CC BY
240
7(7) - 2008
Управление финансовыми рисками
МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ РИСКОВОЙ СТОИМОСТИ ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ НА ОСНОВЕ МЕТОДОЛОГИИ VALUE AT RISK
Е.Ю. ЩЕТИНИН,
доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики Московского государственного технологического университета «Станкин»
В условиях бурного развития мировой экономики теоретические подходы к оцениванию финансовых рисков весьма разнообразны и представляют собой достаточно сложный инструментарий. Однако при всей множественности подходов и показателей, применяемых в целях оценки рисков, качественно новым этапом в развитии риск-менеджмента стало появление методологии Value а1 Risk (VaR) [1, 2]. Полное определение VaR может быть сформулировано как максимально возможная при принятом доверительном уровне величина потерь по сравнению с наиболее вероятным вариантом развития событий. Стоимость, подверженная риску, VaR в качестве формы оценки рисков последние годы прочно занимает лидирующие позиции в спектре инструментария практических разработок и теоретических исследований финансовых аналитиков. Одним из основных методологических преимуществ этого подхода является его адаптивность — VаR представляет собой не только единый показатель, но и целый методологический блок, предоставляющий широкий спектр возможностей, в том числе по оценке рисков в условиях развивающихся рынков. В частности, в условиях российского рынка ценных бумаг основанные на VаR модели представляются эффективным и перспективным инструментом управления финансовыми рисками.
По оценкам специалистов, VаR является достаточно эффективным и универсальным, не столько альтернативой или дополнением к прочим мерам риска, сколько их комплексным обобщением и замещением. Преобладавший в финансовом сооб-
ществе в 80-х гг. XX в. подход к трактовке оценки риска как «искусства» уступил место более техногенным взглядам. Финансовые рынки предъявили качественно новые требования к аналитическому обеспечению торговых операций, и в первую очередь — к технике анализа инструментов и управления рисками. В предшествующий период при наличии достаточно широкого круга разработок в области оценки рисков практическое применение ограничивалось показателями кредитного рейтинга, т. е., по сути, мерой кредитного риска эмитента, безусловно, имеющей непосредственное отношение к ценной бумаге, но не учитывающей всей специфики ее профиля рисков. Аналитические методы оценки VаR, процедуры управления риском, основанные на понятии необходимого для покрытия риска капитала — Capital at Risk, сокращенно CаR — получили широкое распространение в качестве успешных примеров финансовых технологий. Так, по оценке международной ассоциации по работе с производными инструментами — International Swap and Derivatives Association, сокращенно ISDA, уже в 1995 г. большинство ведущих участников рынка использовало в целях оценки рисков основанные на VаR подходы [3].
В настоящее время классическими подходами к оценке VаR считаются: метод исторического моделирования; метод Монте-Карло; стресс-тестирование; вариационно-ковариационный метод. На более ранних этапах использования VаR наиболее распространены были историческое моделирование и вариационно-ковариационные методы, из которых предпочтение отдавалось последним
в связи с более теоретически строго обоснованным математическим аппаратом. Ограничением применения имитационного моделирования долгое время являлись компьютерные технологии, развитие которых позволило создать приемлемые по скорости и быстродействию решения лишь в последние несколько десятков лет.
Метод исторического моделирования основан на предположении о стационарности рынка в ближайшем будущем. Он требует относительно небольшого числа предположений относительно статистических распределений для рыночных факторов риска. Для реализации этого метода стоимости инструментов портфеля должны быть предварительно представлены как функции рыночных факторов риска.
Искомое распределение прибылей и убытков находится эмпирическим путем, в предположении, что текущий портфель подвергается воздействию реальных изменений значений рыночных факторов риска, которые наблюдались в прошлом, например, за последние п периодов. Для этого строится п множеств гипотетических значений рыночных факторов на основе их нынешних значений и процентных изменений за последние п периодов. Таким образом, полученные гипотетические значения основываются на реальных данных, но не тождественны им. На основе этих гипотетических наборов значений рыночных факторов рассчитывается п гипотетических значений стоимости портфеля. Сравнение этих значений с текущей стоимостью портфеля дает возможность найти п величин прибылей и убытков, вызванных изменением рыночных факторов. Полученные величины также являются гипотетическими, так как портфель мог иметь разный состав на протяжении последних п периодов. Последним этапом является построение эмпирического распределения вероятностей прибылей и убытков, полученных в результате изменений стоимости портфеля, и определение величины рисковой стоимости.
Для начала выбирается достаточно большой период наблюдений Т (например, 100 торговых дней) и для каждого торгового дня (в случае расчета VaR на один день) находится изменение цены каждого базового финансового инструмента, входящего в портфель. Затем для каждого из этих изменений вычисляется, насколько изменилась бы цена сегодняшнего портфеля. Для этого генерируются 100 возможных значений цен следующего дня:
Р = Р0 + ДР, г = 1,2,...,100, (1) где Р0 — текущая цена финансового инструмента;
Др — историческое дневное изменение цены финансового инструмента.
