Научная статья на тему 'Методы синтеза фрагментов предикатных программ'

Методы синтеза фрагментов предикатных программ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

CC BY
120
30
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ФОРМАЛЬНАЯ ОПЕРАЦИОННАЯ СЕМАНТИКА / ПРОГРАММНЫЙ СИНТЕЗ / ДЕДУКТИВНАЯ ВЕРИФИКАЦИЯ / FORMAL OPERATION SEMANTICS / PROGRAM SYNTHESIS

Аннотация научной статьи по компьютерным и информационным наукам, автор научной работы — Чушкин Михаил Сергеевич, Шелехов Владимир Иванович

Рассматривается задача синтеза фрагментов предикатной программы. Синтезируемая программа определяется в форме композиции подпрограмм, полученных применением правил синтеза. Задача синтеза иллюстрируется на примере эффективной программы вычисления чисел Фибоначчи.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Methods for synthesizing predicate program pieces

In the predicate language P, a program is a set of computable predicates. The formal operational semantics of P is developed. A total correctness formula for a predicate program with respect to its specification is presented on the base of the formal operational semantic. The synthesis problem for small pieces of a program in P is considered. The synthesized program is defined as a composition of subprograms. Some synthesis rules are applied. The rules are developed on the base of the total correctness rules for deductive verification of the predicate programs. The synthesis problem for the predicate programs is clarified on the example program for an effective calculation of Fibonacci numbers. Some methods to synthesize functional programs are developed. These methods may be successfully used in developing the program synthesis methods starting from a program specification and the specifications of additional programs in a decomposition of the source program.

Текст научной работы на тему «Методы синтеза фрагментов предикатных программ»

6. Jsoncpp: A C++ library for interacting with JSON. https://github.com/ open-source-parsers/jsoncpp. 2016.

7. CompCert. Compilers you can formally trust. http://compcert.inria.fr/. 2016.

8. Жуковская А. О., Стефанцов Д. А. Операционная семантика ЛЯПАСа // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2015. №8. С. 131-132.

9. flex: The Fast Lexical Analyzer. http://flex.sourceforge.net/. 2016.

10. GNU Bison. A general-purpose parser generator. https://www.gnu.org/software/bison/. 2016.

УДК 519.714 DOI 10.17223/2226308X/9/50

МЕТОДЫ СИНТЕЗА ФРАГМЕНТОВ ПРЕДИКАТНЫХ ПРОГРАММ1

М. С. Чушкин, В. И. Шелехов

Рассматривается задача синтеза фрагментов предикатной программы. Синтезируемая программа определяется в форме композиции подпрограмм, полученных применением правил синтеза. Задача синтеза иллюстрируется на примере эффективной программы вычисления чисел Фибоначчи.

Ключевые слова: формальная операционная семантика, программный синтез, дедуктивная верификация.

1. Язык предикатного программирования

Программа на языке P0 определяется следующей конструкцией:

<имя предиката> (<аргументы>:<результаты>){<опер>атор>},

аргументы и результаты — непересекающиеся наборы имён переменных.

Предположим, что x, y и z обозначают разные непересекающиеся наборы переменных. Набор x может быть пустым, наборы y и z не пусты. Простейшим оператором является вызов предиката A(x : y). Операторами языка Po являются следующие конструкции: B(x : z); C(z : y) —последовательный оператор, B(x : y) || C(x : z) — параллельный оператор и if (e) B(x : y) else C(x : y) — условный оператор.

Операционную семантику программы H(x : y) определим в виде предиката: R(H)(x,y) = для значения набора x исполнение программы H всегда завершается и существует исполнение, при котором результатом вычисления является значение набора y [1].

Тотальная корректность (далее просто корректность) программы относительно спецификации в виде предусловия P(x) и постусловия Q(x,y) определяется формулой

Vx (P(x) ^ [Vy R(H)(x,y) ^ Q(x,y)] & 3y R(H)(x,y)).

2. Задача синтеза

Пусть Q(x, y) —некоторая формула, связывающая между собой аргументы x и результаты y. Целью синтеза является получение (возможно, недетерминированным образом) программы H(x : y), вычисляющей значение результатов y из аргументов x.

Будем говорить, что синтезом формулы Q(x,y) является оператор H(x : y) и предусловие P(x) в виде формулы, и писать

\Q(x,y)] = H(x : y), [Q(x,y)\ = P(x),

1 Работа поддержана грантом РФФИ, проект №16-01-00498.

