CC BY
24
УДК 66.013.5.001.57
Ю. А. Балашкина*, В. В. Макаров
Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева, Москва, Россия 125480, Москва, ул. Героев Панфиловцев, д. 20 *е-шаП: balashkina.jullia@gmail.com
МЕТОДЫ РЕДУКЦИИ ОБЩЕЙ ЗАДАЧИ ПОЗИНОМИАЛЬНОГО ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ К ЗАДАЧЕ НУЛЕВОЙ СТЕПЕНИ ТРУДНОСТИ
Исследованы методы редукции общей задачи позиномиального геометрического программирования к задаче нулевой степени трудности, практически применённой для оптимизации конструкционных параметров технологических аппаратов и режимных параметров технологических процессов. Процедура редукции проиллюстрирована на примере ограничений на варьируемые переменные.
Ключевые слова: оптимизация; геометрическое программирование; степень трудности; позином; двойственность; неравенство Коши.
Многие задачи оптимизации процессов химической технологии и химико-технологических систем формулируется в виде задач геометрического программирования [1]:
- [ 1 1 а
х х [ j=1 1=1 | (1)
х; > 0;1 = й;С > 0и = й;
где а - любые действительные числа.
Варьируемыми переменными могут быть режимные параметры технологических процессов, конструкционные параметры, размеры и производительность технологических аппаратов и т. п.
Если J - (I + 1) = 0, то задача (1) имеет нулевую степень трудности. Ее преимущества перед другими методами оптимизации состоят в том, что [1,2]:
- минимизация критерия g(x) сводится к решению системы алгебраических уравнений;
- возможность получения оптимального значения критерия без вычисления варьируемых переменных;
- инвариантность значений термов критерия относительно коэффициентов,
двойственные переменные
неотрицательны, что является проверкой на корректность самой задачи на стадии решения;
- методическая точность решения такой
задачи.
С задачей (1) связана двойственная ей задача [1,2]:
max d(5) = max
J
П
J=1
f C ^5J
v«Jy
(2)
при ограничениях:
Z«ijS J= 0 j=1
(3)
Z8j= 1
. J=1
Система (3), состоящая из уравнений ортогональности и уравнения нормировки, имеет единственное решение, которым является оптимальный вектор:
5* = (5*,...,5J). (4)
Подстановка этих значений в d(6) позволяет вычислить оптимальное значение d (б) согласно теореме двойственности:
max d(5) = min g(x). (5)
8 x
Переход к прямой задаче осуществляется по правилу инвариантности:
I i
S* = Cj ГК«*"^ (6) i=1 g (x ) и приводит к переопределенной системе уравнений линейных относительно ln(x), что позволяет
непосредственно определить оптимальный вектор:
—* * *
x = (xi,...,xi). (7) Рассмотрим пример. Затраты на работу химико-технологической системы, оборудованной компрессором, реактором и сепаратором в прямой цепи и компрессором в обратной связи, зависят от давления газа x1 на входе в систему и кратности циркуляции x2 в виде позинома [3,4]:
g(x) = 1000x1 + 4 • 109xf1x21 + 2,5 • 105x2 . (8)
Двойственная задача имеет вид:
max d(5) = max
8 8
1000
У1
J1
4-10
9
2,5 -10
5 Л8з
(9)
при ограничениях
2
3
откуда
51 -52 = 0 -52 +53 = 0 (10) 51 +52 +53 = 1
5* = (5*, 52,53), (11)
_* г 5 =
В данном случае решение системы линейных уравнений однозначно, и, подставляя найденное решение в двойственную функцию, получаем:
ё*(5*) = 3 -106 (13)
Переход к прямой задаче по условию инвариантности приводит к переопределенной системе нелинейных уравнений, которая после логарифмирования становится системой линейных алгебраических уравнений. Решение такой системы
дает оптимальный вектор:
—* * *
2 =(21,22) (14)
и оптимальный вектор решения
—* * *
X = (Х1,Х2), (15)
_*
X = (1000;4). (16)
Выполним проверку на правильность найденных значений, подставив найденные параметры в прямую задачу, и посчитав критерий:
Б*(Х*) = 3 -106 (17)
Если J - (I + 1) > 0, то решение задачи (1) значительно усложняется, при этом утрачиваются некоторые преимущества метода
[1,5].
Становится невозможно определить, решаема ли задача за несколько вычислений, а также определить оптимум критерия, без вычисления оптимальных переменных.
