CC BY
27
Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видаеться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Золота О.А. Memodu4Hi oco6nueocmi навчання геометрш Лобачевського та Р/'мана // Ф'!зико-математична осв'та: науковий журнал. - 2017. - Випуск 2(12). - С. 75-79.
Zolota Olga. Methodological Features Of Teaching Lobachevski And Riemann Geometries // Physical and Mathematical Education : scientific journal. - 2017. - Issue 2(12). - Р. 75-79.
УДК 514.13 (07)
О.А. Золота
Дрогобицький державний педагог'нний ушверситет '¡мен'! 1вана Франка, УкраУна
o.zolota@gmail.com
МЕТОДИЧН1 ОСОБЛИВОСТ1 НАВЧАННЯ ГЕОМЕТР1Й ЛОБАЧЕВСЬКОГО ТА Р1МАНА
Анота^я. У статт1 розглянуто методичн особливост1 навчання студент'в математичних спец1альностей педагогЧних вузв г'1пербол'1чно'У геометрп' Лобачевського та ел'ттично'У геометрп' Р>мана, як вивчаються у курсi «ПроективноУ геометрп та основ геометрп» з метою глибшого розум>ння майбутшми вчителями структури геометричноУ науки в цлому та незалежностi лог'чно'У побудови геометрп в'>д геометричноУ наочност'1. Наведено основн поняття, в'>дношення та модел> цих геометрiй. Проанал'зовано деяш ключов факти неевкл>дових геометрiй та подано пор>вняльну таблицю основних тверджень, що дае змогу встановити спльнi та в'дмЫн'! риси цих геометрiй, i, адпов'дно, геометрп Евкл>да. Видлено методи пор>вняння та аналогп як найбльш ефективнi методи навчання геометрiй Лобачевського та Р>мана. Запропоновано використання iнформацiйних технологiй з метою демонстрацп р'вномаштних моделей неевкл>дових геометрiй та пор>вняння найпростiших понять, ствв'дношень та тверджень геометрiй Евкл'да, Лобачевського та Р>мана.
Ключовi слова: геометрп Лобачевського та Р>мана, модел> неевкл>дових геометрiй, евкл'дова геометр'1я, пор'вняльна таблиця.
Постановка проблеми. ЗмГст неевклщових геометрш полягае в тому, що в геометрп можна вщмовитися вщ V постулату. Наприклад, замшити його протилежним за змГстом. Не звертаючи уваги на очевидну неправильшсть такого припущення, з нього можна виводити наслщки, доводити теореми, не отримуючи лопчноТ суперечносп. При цьому багато теорем цГеТ геометрп ще у бшьшш мiрi, шж вихщне припущення, виглядають з наочноТ точки зору невiрними. Однак лопчний виклад залишаеться досконалим.
Ця обставина показуе незалежшсть лопчноТ побудови геометрп вщ геометричноТ наочносл. КрГм того, природно виникае запитання: яка геометрiя справедлива у матерiальному свт? Це питання приводить до диференщацп геометрп як фiзики та геометрп як математики. Доки кнувала лише одна евклщова геометрiя, то вважали, що в природi виконуеться саме вона. Якби цю точку не подолали, то була б неможливою поява теорГТ вщносносп.
Якщо геометрш розглядати як вчення про протяжшсть реального свГту, то математика може запропонувати для цього рiзноманiтнi схеми [1].
Знання лише евклщовоТ геометрп достатньо обмежуе погляд на геометрш майбутнього вчителя математики. Володшня основами пперболГчноТ геометрп Лобачевського та елттичноТ геометрп Рiмана дасть можливiсть майбутшм вчителям краще зрозум^и структуру геометричноТ науки в цтому та дозволить добре орiентуватися у рiзноманiтному геометричному матерiалi.
Аналiз актуальних дослщжень. На початку Х1Х столбя математика змогла дати вщповщь на запитання про те, чи можливо побудувати лопчно послщовну, без внутршшх суперечностей, систему геометрп, яка б не використовувала аксюми про паралелi i допускала б кнування двох рiзних граничних прямих, тобто двох паралелей до заданоТ прямоТ. Гаус перший вiдкрив iснування неевклщовоТ геометрп. Однак першГ опублтоваш роботи написали росшський геометр Лобачевський (1829) та угорський математик БояТ (1832). Вони обое знайшли Ц результати незалежно один вщ одного.
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
Суттево новий напрям дав цим питанням Рiмaн на початку другоТ половини Х1Х столбя. Рiмaн вважае простiр лише необмеженим, а не нескшченним. Тодi пряма стае замкненою лЫею, на якiй точки розташоваш так, як на колк У геометри Рiмана взагалi не юнуе паралельних прямих до заданоТ прямот [1].