Затем рассчитываются 100 значений доходности каждого финансового инструмента (позиции), входящего в портфель. Потом находится 100 значений средневзвешенной доходности портфеля по текущим весам, и путем умножения средневзвешенной доходности на текущую стоимость портфеля получают распределение возможных значений стоимости портфеля через 1 день. Далее полученные 100 чисел (сценариев) сортируются по убыванию, т. е. все значения стоимости портфеля ранжируются. Из полученных результатов строится гистограмма, по которой можно с заданной вероятностью оценить VaR. Взятое с обратным знаком число, соответствующее выбранному доверительному интервалу (например, для уровня 99 % необходимо взять число с номером 99), и будет представлять собой VaR портфеля.
Очевидно, что чем больше прогнозный горизонт VaR, тем больший период исторических наблюдений требуется анализировать. Например, чтобы проанализировать 250 сценариев для расчета VaR с прогнозным горизонтом в 5 дней, необходима информация по изменениям цен за последние 250 • 5 = 1 250 дней торгов, поскольку длительность каждого исторического интервала изменения цен равна прогнозному периоду. У метода есть безусловные преимущества — он не требует серьезных упрощающих предположений и способен улавливать весьма неординарные события на рынке. У него, однако, есть и недостатки:
1. Будущие колебания рынка вовсе необязательно повторяют прошлые.
2. Необходимость как можно большего количества сценариев требует доступности и анализа большого объема исторических данных.
3. Модель не различает более ранние и более поздние исторические изменения цен, присваивая каждому из них одинаковый вес.
4. Для крупных портфелей со сложной структурой модель становится слишком громоздкой.
Метод исторического моделирования достаточно легок в использовании. Он может применяться для несложных портфелей в случае наличия достаточной базы исторических данных. Но из-за ограниченного количества сценариев, которые можно создать, используя исторические данные, историческое моделирование дает больше ошибок, чем, например, метод Монте-Карло [6].
Метод статистических испытаний Монте-Карло имеет ряд общих особенностей с методом
исторического моделирования. Метод Монте-Карло основан на моделировании случайных процессов с заданными характеристиками. Основное отличие от метода исторического моделирования состоит в том, что в методе Монте-Карло не производится моделирование с использованием реально наблюдаемых значений факторов риска, а изменения цен активов генерируются псевдослучайным образом в соответствии с заданными параметрами, т. е. метод использует большое количество случайных или «псевдослучайных» сценариев. Обычно для этого выбирается статистическое распределение, хорошо аппроксимирующее наблюдающиеся изменения каждого фактора риска, и производится оценка его параметров. Для этой цели часто используется распределение Стьюдента или смесь нормальных распределений. Затем на основе выбранного распределения с помощью генератора псевдослучайных чисел генерируются тысячи или даже десятки тысяч гипотетических наборов значений факторов риска. Полученные значения используются для расчета величин прибылей и убытков, вызванных изменением стоимости портфеля. На последнем этапе строится распределение прибылей и убытков портфеля, и определяется величина рисковой стоимости. Имитируемое распределение может быть в принципе любым, а число сценариев — весьма большим (до нескольких десятков тысяч). В остальном метод аналогичен историческому моделированию.
Метод очень широко используется в финансовой сфере для оценки производных инструментов и оценки VaR портфеля. Метод Монте-Карло является очень трудоемким, расчеты занимают много времени (от нескольких минут до нескольких часов) даже на самых мощных вычислительных системах. По этой причине его очень часто избегают, когда можно решить поставленную задачу более простыми методами. Большим преимуществом метода Монте-Карло является то, что существуют такие сложные задачи, которые не могут быть решены другими методами, кроме метода Монте-Карло. В силу сложности финансовых задач этот метод («метод последней надежды», как его часто называют) используется достаточно часто.
Рассмотрим, для примера, как сложный опцион можно оценить методом Монте-Карло. Предположим, что цена опциона зависит от двух факторов (переменных): индекса акций и валютного курса. Симуляция Монте-Карло оценит опцион следующим образом:
1. Случайным образом генерируются 10 000 сценариев рыночной стоимости переменных,
влияющих на стоимость опциона, до истечения срока опциона. Сценарии генерируются с уже объединенным распределением вероятности двух переменных. Например, обе переменные могут быть приняты как общее нормальное распределение со стандартными отклонениями и корреляцией, рассчитанной на базе исторических данных.
2. Определяется стоимость опциона в день истечения срока для каждого из 10 000 сценариев.
3. По полученным результатам строится гистограмма. Она представляет собой дискретное приближенное распределение вероятностей стоимости опциона в день истечения срока. С учетом дисконта в гистограмме получается предварительно подсчитанная стоимость опциона.
Такая же схема используется для оценки VaR сложных портфелей: результат представляется в виде гистограммы возможных прибылей и потерь портфеля.
