CC BY
54
Список литературы
1. Братченко Н. Ю. Применение сетей Петри для анализа процессов управления уровнем обслуживания систем управления услугами связи / Н. Ю. Братченко, С. В. Яковлев // Успехи современного естествознания. — 2007. — № 5.
2. Ааласт В. ван дер. Управление потоками работ: модели, методы и системы / В. ван дер Ааласт, К. ван Хей; пер. с англ. В. А. Башкина, И. А. Ломазовой. — М.: Физматлит, 2007. — 316 с.
3. Голиков В. К. Сети Петри в ситуационном управлении и имитационном моделировании дискретных технологических систем / В. К. Голиков, К. Н. Матусов, В. В. Сысоев; под общ. ред.
В. В. Сысоева. — М.: ИПРЖР, 2002. — 227 с.
4. Загидулин Р. Р. Имитационные модели для формирования расписаний в гибких производственных системах / Р. Р. Загидулин // Технология машиностроения. — 2004. — № 3.
5. Зуб И. В. Системный анализ содержания термина «Погрузочно-разгрузочная услуга транспортного терминала» / И. В. Зуб // Материалы межвуз. науч.-метод. семинара аспирантов / под ред.
Л. Н. Буяновой. — СПб.: СПГУВК, 2007.
6. Котов В. Е. Сети Петри / В. Е. Котов. — М.: Наука, 1984. — 160 с.
7. Ольхович Л. Б. Автоматизированная оптимизация бизнес-процессов / Л. Б. Ольхович // Вестник СПбГУ. Сер. 10. — 2008. — Вып. 3.
8. Питерсон Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем: пер. с англ. / Дж. Питерсон. — М.: Мир, 1984. — 264 с.
9. Ямпольский Л. С. Управление дискретными процессами в ГПС / Л. С. Ямпольский [и др.]. — Киев: Тэхника; Вроцлав: Изд-во Вроцлав. политехн. ин-та; Токио: Токосё, 1992. — 251 с.
УДК 621.396 А. В. Саушев,
канд. техн. наук, профессор, ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова
МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ГРАНИЧНЫХ ТОЧЕК ОБЛАСТЕЙ РАБОТОСПОСОБНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
METHODS OF LINEAR APPROXIMATION OF BOUNDARY POINTS OF AREAS OF OPERABILITY OF TECHNICAL SYSTEMS
Приводится обзор известных методов линейной аппроксимации областей работоспособности технических систем, заданных множеством граничных точек. Рассматриваются методы и реализующие их алгоритмы, позволяющие снизить затраты времени и расширить сферу применения методов на произвольную форму областей работоспособности.
The review of known methods of linear approximation of areas of operability of the technical systems which have been set by a set of boundary points is provided. Methods and algorithms realizing them are considered they allow to lower expenses of time and to expand scope of methods for any form of areas of working capacity.
Ключевые слова: область работоспособности, техническая система, линейная аппроксимация, граничные точки области.
Key words: working capacity area, technical system, linear approximation, boundary points of area.
Выпуск 3
Выпуск 3
ИЕШЕНИЕ задач параметрического синтеза и диагностирования технических систем (ТС) в большинстве случаев требует задания их областей работоспособности не только совокупностью граничных точек, но и поверхностями, аппроксимирующими эти точки. Известные алгоритмы основаны на линейной аппроксимации выпуклых оболочек. При использовании для этой цели поверхностей второго порядка и выше находит применение лишь аппроксимация области работоспособности одной замкнутой поверхностью, что приводит к значительным погрешностям [1].
Для анализа методов построения выпуклых оболочек (областей работоспособности с линейно зависимыми допусками) введем следующие критерии:
1) время проверки выполнения условий работоспособности.
Под условиями работоспособности понимаются заданные соотношения между параметрами системы и допустимыми пределами их изменения. Различают внешние и внутренние условия работоспособности.
Под внешними условиями работоспособности будем понимать условия, выполнение которых необходимо для того, чтобы ТС функционировала с требуемыми показателями качества. Эти условия определяются заданными соотношениями между выходными параметрами У системы и техническими требованиями к этим параметрам.
