Методика построения функции распределения прибыли торгового предприятия от продажи капиталоемких товаров Текст научной статьи по специальности «Математика»

98 ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ

УДК 519.8:338.3

Н. К. ЗАЙНАШЕВ, Г. З. МУХАМЕДЬЯНОВА

МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРИБЫЛИ ТОРГОВОГО ПРЕДПРИЯТИЯ ОТ ПРОДАЖИ КАПИТАЛОЕМКИХ ТОВАРОВ

Предложена методика построения функции распределения прибыли от продаж, основанная на малоизвестном методе объективной тендениции. Этот метод адаптирован применительно к торговле капиталоемкими товарами и доведен до компьютерного решения задачи с использованием известных пакетов прикладных программ. Функция распределения; прибыть; капиталоемкие товары; метод объективной тенденции; статистика

ВВЕДЕНИЕ

Прибыль от продаж - случайная величина, поэтому меры ее оценки имеют статистическое содержание и должны основываться на вероятностных моделях. Известно, что статистика, по которой строится функция распределения случайной величины, должна быть однородной. Исследования показывают, что однородность условий торговли капиталоемкими товарами сохраняется в течение лишь 6-8 месяцев.

Классические методы обработки статистики, разработанные применительно к массовым измерениям, для этого случая неприемлемы, здесь рассматривается случай, когда статистика настолько мала, что известными методами уловить определенную закономерность в значениях прибыли от продаж не удается.

1. МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИИ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРИБЫЛИ ОТ ПРОДАЖ

В случаях скудности статистических данных, для построения функции распределения случайной величины предлагается использовать так называемый метод объективной тенденции [1, с. 46]. Здесь излагается методика, основанная на этом методе, адаптированная к статистике продаж капиталоемких товаров.

Пусть известны независимые размеры прибыли от продаж X, характеризирующие деятельность организации розничной торговли. Обозначим через х/ результат торговли в /-ом месяце. На основе объемов полученной предприятием прибыли составлен ряд значений, представляющих собой совокупность

п чисел {,х2,...,х/,...,Хп;£} - результатов месячных продаж в условиях £ . Имеется лишь малое число месяцев торговой деятельности.

Определить функцию распределения Р (х) с приемлемой достоверностью можно лишь при достаточно большом количестве п данных об объемах полученной прибыли. Тем не менее, можно выявить закономерность в случайных х/ , которая бы наиболее правдоподобно характеризовала имеющиеся ре-

альные объемы прибыли при малом числе месяцев торговли.

Задача ставится следующим образом: известны объемы прибыли предприятия, полученной в условиях £

(х {2 ^.^ х,.. хп ;£}; с1)

известны пределы [а, Ь\ возможных значений X такие, что вер {х е [а,Ь\ = 1. Требуется оценить

ту функцию распределения Р (х), к которой результаты (1) имеют объективную тенденцию.

Принцип и метод решения данной задачи состоят в следующем. Разобьем отрезок [а, Ь\ на / элементарных интервалов Ах = [а — Ь\//. Необходимо определить наиболее правдоподобную оценку вероятностей АFj (/=1, 2,...,/) попадания X в/-й интервал Ах.

Далее, по значениям АР/ можно определить искомую Р (х). При очень малом числе данных значения искомых вероятностей АР/ не определенны в

том смысле, что нет объективных оснований присваивать им конкретные значения. Известно лишь, что по смыслу

2 АР/ = 1

/=1

(2)

В то же время месячная прибыль от продаж -объективная реальность, и если искомые значения

АР/ согласовать с (1), то можно выявить, к какой

закономерности имеют тенденцию конкретные величины прибыли.

Решение задачи, базирующееся на максимизации

неопределенности вероятностей АР/ с соблюдением ограничений, накладываемых на значения объемов прибыли, даст возможность установить объективную тенденцию результатов (1) к определенной закономерности. В качестве меры неопределенности может быть принята энтропия совокупности значений АР [1, с. 45]

£ = -к 2 1п

/ -< J J

к = соті.

Н. К. Зайнашев, Г. З. Мухамедьянова • Методика построения функции распределения прибыли. В качестве способа согласования искомых веро- где

ятностей

АР,

с результатами имеющегося опыта

можно использовать соотношение а(х) с эмпирическими моментами, вычисляемыми по опытным данным (1).

При этом обеспечивается непредвзятость к функции Р (х) максимизацией ее энтропии.

Максимизируя энтропию системы значений АР/, делаем для случайной величины доступным любой интервал Ах с равной вероятностью

Ах/(Ь — а), то есть возможным значениям придаем максимум неопределенности с соблюдением условий (2), и этим самым обеспечиваем в отношении их наибольшую непредвзятость.

Однако реальные значения несколько снижают неопределенность: в изолированной системе как бы имеются определенные значения, которые заняли определенные интервалы Ах. Поэтому неопределенность необходимо максимизировать при ограничениях, накладываемых имеющимся случайным распределением реальных значений х.

Таким образом, решение задачи отыскания

Р (х), объективно отражающей закономерность при наличии очень малого числа значений х , может быть получено на основе принципа объективной тенденции: «Объективной оценкой распределения вероятностей случайной величины при очень малом числе статистических данных является та, которая, согласуясь с опытными данными, имеет максимальную энтропию».

