CC BY
96
УДК 681.51: 511.3
Л. Н. Бондаренко МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ ПРИ НАЛИЧИИ ШУМА
Аннотация. Рассматриваются методы Кронекера-Чебышева и Кронекера-Чебышева-Ахиезера структурно-параметрической идентификации в частотной области при наличии шума. Эти методы основаны на итерационном алгоритме Кронекера построения по исходным данным рациональной интерполяционной функции и применения базисов из многочленов Чебышева и Чебышева-Ахиезера комплексного переменного. Методы по точным данным определяют точную интерполяционную функцию, а при задаваемом допуске позволяют также провести идентификацию при наличии шума. Проводится сравнение различных методов идентификации в частотной области.
Ключевые слова: идентификация, передаточная функция, испытательные частоты, полиномиальная и рациональная интерполяция, рекуррентная процедура, многочлены Чебышева, имитационное моделирование.
Abstract. The methods of the Kronecker-Chebyshev are considered and Kronecker-Chebyshev-Ahiezer is structural - parametrical identifications in frequent area for want of availability of a noise. These methods are based on iterative algorithm of the Kronecker of construction on basic data of rational interpolational function and application of bases from polynomials of the Chebyshev and Chebyshev-Ahiezer complex variable. The methods on point datas determine point interpolational function, and for want of assigned admission allow also to conduct identification for want of availability of a noise. Are compared of various methods of identification in frequent area.
Keywords: identification, transfer function, test frequencies, polynomial and rational interpolation, a recurrent procedure, polynomials of the Chebyshev, a simulation modeling.
Введение
Задача идентификации динамических систем является одной из важнейших и ей посвящено огромное количество работ. Поэтому разработка новых методов и алгоритмов идентификации всегда актуальна для фундаментальной науки. Основные тезисы теории идентификации выражены Р. Е. Кал-маном двумя положениями: а) принцип единственности: если данные точные и полные, то существует одна и только одна минимальная система (математическая модель), воспроизводящая эти данные; б) принцип неопределенности: неточные (недостоверные) данные приводят к неединственной (недостоверной) идентификации системы. Классическим примером, поясняющим эти принципы, является задача построения по исходным данным интерполяционного многочлена Лагранжа, но с другой стороны, метод наименьших квадратов, являющийся мощным математическим инструментом, по этим принципам не подходит для решения задач идентификации в условиях шума [1].
Получение исходных данных относится к области задач информационноизмерительной техники, в рамках которой ставится и ряд конкретных задач идентификации. Так, например, по результатам измерений требуется найти:
1) рациональную передаточную функцию средства измерения [2];
2) функцию иммитанса двухполюсной электрической схемы замещения исследуемого объекта [3].
Эти задачи естественно ставятся как задачи идентификации в частотной области, а методы их решения применимы, в частности, для решения ряда задач автоматического управления.
1 Постановка задачи идентификации
Рассмотрим ситуацию, когда идентифицируемый объект (средство измерения, устойчивая система автоматического управления и т.п.) в фиксированном диапазоне частот [rnmin, ютяу] описывается передаточной функцией
W (p) = Arrp-’ p = j“, (!)
Bn ( p )
где An-1(p) = 2n=J)an,kpk , Bn (p) = 2n=0bn,kpk , bn,n = 1, причем коэффициенты многочленов {an k }n=0, {bn k Ук=0 и структурный параметр n неизвестны.
Диапазон частот [юШщ, ютяу ] задается a priori или выбирается в процессе идентификации, что может, например, потребоваться при моделировании исследуемого объекта ЛС-двухполюсником. В последнем случае (1)
представляет собой функцию импеданса ЛС-двухполюсника, и все {an k }n=0 положительны.
