CC BY
2164
А.Н. Г олубинский,
кандидат технических наук
МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
И ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ
В настоящее время задача аппроксимации является актуальной темой практически для каждого технического исследования. От выбора вида аппроксимации в существенной мере зависят количественные характеристики и качественные свойства описания изучаемых объектов.
Цель работы состоит в обзоре, анализе и классификации методов аппроксимации экспериментальных данных и построения моделей.
Приведем основные понятия и определения, необходимые для раскрытия поставленной цели работы.
Аппроксимация (от лат. approximo — приближаюсь) — замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным [1]. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики или качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны) [1]. Приближение — то же, что аппроксимация, термин «приближение» иногда употребляется в смысле приближающего объекта [1]. Приближение функций — нахождение для данной функции f функции g из некоторого определенного класса (например, среди алгебраических многочленов заданной степени), в том или ином смысле близкой к f , дающей ее приближенное представление [1].
Модель (фр. modele, от лат. modulus — мера, образец) — любой образ какого-либо объекта, процесса или явления («оригинала» данной модели), используемый в качестве его «заместителя, «представителя» [2]. Математическая модель — приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики [1]. Физическая модель — приближенное описание некоторого объекта или явления с помощью образа, имеющего ту же физическую природу [3].
Одним из важных этапов изучения явления с помощью его математической модели является выяснение того, удовлетворяет ли принятая гипотетическая модель критерию практики, то есть выяснение вопроса о том, согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. В связи с этим необходима проверка на адекватность (соответствие свойствам реального объекта) данной математической модели, причем точность модели, должна быть больше точности наблюдений (ошибка модели должна быть меньше ошибки наблюдений).
Адекватность (от лат. adaequatus — приравненный, равный) — соответствие, верность, точность. Точность измерения — характеристика измерения, отражающая степень близости его результатов к истинному значению измеряемой величины [2].
Современной литературы по общей теории аппроксимации, к сожалению, прак-
тически нет, некоторые разделы аппроксимации излагаются в литературе [4—9].
Условно аппроксимацию можно разделить на два вида (рисунок):
1) строгая теория математической аппроксимации;
2) физическая (техническая) аппроксимация.
Строгая теория математической аппроксимации включает в себя следующие методы аппроксимации [ 1, 7—9]:
1) полиномами (многочленами);
2) сплайнами;
3) отрезками ряда Фурье;
4) полиномами по ортогональным многочленам;
5) собственными функциями краевых задач.
Следует отметить, что А.Н. Колмогоров начал изучение нового вопроса теории приближений — задача о нахождении при фиксированном п такой системы функций (Ц, ..., (рп, для которой наилучшие приближения функций заданного класса полино-
п
мами ^акФк (х) были бы наименьшими (задача о поперечнике класса функций).
к=1
В этом направлении в дальнейшем было выяснено, например, что для ряда важных классов периодических функций наилучшими в указанном смысле системами являются тригонометрические полиномы [1].
Менее строгая аппроксимация — физическая (техническая) аппроксимация или математическая модель физического явления, процесса (физической модели), технического устройства (его характеристик), сигнала (его параметров), среды, материи и т. п. Физическая (техническая) аппроксимация включает в себя множество способов аппроксимации и аппроксимирующих функций, выбираемых исходя из конкретно поставленной физической (технической) задачи.
Таким образом, с помощью физической (технической) аппроксимации оперативно решается широкий круг задач, актуальных на данный момент времени, связанных с конкретными проблемами и вопросами прикладного (технического) характера. Строгая теория математической аппроксимации строится как фундаментальная, глобальная теория аппроксимации, которая для решения текущих прикладных практических задач может и не пригодиться. Это может произойти вследствие либо потери с течением времени актуальности решаемой задачи, либо сложности теории (аппроксимирующей функции), либо большого количества коэффициентов аппроксимации.
Альберт Эйнштейн говорил: «Теория производит тем большее впечатление, чем проще ее предпосылки. С тех пор, как на теорию относительности навалились математики, я сам перестал ее понимать».