Надо отметить, что результат дает только приблизительную оценку. Используя большее количество сценариев (например, 20 000 вместо 10 000) точность результата будет больше. Как правило, точность метода Монте-Карло пропорциональна квадратному корню из количества используемых сценариев.
Метод Монте-Карло отличается высокой точностью и пригоден практически для любых портфелей, но его применение требует определенной математической подготовки специалистов и достаточных компьютерных ресурсов.
Постоянное совершенствование компьютерных технологий позволяет применять метод Монте-Карло с большим количеством сценариев и использовать его для решения более сложных задач.
Стресс-тестирование. Этот метод в отличие от исторического моделирования основан не на прошлых изменениях цен, а, наоборот, оценивает VaR портфеля, исходя из возможного кардинального изменения отдельных параметров финансовых инструментов в будущем. Стресс-тестирование позволяет рассчитывать VaR финансового портфеля в условиях возможного стрессового изменения отдельных рисковых факторов. Модель применяется в качестве дополнительной к основной модели расчета VaR с целью проверки устойчивости компании к возможным рыночным кризисам.
Согласно требованиям Базельского комитета по банковскому надзору [5] одним из условий использования внутренних моделей оценки рыночного риска является регулярное проведение стресс-тес-
тирования. Банкам предписывается предоставлять информацию о наибольших убытках, реально понесенных банком за последний отчетный период в сопоставлении с полученными ранее прогнозными оценками убытков, рассчитанных с использованием внутренней модели. На основе такой информации орган банковского контроля может самостоятельно проводить сценарный анализ для банка. Сами же банки обязаны самостоятельно проводить стресс-тестирование по моделям кризисных периодов, реально имевших место в прошлом и характеризовавшихся резкими колебаниями рынка (в частности, сценарии биржевого краха 19 октября 1987 г., обвал рынка облигаций в 1994 г. и др.). Банки также самостоятельно разрабатывают сценарии с учетом специфики своих операций и проводят стресс-тестирование по таким сценариям.
Метод стресс-тестирования предполагает переоценку всех финансовых инструментов портфеля с учетом выбранного будущего сценария, расчет их доходности и нахождение средневзвешенной доходности портфеля для каждого сценария. Если присвоить каждому сценарию вероятность, то можно получить распределение возможных значений доходности портфеля и рассчитать VaR [8].
Основным преимуществом данного подхода является возможность рассчитывать VaR для сценариев, по которым отсутствуют исторические данные. Однако модели стресс-тестинг присущи и недостатки. В частности, большую роль в выборе сценария и присвоении ему вероятности играет субъективный фактор. К тому же модель обычно охватывает стрессовые изменения одного-двух факторов риска, не учитывая их корреляционную взаимозависимость с другими факторами, которые под влиянием первых также могут существенно измениться. Таким образом, модель в основном пригодна для портфелей, для которых определяющим является один фактор риска.
Вариационно-ковариационный метод расчета величины VaR (также его часто называют «параметрический», «линейный», «метод вариации-ковари-ации» или «дельта-нормальный») является единственным методом, позволяющим получить оценку VaR в замкнутом виде. В его основе лежит гипотеза о нормальном законе распределения изменений так называемых «факторов рыночного риска» — цен первичных, «неразложимых» активов, от которых зависит стоимость более сложных инструментов, позиций и портфеля в целом. Поскольку цены активов не могут быть отрицательными, то их отношения также не должны быть отрицательными,
поэтому в качестве доходности г( обычно принимаются логарифмические приращения значений цен У:
г, = 1п (У,У, ) = 1п (У,)- 1п (У,_!)~ N(ца2). (2)
Предположение о нормальном законе распределения изменений факторов риска значительно облегчает нахождение величины VaR, так как в этом случае распределение доходностей инструментов, являющихся линейными комбинациями факторов риска, также будет нормальным. В случае нормально распределенной случайной величины, доверительный интервал всегда характеризуется единственным параметром — квантилью к1-а, которая показывает положение искомого значения случайной величины (симметрично в обоих хвостах распределения) относительно среднего Ег1, выраженное в количестве стандартных отклонений доходности портфеля а1.
Ковариационный метод предполагает, что доходности активов нормально распределены. Так как доходность портфеля здесь является линейной комбинацией нормально распределенных случайных величин, то она также распределена нормально. Она может быть определена по историческим данным, например, с использованием моделей, учитывающих вариацию риска во времени, или она может быть определена исходя из встроенных волатильностей (например, полученных на основе котировок опционов), или на основе комбинации этих двух подходов.