Активная идентификация проводится с использованием стандартных испытательных сигналов. С их помощью на различных частотах {rok }N,
“k е [“min, “max] , N > n измеряются значения W„k = Wn (pk ) , pk = j“k функции (1), записываемые также в виде wnk = unk + jvnk, где unk = Re Wn (pk) и vnk = Im Wn (pk). Будем полагать, что время измерения превышает время переходных процессов, и что все испытательные частоты “k положительны и не совпадают с собственными частотами возмущения.
На практике из-за погрешностей измерения, внешнего возмущения и паразитных параметров, присутствующих в схеме измерения или появляющихся за счет нелинейности реального объекта в рассматриваемом диапазоне частот, значения идеальной функции (1) искажаются шумом. Поэтому в реальности измеряются их оценки wnk = Wn (pk), записываемые в форме
wnk = unk + jvnk , unk = Re Wn (pk ^ vnk = Im Wn (pk ), а
W (p)=Btv, p=j“, (2)
Bn(p)
где An-1(p) = 2n=0 an,kpk , Bn (p) = 2n=0 bn,kpk , bn,n = U а коэффициенты многочленов {ank }&=), {bnk }n=0 и структурный параметр n неизвестны.
Для упрощения задачи структурно-параметрической идентификации будем считать, что все коэффициенты {an k }%=0 отличны от нуля. Тогда эта
задача формулируется следующим образом: по измеренным на N > п испытательных частотах (Юк ^ оценкам {(мп£, Уп к )__ требуется найти параметр п и оценки (ап>к }Йъ (Ьп£ }пп_0 при условиях I ап£ - ап к I <гап к ,
I Ьп к - Ьпк I < к , где числа е‘а к и ^к определяют точность идентификации.
Таким образом, окончательным результатом решения задачи структурно-параметрической идентификации является функция (2).
2 Метод Кронекера-Чебышева
Для решения задачи идентификации предлагается модификация метода Кронекера рациональной интерполяции функций [4, 5], применяемого в действительной области и имеющего существенный недостаток: высокую чувствительность к изменению исходных данных. Метод Кронекера основан на последовательной трансформации интерполяционного полинома, построенного по исходным данным, в интерполяционную рациональную функцию.
Нормируем частоту ю с помощью простого преобразования ю_ю/ютах. Тогда набор испытательных частот (Юк }1^ заменится другим
набором (Юк ^, в котором все Юк е [у, 1], а параметр у _ ют^д / ютях . В силу предположения, что все испытательные частоты положительны, имеем у > 0 .
Отметим, что испытательные частоты (Юк ^ используются при проведении измерений, а нормированные частоты (Юк ^ применяются для обработки полученных при измерениях результатов.
По исходным данным (Юк^ и {(мпк, Упк)}_, аналогично методу
Кронекера, строится интерполяционный полином Н2N-1(Р), Р _ }Ю степени (2N -1) с вещественными коэффициентами, удовлетворяющий равенствам
ЯеН2N-1(Рк ) _ йп,к, 1тН2N-1(Рк ) _ ^п,к, к _ 1 -, N . (3)
В соответствии с системой (3) полином Н2N-1 (Р) принимает 2N значений (ып к ± ]^п к }*_1 в соответствующих интерполяционных узлах (± ]Ю>к }]^ множества [-}, - /у] и [/у, }], состоящего из двух отрезков мнимой оси.
В рассматриваемом случае рекуррентная процедура построения функции Шп (р) _ Ап-1 (р) / Вп (р) , как и в методе Кронекера, сводится к нахождению последовательности многочленов {А2N-к (р)}С) , {Вк (р)}_ 1 , где
В-1(р) _ ^ Во(р) _ и А2N-1(р) _ Н2N-1(p), А2N (р) _ КП к11(Р2 - p2),
а К - произвольная константа, и вспомогательных параметров (ак, Рк }0^ 1 по формулам
А2N-к-2 (р) _ (акр + Рк ) А2N-к-1(р) - А2N-к (p), к _ 0,1, - •, N -1, (4,а)
Bk+i (p) = (akP + Pk) Bk (p) - Bk- (р), k = 0,1,..., N -1. (4,б)
На первом шаге алгоритма при к = 0 многочлен A2 N (р) в равенстве (4,а) делится на A2 N-1 (р), и находятся ao, Ро, а также многочлен A2 N-2 (р). Затем с помощью выражения (4,б) находится Bi (р). На последующих шагах алгоритма при к = 1, 2, ., N -1 выполняется аналогичная последовательность действий.
