CC BY
21
дач в геометрии была выбрана известная задача о трех приложенных друг к другу квадратах [1, с. 98]: доказать равенство углов АСЕВ = ААС1- .
D
71
/1\
N
j/ \
/ Va 4
,'F
В
^ sin V ^
2
. V
sin—
_2
V
cos— 2
=f-
VV
cos— • cos— 22
2tg— • cos2 —
=f d ln
V tg 2
2
2
(2) Тригонометрическая единица и формулы удвоения:
, sin2 — + cos2 —
= \-2-2 d— = \
J sin v 1 v V J 2sin— • cos— 22
V
- d cos—
V
cos— 2
d sin:
2
V
sin— 2
(3) Универсальная подстановка tgV = z:
r dx г 1 + z2 sin V 2 z 1 + z2
2dz r dz z
Е
X 1
X 1
В беседе со студентами было найдено 4 способа решения: два чисто геометрических с дополнительными построениями и использованием подобия прямоугольного треугольника СВЕ и треугольника с большим катетом CF или CG, а другие два требовали использования тригонометрии. В одном из них вводился вспомогательный угол у :
1 1 п (я ^ 1 - tgy 1 - X 1
tgy = tga = gp = tg I--у 1 = —g = —^3 = 3 2 14 ) 1 + tgy 1 + y 2
т.е. tga = tgP. Так как а и Р - острые углы, то а = Р.
Идея последнего способа - сравнение площадей треугольников ACF и CEB, вычисленных разными способами. Треугольники равновелики, т.к. у них равные основания (AF=EB) и одна и та же высота CB. Поэтому
1AC • CF • sin В =1 CE • EB • sin а, 2 2
т.е. -^л/Го • a •Ла • sin В = • a • 2a sin а, 2 2
т.е. sin Р = sin а.
Последнюю идею равенства площадей можно использовать при решении других задач, например, (1) для вычисления высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, по известным катетам; (2) для доказательства свойства биссектрисы треугольника делить сторону на отрезки, пропорциональные другим двум сторонам; (3) для доказательства постоянства суммы расстояний любой внутренней точки равностороннего треугольника до его сторон.
В математическом анализе разные приёмы интегрирования одной и той же элементарной функции легко проиллюстрировать на простейшем интеграле г dx .
sin x
(1) Формулы удвоения и «умножить - разделить»:
dx г dx г dx
(4) Домножение и числителя, и знаменателя на одну и ту же функцию sin х:
г dx г sin xdx г d cos х . sin х 1 - cos2 х cos2 х -1 Последний приём (совет Пойа - «осмотритесь вокруг») можно с успехом применить к вычислению, например, таких интегралов:
(1)
dV
(V -V V2 -1) (3) if"
(2) \(1 - cos 1 + co
x)dx + cos V
I V - b
dV'
Числитель и знаменатель подынтегральных выражений перечисленных интегралов следует умножить соответственно на функции:
(1) (х Wх2 -1)2, (2) 1 - cosх, (3) jva^x.
Хорошим упражнением на развитие поисковых способностей может быть угадывание функции двух переменных по её дифференциалу. Такую задачу приходится решать при интегрировании дифференциальных уравнений в полных дифференциалах.
Есть надежда, что применение описанного выше многообразия различных приёмов изучения математических фактов поможет поднять общую математическую культуру студентов, привлечь их к активному участию в различных формах учебной работы, заставить думать не по шаблону, отказаться от «зубрёжки», возбудить интерес к математике.
Литература
1. Балк М.Б. Организация и содержание внеклассных занятий по математике. - М., 1956.
2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.
3. ЖуковА.В. и др. Элегантная математика. - М., 2005.
4. Игнатьев ВА. и др. Сборник задач и упражнений для устных занятий по математике. - М., 1952.
5. Каганов М.И. и др. Абстракция в математике и физике.
- М., 2005.
6. Купиллари А. Математика - это просто! Доказательства.
- М., 2006.
7. Нагибин Ф.Ф. и др. Математическая шкатулка. - М., 1984.
8. Никольская И.Л. и др. Учимся рассуждать и доказывать. - М., 1989.
9. Пойа Д. Как решать задачу. - М., 1959.
10. Пойа Д. Математическое открытие. - М., 1970.
11. Тригг Ч. Задачи с изюминкой. - М., 1975.
УДК 371.124:514.11:378 ББК 22.11
МЕТОДИЧЕСКАЯ ПОДГОТОВКА СТУДЕНТОВ ПЕДВУЗА В ПРОЦЕССЕ ИЗУЧЕНИЯ КУРСА
«ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ»
Ж.А. Сарванова, ассистент кафедры методики преподавания математики Мордовского государственного педагогического института им. М.Е. Евсевьева
В статье рассматриваются методические аспекты подготовки будущего учителя в курсе «Элементарная гео-
2
\
+
f
2
метрия». Автором выделены методические умения, которые необходимо формировать у студентов при изучении этого курса. Средством формирования таких умений выступают соответствующие блоки задач.