У роботi Н.В. ШаповаловоТ, Л.Л. Панченко [5] проаналiзовано особливостi навчання пперболiчноТ геометри в процес вивчення дисциплiни «Основи геометри». У стaттi запропоновано використання порiвняльного aнaлiзу фaктiв геометри Лобачевського та Евклща як одного з методiв навчання. Також у роботах Н.В. ШаповаловоТ та Л.Л. Панченко розглядаються основы методичш аспекти навчання елттичноТ, сферичноТ геометрiй студентiв математичних спещальностей педaгогiчних вузiв.
Дослiдженням неевклiдових геометрш займалися Ф. Клейн, Д. Пльберт, Е. Бельтрaмi, А. Д. Александров, Н. В. eфiмов, В. Н. Боровик, В. П. Яковець та шшк
У данш стaттi розглянуто методичш особливост навчання неевклiдових геометрш Лобачевського та Рiмaнa та подано порiвняльну таблицю деяких фaктiв цих геометрш.
Метою статт е розкриття етaпiв та методичних особливостей навчання геометрш Лобачевського та Рiмaнa пщ час вивчення студентами курсу «Проективна геометрiя та основи геометри». У статт подаеться порiвняльнa таблиця, у якш наводиться лише невелика частина фамчв неевклiдових геометрiй, однак уже завдяки Тм можна сформувати у студенев почaтковi уявлення про сшльш та вiдмiннi риси геометрiй Лобачевського та Рiмaнa, i, вiдповiдно, геометри Евклща.
Виклад основного матерiалу. Знайомство студентiв педaгогiчних вузiв iз геометрiями Лобачевського та Рiмaнa вiдбувaеться шд час вивчення курсу «Проективна геометрiя та основи геометри». Деякi факти цих геометрш видаються студентам надзвичайно дивними та суперечать Тхньому наочному уявленню. Однак неевклiдовi геометри теж можуть знайти практичне застосування.
Вивчення деяких фамчв геометри Лобачевського розпочинаеться з вивчення системи аксюм, яка вiдрiзняеться вщ системи aксiом Евклща лише aксiомою про пaрaлелi. Осктьки як в геометри Евклiдa, так i в геометри Лобачевського основы поняття та вiдношення е однаковими, то однаковими будуть i теореми, як е нaслiдкaми спiльних аксюм. Ц геометри вiдрiзнятимуться тими теоремами, як доводяться на основi аксюм паралельносп.
За своТм змiстом аксюма Лобачевського е запереченням aксiоми паралельносп Евклiдa.
Акаома Лобачевського. Через точку, яка не лежить на прямш, можна провести бшьше, нiж одну пряму, яка не перетинае заданоТ.
Площину, на якш виконуеться аксюма Лобачевського, називають площиною Лобачевського.
Безпосередньо з аксюми Лобачевського випливае, що через точку, яка не лежить на прямш, проходить безлiч прямих, ям не перетинають заданоТ прямоТ.
Для глибшого розумiння студентам варто навести хоча б одну з моделей, на якш виконуеться цей постулат Лобачевського. Для прикладу, модель Клейна.
Нехай задано круг, точки на межi якого виколеш. Нехай задано пряму 1, через точку С проведемо пряму 2 (рис. 1). Прямi 1 i 2 - перетинаються. Прямi 1 i 3 - не перетинаються. Вони називаються розб'шними. Прямi п i т - грaничнi. Вони у геометрГТ Лобачевського називаються прямими, паралельними до прямоТ 1. Отже, в однш пaрi вертикальних кутiв (ям мiстять пряму 3), утворених прямими п i т, е безлiч прямих, що не перетинають пряму 1 [6].
Рис. 1.
Також в евклщовому просторi е така поверхня як псевдосфера, внутршня геометрiя якоТ спiвпaдaе з геометрiею на площиш Лобачевського.
Перед втановленням сшльних та вiдмiнних рис гiперболiчноТ та елттичноТ геометрiй розглянемо основнi поняття i вiдношення у геометрГТ Рiмaнa.
Розглянемо довiльну сферу 5 евклщового простору. Кожну пару дiaметрaльно протилежних точок ^еТ сфери будемо називати «точкою». Тодi неевклiдовою площиною Рiмaнa називатимемо множину пар дiaметрaльно протилежних точок. Кожне велике коло сфери 5 будемо називати «прямою». Очевидно, що у геометри Рiмaнa будь-ям двi прямi площини перетинаються.