Метод Кронекера достаточно прост, но операция вычитания, выполняемая при делении многочленов, может привести к значительному возрастанию относительной ошибки вычисляемых коэффициентов. Это явление особенно сильно проявляется при использовании для записи многочленов
{А2N-k (р)}0 степенного базиса {pk }°, который является переполнен-
ным [6].
Модификация метода Кронекера заключается в записи полиномов {А2N-k(р)}+1 по базису {Ck(р)}о , где Ck (р), р е [- j, j] - многочлен Чебышева комплексного переменного, задаваемый параметрическими соотношениями Ck (р) = cos k0 , р = j cos 0 . Тогда
2 N-1 _
H2N-1(р) = 2 hkCk (p), (5)
k=0
а свойства многочленов Чебышева Ck (р) позволяют по исходным данным
находить коэффициенты {hk }j)N 1 в выражении (5) по простым формулам в двух важных случаях:
а) {± j^k }N - узлы Чебышева I рода на мнимой оси, а % = cos((2N - 2k + 1)л /4N);
б) {± jfflk }N - узлы Чебышева II рода на мнимой оси, а &k = cos((N - k)л /(2N -1)).
Узлы I рода являются нулями многочлена А2 N(р) = K С2 N(р), а узлы
II рода - точками экстремума этого многочлена и нулями многочлена
А2N (р) = K (C2N (р) - C2N-2 (р)) .
В вещественном случае эти системы интерполяционных узлов широко используются [6, 7], причем узлы I рода минимизируют погрешность полиномиальной интерполяции. Поэтому модифицированный метод Кронекера назван автором методом Кронекера-Чебышева. Отметим, что при интерполяции на узлах I рода абсолютная погрешность вычисляемых коэффициентов
{hk }2 N 1 не возрастает по сравнению с абсолютной погрешностью исходных
N
данных |(Unk, vnk)} 1. Это связано с ортогональностью применяемых многочленов [5].
Если на k -м шаге алгоритма Кронекера-Чебышева в выражении (4,а) выполняется неравенство deg AN-k-2 (р)< 2N - k - 2, то на (k + 1) -м шаге
этот алгоритм вырождается из-за невозможности определения по формуле (4,а) вспомогательных параметров а к+1, Рк+1. Это вырождение можно устранить заменой на (к + 1) -м шаге в формулах (4,а) и (4,б) многочлена первой степени а к+1 р + Рк+1 многочленом более высокой степени с неопределенными коэффициентами.
В реальной ситуации такое вырождение практически не встречается из-за применения компьютерных вычислений. С другой стороны, возможность вырождения можно использовать для остановки алгоритма Кронекера-Чебышева на некотором шаге, в результате чего определяется структурный параметр п
и находятся оценки (апк }п_0, (&пк }к _0 коэффициентов функции (1).
Для этого в методе Кронекера-Чебышева вводится дополнительный параметр Ш, определяющий допуск на старшие коэффициенты
а N ^-2 г }2_к+к 2 многочлена А2 N-k -2 (Р), получаемого на к -м шаге алгоритма Кронекера-Чебышева. С помощью этого параметра, например по знаку суммы
судить о необходимости прекращения работы алгоритма.
Рассмотренный подход к структурно-параметрической идентификации при наличии шума опирается на аналогию, существующую между полиномиальной и рациональной интерполяцией, выполняемой по методу Кронекера-Чебышева. При этом используется предположение, что все коэффициенты
(апк Ук_0 числителя функции (1) отличны от нуля. При его невыполнении
число испытательных частот N выбирают равным п, т.е. структурный параметр определяется на основе другой дополнительной информации.