Под внутренними условиями работоспособности будем понимать условия, при которых элементы ТС способны выполнять возложенные на них функции, сохраняя при этом работоспособное состояние. Эти условия определяются заданными соотношениями между внутренними параметрами Zv и их допустимыми значениями, а также между первичными параметрами системы X и их предельными значениями. При этом внутренние параметры Zv представляют собой параметры выходных сигналов элементов ТС, имеющие природу переменных состояния (фазовых переменных). Первичные параметры также являются внутренними параметрами ТС, однако, в отличие от параметров Zv, они характеризуют комплектующие элементы ТС и представляют собой коэффициенты усиления, постоянные времени, а также параметры пассивных элементов системы (сопротивления, индуктивности, емкости, массы, моменты инерции, жесткости упругих связей и т. п.).
Условия работоспособности могут быть односторонними и двухсторонними и для второго (более общего) случая имеют вид
¥^<7]=Р^Х)<Г^,] = йп-,
Г^<2] V =й; (1)
В системе неравенств (1) У (Х\ ), У (Х\ ), У. (2Г) — соответственно максимально и
г 4 ' /шах7’ ^тт 4 /тт7’ / 4
минимально допустимое и текущее значения/-го выходного (/-го внутреннего) параметра, ¥ (X) — оператор связи первичных и выходных параметров.
Форма задания границы области работоспособности должна обеспечивать как можно меньшее время проверки условий (1). Это требование сокращает выработку ресурса ТС, повышает эффективность систем контроля, позволяет диагностировать ТС непосредственно перед запуском в работу. Минимизация этого критерия особенно важна при контроле многопараметрических ТС, а также при их разовом использовании, ограниченном временем контроля и т. п.;
2) время аппроксимации области работоспособности.
Минимизация этого критерия сокращает затраты машинного времени на аппроксимацию области работоспособности и, как следствие, расширяет область применения метода;
3) количество параметров, учитываемых при аппроксимации области работоспособности, которые необходимо хранить в памяти ЭВМ.
Такими параметрами могут быть коэффициенты гиперплоскостей выпуклой оболочки, координаты граничных точек, через которые проведена данная гиперплоскость, и т. д. Сокращение числа этих параметров позволяет для выбранной ЭВМ строить области работоспособности более высокой размерности;
4) универсальность метода.
Критерий определяет возможность применения метода аппроксимации области к различным видам множеств векторов, соответствующих работоспособным состояниям ТС. Такими ограничениями на множества могут быть требования их выпуклости, односвязности, малой размерности;
5) точность аппроксимации области работоспособности.
Этот критерий позволяет сравнивать по точности различные методы аппроксимации областей работоспособности для заданных граничных точек.
Среди известных методов аппроксимации областей работоспособности выделяются два основных направления. Первое из них связано с аппроксимацией выпуклых оболочек, включающей все граничные точки. К нему относятся методы аппроксимации разделяющих кусочно-линейных гиперплоскостей из теории распознавания образов [2]. Применение этих методов приводит к появлению ошибок 1-го и 2-го рода, поэтому для аппроксимации областей работоспособности по граничным точкам они, как правило, не используются.
Второе направление предусматривает аппроксимацию областей работоспособности с линейно зависимыми допусками в виде выпуклой оболочки, «натянутой» на граничные точки [3, с. 41-50]. Точность аппроксимации при этом определяется только дискретностью граничных точек. Методы позволяют задать область работоспособности системой линейных неравенств (гиперплоскостей), проведенных через упорядоченные определенным образом граничные точки:
¿оуГг.+г>; < 0,./' = 1,й, (2)
<=1
где а.., Ь — коэффициенты неравенств; й — количество линейных неравенств; п — размерность пространства первичных параметров.
Количество неравенств можно вычислить по приближенной формуле:
к = 2(п +1) + п(N - п -1) - N
где N — число граничных точек области работоспособности.
Проверка выполнения условий работоспособности ТС при задании области линейно зависимыми допусками сводится к проверке выполнения неравенств (2). Метод характеризуется малыми затратами времени при решении задач технического диагностирования ТС. Существенным недостатком метода является большое время аппроксимации области работоспособности, так как гиперплоскости, составляющие неравенства (2), определяются в результате нескольких последовательных уточнений. На каждом из шагов отбираются по определенному алгоритму [3] п точек, через которые необходимо провести очередную гиперплоскость. Коэффициенты гиперплоскости могут быть определены в результате решения системы линейных алгебраических уравнений (п + 1)-го порядка.