Ключевые слова: деятельность учителя, умения учителя, элементарная геометрия, методика обучения математике.
METHODICAL PREPARATION OF STUDENTS OF PEDAGOGICAL HIGH SCHOOL DURING STUDYING A COURSE
OF «ELEMENTARY GEOMETRY»
Sarvanova Z.A.
In the article it is spoken about the methodical aspects of preparation of a teacher in the course of «Elementary geometry». The author points out methodical skills which should be formed while studying this course. The appropriate blocks of problems act as means offormation of these skills.
Keywords: teacher's activity, teacher's skills, elementary geometry, methods of instruction of mathematics.
Результатом методической подготовки студентов-математиков педвуза является готовность осуществлять методическую деятельность. Методическая деятельность студента должна адекватно отражать целостность деятельности учителя математики и включать в себя проблемы, которые учитель решает, функции, которые он выполняет, умения, необходимые для обучения школьников математике. Поэтому одной из целей обучения студентов является овладение всеми составляющими методической деятельности.
В методической деятельности выделяют компоненты, выполняющие определенные функции и обеспечивающие результативность обучения, воспитания и развития школьников. Чаще всего выделяют гностический, проектировочный, конструктивный, коммуникативный, организаторский компоненты деятельности учителя.
В работах Г.И. Саранцева подчеркивается, что со становлением методики обучения математике как самостоятельной научной области, функции учителя математики должны соответствовать функциям методической науки. Структура методической науки обусловливает ее содержание, составляемое формированием методологии науки, исследованием методической системы обучения предмету, разработкой конкретных методик, в частности, методики организации учебного процесса. В связи с этим выделяются такие аспекты деятельности учителя, как методологический, прогностический, объяснительный, описательный, систематизирующий, образовательный, эвристический, эстетический, практический, нормативный, оценочный. Каждому из аспектов методической деятельности соответствуют определенные умения учителя математики. Перечисленные функции науки ориентированы на формирование у учителя математики умений: разрабатывать методы исследования, конструировать методические системы и их внешние среды, пути, средства и формы внедрения результатов исследования в практику; выполнять методическое исследование, а именно: прогнозировать результаты, объяснять и описывать их, систематизировать полученные закономерности; организовывать учебный процесс, обучать различным способам деятельности, диагностировать владения ими, внедрять теоретические положения в прак-тику1.
Формирование составляющих методической деятельности будущего учителя математики в вузе происходит в процессе изучения теории и методики обучения математике, в период педагогической практики, а также при изучении математических дисциплин. Каковы же возможности математических курсов в осуществлении методической подготовки студентов? В частности, назовем особенности курса «Элементарная геометрия» и выделим те методические умения студентов, которые могут быть сформированы при его изучении.
Элементарная геометрия служит связующим звеном между основными математическими курсами, школьным курсом математики и теорией и методикой обучения математике. Одной из целей постановки данного курса является накопление необходимых знаний, умений и навыков, обеспечивающих уровень подготовки, достаточный для изучения математических курсов педвуза. Второе назначение данного курса связано с созданием ясной картины структурно-логических связей между основными понятиями школьного курса математики, осознанием их места в системе понятий основных математических курсов педвуза. Это необходимо и для установления межпредметных связей между элементарной и высшей математикой, что способствует более глубокому усвоению материала, позволяет соотнести математические знания с контекстом будущей профессиональной деятельности. Третья задача курса связана со спецификой обучения математике, одним из важных элементов которого является решение задач. В процессе их решения усваивается математическая теория, развиваются творческие способности обучаемых и такие качества мышления, как гибкость, критичность, самостоятельность.
Основной вид деятельности студентов на практических занятиях по элементарной геометрии - это решение геометрических задач. Поэтому, прежде всего, преподаватели основной акцент должны делать на методику работы с задачей и обучение студентов этой методике с целью использования ее в дальнейшей своей работе с учащимися. Методика обучения решению задач предусматривает обязательную работу студентов над общими и сходными элементами, которыми являются исходная и обратная задача; составление и решение задач, аналогичных исходной; составление и решение задач, являющихся обобщением исходной задачи. Профессионально значимым для студентов является решение задач как методами, знакомыми студентам из курса средней школы, так и методами, изучаемыми в вузе.