Стоит привести пример, поясняющий всю важность как технической аппроксимации, так и строгой математической теории. Проследив создание теории теплового излучения, мы увидим, что первоначально на основании экспериментальных данных были установлены закон (излучения) Стефана — Больцмана и закон смещения Вина; затем теоретически выведены и экспериментально подтверждены в определенных частных случаях закон излучения (формула) Вина и закон излучения (формула) Рэлея — Джинса; впоследствии выдвинутая Планком квантовая гипотеза дала фундаментальный закон излучения (формулу) Планка, который блестяще согласуется с экспериментальными данными во всем интервале частот и температур [10]. Следует отметить, что законы Стефана — Больцмана, Вина, Рэлея — Джинса представляют собой частные случаи закона излучения Планка.
Классификация методов аппроксимации экспериментальных данных
и построения моделей Отмеченный выше путь развития физической теории теплового излучения есть
не что иное, как метод индукции (от лат. тёаисйо — наведение) — один из типов умозаключения и метод исследования — умозаключение от единичных фактов (частных случаев) к некоторой гипотезе (общему утверждению, общим положениям) [2, 11]. Существует и другой, конкурирующий метод исследования, это дедукция (от лат. ёеёисйо
— выведение) — один из основных способов рассуждения (умозаключения) и методов исследования. Началом (посылками) дедукции являются аксиомы, постулаты или просто гипотезы, имеющие характер общих утверждений («общее»), а концом — следствия из посылок, теоремы («частное») [2, 11].
Таким образом, условно можно сравнить строгую теорию математической аппроксимации с «общим», а физическую (техническую) аппроксимацию — с «частным».
Приведем очевидные требования, предъявляемые к аппроксимирующей функции для технического вида аппроксимации.
Как правило, характеристики многих сложных процессов и явлений получают экспериментально, гораздо реже удается найти их из теоретического анализа. Для изучения процессов, необходимо, прежде всего, отобразить характеристики в математической форме, пригодной для расчетов [12]. Простым и весьма точным способом может явиться представление характеристики в виде таблицы. Этот способ удобен для анализа процессов с помощью ЭВМ, аргумент и функция образуют в запоминающем устройстве двумерный массив чисел. В ряде случаев характеристики реальных процессов и явлений имеют сложный вид и представляются в виде графиков.
Очень часто непосредственное применение экспериментальных данных в форме таблиц или графиков оказывается неудобным, и данные стремятся описать с помощью достаточно простых аналитических соотношений, хотя бы качественно отражающих характер рассматриваемых зависимостей [13]. В данном случае необходимо решить задачу аппроксимации, т. е. заменить сложную функцию (построенную по экспериментальным данным) приближенными аналитическими выражениями.
Таким образом, если исследование должно проводиться не численными, а аналитическими методами, то требуется подобрать такую аппроксимирующую функцию, которая, будучи довольно простой, отражала бы все важнейшие особенности экспериментально снятой характеристики с достаточной степенью точности [12].
Общая задача аппроксимации включает в себя две самостоятельные задачи [13,15]:
1) выбор класса подходящей аппроксимирующей функции;
2) определение значений, входящих в аппроксимирующую функцию постоянных коэффициентов (определение коэффициентов аппроксимации).
Выбор класса аппроксимирующей функции. Решая эту задачу, необходимо соблюдать требования, в значительной степени противоречивые [15]:
1) простота функции (в смысле математических операций и реализации на ЭВМ);
2) достаточная точность (ошибка аппроксимации должна быть одного порядка с разбросом параметров характеристик отдельных реализаций в ансамбле реализаций);
3) наглядность, позволяющая судить об изменении коэффициентов аппроксимации при изменении характеристик процесса;
4) ясность понимания процессов в явлении и выявление свойств и характеристик, представляющих интерес в конкретном случае.
Таким образом, функцию, аппроксимирующую какую-либо характеристику, выбирают либо исходя из физических представлений об изучаемом процессе, либо чисто формально, основываясь на внешнем сходстве характеристики с графическим изображением той или иной функции [13]. К аппроксимирующей функции предъявляются противоречивые требования: обеспечивая хорошее качество приближения, она должна быть относительно простой и удобной для дальнейшего использования [14].
Наглядным примером может служить способ аппроксимации вольт-амперной характеристики нелинейного двухполюсника в виде показательной (экспоненциальной)
аппроксимации [12]. В радиотехнике для аппроксимации характеристик наиболее часто используют следующие функции [12—15]:
1) степенной полином (степенная или полиномиальная аппроксимация);
2) экспоненциальный полином (частным случаем которого является показательная или экспоненциальная аппроксимация);
3) кусочно-линейная функция (аппроксимация);
4) кусочно-нелинейная функция (аппроксимация);
5) степенная функция;
6) трансцендентные функции (гиперболический тангенс и синус, функция Г аусса, тригонометрические функции и др.).