Следует отметить, что принцип формирования п точек для проведения через них гиперплоскости и использования при этом метрики, выбор которой субъективен, может привести к ошибкам в задании области работоспособности. Определение и устранение этих ошибок свя- ( зано со значительными трудностями, особенно для многомерных областей. Метод допускает аппроксимацию областей работоспособности только для выпуклых множеств векторов параметров, соответствующих работоспособным состояниям ТС. Большое время аппроксимации области, отсутствие уверенности в правильности ее задания снижают практическую ценность этого метода.
Выпуск 3
Выпуск 3
Одним из направлений повышения точности описания областей работоспособности является разработка методов линейной аппроксимации граничных точек, не использующих понятия метрики. Известны три таких метода.
Наиболее простой из них применяется для аппроксимации области на плоскости и требует не более п(п + 1) арифметических и логических операций [4, с. 18-21]. Область работоспособности представляется в виде многогранника, вершинами которого являются граничные точки. Для аппроксимации многогранника через произвольную точку, находящуюся вне данного множества граничных точек, проводят прямую и вращают ее вокруг этой оси, пока не достигнут другой точки множества. Затем эту точку принимают за начальную координату, и процесс продолжается до тех пор, пока не будут найдены все граничные точки. Метод характеризуется высокой эффективностью в случае, когда число граничных точек невелико по сравнению с общим числом точек множества. Он применим для аппроксимации только выпуклых областей работоспособности при размерности пространства не выше трех.
Второй метод предполагает аппроксимацию области работоспособности с линейнозависимыми допусками с помощью множества непересекающихся друг с другом симплексов, каждый из которых «натянут» на (п + 1) граничную точку множества [5, с. 17-22]. Тело каждого симплекса определяется радиус-вектором:
и+1 л+1
Ф = ЁФЛ'. 5>'=1’ г>°,
5=1 5=1
где — радиус-вектор «^-й вершины симплекса.
Общее количество симплексов можно вычислить по формуле С = N - п.
Хотя число симплексов невелико, время аппроксимации области работоспособности даже при невысокой размерности области и малом количестве граничных точек достаточно большое. Это объясняется тем, что при аппроксимации необходимо решать не менее Я систем линейных алгебраических уравнений (п + 1)-го порядка, где Я определяется соотношением
Л = 0,5(#-и-1)(2(и + 1) + (и-1)(# -п-2)).
При проверке выполнения условий работоспособности (1) необходимо для каждого из этих симплексов решить систему линейных алгебраических уравнений (п + 1)-го порядка. Поэтому время проверки этих условий, как показывает анализ, почти на два порядка больше, чем для областей, построенных с помощью рассмотренных ранее методов [3; 4]. Применение данного метода возможно только для аппроксимации областей работоспособности малых размерностей (п < 6), а также в тех случаях, когда допускается длительное время контроля состояния ТС. При аппроксимации области работоспособности количество вычисляемых параметров почти на порядок больше, чем при использовании метода, рассматриваемого в работе [3]. С помощью набора симплексов возможна аппроксимация областей работоспособности для некоторых классов невыпуклых множеств точек. Однако количество симплексов, задающих область работоспособности, значительно возрастает, что еще больше ограничивает применение метода.
Третьим известным методом является метод гиперплоскостей [6] и близкий к нему метод, предполагающий использование процедуры параллельных вычислений [7, с. 167-174]. Методы характеризуются более высокой точностью аппроксимации области работоспособности и относительно небольшими временны ми затратами на проверку выполнения условий работоспособности. Согласно методу гиперплоскостей из множества граничных точек выбираются поочередно каждая из них. Выбранной точке по определенному правилу ставится в соответствие одна из построенных ранее гиперплоскостей, которая называется генеральной. Очередная граничная точка и п граничных точек, по которым построена соответствующая ей генеральная плоскость, образуют (п + 1) комбинацию по п точек в каждой. Через точки каждой комбинации проводится гиперплоскость. При этом (п + 1)-я точка, то есть точка, через которую не проводится в данной комбинации ги-
перплоскость, называется вершиной этой гиперплоскости. В результате проведения всех (п + 1) гиперплоскостей образуется многогранник, основание которого совпадает с генеральной гиперплоскостью. После удаления основания многогранника и генеральной гиперплоскости получается выпуклая оболочка той части граничных точек, для которых были проведены указанные выше операции. В результате аналогичного перебора всех граничных точек образуется область работоспособности с линейно зависимыми допусками в виде неравенств.