Оценка потенциального снижения стоимости портфеля V определяется как произведение чувствительности портфеля к изменениям цен ро, вычисленных для текущей позиции У0, и потенциальных изменений цен Ду :
ДУ = во ДУ. (3)
Выгодное отличие данного метода состоит в том, что оценивание портфеля надо производить лишь однажды, при текущих позициях У0 , которые зависят от текущих цен У0. Оценка VaR линейного актива вычисляется исходя из его дельты Д, квантиля распределения соответствующего уровня вероятности а, текущих цен У0 и волатильности а:
УаЯ=\Д\(ааУ). (4)
Для формального определения величины VaR, используемого в ковариационном методе, рассмотрим сначала инвестиционную позицию, состоящую лишь из одной единицы какого-либо актива. Очевидно, что размер дневной прибыли или убытка по такой единичной позиции будет в точности равен изменению цены этого актива за
этот день. В этом случае наименьшая ожидаемая цена следующего дня с заданной вероятностью (1 - а) будет равна
У = уеЕг-к1-а°г (5)
, +1Д-а ' (5)
где математическое ожидание однодневных доходностей обычно принимается равным нулю, что является основным допущением процесса случайных блужданий, которому подчиняется динамика цен на финансовых рынках.
Стандартное отклонение доходности может быть оценено как по ограниченной выборке цен (историческому периоду наблюдений), так и с использованием методов прогнозирования на основе эконометрических моделей. Для этого можно использовать и более грубый метод экспоненциального сглаживания, реализованный в системе RiskMetrics [4]:
а? =Ьа?_1 +(1 -Х)г,2. (6)
Интересующая нас величина VaR отражает не цену или стоимость как таковую, а ее наибольшее ожидаемое изменение за один день, которое можно определить следующим образом:
Ю^д-а = у, (е-к-аа -1). (7)
На практике величину (е~к1-оЛ -1) обычно заменяют на ее приближенное значение - к1-аа,. Эта линейная аппроксимация для малых значений а, также основана на разложении исходной функции в ряд Тейлора. Часто знак «—» опускают и оперируют абсолютным значением величины УаЯ
Для временных горизонтов, превосходящих 1 день, допускают, что дисперсия изменений цен пропорциональна длительности временного горизонта прогнозирования, что позволяет получать оценку рыночного риска на необходимую перспективу путем простого масштабирования однодневной величины VaR. Следует отметить, что такая оценка будет приемлемой только для сравнительно небольших интервалов времени (не более 10 — 15 дней), при этом ее точность падает с увеличением временного горизонта.
Для отдельной позиции, состоящей из нескольких инструментов, подверженных единственному фактору риска, величина рисковой стоимости с временным горизонтом Тдней и доверительным интервалом (1 - а) может быть рассчитана по следующей формуле:
УаЯт 1-а = К_У а,ТТ, (8)
где V — текущая стоимость позиции (произведение текущей цены на количество единиц актива).
Таким образом, центральной проблемой при расчете величины VaR ковариационным методом
является нахождение дисперсии доходности инструмента (для единичной позиции) или портфеля в целом (для совокупности нескольких позиций). В дальнейшем анализе мы будем придерживаться стандартного (однодневного) временного горизонта для расчета показателя VaR.
Рассмотрим особенности расчета VaR для диверсифицированного портфеля. Для расчета показателя VaR ковариационным методом стоимости всех инструментов, входящих в портфель, должны быть предварительно представлены в виде аналитических зависимостей от некоторого набора факторов рыночного риска, однодневные логарифмические изменения которых подчиняются нормальному распределению с математическим ожиданием, равным нулю:
г, ~ N (0, Е), (9)
где 2 — ковариационная матрица доходностей факторов риска, рассчитанная по некоторой выборке (периоду наблюдений).
При наличии в портфеле облигаций, опционов и иных инструментов с нелинейными ценовыми характеристиками, изменения их стоимости оцениваются путем линейной аппроксимации на основе показателя «дельта» (8 У « Д8г).
Выбор множества факторов риска, которое отражало бы достаточно полно возможные источники риска и одновременно было бы разумно ограниченным, представляет собой отдельную научную проблему, обычно решаемую эвристическим путем. В зависимости от количества факторов риска инструменты подразделяются на однофак-торные (например, акции, валюты, бескупонные облигации) или многофакторные (например, форвардные контракты на поставку валюты). Следует также учитывать, что один и тот же фактор риска, например процентная ставка, может одновременно влиять на стоимость сразу нескольких инструментов, входящих в портфель.
С формальной точки зрения, набор факторов риска задает обычное векторное пространство, в котором портфель отображается в виде вектора, показывающего подверженность стоимости портфеля выбранным факторам риска и называемого VaR-отображением портфеля. Определение влияющих на риск факторов и построение Ю^-отображения являются ключевой процедурой ковариационного метода и называются декомпозицией портфеля по факторам риска. Как показано ниже, элементами вектора Ю^-отображения в заданном многомерном пространстве факторов риска могут выступать различные показатели «подверженности»:
а) чувствительность доходности портфеля по отношению к доходностям факторов риска;
б) чувствительность абсолютных изменений стоимости портфеля по отношению к доходностям факторов риска;
в) текущие стоимости суммарных позиций портфеля по каждому фактору риска в отдельности.