Из изложенного выше следует актуальность редукции задачи произвольной степени трудности к задаче нулевой степени трудности, анализ методов которой представляет цель настоящей работы. Ниже рассмотрены методы редукции, ориентированные на задачи геометрического программирования при отсутствии ограничений. Некоторые из описанных ниже методов ориентированы на задачи небольшой (например, первой) степени трудности.
Рассмотрим сначала методы первой группы. К ним можно отнести:
- последовательную элиминацию термов позинома;
- объединение термов позинома [2];
- метод частичной инвариантности [2];
- метод сжатия позиномов (при наличии ограничений в виде позиномиальных неравенств) [6].
Первый из перечисленных методов состоит в последовательном исключении каждого терма из искомого позинома (при единичной степени трудности) и решении полученной задачи нулевой степени трудности. За приближенное решение можно принять наименьший из рассчитанных минимумов.
Метод объединения термов заключается в определении термов, для которых объединение возможно с последующим решением полученной задачи нулевой степени трудности [2]. Объединение возможно, когда степени членов не сильно отличны друг от друга. После объединения термов применяется условие инвариантности.
Нельзя объединять термы с
противоположными показателями степеней, так как это приводит к монотонному приближению немонотонной функции. То есть следует избегать объединений, которые приводят к неограниченной функции нижней границы.
Метод частичной инвариантности
аналогичен методу объединения термов, которое выполняется после применения условия инвариантности. На практике встречаются случаи, когда данный метод не применим.
Один из таких случаев - отсутствие начального решения, необходимого для определения весов. Другой - недопустимость использования некоторых ограничений.
Сжатие применяется к позиномам ограничений, в результате получается задача нулевой степени трудности.
Задачи с высокой степенью трудности возможно редуцировать к задачам нулевой степени трудности, если исходные задачи имеют специальную структуру [7].
Также существует несколько
декомпозиционных подходов к редукции задач геометрического программирования. Один из них - когда система состоит из нескольких подсистем. Переменные делятся на локальные и связывающие.
Общая задача разбивается на несколько меньших задач оптимизации для каждой подсистемы. Решение общей системы достигается при решении локальных задач. Связь между оптимальными значениями переменных исходной задачи и значениями для подзадач находится после решения координирующей задачи.
При редукции декомпозиционным методом считается, что каждая локальная задача имеет нулевую степень трудности. Так как каждая локальная задача имеет нулевую степень трудности и сильно совместна, то двойственная задача имеет единственное решение [8].
Для некоторых случаев в геометрическом программировании есть возможность найти явную связь целевых функций подзадач от параметров, и координирующая задача сводится к определенному виду экстремальной задачи [7].
Балашкина Юлия Алексеевна, студентка 1 курса магистратуры факультета Информационных технологий и управления РХТУ им. Д. И. Менделеева, Россия, Москва.
Макаров Владимир Валентинович, д.т.н., профессор кафедры Кибернетики химико-технологических процессов РХТУ им. Д. И. Менделеева, Россия, Москва.
Литература
1. Даффин Р., Питерсон Э., Зенер К. Геометрическое программирование. - М.: Мир, 1972. - 311 с.
2. Уайлд Д. Оптимальное проектирование. - М.: Мир, 1981. - 272 с.
3. Евдокимов А.Г. Минимизация функций и ее приложения к задачам автоматизированного управления инженерными сетями. - Харьков: Вища шк. изд-во при Харьковском ин-те, 1985. - 288 с.
4. Beightler C.S., Wiede D.S. Foundation of optimization. - Prentice Hall, 1967. - 469 p.
5. Макаров В.В., Ибрагимов Л.Г., Гордеев Л.С., Кафаров В.В. Геометрическое программирование в задачах проектирования процессов химической технологии. - М.: МХТИ им. Д. И. Менделеева, 1980. - 48 с.
6. Avriel M., Dembo R., Passy V. Solution of generalized geometric programs // International journal for numerical methods in engineering. 1975. V. 12. P. 149.
7. Цурков В.И. Декомпозиция в задачах большой размерности. - М.: Наука, 1981. - 352 с.
8. Зайченко Ю.П. Исследование операций: нечеткая оптимизация. - К.: Вища шк., 1991. - 191 с.
Balashkina Ylia Alekseevna*, Makarov Vladimir Valentinovich
D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, Moscow, Russia *e-mail: balashkina.jullia@gmail.com
GENERAL POSINOMIAL PROBLEM REDUCTION TO ZERO DIFFICULTY PROBLEM
Abstract
Methods of general posinomial problem reduction to zero difficulty problem have been investigated. The methods have been applied for design and operational characteristics. The reduction approach has been applied to problems without conditions.
Key words: optimization; geometric programming; difficulty; posinom; duality; Couchi inequality.
