CC BY
42
УДК 621.396.6
Власов М.А. , Горопашный В.А., Сергин С.Ф. , Орлова Н.А.
ФГУП «РФЯЦ-ВНИИТФ им. академ. Е.И.Забабахина»
МЕТОДИКА РАСЧЕТА ПРОЧНОСТНОЙ НАДЕЖНОСТИ КОНСТРУКЦИЙ ДЛЯ ПЛАНА ИСПЫТАНИЙ С ЗАПАСОМ ОСНОВАННАЯ НА ПРИМЕНЕНИИ СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Аннотация: В докладе рассматривается возможность замены традиционного подхода к оценке
прочностной надежности конструкций основанного на приближенных формулах. Предлагаемая методика статистического моделирования позволяет по детерминированным связям квантилей вероятности отказов при испытаниях и фактической надежности определить параметры распределения ее оценки.
Ключевые слова: прочность, надежность, коэффициент запаса, статистическое моделирование
1 Формулировка исходных данных
Испытания конструкции производятся с заданным коэффициентом запаса:
Ли =
Действующая F и испытательная QM нагрузки постоянны. Несущая способность конструкции Q распределена нормально с известным коэффициентом вариации Ш0.
Объем испытательной серии: n опытов, из них m отказов.
По этим исходным данным требуется определить надежность конструкции.
2 Расчетные формулы
Поставленную задачу оценки надёжности можно решить приближенным методом, подробно описанным еще в 1976 году сотрудниками РФЯЦ-ВНИИЭФ Н.А.Билыком, В.А.Хариным и Ю.В.Хомутининым [1]. Их работа была опубликована в Бюллетене технической информации (выпуск 3(86) за 197 6 год) . Согласно этой работе задача решается следующем образом:
Среднее значение оценки надежности определяется по формуле:
Up _у
P = -^ f е 2 dt 4in f
4 -X
для квантиля:
Ли-1-V4
Ли 'VQ-Vl + ®2
(1)
/ . и
, 2я • m -in — m)- е Яи
n3 -(1 + VQ ■ иЧи f
, 2я-(n +1)• е ■
(n + 3)-(n + 2)2 •(1 + Vq • иЧи )
при m ФФ
при m = О
где
1
и - нормированный квантиль нормального распределения, соответствующий вероятности q =----------
q n + 2
, в случае отсутствия отказов (ш=0), или q = —, в случае т#0.
Величина среднего квадратичного отклонения рассчитывается по формулам:
Jn + 1
Л'^(п + 3)-(n + 2)2 *(l + ^2) фп-(n — m)
Л
ft •(! + ®2)
е 2 при m = О
при mФ О
(2)
Нижнюю доверительную границу оценки надежности, на уровне доверия 0,9 формуле:
n
p
рассчитывается по
P0,9 = P-1,28-op . (3)
Приведенные формулы получены путем нескольких последовательных линеаризаций.
3 Погрешности и допущения при определении оценки надежности для плана испытаний с запасом
Расчет оценки надежности сводится к последовательному определению параметров распределения линейных функций по известным значениям параметров распределения случайного аргумента, при этом распределение самой оценки предполагается нормальным.
Однако такое предположение является приближенным. В самом деле, если даже оставить без внимания погрешности, вносимые в расчет двумя линеаризациями, для нормального распределения оценки надежности необходимо, чтобы также была распределена и исходная случайная величина qM.
Но в действительности она распределена по биномиальному закону, который существенно отличается от нормального распределения как раз для наиболее важных в практическом плане малых объемов испытательных серий. А для т=0 этот закон оказывается вообще непригодным для любых п, так как в этом случае девальвируется само понятие частоты появления события, которая является предметом исследования биномиального закона.
Поэтому при выводе формулы для функции плотности распределения вероятности отказа qM в этом случае приходится вводить определенные допущения.
В работе В.И.Лукьященко и А.Н.Терпиловского [2], например, она получена на основе априорного предположения о равномерном распределении случайной величины qM в интервале [0, 1], которое
по результатам серии опытов (п, т) в соответствии с теоремой Байеса для плотностей преобразуется к виду:
1
/(Чи ) = Cnm ■ qj*-(1 — qu ) , (4)
со средним значением и среднеквадратическим отклонением, равными:
Чи
m +1
1 l( n — m + l)-(m +1)
, Gq = „
n + 2 4u n + 2 У n + 3
Эти результаты справедливы как для mA0, так и для m=0, хотя и являются приближенными в обоих случаях.
Следует заметить, что разница между точными и приближенными формулами не столь уж и велика. Поэтому для единообразия, возможно, есть смысл использовать в расчетах лишь формулы (5).
4 Метод статистического моделирования
Указанные выше недостатки приближенного метода расчета надежности легко преодолеваются с помощью метода статистического моделирования.
В самом деле, если принять за основу соотношение (4), то достаточно получить массив случайных чисел, подчиненных этому распределению, затем по этим числам с использованием промежуточных функциональных связей сформировать выборку значений оценки надежности P, по которой и определить параметры распределения этой оценки.
Таким образом, в практических расчетах основная трудность реализации этого метода заключается в генерировании случайных чисел подчиненных распределению (4). Одним из простейших способов решения этой задачи является следующий, детально описанный в книге И.С. Соболева [3]:
генерируется случайное число Rnd из массива чисел, распределенных по равновероятному закону в интервале [0, 1];
учитывая, что это число характеризует вероятность попадания случайной величины на участок [0, Rnd], решением уравнения:
qu
cm j tm-(1—t )n~mdt=Rnd, (6)
0
относительно qM находится случайное число, подчиненное распределению (4).