Аналитические выражения, аппроксимирующие характеристики процессов, для повышения точности и достоверности анализа должны как можно более точно описывать ход реальных характеристик. Однако повышение точности аппроксимации приводит, как правило, к усложнению аппроксимирующих выражений, что затрудняет как определение значений входящих в эти выражения коэффициентов, так и применение этих выражений для анализа процессов [13].
В связи с тем что характеристики различных реализаций (ансамбля реализаций) процесса отличаются друг от друга за счет разброса параметров по реализациям и погрешности измерений, нецелесообразно стремиться получить аппроксимирующие выражения, точность которых значительно превышает точность определения отдельных параметров и пределы их разброса по ансамблю реализаций [13].
Таким образом, при решении задачи аппроксимации так же, как и при решении любой задачи, связанной с выбором расчетной модели, необходимо идти на компромисс между точностью и сложностью модели [13].
Определение коэффициентов аппроксимации тесно связано с требуемой точностью [15]. Точность определяется критериями приближения, обычно применяют критерии равномерного, среднеквадратичного и интерполяционного (точечного приближений) [15]. Если число заданных точек превышает число определяемых коэффициентов аппроксимации, то можно использовать метод наименьших квадратов, при котором среднеквадратичная ошибка минимальна. Метод наименьших квадратов применяется, когда необходима высокая точность аппроксимации, требует громоздких вычислений, но имеет конструктивный подход для аналитического определения коэффициентов модели (аппроксимации) [13]. Метод наименьших квадратов обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений значений аппроксимирующей функции от значений исходной функции (наименьшую невязку) в произвольном числе точек, не связанном с числом неизвестных коэффициентов [13].
Следует отметить, что точность аналитического представления изучаемого явления будет тем выше, чем точнее модель, описывающая данное явление. Очевидные требования, предъявляемые к выбору модели явления при одинаковой точности модели, — наименьшее количество коэффициентов модели и ее простота, выполнение данных требований способствует уменьшению систематической ошибки [16] и времени обработки [17] экспериментальных данных.
Таким образом, проведен анализ и классификация методов аппроксимации экспериментальных данных и построения моделей. Конкретизированы и сформулированы требования, предъявляемые к задаче аппроксимации, даны рекомендации необходимые при построении моделей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Математика: Энциклопедия / под ред. Ю.В. Прохорова.— М.: Большая Россий-
ская энциклопедия, 2003.
2. Советский энциклопедический словарь / под ред. А.М. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1980.
3. Физика: Энциклопедия / под ред. Ю.В. Прохорова.— М.: Большая Российская энциклопедия, 2003.
4. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации / Н.И. Ахиезер.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1965.
5. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений / В.М. Тихомиров.
— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976.
6. Корейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения / Н.П. Корейчук. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976.
7. Корн Г. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) / Г. Корн, Т. Корн. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973.
8. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980.
9. Зельдович Я.Б. Элементы прикладной математики / Я.Б. Зельдович, А.Д. Мыш-кис.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1965.
10. Трофимова Т.И. Курс физики / Т.И. Трофимова.— М.: Высшая школа, 1998.
11. Философский словарь / под ред. И.Т. Фролова. — М.: Политиздат, 1980.
12. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы / С.И. Баскаков.— М.: Высшая школа, 2000.
13. Попов В.П. Основы теории цепей / В.П. Попов.— М.: Высшая школа, 1998.
14. Иванов М.Т. Теоретические основы радиотехники / М.Т. Иванов, А.Б. Серги-енко, В.Н. Ушаков; под ред. В.Н. Ушакова.— М.: Высшая школа, 2002.
15. Радиотехнические цепи и сигналы. Задачи и задания / под ред. Я.Н. Яковлева.
— М.: ИНФРА-М; Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003.
16. Метрология и радиоизмерения / В.И. Нефедов [и др.] / под ред. В.И. Нефедова.— М.: Высшая школа, 2003.
17. Бендат Дж. Прикладной анализ случайных данных / Дж. Бендат, А. Пирсол.
— М.: Мир, 1989.