Геометрические задачи являются источником эстетической привлекательности. К привлекательным относят задачи, формулировки которых противоречат интуитивным представлениям о математических ситуациях, таким задачам свойственны актуализация привычных образных представлений, возможность использования аналогии, обобщения, конкретизации, неожиданность, изящество в обосновании утверждений, общность исходных гипотез, связь с практическими ситуациями, естественный ход обоснования гипотез. Так, эстетичность может заключаться в рисунке, моделирующем
1 Саранцев Г.И. Интеграция фундаментальности и технологичности образования как условие совершенствования методической подготовки будущего учителя математики в вузе // Труды Средневолжского математического общества. - Т.6. - №1. - Саранск, 2004. - С. 367389.
задачную ситуацию. В процессе решения задач важно подчеркивать, что удачно проведенный поиск заканчивается нахождением идеи решения задачи, что доставляет ученику эстетическое удовольствие, эмоциональное удовлетворение и побуждает к осознанию проведенной деятельности, возвращению к ней2.
При решении задач используются и эвристические приемы, которые в вузе должны рассматриваться студентами с профессиональных позиций. Так, будущий учитель должен уметь подбирать и составлять элементарные задачи для формирования навыков применения отдельных теорем, определений, навыков, необходимых для решения более сложных задач. Формированию таких умений способствует выполнение специальных упражнений на составление задач. Обучение эвристикам должно быть предусмотрено и в задачах, предлагаемых для студентов.
Наметившаяся в последнее время тенденция на увеличение доли самостоятельной деятельности учителя в проектировании и конструировании процесса обучения математике свидетельствует о важности формирования у будущего учителя математики умения составлять математические задачи. При составлении задач можно учитывать следующие положения: в условии последующей задачи используется результат решения предыдущей; в решении задачи используется результат решения предыдущей; условия задач одинаковы, а требования различны; требования задач одинаковы, а условия задач зависят от условия исходной задачи. Составляя задачи, студент вычленяет различные связи математических объектов и этапов решения самой математической задачи. Это позволяет ему выделять действия, адекватные конкретным математическим понятиям, теоремам, задачам, методам, а также действия, адекватные тем, которые составляют приемы учебной деятельности по усвоению теорем, понятий, методов. В дальнейшем это будет способствовать включению этих действий в содержание математической деятельности школьников.
Решающее значение в составе общего умения решать задачи является умение студентов строить прогноз. Реализуется оно на самом ответственном этапе процесса решения задачи - поиске способа решения. Это умение будем называть прогностическим. Формирование у студентов прогностических умений значительно сокращает область поиска способов решения задач, позволяет осмысленно выбирать наиболее рациональные из них, видеть альтернативное решение проблем, выдвигать гипотезы, обнаруживать нерешенные проблемы.
Итак, в процессе организации деятельности студентов по решению геометрических задач в курсе «Элементарная геометрия» формируются такие методические умения, как умения решать задачи, умения обучать решению задач, умения составлять задачи, прогностические умения, умения, соответствующие эстетической и эвристической функциям методической деятельности учителя математики. Указанные умения относятся к группе методических умений учителя по организации учебного процесса, обучению различным способам деятельности, внедрению теоретических положений в практику.
УДК 53:37.012 ББК 484(2):В33
СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЕ ПРОБЛЕМНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЕ ФОНДЫ ФИЗИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ЭФФЕКТОВ И ОСОБЕННОСТИ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ
Н.В. Прохорова, аспирант кафедры физики Ивановского государственного энергетического университета,
М.Н. Шипко, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой физики Ивановского государственного энергетического университета,
Г.А. Шмелева, кандидат педагогических наук, доцент кафедры физики Ивановского государственного энергетического университета
В статье рассмотрены принципы разработки специализированных проблемно-ориентированных фондов физико-технологических эффектов. Эти фонды предназначены для синтеза физических принципов действия технических объектов и контрольно-измерительных приборов. Однако база данных физических эффектов может эффективно использоваться и для других учебных целей. Одним из возможных направлений применения фонда является тестирование уровня знаний студентов по физике в технических вузах.
Ключевые слова: физический принцип действия, физико-технологический эффект, тестирование, база данных физических эффектов.
THE SPECIALIZED PROBLEM-ORIENTED FUNDS OF PHYSICAL-TECHNOLOGICAL EFFECTS AND FEATURES OF
THEIR APPLICATION IN EDUCATIONAL PROCESS
Prokhorova N.V., Shipko M.N., Shemeleva G.A.
Principles of development of specialized problem-oriented funds of physical-technological effects are considered in article. These funds are intended for the synthesis of technical objects and devices of controls and measuring. However a database of these physical effects can be effectively used also in other educational purposes. One of possible directions of fund applications is testing of students' knowledge level on physics in technical institutes.
Keywords: physical principle of action, physical-technological effect, testing, database ofphysical effects.
2 Саранцев Г.И. Эстетическая мотивация в обучении математике: монография. -136 с.
ПО РАО, Мордов. пед. ин-т. - Саранск, 2003 . -
