CC BY
46
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Zhornik V.A.,ProkopenkoYu.A, Rybinskaya A.A.,Savochka P.A. Ring-shaped crack propagation in a cylinder under nonsteady cooling // HPSM 2006. High Performance Structures and Materials. WIT Press, Southampton, Boston, pp. 521-529, 2006.
2. Zhornik A.I., Kartashov E.M. Dynamic problem of elasticity theory for a space with a moving semi-infinite crack // International Applied Mechanics. USA, New-York, 1993, June -pp.825-831, 1993.
УДК 681.51.01
ЕЛ. Целигорова
МЕТОДИКА ПРИМЕНЕНИЯ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ РОБАСТНОЙ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ
СИСТЕМ
Введение. Исследование робастной устойчивости нелинейных дискретных систем является сложным многоэтапным процессом, начинающимся с определения структуры системы, значений её численных коэффициентов, перехода от р-передаточной функции к w-пepeдaтoчнoй функции, выбора соответствующего критерия абсолютной устойчивости, преобразования этого критерия к соответствующему полиномиальному виду, с проверкой полученного полинома на строгую положительность построением корневых траекторий.
1. Вид передаточной функции, после её w-пpeoбpaзoвaния. В дан ной работе не будем рассматривать переход от W(p) к W(w) передаточной функции, так как с этим переходом можно ознакомиться в работе [1]. Кроме того в этой работе предложена методика получения интервальных коэффициентов передаточной функции W(w).
Пусть получена передаточная функция с коэффициентами следующего вида:
'5 '4 ' 3 '2 ' '
, ч ап№ + а-м + а2№ + а2№ + а4№ +
& (*0 = ^~--------1—.----^^---------------г4--5- , (1)
Ъ0 + Ъ2 + Ъ3 + Ь4 № + Ъ5
где а'. = а1 + Да.; Ъ] = Ъ1 + ДЬ.; ] = 0 + 5.
2. Разложение передаточной функции на действительную и мнимую . , -
П
П-]
Z aw
W(w) - г-0
n
Z bW
i-0
после замены w — jV можно представить в следующем виде:
P(V) + jQ(v)
W (w) — ■
M (v)
где Р(у), М(V) - полиномы четных степеней V; Q(v) - полином нечетной степени V, без свободного члена.
Так (1) можно представить в виде: Ж (м>) =
]аV + а1У — ]а2У — а3У + ]а4У + а5
]Ъ0у5 + ЪУ — ]ЬУ — Ъъу2 + ]Ь\у + Ъ5 где
РРу) =а0 ¿У°+(а0 Ъ0 + аЪ — а0 Ъ2 — а2Ь0У +(а2 Ъ2 —а1Ъ3 —а3Ъ1 + а0 Ъ4 + а4Ъ0)у6 + +(а3 Ъ3 + а2Ъ4 —аЪ>5 —а5 ¿1 + а4Ъ2)И +(а4Ъ4 —а3 Ъ5 —а5 Ь3У + а5 Ь5;
Q[y) =(оф1 —а1Ъ0)у> +(сф2 —сЪ +Оф0 —афУ +(аЪ'5 —аф4 +0ф3 +аф2 +аЪ +а5 Ъ0)v5 + +(сЪ4 —а4Ь3 — аф2 —а2Ь^)у’ +(а4Ъ.5 —аЪ>4)у;
м(у)=+ъ — иьь^у+ъ—2ЪЬ3+2ЪЪу+ъ—2Ъ4Ъ2+ыу+
+Ъ—2ЪЪУ+
3. Виды критериев абсолютной устойчивости нелинейных дискретных . [2] -
нейных дискретных систем для различных видов нелинейных элементов и линейных импульсных частей, описываемые следующими выражениями
ЯеЖ(V) +1 > 0 Уе (0; ~), (2)
к
Яе Ж+—^> 0 Vе (0;(3)
1 + гЖ (]У) к — г
Яе(1 + q^jV)W(jy) +1 > 0 Уе (0;~), (4)
1 + }У к
(1 + (]у)
Яе----^---------+_^>0, Уе (0;~), (5)
1 + гЖ (]у) к — г
где V = tg(оТ0 /2) - относительная псевдочастота; Т0 - период дискретности;
О - частота; к и г - величины характеризующие сектор, в котором должны находиться характеристики нелинейного элемента; q - параметр В.М. Попова.
Выбирая из (2) - (5) требуемый критерий, можно осуществить проверку абсолютной устойчивости исследуемой системы.
Пусть в качестве иллюстрации будет выбран критерий абсолютной устойчи-(2). (2) -, :
^^1 + 1 =М(У) + кР(у) = 0. (6)
М(у) к
2
Заменяя V = X, получим следующий полином:
Ъ02Х +(¿1 —2ЬЪ)Х +(¿2—2ЬЪ +2ЬЬ4)Х+(¿3 —2ЪЬ +2ЪЬ)Х +(¿4 —2ЪЬ^х+Ь^+
+ЦаЪУ + (а0Ь0 + аЬ —а0Ь2 —аЪ)х4 + (аф2 —с\Ъ3 — аЬ + а0Ь4 + а4Ь0)Х + +(а3Ь3 + а2Ъ4 — сЬ5 — аЪ + а4Ь2)Х +(а4Ь4 — 44 —а^Ь^х+а5Ь5] = 0;
Коэффициенты этого полинома имеют интервальные значения.
4. Анализ робастной абсолютной устойчивости одномерных дискретных систем. Исследовать робастную абсолютну ю устойчивость одномерной нелинейной дискретной системы, имеющую передаточную функцию с интервальными коэффициентами можно путем применения следующего критерия абсолютной устойчивости [3]:
ReW(ja>) + ->0; v WеГк , (8)
k
где Гк - множество передаточных функций, составленных из полиномов Хари.
(8) -ции с интервальными коэффициентами 16 передаточных функций, полиномы числителей и знаменателей которых являются полиномами Харитонова [4].
. ,
(1) 16
на экран дисплея корневых траекторий, то это позволит оценить робастную абсолютную устойчивость исследуемой одномерной нелинейной дискретной системы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Целигорова ЕМ. Методика получения коэффициентов передаточных функций интервальных систем // Труды Международной научно-технических конференций (AIS’08) и «Интеллектуальные САПР» (CAD 2008). - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008, т. 2.
2. Целигоров НА., Целигорова ЕМ. Применение модифицированного метода корневого годографа для исследования робастной абсолютной устойчивости многомерных систем управления // Идентификация систем и задачи управления. Труды VI Международной конференции SICPRO '07. 29 января - 1 февраля 2007 г. ИПУ РАН. CD, №13034.
3. Тянь Юйпин. Анализ и синтез робастных динамических систем со структурными линей-
//
ученой степени доктора технических наук. - ТРТУ, 1996.
4. . . // -
ханика. - 1995, №11.
