CC BY
21
Dr Dragoljub M. Brkić, dipl. inž. TehniCki opitni center KoV, Beograd
METODE ODBACIVANJA EKSTREMNIH VREDNOSTISLUČAJNE PROMENLJ1VE
UDC: 519.246
Rezime:
U ovom radu izloieno je nekoliko metoda odbacivanja ekstremnih vrednosti posmatrane slučajne promenljive и toku nekog eksperimenta Hi ispitivanja. Radi iluslracije izloienih metoda predočen je odredeni broj primera koji su uradeni primenom posebno razvijenog računarskog programa.
KljuĆne reči: ekstremna vrednost, Studentov Hi t-test, Fiierov Hi F-test. parametar raspodele, kvantil raspodele, Vejbulova raspodela, poverenje, granica poverenja.
METHODS OF REJECTING THE RANDOM VARIABLE EXTREME VALUES
Summary:
This study deals with several methods of rejecting the extreme values of a particular random variable during an experiment or testing. The described methods are illustrated by a number of examples obtained by a specially developed computer program.
Key words: extreme values. Student or t-test. Fisher or F-test. distribution parameter, distribution quantities. Weibull distribution, confidence, confidence limit.
Uvod
U toku izvodenja nekog eksperimenta ili ispitivanja» posmatrana slučajna promenljiva može poprimiti vrednosti koje se veoma razlikuju od ostalih vrednosti. To su tzv. ekstremne vrednosti Čija je pojava malo verovatna. Ako je ukupan broj vrednosti mali, ekstremna vrednost nepovoljno utiče na tačnost oce-na parametara raspodele, pa je treba od-baciti $to je opravdano i u skladu sa stati-stičkim testovima.
U ovom radu, izloženo je nekoliko metoda odbacivanja ekstremnih vrednosti koje je u toku nekog eksperimenta ili ispitivanja poprimila posmatrana slučaj-na promenljiva. Primenom izloženih metoda odbacuju se one ekstremne vrednosti Čije realizaeije imaju veoma maiu ve-rovatnoću, koja je manja ili jednaka, na primer, jednom promilu.
Prva izložena metoda koristi ceo skup vrednosti koje je poprimila slučajna promenljiva, i zasnovana je na Studento-vom ili /-testu i FiSerovom ili F-testu po-
V0JN0TEHN1ĆKI GtASNIK У2002.
309
moću kojih se proveravaju jednakosti srednjih vrednosti i standardnih devija-cija za dva slučaja: prvi, kada je u skupu vrednosti uključena i drugi, kada je is-ključena posmatrana ekstremna vrcdnost. Postavljeni kritcrijumi u oba navedena testa moraju da budu ispunjeni da bi se posmatrana ekstremna vrcdnost odbacila ili u protivnom zadržala u skupu vrednosti.
Drnga mctoda je slična prvoj, a od nje se razlikujc po tome što se primenjuje na veći broj podskupova koji se izdvajaju na slučajan način iz osnovnog skupa vrednosti slučajne promenljive. Podsku-povi vrednosti sadrže oko polovine broja vrednosti osnovnog skupa. Svi podsku-povi se izdvajaju iz osnovnog skupa po-dataka po principu pscudoslučajnih bro-jeva koji predstavljaju redni broj vrednosti u posmatranom osnovnom skupu vrednosti. Svaki od ovih podskupova u prvom slučaju sadrži posmatranu eks-tremnu vrednost, a u drugom ta vrednost je iskijučena. Na osnovu vrednosti u pod-skupovima odrcduju sc srednje vrednosti i standardne devijacije na koje se daljc primenjuje /-test i /•'-test radi donoSenja odiukc о tome da li posmatranu ekslrem-nu vrednost treba odbaciti iii zadržati u skupu osnovnih vrednosti. Koristeći srednje vrednosti i standardne devijacije podskupova vrednosti slučajne promenljive i primenom /-testa i F-testa, prati se koliko puta od ukupnog broja podskupova posmatranu ekstremnu vrednost nije trebalo odbaciti.
Na osnovu ukupnog broja podskupova vrednosti i broja podskupova vrednosti u kojima je došlo do uspešnog isho-da postupka, odreduje se uspešnost, kao i granicc poverenja. Ako se unapred zada
minimalno prihvatljiva vrednost za ovu uspešnost i ako je donja granica poverenja veća od te minimalno prihvatljive vrednosti za uspešnost, posmatranu ekstremnu vrednost treba zadržati, a u protivnom je odbaciti, Sto je izloženo u okviru druge metodc. Treća izložena metoda od-bacivanja ekstremne vrednosti zasnovana je na uporedenju te vrednosti sa utvrde-nim kvantilima poznate raspodelc slučaj-nc promcnljive. U ovom radu razmatran jc slučaj troparametarske Vejbulovc ras-podele. Kriterijum za zadržavanje po-smatrane ekstremne vrednosti je ako je ona veća od donjih kvantila i manja od gomjih kvantila. Donji i gomji kvantili odreduju se na osnovu tačkastih ocena parametara raspodele za oba slučaja, kada jc ekstremna vrcdnost prisutna u skupu vrednosti i kada je ona namemo is* ključcna iz posmatranog skupa vrednosti. ReSavanjc predmetnog problema je složcno i zahteva primenu elektronskog računara. Radi ilustracije izložcnih metoda, dato je nekoliko primera koji su ura-deni primenom računarskog programa koji je razvijen specijalno za rešavanje ovc problematike.