А теперь произведем следующие выкладки с учетом ранее сформулированных условий.
Предположим, что нам известно точное значение среднего разрушающей нагрузки Q . Тогда значение квантиля надежности:
Q—F Q —F
uP = Q = (7)
aQ VQ ■Q
будет величиной детерминированной.
Квантиль вероятности отказа при испытательных нагрузках:
.. Qu — Q Qu — Q
(5) .
И ■Q
(8)
и сама вероятность отказа:
U„ ,2
Чи
i qu _ _
= . j e 2 dt ,
42 j
тоже величины детерминированные.
Совместное решение уравнений (7) и (8) дает величину квантиля надежности: .. _Vu —1 — yQ ■ Uu
Vu -VQ
и оценку надежности:
Up
P = -2 J e 2 dt ,
42 }
(9)
(10)
a
как величин детерминированных.
Таким образом, величины qM и P оказываются связанными между собой цепочкой функциональных преобразований в детерминированном виде. Иными словами, любому конкретному значению вероятности отказа qи ставится в соответствие конкретное значение оценки надежности P.
А если в качестве qи использовать случайную величину, подчиненную распределению (4), способ генерирования которой был изложен выше, можно сформировать выборку значений величины P, по которой рассчитать истинные значения параметров распределения оценки надежностиP, a и P9 .
Таким образом, в целом расчет надежности методом статистического моделирования сводится к последовательному выполнению следующих операций:
генерируется случайное число Rnd, распределенное по равновероятному закону в интервале [0,
1];
решением интегрального уравнения (6) находится случайное значение qи вероятности отказа при испытательных нагрузках, подчиненное распределению (4);
находится квантиль вероятности отказа u , как значение обратной функции нормального рас-
пределения от аргумента q^
по формуле (9) определяется квантиль надежности; определяется оценка надежности P по формуле (10); определяются параметры распределения оценки надежности:
- §р
P=~м~
Е ( р — P )2
N —1
где N - количество реализаций; значение Ро,9 определяется численно.
Приведенный алгоритм хорошо поддается программированию.
N
a =
p
2
5 Апробирование разработанного метода
Описанный метод расчета надежности был всесторонне апробирован для весьма широкого диапазо-
на изменения исходных данных. Результаты расчетов представлены в таблице 1. Таблица 1- результаты проверочных расчетов
метод параметры Ли = 1.1 yQ = 03 n = 2 m = 0 Ли = 1.1 yQ = °.3 n = 1 m = 0 Ли = 1.2 yQ = 01 n = 3 m = 1 Ли = 1.38 yQ = а3 n = 2 m = 0 Ли = 1.1 vQ = 0.072 n = 2 m = 0 Ли = 1.38 vQ = 0.097 n = 10.6 m = 0 Ли = 1.45 Vq = 0.166 n = 7 m = 0
приближенный по формулам (1)-(3) P 0.76671 0.71129 0.94470 0.86817 0.99986 0.99959 0.98824
ар 0.13474 0.16147 0.05489 0.07495 0.00020 0.00046 0.000928
P0.9 0.59404 0.50436 0.87435 0.77211 0.99960 0.99900 0.97635
статисти- ческое моделиро вание P 0.81052 0.74075 0.95672 0.91043 0.99999 0.99998 0.99603
Ор 0.15693 0.19984 0.04624 0.08183 0.00022 0.00022 0.005604
P0.9 0.58565 0.44540 0.89962 0.80148 0.99991 0.99976 0.98993
Me 0.85214 0.78618 0.97193 0.93407 1(0.955) 0.99996 0.99757
Первые четыре примера из включенных в таблицу являются искусственными и предназначенными для демонстрации возможностей разработанной программы. Последние три взяты из расчетной практики автора.
Первые два примера показывают, как реагирует программа на изменение числа опытов в безотказной серии. Сравнение результатов показывает, что программа адекватно реагирует на изменение условий расчета.
Четвертый пример показывает, как реагирует программа на изменение коэффициента вариации Уд. Сравнение производится с примером 5, взятым из конкретных расчетов и показывает, как резко повышается надежность при уменьшении Уд примерно в четыре раза.
Особо следует остановиться на шестом примере, где количество опытов задано нецелым числом (такой вариант возможен, если ставится задача учесть всю информацию, полученную в серии опытов при различных испытательных коэффициентах запаса). Чтобы избежать сбоев в работе программы в этом случае факториалы в алгоритме расчета задавались через Г - функцию по типу:
х! = Г (x+1),
тогда х может представляться и нецелым числом.
Заключение
Разработанный метод расчета прочностной надежности конструкции для плана испытаний с запасом основанный на методе статистического моделирования хорошо поддается программированию и при ограниченных статистических данных теоретически, при большом количестве реализаций случайной величины, дает возможность избежать ошибок обусловленных линеаризацией.
ЛИТЕРАТУРА
1. Приближенный метод оценки показателей надежности элементов по выборкам малых объемов. Н.А. Билык, В.А. Харин, Ю.В. Хомутинин. Бюллетень технической информации. Выпуск 3(86) Москва 197 6.
2. Об учете предварительной информации при оценке надежности сложных систем. В.И. Лукьящен-ко, А.Н. Терпиловский В сборнике «О надежности сложных технических систем». Изд. «Советское радио» Москва 1966
3. Численные методы Монте-Карло. И.С. Соболь. Издательство «Наука», Москва 1973г. 312с.
3