Для портфеля заданной структуры все эти отображения являются эквивалентными с точки зрения расчета величины VaR. Показатели чувствительности позволяют рассчитать дисперсию изменений стоимости портфеля (в относительном или абсолютном выражении) через известные дисперсии и ковариации доходностей факторов риска. В зависимости от последовательности преобразований доходностей в денежные величины в процессе вычисления дисперсии изменений стоимости портфеля (т. е. формы ^^-отображения) возможны несколько эквивалентных вариантов ковариационного метода, приводящих в итоге к одинаковому результату.
Рассмотренный выше метод вычисления VaR для одной позиции может быть обобщен для портфеля, состоящего из позиций по нескольким различным инструментам. Стоимость такого портфеля (V) является функцией многих переменных, количество которых равно числу выбранных рыночных факторов риска. Приращение стоимости портфеля в окрестности ее текущего значения может быть линейно аппроксимировано членами первого порядка ряда Тейлора:
„тг дГ дГ дГ Л
ДГ *-Аг1 +-Дг2 +... +-Дгп, (10)
дг
дг
дг
где г, г = 1,..., п — значения факторов рыночного риска.
Это разложение позволяет выразить в общем виде абсолютное и относительное изменения стоимости портфеля через относительные изменения факторов риска:
(
ДГ'. ДГ
V
дГ
Дг,
(
„ дг1
' Г дГ \ Дг1 V
дГ дг
Дг,,
■ +... +
2 у
дГ дг
Дг —; (11)
г
ъ дГ )Дг2
Г дг
+ 1 Г!^)ДГП. (12)
Г дг
(11) или на отношение текущих значений фактора риска и стоимости портфеля в (12). Поскольку стандартное отклонение является положительно однородной функцией (ст[ах]=аст[х]), эти коэффициенты будут также связывать стандартное отклонение доходности портфеля со стандартными отклонениями доходностей факторов риска. Из
(12) следует, что дисперсию доходности портфеля можно оценить по следующей формуле:
ст
ДГ/Г
'Ж2 ст2 + № ст2 +... + РТ2 ст2 +
11 2 2 п п
+2Р№ ст,ст2 р,,2 +... + Стп-1стп Рп-щ,
'1 У '1 V 2 .
Выражения в скобках являются не чем иным, как чувствительностями (эластичностями) относительных изменений стоимости портфеля по отношению к изменениям факторов риска. Легко видеть, что показатель чувствительности можно представить в виде произведения коэффициента «дельта» на текущее значение фактора риска в
(13)
а дисперсия абсолютных изменений стоимости портфеля будет приближенно равна
2 2 2 2 2 2 2 стдг * ^ + ^2 СТ2 + ... + ^ сти +
+2^1 ¿2СТ1СТ2Р1,2 + ... + Ъп-1¿пСТп-1СТпРп-1,п = Г'СТДГ/Г , (14)
где IV. — чувствительность доходности портфеля по отношению к малым изменениям доходности факторов риска;
— чувствительность абсолютных изменений стоимости портфеля по отношению к малым изменениям доходности факторов риска;
ст — стандартное отклонение доходности /-го фактора риска;
Рг, ] — коэффициент корреляции между доход-ностями /-го и у-го факторов риска.
Теперь для определения величины VaR можно непосредственно воспользоваться базовой формулой (10). В матричном виде эта формула будет иметь вид:
ГаЯ = £1-аГл/РгР = к1-ау[^, (15)
где V — текущая стоимость портфеля;
Ж — вектор-столбец чувствительностей доходности портфеля по отношению к доходностям факторов риска;
S — вектор-столбец чувствительностей абсолютных изменений стоимости портфеля по отношению к доходностям факторов риска.
Рассмотренный «канонический» вариант ковариационного метода расчета VaR является достаточно универсальным; теоретически он применим для портфелей любой сложности, стоимость которых возможно представить в виде функции от факторов рыночного риска. Однако на практике такой подход оказывается весьма трудоемким: нахождение точных аналитических зависимостей для коэффициентов чувствительности портфеля становится чрезвычайно громоздкой задачей с усложнением структуры портфеля.
Для каждой из полученных однофакторных позиций можно рассчитать величину ее «индивидуальной» рисковой стоимости по формуле (15).
2
+
г
г
2
г
2
+
Однако совокупный рыночный риск портфеля в общем случае не есть механическая сумма рисков составляющих его позиций в силу несовершенных (с коэффициентом корреляции, отличным от 1) корреляций между ценами входящих в него инструментов. Ввиду этого обстоятельства возможны два различных способа расчета величины VaR портфеля, приводящие, тем не менее, к одному и тому же результату: через промежуточные показатели VaR отдельных позиций или через дисперсию изменений стоимости портфеля.
Первый из указанных способов является двухступенчатым: сначала рассчитываются индивидуальные риски каждой позиции, которые затем суммируются с учетом корреляционных связей. Этот способ реализован в системе RiskMetrics, он позволяет получить картину риска как отдельных позиций, так и портфеля в целом [4]. Соответствующая формула для расчета VaR портфеля имеет следующий вид:
УаЯ = ^(1УаЯт )О{1УаК), (16)
где lVaR — вектор-столбец индивидуальных рисков позиций;
О — корреляционная матрица доходностей факторов риска.