Metodc odbacivanja ekstremnih vrednosti
METODA STATISTlCKIH TESTOVA NA CELOM SKUPU VREDNOSTI
Odbacivanje donje ekstremne vrednosti
Neka su t„ />..... t„ vrednosti koje je slučajna promenljiva t popnmila u toku jednog eksperimenta. Tačkaste ocene srednje vrednosti i standardne devijacije date su sledećim izrazima:
310
VOJNOTEHNlCKl GLASNIK 3/2002.
A> = <x--'Z‘i (1)
Я /.I
У П * i-1
Ako se iz skupa vrednosli koje je uzela slufiajna promenljiva /: {/„ t* /„} odbaci najmanja vrednost dobiće se ,,kmji“ skup od л-I vrednost. Na osnovu ovih vrednosti ,,kmjeg“ skupa treba ponovo odrediti tačkaste ocene za srednju vrednost i standardnu devijaciju koristeći sle-dede izraze:
Аг=^=-Ц-Е'- <3>
n -1
Koristedi tadkaste ocene mP5,,m3i s2, kao slučajne promenljive, može se formirati nova sludajna promenljiva:
_________*"*> _________ (5)
ггд
л, + n2 - 2 у л, л,
gde je ni = n IП2 = л — /.
Sludajna promenljiva f, data izrazom (5), ima Studentovu ili t-raspodelu sa л/ + «2 - 2 stepeni slobode. Kada se usvoji vrednost donjeg kvanta (rizika), p, za ovaj broj stepeni slobode л/ + m - 2 može se odrediti kvantil Studentove ili /-raspodcle Џп/ + л^ - 2).
Za ovako odredenu vrednost kvantila t-raspodcle, ako je ispunjen uslov:
+n2-2)</ <|/р(л, +л2 -2)| (6)
ekstremnu vrednost tM„ ne bi trebalo odbaciti. U protivnom, ako uslov dat izrazom (6) nije ispunjen, donju ekstremnu ili minimalnu vrednost trebalo bi odbaciti.
Opravdanost odbacivanja tm„ trebalo bi pojadati ispunjavanjem još jednog usl-ova. Radi toga treba formirati novu sludajnu promenljivu:
koja ima FiŠerovu ili F-raspodelu sa л,-1 i лј-I stepeni slobode.
Za usvojenc vrednosti donjeg i gomjcg kvanta (rizika), p i q, respektiv-no, a za ove brojeve stepeni slobode л/ - / i П2 - /, mogu se odrediti donji i gomji kvanlili F-raspodele: F,(p; n,~ 1; i\y - 1) i F^q; nj - I; п?- I). Za ovako odredenc vrednosti kvantila, ako je ispunjen uslov:
f\{flt /*,-l)<F<F2(# «1-1) (8)
donju ekstremnu vrednost tmit ne bi trebalo odbaciti. U protivnom, tj. ako uslov dat izrazom (8) nije ispunjen, t^H bi trebalo odbaciti.
lspunjavanje uslova datog izrazom
(6) ukazuje na to da nije došlo do značaj-nijeg pomeranja, a ispunjavanje uslova datog izrazom (8) da nije doSlo do znač-ajnijeg rasipanja posle odbacivanja donje
VOJNOTEHNIČKJGLASNIK 3/2002.
311
ekstremne ili minimalnc vrednosti t^. Dakle, ako su ispunjena oba uslova, data izrazima (6) i (8), tada vrednost tmn ne treba odbaciti. U protivnom, ako oba us-iova istovrcmeno nisu ispunjena, tada vrednost t^ treba odbaciti. Na taj način, dobija se veća sigumost u opravdanost odbacivanja vrednosti /№V
Odbacivanje gomje ekstremne
vrednosti
Neka su th t^ .... t„ vrednosti koje jc slučajna promenljiva / poprimila u toku jednog ekspcrimenta, i neka je najveća vrednost u tom skupu vrednosti. Ne odbacujući ovu maksimalnu vrednost t^ pomoću izraza (1) i (2) odrede se tačkaste ocene za srednju vrednost i stan-dardnu devijaciju slučajne promenljive t.
Ako se iz skupa vrednosti koje je uzela sluCajna promenljiva t: {//, f* ..., tn) odbaci najveća vrednost t^, dobiće se ,,kmji“ skup od л-I vrednost. Na osnovu ovih vrednosti ,,kmjeg“ skupa, treba ponovo odrediti tačkastc ocene za srednju vrednost i standardnu devijaciju koristeći izraze (3) i (4). Na isti način, kao i u slučaju prethodnog postupka odbaciva-nja minimalne vrednosti /Wrt, koristeći tač-kaste ocene za srednje vrednosti i stan-dardne devijaeije, formira se slu6ajna promenljiva koja je data izrazom (5) i stučaj-na promenljiva koja je data izrazom (7).