Метод гиперплоскостей позволяет аппроксимировать области работоспособности для всех выпуклых множеств точек и класса невыпуклых множеств. К этому классу относятся следующие типы невыпуклых множеств С, которые задаются с помощью выпуклых множеств А, В В2, ..., Вт (рис. 1).
Тип 1 (рис. а)
В с А, С = А - В.
Тип 2 (рис. б)
В, с А, В с А; ... ; В с А; С = А - В, - В - ... - В .
1 ’ 2 ’ ’ т ’ 12 т
Тип 3 (рис. в)
В е А, но В П А Ф 0; С = А - В.
Тип 4 (рис. г)
В е А; В е А; ...; В е А, но В, П А Ф0; В П А Ф0; ...; В П А Ф0; С = А - В
1 2 т 1 2 т
Тип 5 (рис. д)
В е А, но В П А Ф 0; С = А и В.
Тип 6 (рис. е)
В1 е А; В2 е А; ...; Вт е А, но В1 П А Ф0; В2 П А Ф0; ...; Вт П А Ф0; С=А и В1 и В2 и ... и Вт .
Метод гиперплоскостей дает возможность строить области работоспособности для множества точек типа 1, 3 без предварительного их исследования. При построении областей по множествам точек типа 2, 4 необходимо отделить друг от друга имеющиеся «невыпуклости» разделяющими гиперплоскостями (прямые 1-2 и 3-4 на рис. б, г), затем производить построение области неработоспособных состояний для каждой из них в отдельности.
Разделяющие гиперплоскости можно построить по результатам исследования сечений множества точек. Для множеств точек типа 5, 6 проведение разделяющих гиперплоскостей в многомерных пространствах связано со значительными трудностями. Поэтому построение областей работоспособности для них возможно только в том случае, если множества точек А, В ..., Вт получены отдельно друг от друга. Метод не позволяет аппроксимировать область работоспособности для случая неодносвязных областей.
Таким образом, применение известных методов позволяет осуществлять аппроксимацию областей работоспособности по граничным точкам только при малых размерностях пространства параметров (п < 10) и относительно небольшом числе граничных точек. Кроме того, известные методы применимы в основном только для выпуклых множеств векторов, соответствующих работоспособным состояниям системы. В результате значительно сужается класс ТС, позволяющих использовать информацию о границе области работоспособности для решения задач параметрического синтеза и контроля. Это объясняется тем, что современные ТС достаточно часто имеют несколько десятков и даже сотен первичных параметров, а их области работоспособности являются невыпуклыми, а в ряде случаях и неодносвязными. Поэтому требуется разработка новых методов аппроксимации областей работоспособности, которые должны обеспечивать высокую точность задания области, малые затраты времени на ее аппроксимацию и проверку выполнения условий работоспособности.
В
В
Выпуск 3
Выпуск 3
46 л
Рис. 1. Возможные формы представления областей работоспособности
Метод касательных гиперплоскостей
Рассмотрим метод, позволяющий не только существенно сократить затраты времени на аппроксимацию области работоспособности системой линейных неравенств, но и расширяющий
возможности такой аппроксимации на произвольную, включая неодносвязную форму области работоспособности. Метод основывается на дополнительной априорной информации, которая может быть получена в результате использования предложенных в работах [8; 9, с. 120-131] П- и ^-отображений.
Все известные методы и реализующие их алгоритмы аппроксимации области работоспособности линейно зависимыми допусками предполагают, что априорной информацией является массив граничных точек, для которых с заданной точностью известны их координаты. Вместе с тем все множество граничных точек можно разбить на й подмножеств, равных общему числу ограничений вида (1). При этом й < 2(п + т + И).
Граничные точки каждого из подмножеств объединяет общее свойство — все они принадлежат одной из гиперповерхностей, составляющей некоторую часть границы области работоспособности. Рассмотренные в работах автора [10, с. 69-74; 11, с. 58-69] методы построения областей работоспособности позволяют достаточно просто распознавать такие подмножества граничных точек. Таким образом, будем считать, что на основе априорной информации или в результате применения П-отображения [8] определена совокупность /],у = 1 ,к, к<2(т + Н) функций, конъюнкция которых определяет границу области работоспособности. Причем каждая из этих функций задает подмножества граничных точек, координаты которых известны и записаны в памяти ЭВМ.