Второй способ предполагает вычисление дисперсии абсолютных или относительных изменений стоимости портфеля, что дает возможность непосредственно рассчитать величину его рисковой стоимости. Используя предыдущие обозначения, мы можем представить изменение стоимости портфеля, состоящего из п однофакторных стандартных позиций, в следующем виде:
дv= А/[ + ... + ^ д.. (17)
¿г п
Очевидно, что для обеспечения эквивалентности обоих портфелей (в смысле их чувствительности к изменениям факторов риска: Д №-Д V), стандартные позиции должны быть такими, чтобы коэффициенты при Дг1 в разложениях (10) и (17) были равны. Тогда мы можем выразить изменение стоимости портфеля стандартных позиций как через доходности факторов риска, так и через доходности стандартных позиций:
Д%«
Г сiX1 Дг Г ¿IX Дг
г —1 — +. .+ г п
1 сг1 г1 1" ¿гп г п
Д% - X
Г ¿X, г Дг
Сг1 Хх г1
+ ... + X
1
Г ¿X г Дг
п п п
Сг X г
(18)
= (19)
Дг Дг
= Х^ - + ... + X пап
где аг — коэффициенты значимости г'-й позиции, г = 1,...,п .
На основании выражения (19) можно непосредственно рассчитать дисперсию абсолютных изменений стоимости портфеля стандартных позиций аналогично (14), оценив предварительно ожидаемую изменчивость выбранных факторов риска, выражающуюся как в их индивидуальной волатильности (стандартные отклонения доходности), так и в их совместной динамике (коэффициенты корреляции). Наконец, мы можем определить величину VaR одним из следующих способов:
УаЯ = Бт ^ = kl_a4XTtX, (20) где S — вектор-столбец чувствительностей изменений стоимости стандартных позиций к изменениям доходности факторов риска, элементами которого являются выражения в скобках из (18);
Х— вектор-столбец текущих стоимостей стандартных позиций;
£ — ковариационная матрица изменений доходностей стандартных позиций, элементами которой являются дисперсии и ковариации выражений в скобках из (19).
Главным преимуществом ковариационного метода является его концептуальная и вычислительная простота. Изменение стоимости портфеля в этом методе представляется в виде линейной комбинации доходностей факторов риска, имеющих нормальное распределение: ДУ = УДг . Таким образом, ковариационный метод требует только оценки параметров распределения рыночных факторов при предположении о его нормальности, т. е. доходность портфеля нормально распределяется, и доходность портфеля зависит линейно от применимых рыночных факторов риска.
Такой подход позволяет рассчитывать показатель VaR на основе только текущей стоимости портфеля и оценок изменчивости доходности факторов риска, что особенно удобно для больших диверсифицированных портфелей, подверженных многим различным факторам риска. С точки зрения скорости вычислений это выгодно отличает ковариационный метод от методов стохастического моделирования (метода Монте-Карло и исторического моделирования), в которых производится полная переоценка портфеля по большому числу гипотетических сценариев изменения факторов риска: ДУ = У+ - у. Такой подход более приемлем с точки зрения теории, но требует значительно большей вычислительной мощности и затрат времени. В настоящее время только ковариационный
7х"
79
и
метод позволяет рассчитывать показатель VaR в режиме времени, близком к реальному, для торговых портфелей крупных финансовых институтов. Наконец, ковариационный метод позволяет легко анализировать «вклады» отдельных инструментов в общий риск портфеля и оценивать чувствительность показателя VaR к изменениям размеров позиций.
Недостатки ковариационного метода хорошо известны. Наиболее существенным ограничением применимости данного метода является частое невыполнение на практике основополагающей посылки о нормальном распределении доходнос-тей факторов риска, вследствие чего оценки VaR, соответствующие нормальному распределению, искажены (завышены или занижены). Реальные распределения изменений цен обычно характеризуются значительным эксцессом — более «толстыми» хвостами и «острыми» вершинами по сравнению с нормальным распределением. В рамках ковариационного метода эта проблема может быть решена, в частности, путем подбора другого распределения (например, распределений Стьюдента, Лапласа или смеси нормальных распределений и т. д.), которое более точно аппроксимирует эмпирически наблюдаемые распределения цен.
Другим серьезным недостатком является низкая точность оценки VaR для инструментов с нелинейными ценовыми характеристиками, в первую очередь, опционов. Это связано с тем, что показатель «дельта» для таких инструментов не является стабильной величиной: его значение может изменяться в зависимости от величины фактора риска и, в общем случае, также и от направления изменения стоимости базового актива. Ковариационный метод измеряет чувствительность к риску только показателем Д, т. е. изменение цен инструмента рассчитывается пропорциональным Д и изменению цены базового актива, тогда как для нелинейного инструмента характерна выпуклость. Поэтому ковариационный метод приемлем для оценки нелинейных инструментов только при нахождении цен базового актива в очень узком диапазоне. В целях снижения погрешности при оценке рисков таких инструментов прибегают к аппроксимации с использованием членов ряда Тейлора высших порядков, в частности «гамма» и (реже) «вега». Соответствующий метод носит название дельта-гамма-нормального. В то же время для оценки рисков сложных портфелей производных инструментов обычно применяют метод Монте-Карло, который позволяет моделировать любые распределения вероятностей и учитывать нелиней-
ные зависимости, что обеспечивает наивысшую точность расчета показателя VaR.