Для того, щоб охарактеризувати взаемне розмЦення точок на елiптичнiй прямш, яка е замкненою, вводиться поняття «роздшеносл двох пар точок». Нехай задано чотири pi3rn точки A, B, C i D (рис. 2). Точки A i B роздшяють пряму на 2 рiзнi частини. Кажуть, що пара точок A, B роздтяе пару точок C, D, якщо точки C i D належать рiзним частинам i пара A, B не роздтяе C, D, якщо C i D належать однш частит [2].
Рис. 2.
Далi студентам наводиться аксюматика елттичноУ геометри на площиш. Система аксюм геометри Рiмана складаеться з чотирьох груп: 1) аксюми належносл; 2) аксiоми порядку; 3) аксюми конгруентностi; 4) аксюма неперервност Дедекiнда.
Деякi факти неевклщових геометрiй подано у порiвняльнiй таблиц 1 [2-4]. Крiм того, шформацшш технологи дають можливiсть наочноУ демонстраци певних тверджень. Очевидно, що наведет факти не дають змоги описати усю «красу» та повноту геометрш Лобачевського та Рiмана.
Таблиця 1
A
B
№ з/п Критери поршняння Геометрiя Лобачевського Геометрiя Рiмана
1. Модель плашметри Псевдосфера Сфера
2. Кривина Стала вiд'eмна кривина Стала додатна кривина
3. РозмЦення прямих на площинi Три випадки: 1) пря1^ перетинаються; 2) прямi паралельнi; 3) пря1^ розбiжнi. Один випадок: 1) прямi перетинаються.
4. Довжина прямо'1 Нескшченна Скiнченна - 1 = жт .
5. Означення паралельних прямих Пряма C 'C , що проходить через т. A , називаеться паралельною прямш B 'B у напрямку B ' B, якщо по-перше, пряма C ' C не перетинае пряму B'B, по-друге, C 'C е межовою у пучку прямих з центром в точц A , тобто кожен промшь AE, що проходить у середин кута CAD, де D - будь-яка точка прямоУ B'B, перетинае промшь DB . Немае паралельних прямих
6. Сума внутрiшнiх кутiв трикутника Змшна i завжди менша 180°. Змшна i завжди бiльша 180.
7. Зовшшнш кут трикутника Зовшшнш кут трикутника бшьший суми внутршшх, не сумiжних з ним. Зовнiшнiй кут трикутника або менший, або дорiвнюe, або бшьший внутршнього кута, не сумiжного з ним.
8. Ознаки рiвностi трикутникiв Мае мкце четверта ознака рiвностi трикутникiв: якщо кути одного трикутника вщповщно дорiвнюють кутам другого трикутника, то там трикутники рiвнi. Мае мiсце четверта ознака рiвностi трикутникiв: якщо кути одного трикутника вщповщно дорiвнюють кутам другого трикутника, то там трикутники рiвнi
9. Коло,описане навколо трикутника, та коло, вписане у трикутник 1снують трикутники, навколо яких не можна описати коло, i трикутники, у ям не можна вписати коло. Навколо довшьного трикутника можна описати коло, та у довшьний трикутник можна вписати коло
№ з/п Критерп пор1вняння Геометрю Лобачевського Геометрю Р1мана
10. Подiбнi трикутники У геометри Лобачевського не ¡снуе под1бних трикутнишв. У геометри Рiмана не ¡снуе под1бних трикутнимв
11. Сума кулв чотирикутника Сума KyTiB опуклого чотирикутника менша 360 Сума кyтiв опуклого чотирикутника бшьша 360°
12. Формули для знаходження площ1 трикутника Площа трикутника визначаеться через мiри його кулв: S = 4ch (n-a-ß-r), де a,ß,r - внутршш кути трикутника, 2ce = -2ich, 2ce - радiyс евклщово! сфери. Площа трикутника визначаеться через мiри його кyтiв: S = 4c2 (a + ß + r-n), де a,ß,r - внутршш кути трикутника, 2ce - радiyс евклщово! сфери
13. Теорема косинуств , A , B , C c h-= c h-c h--+ 2ch 2ch 2ch , B . C + s h — s h-cosa, 2ch 2ch де А, В, С - сторони трикутника, 2ce = -2ich, , ex - e 2ce - радiyс евклiдовоl сфери;shx = ^ . ex + e ■ chx =-. ' 2 ' a - внутршнш кут трикутника. A B C cos— = cos — cos--Ъ 2ce 2ce 2ce . B . C + sin—sin — cosa, 2ce 2ce де А, В, С - сторони трикутника, 2ce - радiyс евклщово! сфери; a - внутршнш кут трикутника.