На основании априорной информации для каждой граничной точки Яг,г = l,Nj гиперповерхности /. записываются уравнения гиперплоскостей фг, которые являются касательными к гиперповерхности /. в данной г-й точке:
- аргГх(^)1г . —
Фг=£ ж^[х,-х,(дг)] = о, г = Щ.
Аналогичным образом записываются уравнения гиперплоскостей для остальных гиперповерхностей, описывающих область работоспособности. В общем случае будет получено N гиперплоскостей, равных числу граничных точек области работоспособности. Используя свойства ^-функций ф^ и ф , конъюнкция которых для решаемой задачи может быть представлена в виде следующего простейшего выражения:
Фя Л Фя+1 = °’5(фг + Фя+1 - к - Ф*+1|).
а также следуя работе [12, с. 61-67], можно получить линейную аппроксимацию границы области работоспособности.
Предположим для наглядности, что уравнения гиперповерхностей /. получены на основе использования П-отображений в результате проведения полного факторного эксперимента [8]. Число первичных параметров п = 2, область работоспособности определяются пересечением двух поверхностей / и / а общее число граничных точек N = 4 — по две на каждой поверхности. При этом
/ = /\ (X) = / (Х1, Х2 ) = а0+ а1Х1 + а2Х2 + а12Х1Х2,
А=мх) = мх1,х2) = ь0+ъ1х.х+ь2х2+ь12х1х2,
ф1 = [а, + а12Х2 (Я,)] [X, - X1 (Я,)] + [я2 + а12Хг (Я,)] [Х2 - Х2 (Я,)] = 0, ф2 = [а, + я12Х2 (Я2)] [X, - X, (Я2)] + [а2 + апХ, (Я2)] [х2 - Х2 (Я2 )] = 0, Фз = |> + ьих2 (Я,)] [X, - X, (Я3 )] + |> + ЪпХ, (Я3)] [Х2 - Х2 (Яг)] = 0, ф4 = [¿1 + ЬиХ2 (Я4)][хг-X, (Д4)] + [Ь2 + Ьа X, (Я4)][Х2-Х2 (Ял)] = 0,
в = ф! Л ф2 Л Фз Л ф4 = 0,25(ф! + ф2 + Фз + ф4 - |ф! - ф21 - |фз - ф41 -
1ф1 +Ф2 -Фз -ф4 +|фз -ф4| - к -ф2||.
¿л
Выпуск 3
В том случае, если отсутствует информация о принадлежности граничной точки той или иной гиперповерхности / следует воспользоваться аналитическим описанием области работоспособности в виде, допускающем операции дифференцирования. При этом
Ф* Ла Фг+1 =(фг+ф^1 - № +Фг+1 -2аФЛ« ^(фЛ+О’
где Я(ф^, Фг+1) — функция, обеспечивающая наличие к производных Я-конъюнкции. Для ТС можно принять Я(ф^, ф8+1) = 1/(1 + а) [9; 12].
Предлагаемый метод аппроксимации граничных точек, в отличие от известных методов, не требует проверки пересечения (или непересечения) области работоспособности построенной гиперплоскостью, а также существенно, более чем на два порядка по сравнению с методом гиперплоскостей, без потери точности результата сокращает затраты времени на аппроксимацию области работоспособности.
<ч
Ш
|48|
Метод линейной аппроксимации граничных точек на основе R-отображения
Рассмотренный метод касательных гиперплоскостей позволяет аппроксимировать область работоспособности с линейно зависимыми допусками как для выпуклых, так и для невыпуклых множеств точек. В результате получается предельно точная для заданной дискретности граничных точек область в виде многогранника, вершинами которого являются граничные точки, при этом ошибки 1-го и 2-го рода практически равны нулю. Недостатком метода касательных гиперплоскостей является необходимость наличия аналитического описания области работоспособности, которое для исследуемой ТС может быть неизвестно. В том случае, если априорная информация о свойствах ТС полностью отсутствует, следует использовать разработанный метод линейно зависимой аппроксимации граничных точек, который не требует наличия априорной информации и может быть использован для выпуклых множеств точек при больших размерностях пространства первичных параметров.
Суть метода сводится к следующему. Для каждой граничной точки поочередно строится гиперплоскость, направление которой определяется координатами ближайших к ней граничных точек. Пусть гиперплоскость проводится через точку Я.
