Методы вычисления случайных погрешностей физических величин из экспериментальных данных Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.233.2

Н.Н. Щелканов

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Предложены способы и приведены выражения для оценки случайных среднеквадратических погрешностей измеряемых величин, входящих в формулу для вычисления коэффициентов регрессии, из экспериментальных данных. Ключевые слова: методы, линейная регрессия, случайные погрешности.

В

[1] предложена обобщенная формула для нахождения

коэффициента регрессии К1 линейного уравнения

Y =К+К X. (1)

Эта формула получена с учетом случайных погрешностей из-

меряемых характеристик X и Y и имеет вид

к, = О. А. [

1

В 2• Рх

..(В_А)± М

А В \4 • р

. (В_ А)2 +1],, А В

(2)

где А = « 1 _| Рх

У

1 _ &

2/2

1 _ 8*1

, В = 4 1 _ рх

V

1_8

2 12 V °

1 _ 8х/

(3)

сх и Су - среднеквадратические отклонения величин X и У, рху -коэффициент корреляции между х и У, 5х и 5у - случайные среднеквадратические погрешности измерения х и У для рассматриваемого массива данных. В [1] показано, что все известные формулы для коэффициентов регрессии являются частными случаями полученного аналитического выражения (2) и определены условия их использования. Из анализа, про-веденного в [1] следует, что наиболее распространенная формула для вычисления коэффициента регресии К1 =СУ/сх*РхУ может быть использована только для случая, когда разброс точек в корреляционной связи величин х и У обусловлен только случайными погрешностями У, а погрешность 5х =0. Для подавляющего большинства данных это условие не выполняется, поэтому, с теоретической точки зрения, этой формулой

пользоваться нельзя. При отсутствии информации о величинах случайных погрешностей 5Х и 5Y имеется неопределенность в вычислении коэффициентов регрессии уравнения (1). При этом разность между крайними оценками коэффициента регрессии К1 будет равна сгу/стх(1/ рхУ - рхУ). На рисунке представлена зависимость ве-личины (1/рхУ - рхУ)*100, которая в процентах характеризует неопределенность в коэффициенте регрессии К1, от коэф-фициента корреляции рХУ. Из рисунка видно, что при рХУ>0,99 неопределенность в коэффициенте регрессии не превышает 1%, при рхУ>0,9 - 22%, при рхУ<0,6 неопре-деленность превышает 100%, а при рхУ<0,1 - 1000%. Если задать

максимальнодопустимую погрешность определении К1 равной 22%, то практически формулой К1=сУ/сх*рхУ можно пользоваться только при рхУ>0,9. Фактически же этой формулой пользуются при любых значениях коэффициента корреляции.

Зависимость величины (1/ рху — рху)*100 от коэффициента корреляции Рку.

Для получения математически корректных коэффициентов регрессии уравнения (1) необходимо развивать методы вычисления величин случайных погрешностей.

Методы вычисления случайных погрешностей. Предложено три метода вычисления случайных погрешностей величин X и У непосредственно из экспериментальных данных. В методах используется известная формула из [2]

рХУ СХ СУ =рХ0У0 СХ0 °У0, (4)

где Х0 и Г0 представляют собой физические величины X и У при 5х = 5У =0; рХ0У0 - коэффициент корреляции между Х0 и У0; ох0 и сУ0 -среднеквадратические отклонения величин Х0 и У0.

1. Первый метод позволяет находить верхние оценки случайных погрешностей. Если известна одна из погрешностей, например 5У, а разброс точек в искомой зависимости обусловлен только случайными погрешностями (рХ0У0=0), то согласно (4) значение другой погрешности будут вычисляться по формуле

Если при этом одна из погрешностей (5У) равна нулю, то, как следует из (5), значение другой погрешности будут вычисляться по формуле

2. Второй метод позволяет приближенно вычислять случайные погрешности, например 5х. Для этого выберем величины X и X', незначительно отличающиеся друг от друга. Полагая, что в формуле (4) разброс точек в корреляционной связи величин X и X' обусловлен только случайными погрешностями и 5X = 5^ получим приближенные оценки для 5X

(5)

(6)

(7)

Если в (7) будут выполнено условие сх = сх', то получается простая формула для вычисления случайной погрешности

где рхх - нормированный коэффициент автокорреляции для X.

3. Одновременно случайные среднеквадратические погрешности двух физических величин можно найти, предполагая, что теоретический коэффициент наклона между ними известен, а разброс точек в их корреляционной связи обусловлен только случайными погрешностями. Для этого необходимо иметь два массива физических величин (X и У), полученных одновременно в одинаковых условиях одним или двумя приборами.

Для расчета случайных погрешностей двух физических величин находятся среднеквадратические отклонения (Сх и су) и коэффициент корреляции (рху) между ними. Затем последовательно задаются разные величины одной случайной среднеквадратической погрешности, например, 5У в интервале от 0 до максимального зна-

чения стУ - у 1 — р^ , и находятся величины погрешности 5х по формуле (5). Полученные значения среднеквадратических отклонений (ох и су), коэффициента корреляции (рху) и набора случайных погрешностей (5х и 5У) подставляются в формулу (2) и вычисляется коэффициент регрессии Кь Когда коэффициент регрессии К1 получится равным его теоретическому значению, находятся величины обеих случайных среднеквадратических погрешностей.

Когда величины X и У представляют собой одну и туже физическую величину, то теоретический коэффициент регрессии К1 будет равен 1.

Заключение

Предложены методы, которые позволяют вычислять величины случайных среднеквадратических погрешностей физических величин из экспериментальных данных.

1. Щелканов Н.Н. Обобщенный метод построения линейной регрессии и его применение для построения однопараметрических моделей аэрозольного ослабления // Оптика атмосферы и океана. 2005. Т.18. №1-2. С.86-90.

(8)

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

2. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука. Т.2. 1973. 900 с. М

Shchelkanov N.N.

METHODS FOR CALCULATION OF RANDOM ERRORS OF PHYSICAL PARAMETERS FROM EXPERIMENTAL DATA

Methods are proposed and equations are presented for estimation of the rms random errors of measured parameters, entering into the equation for calculation of the regression coefficients, from experimental data.

Key words: methods, linear regression, random errors.

— Коротко об авторе -----------------------------------------------

Щелканов Николай Николаевич - кандидат физико-математи-ческих наук, старший научный сотрудник, Учреждение Российской академии наук Институт оптики атмосферы им. В.Е. Зуева СО РАН, E-mail: snn@iao.ru