Так как структурно-параметрическая идентификация обычно предполагает использование имитационного моделирования, то исследователь довольно быстро выбирает величину параметра Ш на основе метода проб и ошибок при наличии программного обеспечения, содержащего процедуру полиномиальной интерполяции, построенную на основе базиса из многочленов Чебышева, и процедуру, реализующую метод Кронекера-Чебышева.
Эти процедуры реализованы в пакете аналитических вычислений Мя-р1е, который позволяет за счет использования символических вычислений по-новому подходить к решению некорректных задач, к которым относится и рассматриваемая задача структурно-параметрической идентификации.
Следует отметить, что рассматриваемые многочлены комплексного переменного Ск (р) связаны соотношением Ск (р) _ Тк (-}р) с обычными многочленами Чебышева Т к (Ю). Поэтому их свойства легко вывести из свойств
многочленов Чебышева. Так, например, при делении многочленов, записанных в базисе Ск (р), также используется схема Горнера, как и для обычных
г _к+1 V Л /
где sgn(х) означает функцию знака х, а 5^ _ =0 |а2N-k-2, г |, можно
2 N-k-21
многочленов Чебышева [7]. Это значительно упрощает написание соответствующих процедур полиномиальной интерполяции и Кронекера-Чебышева.
Для принадлежности узлов I и II рода множеству [-/, - /у] и [/у, 7 ] соответственно должны выполняться ограничения: ео8((2N- 1)л/4N) >у и ео8((N - 1)л /(2N -1)) > у . При невыполнении этих ограничений метод Кроне-кера-Чебышева нельзя использовать непосредственно, поэтому в этой ситуации его также следует модифицировать.
При невыполнении отмеченных ограничений на роль многочленов Чебышева естественно претендуют многочлены Чебышева-Ахиезера, наименее уклоняющиеся от нуля на двух отрезках [-1, - у] и [У, 1] вещественной оси [8].
При этом простые выражения для коэффициентов разложения вида (5) найти практически невозможно, т.к. многочлены Чебышева-Ахиезера Т2т (ю)
~ ~ ~ 2 2 2 связаны соотношением (ю) = Тт ((2ю -1- у )/(1- у )) с многочленами
Чебышева, а в случае нечетной степени эти многочлены выражаются довольно сложно через эллиптические функции.
Поэтому определим модифицированные многочлены Чебышева-Ахиезера комплексного переменного р е [-/, - /у] и [/у, /] для четных и нечетных степеней соответственно следующими выражениями:
что естественно несколько ухудшит свойства описываемого алгоритма, но значительно упростит окончательные соотношения.
Положим А2 N (р) = К • С2N (Р) и запишем интерполяционный многочлен А2N-і(Р) = Н2N-і(Р) в следующей форме:
ся аналогично методу Кронекера-Чебышева, но для получения последова-
четные и нечетные части многочленов в формулах (4,а), (4,б) и (6).
В этом случае интерполяционные узлы являются нулями многочлена
Таким образом, метод Кронекера-Чебышева-Ахиезера используется для структурно-параметрической идентификации в частотной области при наличии шума аналогично методу Кронекера-Чебышева.
3 Метод Кронекера-Чебышева-Ахиезера
С2т (р) = Ст ((2р2 + 1 + ?2)/(1 - ?2)) , С2т+1(Р) = рС2т (р) ,
2 N-1
к=0
Тогда построение функции Wn (р) = Ап^(р)/ Вп (р) будет производить-
тельностей многочленов {А2N-к (Р)}Ы+1, (-% (р)}-1 и нахождения коэффициентов [Нк }2 N 1 полинома (6) приходится по отдельности рассматривать
А2 N (р) = К • С2N (р) и представляют набор {± 7'Юк ^, где
(7)
В пакете Мар1е разработана универсальная процедура полиномиальной интерполяции, построенная на основе базисов из многочленов Чебышева, а также их обобщений. Она позволяет вычислять коэффициенты интерполяционных полиномов (5), (6) по исходным данным {ю^}]^ и {(йпк, Уп к)^ 1. Коэффициенты выражения (5) определяются при задании параметра у = 0, а при у Ф 0 определяются коэффициенты выражения (6). При этом используются системы узлов I и II рода, которые также рассматриваются и для случая у Ф 0, для чего задача идентификации обобщается за счет введения в рассмотрение испытательной частоты Юо = 0. За счет выбора соответствующего входного параметра в универсальной процедуре полиномиальной интерполяции может задействоваться как вещественное, так и комплексное переменное.
