wavelet-analysis of time series is more preferable in comparison with the traditional spectral one because it gives more flexible technical equipment of signal processing. Altimetry information is received from satellites ERS-1, ERS-2, Jason and TOPEX/POSEIDON and represents sea-level anomalies with 7 day step-type behaviour from October 14,2002 till January 05,2005. One must find which scales (or frequencies) determine variability of a sea-level in different time intervals. The contributions of annual and semiannual fluctuation in variability of the ocean level are given. It enables to find a direction of energy transfer fluctuations on scales using inclinations of energy maxima areas. It is shown that the opportunities of the wavelet-analysis open wide prospects to study oceanographic characteristics
Литература
1. Белоненко T.B., Захарчук E.A., Фукс В.Р. Градиентно-вихревые волны в океане. СПб., 2004. 2. Астафьева H. М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. 1998. Т. 166. № 11. 3. Белоненко Т. В., Фукс В. Р., Шилов И. О. Опыт применения Вейвлет-анализа для исследования изменчивости океанологических процессов в Курильском районе / Теория и практика эколого-географических исследований (Итоги научной работы Учебно-научного центра географии и геоэкологии в 2004 году). СПб., 2005. 4. Воробьев В. И., Грибунин В. Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. СПб., 1999. 5. Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А., Вейвлеты иихиспользо-вание // Успехи физических наук. № 5. 2001. Т. 171. 6. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. М., 2002. 7. Левкович-Маслюк. Дайджест вейвлет-анализа // Компьютерра. № 8, 1998. - Электронный вариант номера доступен по адресу http://www.computerra.ru/offline/1998/236/. 8. Новиков J1. В. Основы вейвлет-анализа сигналов / Учебное пособие. СПб., 1999.9. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков // Успехи математических наук. 1998. Т. 53. №6 (324), 10. Соломатин А.С., Юсупов В.И.,
Савельева Н.И., Семилетов И.П. Вейвлет-анализ: Примеры обработки акустических и гидрометеорологических данных (Тихий океан, Северо-азиатский регион) // Труды Арктического регионального центра. Т. 2.2000.11. Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB. Кемерово, 2003. 12. Hardle W„ Kerkyacharian G., PicardD., TsybakovA. Wavelets, Approximation and Statistical Applications. Seminaire Paris-Berlin, 1997.
Статья принята к печати 26.12.2006 г.