На первом этапе из массива граничных точек выделяются по две ближайшие к Я точки последовательно по каждой координате 1 — \,п таким образом, чтобы точка Я всякий раз находилась по соответствующей координате между выбранными точками. В том случае, если по какой-либо 7-й координате исследуемая точка Я имеет наименьшее (или наибольшее) значение, а ближайшая к ней по этой координате является точка 7, в рассмотрение вводится дополнительная точка, отличающаяся от исследуемой точки лишь данной координатой, значение которой определяется как Я. ± (Я. - .77). Это значение и принимается в качестве искомого. В предельном случае для п первичных параметров может быть выделено 2п граничных точек. Как правило, число выбранных точек меньше 2п, так как одна и та же точка может быть ближайшей к точке Я более чем по одной координате. Например, при п = 2 во всех случаях будут выбраны только две ближайшие к Я граничные точки.
Пусть в результате данной процедуры сформировано множество D, состоящее из й граничных точек, расположенных в непосредственной близости от точки Я.
На втором этапе производится сравнение чисел й и п. Если й = п, то переходят к следующему этапу. Если п < й < 2п, то для каждой выбранной точки вычисляется расстояние /и,и = \,с1 до исследуемой точки Я. Далее из множества D исключается (й - п) точка, у которой вычисленные
расстояния I оказались наибольшими. Если й < п, то возвращаются к первому этапу, на котором дополнительно анализируются точки, являющиеся ближайшими к точкам, составляющим множество D. Второй этап заканчивается формированием п граничных точек Рк (Х1, ..., X, ..., Хп), к = 1,п, которые определяют множество D.
На третьем этапе записывается уравнение гиперплоскости к проходящей через точку Я и параллельной гиперплоскости кЯ, которая определяется п точками множества Б. Получим уравнения гиперплоскостей кЯ и кЯ. Для заданных п точек Рк можно записать [13]:
кя : Л+¿4^0 *' = 1»и5
ад) • • ад) • ад) ВД) • • хж) хм
Л - ВД) • . ВД) . • ад) , 4 = т) ■ • ХЖ) хм
ВД) • • ВД) • • ад,) ХМ) • хж) ХЖ)
... хм) 1
1
... хм) 1
1
... хм) 1
К: ¿Д[Х,.-Хг(Л) ]=0,/ = 1 ,п.
¿=1
После преобразования уравнение (3) примет вид
п __
кя : В0+^^Хп г = 1,п,
(3)
где
В0=-£л1Х1(Я).
1=1
Аналогичным образом получают уравнения/ гиперплоскостей, проходящих через все граничные точки области работоспособности. Рассматривая полученные уравнения как Я-конъюнк-ции [9] и следуя методу касательных гиперплоскостей, можно получить аналитическое описание границы области работоспособности в виде линейной аппроксимации всех ее граничных точек. Предложенный способ получения аппроксимирующих область работоспособности гиперплоскостей исключает необходимость анализа условия нахождения граничных точек по одну сторону каждой гиперплоскости. Это, в свою очередь, приводит к существенной экономии машинного времени и повышению быстродействия предлагаемого алгоритма по сравнению с известными алгоритмами [6; 7].
Количество гиперплоскостей (неравенств), получаемых для аппроксимации области работоспособности данным методом, зависит от количества граничных точек N линейным образом. Время проверки выполнения условий работоспособности сокращается на порядок по сравнению со временем проверки условий работоспособности для областей, аппроксимируемых методом гиперплоскостей. Объем памяти ЭВМ, который требуется при использовании этого метода, уменьшается более чем на два порядка по сравнению с известными методами.
Алгоритм, реализующий рассмотренный метод линейной аппроксимации граничных точек, представлен на рис. 2. Здесь приняты следующие обозначения:
N — общее число граничных точек области работоспособности;
Б — множество й граничных точек, формируемых на первом этапе работы алгоритма (определяет ближайшие к исследуемой граничной точке остальные граничные точки области работоспособности по каждой координате);
п — общее число первичных параметров ТС;
Ад (и), и=1,Ы — уравнения вспомогательных гиперплоскостей;
(о), и=1,А^ — уравнения гиперплоскостей, проходящих через граничные точки.