Отметим, что в процедуре полиномиальной интерполяции применяется точное задание интерполяционных узлов, несмотря на то, что испытательные частоты могут задаваться, хотя и с высокой, но ограниченной точностью. Это позволяет уменьшить накопление ошибок, возникающее за счет изменения выражений, использующих ортогональность многочленов Чебышева и их обобщений, а ошибка за счет точного задания интерполяционных узлов включается в сопутствующий задаче идентификации шум. Исходные данные задаются точностью, полученной в процессе измерений.
Результаты работы процедуры полиномиальной интерполяции служат исходными данными для процедур Кронекера-Чебышева и Кронекера-Чебышева-Ахиезера. Эти универсальные процедуры разработаны в пакете Мар1е и работают как при задании вещественного, так и комплексного переменного. Возможность выбора параметра Ш позволяет проводить структурно-параметрическую идентификацию в частотной области при наличии шума.
Все разработанные процедуры ориентированы на использование имитационного моделирования.
4 Результаты имитационного моделирования
В рассматриваемых тестовых примерах все частоты Юе [у, 1], у > 0 , т.е. они нормированы и р = /Ю.
Пример 1. Тестовая идеальная передаточная функция в диапазоне частот Ю е [0,2; 1] имеет вид
Щ(Р) = 2 Р +1 .
р + 4 р + 5
Она изменяется за счет добавления шума Р (р) следующим образом:
Ж, (р) + Р(р) = 2 р +1 + 3 -10-3 2 р(р + 1)2-----.
р + 4 р + 5 (р + 4 р + 5)( р + 9)
На трех испытательных частотах I рода й>1 = 0,25882, &2 = 0,70711 и Юз = 0,96593 определяются приближенные значения йк = Яе (^(р^) + Р (рк)) и = М (^2(рк) + Р(рк)) при к = 1,2,3 двумя способами: а) с пятью значащими цифрами; б) с четырьмя значащими цифрами.
В этом примере N = 3, у = 0,2 . Так как величина й > у, то для решения задачи идентификации можно использовать метод Кронекера-Чебышева. Результаты его работы следующие:
а) для й = 0,20471; = 0,23009; м3 = 0,24783 и £ = 0,95225 -10-2;
—1 —2
£2 = 0,12573 • 10 ; £3 = 0,21452 • 10 при моделировании получено
~^ч 0,98583 р + 0,97555
Щ( р ) = -,--------------------------------,
р2 + 3,9435р + 4,8922
причем ^2 (р) не изменяется, если Ш є [0,002; 0,3];
б) для значений й = 0,2047; м2 = 0,2301; м3 = 0,2478 и £1 = 0,9523 -10-2; - -1 - -2
£2 = 0,1257 • 10 ; £3 = 0,2145 • 10 при моделировании получено
~^ч 0,93975 р + 0,89829
Щ( р ) = ^---------------------------------,
р2 + 3,7645р + 4,5493
причем Щ(р) не изменяется, если Ш є [0,007; 0,3].
Пример 2. Зададим тестовую идеальную передаточную функцию ^2(р) и ее изменение Ж>(р) + F(р) за счет добавления шума F(р) так же, как и в примере 1, но в диапазоне частот йє [0,3; 1]. Легко подсчитать, что в этом случае не выполняется ограничение, позволяющее применять для идентификации метод Кронекера-Чебышева.