14. Теорема Пфагора И) и A UB ,C c h-= c h-c h- 2ch 2ch 2ch A B C cos— = cos — cos— 2ce 2ce 2ce
15. Теорема синуств sh: sh= sina: sin ß 2ch 2ch . .A.B. sin—: sin— = sina: sinß 2c 2c e e
Висновки. При навчанн студенев основних фактiв неевклiдових геометрш Лобачевського та PiMaHa для уникнення вщчуття «незвичносп», перш за все, необхщно навести студентам кoнкpeтнi приклади моделей, на яких виконуються цi геометри. Серед методичних особливостей слiд видiлити застосування мeтoдiв пopiвняння i аналоги, використання iнфopмaцiйних тeхнoлoгiй навчання, наведення мiжпpeдмeтних зв'язкiв нeeвклiдoвих гeoмeтpiй з фiзикoю та aстpoнoмieю.
Список використаних джерел
1. Гильберт Д. Основания геометрии / Д. Гильберт. - М.-Л.: ОГИЗ, 1948. - 491 с.
2. Ефимов Н. В. Высшая геометрия / Н. В. Ефимов. - М.: Наука, 1971. - 576 с.
3. Клейн Ф. Неевклидова геометрия / Ф. Клейн. - М.-Л.: ОНТИ, 1936. - 355 с.
4. Кутузов Б. В. Геометрия Лобачевского и элементы оснований геометрий / Б. В. Кутузов. - М.: УЧПЕДГИЗ , 1950. - 127 с.
5. Шаповалова Н. В. Особливост навчання гiпepбoлiчнoí геометри для шдвищення навчання компетентности майбутшх вчитeлiв математики i фiзики / Н. В. Шаповалова, Л. Л. Панченко // Фiзикo-мaтeмaтичнa осв^а. Науковий журнал. - Суми : Вид-во СумДПУ iм. А. С. Макаренка, 2015. - № 3 (6). - С. 109-118.
6. Щербаков Р. Н. От проективной геометрии - к неевклидовой / Р. Н. Щербаков, Л. Ф. Пичурин. - М.: Просвещение, 1979. - 158 с.
References
1. Hilbert D. Bases of geometry / D. Hilbert. - M.-L.: OGIZ, 1948. - 491 s. (in Russian)
2. Efymov N. Higher Geometry / N. Efymov. - M.: Nauka, 1971. - 576 s. (in Russian)
3. Klein F. Non-Euclidean Geometry / F. Klein. - M.-L.: ONTY, 1936. - 355 s. (in Russian)
W3MK0-MATEMATMHHA OCBITA ($MO)
BunycK 2(12), 2017
4. Kutuzov B. V. Geometry of Lobachevski and elements of bases of geometry / B. V. Kutuzov. - M.: UCHPEDHYZ, 1950. - 127 s. (in Russian)
5. Shapovalova N. V. The peculiarities of teaching hyperbolic geometry in building up professional competence of future mathematics and physics teachers / N. V. Shapovalova, L. L. Panchenko // Fizyko-matematychna osvita. Naukovyi zhurnal. - Sumy : Vyd-vo SumDPU im. A. S. Makarenka, 2015. - # 3 (6). - S. 109-118. (in Ukrainian)
6. Shcherbakov R. N. From projective geometry - to non-Euclidean / Shcherbakov R. N., Pychuryn L. F. - M.: Education, 1979. - 158 p. (in Russian)
METHODOLOGICAL FEATURES OF TEACHING LOBACHEVSKI AND RIEMANN GEOMETRIES
Olga Zolota
Ivan Franko Drohobych State Pedagogical University, Ukraine Abstract. The article considers methodical features of training of students of mathematical specialties pedagogical universities of the hyperbolic geometry of Lobachevsky and elliptic geometry of Riemann, which are studied in the course "Projective geometry and foundations of geometry" with the goal of better understanding prospective teachers ' geometric structure of science in General and the independence of the logical construction of geometry from the geometric clarity. Given the basic concepts, relationships and models of these geometries. Analyzed some key facts of non-Euclidean geometries and presents a comparative table of basic claims, which allows to establish common and distinctive features of these geometries, and, therefore, Euclid's geometry. Selected methods of comparison and analogy as the most effective teaching methods geometries of Lobachevsky and Riemann. Proposed use of information technologies to demonstrate various models of non-Euclidean geometries and comparisons the simplest of concepts, relations and assertions of the geometries of Euclid, Lobachevsky and Riemann.
Keywords: geometries of Lobachevski and Riemann, models of non-Euclidean geometries, Euclidean geometry, comparison table.