Методология решения задачи заключается в нахождении максимума энтропии искомого распределения вероятностей при условии, что это распределение согласуется с имеющимися реальными значениями прибыли.

Алгоритм решения задачи следующий.

Отрезок [а, Ь\ разбивается на интервалы Ах = [Ь — а\/ /, где а - минимальное, Ь -максимальное значения полученной прибыли за рассматриваемый период торговли. По исходным данным (1) определяем статистические начальные моменты:

7=1

а„ = —

г = 1,2,..., т

(4)

п

Требуется, чтобы вычисленные по формуле (4) моменты равнялись соответствующим начальным

моментам искомой функции Р (х):

й* = Г (а + Ах)г АР ;

Г /1 2 ' , (5)

г = 1,2,..., да

АР/ = Р (а + /Ах) — Р (а + (/ — 1)Ах) (6)

Кроме того, по смыслу выполняется равенство (2). И, наконец, требуем, чтобы энтропия (3) была максимальна.

Формально решаем задачу условной оптимизации в следующей постановке: необходимо определить значения АР / , обеспечивающие максимум энтропии (3) при ограничениях (2) и (5).

Далее, определив АР/ , можно вычислить значения Р (а + /Ах), используя формулу (6) при Р(а) = 0,/ = 1,2,...,/, и затем получить искомую оценку функции Р (х).

Значения АР/ могут быть найдены методом неопределенных множителей Лагранжа. В последнем случае составляется система уравнений

Г аР/ — 1 = о

/=1

ГГ (а + Ах)г АР/ — ~ = 0

/=1 2

| ~к2щ 1пАР/+^2^-1+2я

г = 1,2,...,т ; і = 1,2,...,I.

Решение этой системы имеет вид:

2а+2/^~ Ах | АР/ -а г

АР, = е

Л)-1+2Л(а+2—Ах У

(7)

Множители Лагранжа определяются из системы уравнений

2 е

/=1

л-1+2 Лг (а+—/—Ах)Г г=1

= 1,

/=1

21 а + 2/—1 Ах | ер=1

2

2яр I а+22_1лх

(8)

= а

г = 1,2,...,да .

Таков метод оценки статистической закономерности случайной величины при малом числе месяцев торговой деятельности.

Из (7) видно, что приращение искомой функции на любом интервале / зависит от количества начальных моментов да , вычисляемых на основании результатов опыта. Возникает вопрос, каким значением да следует ограничиться? Чем больше да , тем

точнее вычисляется

АР,.. В

то же время из теории

математической статистики известно, что ошибка в оценке моментов по ограниченным статистическим данным с ростом их порядка увеличивается. В нашем случае, чем больше да , тем точнее будет определяться вид функции Р (х), но тем ниже точность

о

г=1

*

100

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ

определения параметров функции. Рекомендуемым значением да следует считать 2-3. Мы приняли да = 2 . В этом случае система (8) примет вид:

і Л-1+ЛІ а+—/—Лх|+Я| а+—/—Ах

2<

/=1

і

=1,

2 1| а + ——-Ах |е

еЛ -1

/=1

2еЯ-1| а + /=1

2 / -1

2/-1А

= а1

= а2

Преобразуем эти уравнения:

,(Я-1)

2

= 1

і

е"” -'21 а +

/=1 і

,(л -1)2

е(Л>-1)2| а +

/=1

/=1

Л,

2 '

2/ -1 2

( Л+Я )| а+—/—Ах

2 а+Я)[ а+2/-1Ах |

Ах | е 1 2 1 =а*

Обозначим Я + Я = Я, а + 2 1 Ах = у/ 1 і

а ]2у/-еяу/=е1"0

а

1 /=1 і

а

К ]Ту2 еЯу/ = е1-Л)

2 /=1

Отсюда

і

2еЯу/ = 0

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

2 =1

Последнее уравнение позволяет найти значение

Л + Л2 = я .

Перепишем уравнение (9):

= е

2 еЯу/ +ЛуІ /=1

Далее - из (12) и (15) получаем:

1 _ Яу/ _ (Я+Я2 )у/

(15)

—Г у?у’= Г е'" (16)

а /=1 /=1

Из соотношений (16) и (13) определяются Л0 и

Л2. Величина X = X — Х2.

Такова схема определения неопределенных множителей Лагранжа Х0, X, Х2. Для нахождения конкретных значений можно использовать пакеты МаШСа^ МаШЬаЪ, Мар1е.

Для вычисления искомых АР необходимо использовать соотношение (7).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изложенная методика позволяет построить функцию распределения месячной прибыли по результатам торговой деятельности в течение небольшой продолжительности времени. Результаты ее применения актуальны при проведении иследований и решении практических задач связанных с обработкой статистических данных от продаж товаров, однородность условий торговли которыми сохраняется в течение лишь небольшого числа месяцев, то есть в случаях, когда имеющаяся статистика по продажам мала.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. ЛДНТП. Современные методы статистики оценки качества промышленных изделий по результатам малого числа испытаний : материалы семинара. Л. : ЛДНТП, 1982.

2

2