Поэтому при N = 3, у = 0,3 по формуле (7) находим следующие испытательные частоты: й = 0,38853, Й2 = 0,73824, Й3 = 0,96904, на которых определяются оценки йк = Яе (^(рк) + F(рк)) и % = 1т (( (рк) + F(рк))
при к = 1, 2, 3 двумя способами: а) с пятью значащими цифрами; б) с четырь-
мя значащими цифрами.
В этом примере для решения задачи идентификации применяется метод Кронекера-Чебышева-Ахиезера, который дает результаты:
а) для й1 = 0,21030; Й2 = 0,23226; й3 = 0,24804 и £1 = 0,32817-10-1;
-1 -2
£2 = 0,16010 • 10 ; £3 = 0,20265 • 10 при моделировании получено
0,99621 р + 0,99267 Я2( р) = —;-------- ----------,
р2 + 3,9843р + 4,9687
причем ^2(р) не изменяется, если Ш є [0,0005; 0,3];
б) для значений й = 0,2103; й2 = 0,2323; Й3 = 0,2480 и £1 = 0,3282 -10-1;
-1 -2
£2 = 0,1601 • 10 ; £3 = 0,2027 • 10 при моделировании получено
0,87866 р + 0,80226
^( р) = -=--------- ----------,
р2 + 3,5353р + 4,1313 причем ^2 (р) не изменяется, если Ш є [0,02; 0,3].
Приведенные тестовые примеры подчеркивают проблемы структурнопараметрической идентификации в частотной области при наличии шума, связанные с точностью измерений, выбором диапазона частот и т. п., которые возможно разрешить только с помощью имитационного моделирования при применении соответствующего программного обеспечения.
5 Сравнение методов идентификации в частотной области
Для нахождения оценок {ап к Ук=0, {Ьп к }к=0 коэффициентов функции (1) при равенстве N = п может применяться метод конечно-частотной идентификации [9], при использовании которого решается система уравнений
Ап-1(/Юк ) - (ип,к + /'^п,к )(Вп (/Юк ) - (/Юк ) ) =
= (йп,к + РП,к )(/Юк Т, к = 1 2 • -, п . (8)
При выполнении определенных условий система (8) имеет единственное решение, не зависящее от набора испытательных частот {Юк }п, но ее матрица плохо обусловлена, что также, в конечном счете, связано с переполненностью степенного базиса. Поэтому испытательные частоты {Юк }п приходится выбирать с помощью дополнительных экспериментов и обработкой их результатов так, чтобы уменьшить число обусловленности матрицы системы (8).
Отметим, что в методах Кронекера-Чебышева и Кронекера-Чебышева-Ахиезера требуется только выбор диапазона частот, по которому легко определяется набор испытательных частот. Использование в этих методах специального многочленного базиса позволяет, по крайней мере на начальных шагах итерационного процесса, значительно уменьшить обусловленность задачи.
Метод конечно-частотной идентификации и предлагаемые методы решают задачу рациональной интерполяции. Поэтому ряд утверждений работы [9] о сходимости получаемых оценок к их истинным значениям практически без изменений переносятся на предлагаемые методы. Отметим, что даже в случае полиномиальной интерполяции стараются не использовать непосредственно решение системы уравнений типа (8) ввиду ее плохой обусловленности [6].
Для решения задачи структурно параметрической идентификации в частотной области при наличии шума в случае N > п часто рассматривается метод работы [10], одно из обобщений которого применяется, например, в [2]. В этом методе и его многочисленных модификациях используется итерационная процедура, основанная на применении метода наименьших квадратов, недостатки которого отмечены во введении. Заметим также, что сам метод наименьших квадратов характеризуется плохой обусловленностью, что усугубляется при его применении для решения рассматриваемой задачи.