В ковариационном методе также используется несколько непрактичное допущение о том, что для каждой ценной бумаги в портфеле доступны данные о риске и корреляции. Однако на практике такие данные собрать обычно не представляется возможным. Риск облигаций, например, изменяется с их возрастом, опционы зависят от текущих цен базовых активов и т. д., иными словами история может не оказаться столь уж полезной для прогноза будущих рисков. Поэтому часто риск обычно измеряют для наборов элементарных активов, таких как валюты, бескупонные облигации, национальные фондовые и товарные индексы. Для портфелей, состоящих только из этих элементарных активов, VaR может быть вычислен непосредственно используя ковариационную матрицу этих активов.
Иногда ковариационная матрица представляется через корреляционную матрицу, элементами которой являются коэффициенты корреляции доходности активов, соответствующих строке и столбцу, на пересечении которых находится каждый данный элемент, и диагональную матрицу индивидуальных волатильностей (матрицу, в которой элементами главной диагонали являются вола-тильности соответствующих активов, а остальные элементы — нули). В частности, если в портфеле содержатся опционы, то ковариационный подход (дельта-подход) сталкивается с проблемами:
• дельта портфеля может изменяться очень быстро (высокая гамма);
• дельта портфеля может быть различна для роста и для падения цен;
• может так случиться, что максимальные потери нельзя получить, просто исходя из предельных отклонений цен, следует учитывать поведение стоимости портфеля при всех промежуточных состояниях.
Один из главных недостатков ковариационного подхода заключается в том, что все виды риска за пределами дельты не учитываются. На наш взгляд, для устранения этого недостатка в выражение (10) следует добавить показатели, учитывающие риски гаммы и веги, которые являются слагаемыми в аппроксимации приращения функции стоимости инструмента с помощью ряда Тейлора:
ДГ = ДdS +1Г^2 + Лёст +..., (21)
где Д, Г, Л — оценки дельты, гаммы и веги соответственно для всего портфеля в целом (имеется в виду, что в этот портфель входят только опционы на один и тот же базовый актив).
Этот подход базируется на рекомендациях Базельского комитета, который рекомендовал в 1995 г.: «Как минимум, внутренние системы измерения риска должны учитывать поведение цен опционов путем нелинейной аппроксимации, включая коэффициенты чувствительности к факторам риска высокого порядка (такие, как гамма)» [2]. Данная рекомендация в теории сводится к использованию дельта-гамма-вега приближения, суть которого заключается в следующем. Дельта-гамма-вега приближение подразумевает расчет рисковой стоимости для портфеля опционов с одним и тем же базовым активом по формуле
1 2
ГаЯ = | Д| (аст5) - - Г (аст5)2
+ |Л|ст|. (22)
Если гамма отрицательная, что соответствует коротким позициям в опционах, второе слагаемое увеличит риск, если положительная скорректирует оценку VaR в сторону снижения. Если чистая позиция в опционах в целом по портфелю имеет положительную вегу, волатильность снижается, если отрицательную — растет.
Однако и данный подход к оценке рисков нелинейных финансовых инструментов не является совершенным по следующим причинам:
• дельта-гамма-вега метод предполагает нормальное распределение изменений и квадратов изменений цен базовых активов (факторов), что не всегда выполняется;
• часто остается потребность в проверке поведения стоимости портфеля при всех промежуточных состояниях;
• объем вычислений возрастает геометрически с ростом числа факторов риска — уже при 100 факторах требуется 100 оценок дельты, 5 050 оценок ковариационной матрицы и дополнительно 5 050 оценок матрицы для гаммы, включающей вторые производные по каждой позиции портфеля по каждому фактору риска. Для больших портфелей, в которых опционы
не доминируют, ковариационный метод дает наиболее быстрый и эффективный способ измерения VaR. Для портфелей, чувствительных к некоторому небольшому количеству источников риска и с некоторой существенной долей опционов, дельта-гамма метод обеспечивает более хорошую точность при низких вычислительных затратах. Для портфелей со значительной долей опционов необходим подход полного оценивания, при котором портфель подлежит переоценке при различных уровнях цен: ДГ = Г (51)- Г (50). Эти методы теоретически более корректны, но связаны с затратами на многова-
риантное полное оценивание портфеля, которые возрастают с количеством позиций в портфеле.