После ввода исходных данных (числа N п), выбора первой исследуемой точки Я^ и задания и = 1, и = 1,АГ в блоке 1 осуществляется вычисление метрики I и = 1,ЛГ для всех заданных граничных точек. При этом в память компьютера заносятся первые 2п граничные точки. Далее
Выпуск 3
в результате сравнения вычисленных значений метрики /^ по всем точкам в памяти компьютера остаются записанными 2п граничных точек, у которых вычисленные значения метрики /^ относительно выбранной точки К являются наименьшими.
Рис. 2. Алгоритм, реализующий метод линейной аппроксимации граничных точек
В блоке 2 для каждой записанной в памяти граничной точки проверяется выполнение условия, при котором по каждой координате слева и справа относительно выбранной точки Яи располагается одна граничная точка.
В блоке 3 проверяется выполнение условия й = п. Если условие не выполняется, то возвращаются к предыдущему этапу и при необходимости согласно рассмотренному алгоритму, происходит формирование й граничных точек с требуемыми координатами.
В блоке 4 формируется уравнение, описывающее гиперповерхность кЯ(и), которая проходит через выбранную граничную точку Яи области работоспособности.
Далее переменная и увеличивается на единицу и процесс формирования уравнений гиперповерхностей кЯ(и) повторяется до тех пор, пока не будет сформировано N уравнений.
На последнем этапе на основе использования свойств логических Я-функций формируется единое уравнение, аналитически описывающее границу области работоспособности, заданную координатами своих граничных точек. Работа алгоритма заканчивается.
Достоинства метода линейной аппроксимации граничных точек существенно возрастают с ростом размерности пространства первичных параметров и при п > 30 становятся решающими при выборе данного метода. Полученное аналитическое описание области работоспособности позволяет, используя свойства Я-функций, сформировать такую целевую функцию, которая обеспечивает возможность использования любого известного метода направленного поиска для решения задачи параметрической оптимизации ТС по критерию запаса работоспособности 12].
Список литературы
1. Саушев А. В. Методы управления состоянием электротехнических систем / А. В. Сау-шев. — СПб.: СПГУВК, 2004. — 126 с.
2. Вапник В. Н. Теория распознавания образов / В. Н. Вапник, А. Я. Червоненкис. — М.: Наука, 1974. — 416 с.
3. Милов Л. Т. Вопросы контроля управляющих динамических систем / Л. Т. Милов [и др.] // Изв. АН СССР. Сер. «Техническая кибернетика». — 1972. — № 4.
4. Jarvis R. A. On the identification of the convex null of a finite set of points in the plane / R. A. Jarvis // Information processing letters, 2. — 1973. — № 1.
5. Дегтяр В. У Алгоритмы классификации, основанные на построении выпуклых оболочек / В. У. Дегтяр, М. Я. Финкельштейн // Изв. АН СССР. Сер. «Техническая кибернетика». — 1974. — № 2.
6. Дятлов В. А. Контроль динамических систем / В. А. Дятлов, А. Н. Кабанов, Л. Т. Милов. — Л.: Энергия, 1978. — 88 с.
7. Диго Г Б. Реализация параллельного алгоритма аппроксимации области работоспособности выпуклым многогранником / Г. Б. Диго, Н. Б. Диго // Информатика и системы управления. — 2006. — № 1 (11).
8. Саушев А. В. Планирование эксперимента в электротехнике / А. В. Саушев. — СПб.: СПГУВК, 2012. — 272 с.
9. Саушев А. В. Аналитический метод назначения допусков на параметры динамических / А. В. Саушев // Информатика и системы управления. — 2012. — № 3 (33).
10. Саушев А. В. Построение областей работоспособности технических систем водного транспорта на основе алгоритмов дискретного поиска / А. В. Саушев // Речной транспорт (XXI век). — М., 2012. — № 2.
11. Саушев А. В. Сеточный метод построения областей работоспособности технических объектов на основе алгоритма симплексного поиска / А. В. Саушев // Журнал Университета водных коммуникаций. — СПб.: СПГУВК, 2010. — Вып. 1 (5).
12. Саушев А. В. Параметрический синтез технических систем на основе линейной аппроксимации области работоспособности / А. В. Саушев // Автометрия. — 2013. — Т. 49, № 1.
13. Канатников А. Н. Аналитическая геометрия / А. Н. Канатников, А. П. Крищенко. — М.: Академия, 2009. — 206 с.
Выпуск 3