Метод Кронекера-Чебышева можно использовать в вещественной области для рациональной аппроксимации функции, определенной на отрезке. Поэтому эффективность его работы проверялась на тестовых примерах аппроксимации тригонометрических, гиперболических и показательных функ-
ций, а также функций Бесселя. Полученные аппроксимации сравнивались с результатами работы стандартных процедур пакета Maple, реализующих метод Ремеза наилучшей рациональной аппроксимации и метод аппроксимации Паде-Чебышева, разработанный Кленшоу и Лордом [4].
Тестирование показало, что все эти методы дают аналогичные по порядку величины погрешности аппроксимации, но по временным затратам метод Ремеза сильно уступает остальным двум методам.
В методе Паде-Чебышева исходными данными являются коэффициенты отрезка ряда Фурье-Чебышева аппроксимируемой функции, что не позволяет использовать его непосредственно для решения задачи идентификации в частотной области. Для метода Кронекера-Чебышева не удается получить аналитическую оценку погрешности аппроксимации, но, как и для метода Паде-Чебышева [4], по результатам тестовых примеров можно предположить, что для ряда аналитических функций эти аппроксимации близки к наилучшим.
Заключение
Предлагаемые для решения задачи структурно-параметрической идентификации в частотной области методы Кронекера-Чебышева и Кронекера-Чебышева-Ахиезера значительно отличаются от других методов, применяемых для этой цели. Так как эффективность их применения подтверждается тестовыми примерами, то представляет интерес получение различных аналитических результатов, связанных с этими методами.
Список литературы
1. Калман, Р. Е. Идентификация систем с шумами // Успехи математических наук / Р. Е. Калман. - 1985. - Т. 40. - Вып. 4. - С. 27-41.
2. Солопченко, Г. Н. Определение параметров дробно рациональной передаточной функции средств измерений по экспериментальным данным / Г. Н. Солопченко // Метрология. - 1978. - № 5. - С. 25-35.
3. Бондаренко, Л. Н. Синтез структур многоэлементных двухполюсников на основе обработки результатов измерений их иммитанса в частотной области / Л. Н. Бондаренко, И. Р. Добровинский, А. В. Блинов // Измерительная техника. -2001. - № 12. - С. 43-46.
4. Бейкер, Дж., мл. Аппроксимации Паде / Дж. Бейкер мл., П. Грейвс-Моррис. -М. : Мир, 1986. - 502 с.
5. Бондаренко, Л. Н. Определение параметров передаточной функции средств измерений по значениям амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик / Л. Н. Бондаренко // Датчики и системы. - 2004. - № 7. - С. 18-20.
6. Бабенко, К. И. Основы численного анализа / К. И. Бабенко. - М. : Наука, 1986. - 744 с.
7. Люк, Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации / Ю. Люк. -М. : Мир, 1980. - 608 с.
8. Ахиезер, Н. И. Элементы теории эллиптических функций / Н. И. Ахиезер. -М. : Наука, 1970. - 304 с.
9. Александров, А. Г. Сравнение двух методов идентификации при неизвестных ограниченных возмущениях / А. Г. Александров, Ю. Ф. Орлов // Автоматика и телемеханика. - 2005. - Т. 66. - № 10. - С. 128-147.
10. Sanathanan, C. K. Transfer function synthesis as a ratio of two complex polynomials / C. K. Sanathanan, J. Koerner // IEEE Trans. Automat. Control. - 1963. -V. AC-9. - № 1. - P. 56-58.
Бондаренко Леонид Николаевич
кандидат технических наук, доцент кафедра дискретной математики, Пензенский государственный университет
E-mail: dm@pnzgu.ru
УДК 681.51: 511.3 Бондаренко, Л. Н.
Методы идентификации в частотной области при наличии шума /
Л. Н. Бондаренко // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2009. - № 2 (10). - С. 113-123.
Bondarenko Leonid Nikolaevich Candidate of technical sciences, associate professor, sub-department of discrete mathematics, Penza State University