Математические основы информатики и программирования

127

если существует программа H(x : y), корректная относительно спецификации в виде предусловия P(x) и постусловия Q(x,y). Предусловие при этом описывает контекст, в рамках которого происходит вычисление.

Правила синтеза строятся на базе правил доказательства корректности в системе дедуктивной верификации [2].

Утверждение 1 (Condition Rule). Для некоторой формулы Q(x,y) истинны следующие тождества:

rQ(x,y)l = if (e(x)) [e(x) ^ Q(x,y)] e/se [!e(x) ^ Q(x,y)], LQ(x,y)J = e(x)?Le(x) ^ Q(x,y)J : |>(x) ^ Q(x,y)J.

Утверждение 2 (Call Rule). Пусть Q(x,y) —некоторая формула. Если существуют такие формулы Q'(x, x') и f (x', y), что Vx, y (Q(x,y) ^ 3x' (Q'(x, x') & f (x', y))), F (x : y) = [f (x,y)l и истинно одно из следующих утверждений:

1) f(x',y) —рекурсивный вызов и Q'(x,x') & m(x') < m(x), где m — некоторая функция меры, заданная на аргументах формулы f ;

2) f (x', y) — нерекурсивный вызов,

то истинны тождества [Q(x,y)l = [Q'(x, x')l; F (x' : y), |_Q(x,y)J = |_Q'(x,y)J.

3. Пример

Рассмотрим формулу, описывающую числа Фибоначчи:

fib(i) := (i = 0 or i = 1) ? i : fib(i- 1) + fib(i - 2); q(i, r) := r = fib (i) ;

Очевидной программой является реализация функции fib в виде условного оператора и двух рекурсивных вызовов. Такая программа будет неэффективна, так как рекурсия не является хвостовой. В предикатном программировании для приведения рекурсии к хвостовому виду используется метод обобщения исходной задачи.

Введём дополнительные параметры-накопители current = fib(j) и previous = = fib(j — 1) для некоторого j ^ i. Формула для обобщённой задачи выглядит следующим образом:

g(i, j, current, previous, last) := 1 <= j & j <= i &

current = fib(j) & previous = fib(j - 1) & last = fib(i);

Синтез формулы q(i, r) начинается с применения правила Condition Rule с формулой e(i) = (i = 0 or i = 1). Истинность посылки правила при этом проверяется с помощью SMT-решателя. Следом применяется правило Call Rule с вызовом g(i, 1,0,1, r) в качестве вызова формулы. Посылки правила также проверяются с помощью решателя. Результатом синтеза является следующая предикатная программа:

main(i: r) pre true

post q(i, n) {

if (i = 0 or i = 1) r = i

else

G(i, 1, 0, 1: r) ;

}

Синтез формулы g(i,j, current,previous, last) также осуществляется с помощью правил Condition Rule и Call Rule, условия i = j и формулы g(i,j + 1, current + + previous, current, last) для рекурсивного вызова генерируемой программы. Истинность посылок правил позволяет синтезировать следующую программу:

G(i, j, current, previous: last) pre true

post g(i, j, current, previous, last) {

if (i = j)

last = current

else

G(i, j + 1, current + previous, current: last);

}

Выбор правила на очередном шаге осуществляется методом перебора, указанным в работе [3]; выбор выражения в правилах Condition Rule и Call Rule — методом перебора, указанным в [4].

Предельная цель проекта — разработать алгоритмы и методы синтеза программы по её спецификации и спецификации обобщённой задачи. Предполагается интегрировать различные методы синтеза функциональных программ, предлагаемых, например, в работе [3].

ЛИТЕРАТУРА

1. Шелехов В. И. Семантика языка предикатного программирования // 5-я Всерос. конф. «Знания — Онтологии — Теории». ИМ СО РАН, Новосибирск, 2015. С. 15.

2. Чушкин М. С. Методы дедуктивной верификации предикатных программ // Труды 2-й Междунар. конф. «Инструменты и методы анализа программ». Кострома, 2014. С.205-214.

3. Jacobs S., Kuncak V., and Suter Ph. Reductions for synthesis procedures // Verification, Model Checking, and Abstract Interpretation. 2013. LNCS. V. 7337. P. 88-107.

4. AlurR., Bod'ikR., Juniwal G., et al. Syntax-guided synthesis // FMCAD, 2013. P. 1-8.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.