В завершение проведем сравнительный анализ рассмотренных методов расчета рисковой стоимости. Вообще говоря, сложно рекомендовать один из методов вычисления VaR. Выбирая, какому из них отдать предпочтение, необходимо учитывать макроэкономическую ситуацию, а также цели и задачи конкретной организации. Также можно провести исследование прогнозной точности различных моделей расчета величины VaR, что выявит более подходящий метод на данный момент. Так, известно, что риск нелинейных или сложных инструментов (например, опционов) и портфелей сложнее оценить, чем риск простых или линейных инструментов (традиционные акции, облигации, свопы, форварды и фьючерсы).
Выбор метода расчета показателя рисковой стоимости будет определяться составом и структурой портфеля, доступностью статистических данных и программного обеспечения, вычислительными мощностями и рядом других факторов. Главным преимуществом параметрических методов является их концептуальная и вычислительная простота: в них показатель VaR рассчитывается на основе только текущей стоимости портфеля и оценок изменчивости доходности факторов риска, что особенно удобно для больших диверсифицированных портфелей, подверженных многим различным факторам риска. Меньшее время вычислений выгодно отличает параметрический метод от методов стохастического моделирования (метода Монте-Карло и исторического моделирования), в которых производится полная переоценка всего портфеля по большому числу гипотетических сценариев изменения факторов риска. Однако параметрический метод уступает методам имитационного моделирования в надежности оценки рисков портфелей, состоящих из опционов и основанных на них инструментов, стоимость которых зависит от факторов риска нелинейным образом, особенно на сравнительно больших временных горизонтах.
Метод исторического моделирования концептуально прост. Однако его реализация требует наличия временных рядов значений по всем используемым в расчетах факторам риска, что не всегда возможно для сильно диверсифицированных портфелей. В особенности это касается данных по процентным ставкам для валют стран, не имеющих развитых финансовых рынков. Кроме того, историческое моделирование предполагает, что поведение рынка в прошлом будет повторяться и в будущем, что в общем случае неверно.
7х"
81
Главной трудностью при реализации метода Монте-Карло является выбор адекватного распределения для каждого рыночного фактора и оценка его параметров. Кроме того, оценка рисков крупных диверсифицированных портфелей на основе метода Монте-Карло требует больших затрат времени и технических ресурсов.
У каждого из вышеперечисленных подходов к оценке VaR есть свои преимущества и недостатки. На наш взгляд, их комплексное сочетание позволит получить более адекватные оценки рисков. Однако, необходимо отметить, что этот подход ни в коей мере не должен восприниматься как окончательное решение такой сложной и многообразной проблемы, как риск. Весьма уязвимыми выглядят предположения о принимаемом уровне допустимых рисков и гипотетической стабильности финансовых рынков, принимаемые аналитиками при разработке соответствующих моделей, но упускаемые ими же из виду при интерпретации расчетов и получении выводов [8]. Несомненно, VaR — удачная мера риска, возможно, наилучшая в настоящее время, содержащая в концентрированном виде большой объем информации, но не претендующая на полноценное отражение столь сложного и многообразного явления, как риск. Так, по словам Д. Гилдимана, руководителя аналитического подразделения компании J. P. Morgan, « VaR не может заменить качественную систему управления, опыт и мотивированную экспертную оценку» [9].
литература
1. Basel Committee on Banking Supervision. (1995a). An Internal Model-Based Approach to Market Risk Capital Requirements. Basle Committee on Banking Supervision, Basle, Switzerland.
2. Basle Committee on Banking Supervision. (1995b). Planned Supplement to the Capital Accord to incorporate Market Risks. Basle Committee on Banking Supervision, Basle, Switzerland.
3. Энциклопедия финансового риск-менеджмента / Под ред. А. А. Лобанова и А. В. Чугунова. 2-е изд. М.: Альпина Бизнес Букс, 2006.
4. Laubsch A. J.(1999). Risk Management: A Practical Guide, RiskMetrics Group.
5. Supervisory Framework for the Use of «Backtesting» in Conjunction with the Internal Models Approach to Market Risk Capital Requirements. Bank for International Settlements — Basle Committee. January 1996.
6. Hull J. and White A.(1998). Incorporating volatility updating into the historical simulation method for VaR. Journal of Risk. 1. 5 — 19.
7. Lopez J. A. (1999) . Methods for Evaluating Value-at-Risk Estimates. Economic Policy Review, Federal Reserve Bank of New York. 2. 3 — 17.
8. Sarma M, Thomas S. and Shah A. (2003) . Selection of VaR models. Journal of Forecasting. 22(4) . 337 - 358.
9. http://www. riskinfo.ru/analytics/.
Не успели оформить
подписку на 2008 год?
Оформить подписку на журналы Издательского дома «Финансы и Кредит» можно с любого номера в редакции или в одном из агентств альтернативной подписки.
Полный список агентств альтернативной подписки можно посмотреть на сайте : www.financepress.ru.
Тел./факс: (495) 621-69-49, Http://www.fin-izdat.ru
(495) 621-91-90 E-mail: post@fin-izdat.ru