Ako vrednosti tačkastih occna, datih izrazima (5) i (7), ispunjavaju uslove date izrazima (6) i (8), tada gomju ekstrem-nu vrednost t^ ne treba odbaciti. U protivnom, ova vrednost se može odbaciti. Sigumost, Sy u opravdanost odbacivanja gomje ekstremne ili maksimalne vredno-
sti t^ može se izraziti pomoću usvojenih rizika p i tj. 5 = 1 - (p + q).
METODA STATISTlCKJH TESTOVA NA PODSKUPOVIMA VREDNOSTI
Odbacivanje donje ekstremne vrednosti
a) postupak usrednjavanja
Neka su t,. t* .... t„ vrednosti koje je slučajna promenljiva / poprimila u toku jednog eksperimenta. Iz skupa ovih vrednosti izdvoji se na slučajan način pod-skup od N vrednosti. Вгој N može se odrediti pomoću sledećeg izraza:
N = 1 +
(9)
gde je л ukupan broj vrednosti za t celog skupa, a |_(7Jje celobrojna vrednost broja
Q=n/2. Pri izdvajanju podskupa vodi se računa da donja ckstremna vrednost /мя bude prisutna.
Na osnovu tako izdvojenih vrednosti podskupa, pomoću izraza (1) i (2), od-ređuju se tačkaste ocene za srednju vrednost i standardnu devijaciju, vodeći raču-na da se u tim izrazima n zameni sa N. Posle toga ponovo se iz celog skupa vrednosti na slučajan način izdvoji pod-skup od N vrednosti, ali tako da donja ekstremna vrednost t^ ne bude prisutna. Ponovo se odrede tačkaste ocene za srednju vrednost i standardnu devijaciju, vo-deći računa da se i u ovom slućaju u izrazima (1) i (2) n zameni sa N
Tako se dobijaju po dve ocene za srednju vrednost i standardnu devijaciju:
312
VOJNOTEHNIČKl OLASNIK 3/2002
Ponavljajući ceo ovaj postupak Np puta (prepomčuje se đa Np bude vcće od л), dobiće se skupovi vrednosti za ihytS^m2 i s2.
Usrednjene vrednosti za srednje vrednosti i standardne devijacije date su
sledećim izrazima:
1 & , «.=7Г2>>, 1Ур м (10)
ј*>. II 3> (11)
. 1 & 1У p <»l (12)
* 1 & "p <«l (13)
Ako se u izrazima (5) i (7) tačkastc ocene za srednje vrednosti i standardne devijacije zamene sa usrednjenim vred-nostima datim odgovarajućim izrazima od (10) do (13), a n, i n2 sa Npy dobiće se statistike: Ti r. Ako vrednosti ovih statistika ispunjavaju uslove date izrazima (б) i (S), onda donju ekstremnu vred-nost ne treba odbaciti; u protivnom ova vrednost može se odbaciti.
b) postupak ocene uspešnosti
Kada se na osnovu vrednosti prvog podskupa odrede tačkaste ocene za srednje vrednosti i standardne devijacije:
i s2, kao i statistike: Ti r ta-da se pomoću izraza (6) i (8) izvrši provcra da li se donja ekstremna vredno-
st može zadržati. Ako se dobije potvrd-an odgovor, onda se to smatra pozitivnim ishodom ili uspehom misije. Provera-vanje se nastavlja sve do poslednje probe (izdvajanja podskupa iz osnovnog pola-znog skupa vrednosti). Neka je Np ukupan broj proba (izdvajanja pod-skupova) i neka je M broj povoljnih is-hoda, tj. broj podskupova u kojima je do-bijen potvrdan odgovor da se donja ekstremna vrednost tmtl može zadržati. Na osnovu izloženog može se oceniti verovatnoća zadriavanja ekstremne vrednosti t^n pomoću sledećeg izraza:
Za ovu verovatnoću uspeha ili uspe-šnost mogu se odrediti i granice povere-nja pomoću sledećih izraza:
P\ ~~ 1 "* */♦!; a, (l^)
/72=*М*1. a: (1®)
gde je u prethodnim izrazima xa b Y gomji kvantil beta raspodele; a, i a2 su donji i gomji rizik, respektivno.
Za usvojene vrednosti donjeg i gor-njeg rizika a, i a2> kao i minimalno prill vatljivu vrednost verovatnoće uspeha Ртщу da bi se zadržala donja ekstremna vrednost tmmi potrebno je da bude ispu-njen sledeći uslov:
(17)
Ako uslov dat izrazom (17) nije ispu-njen, tada se donja ekstremna vrednost t^ može odbaciti sa poverenjem 1P=1 -(а/+Д2)-
VOJNOTEHNlCKl GLASNIK 3/2002.
313
Odbacivanje gornje ekstremne
vrednosti
a) postupak usrednjavanja
Neka su it, t^ .... tn vrednosti koje je slučajna promenljiva t poprimila u toku jednog cksperimenta i neka je t^ najve-ća vrednost u tom skupu vrednosti. Iz skupa tih vrednosti izdvoji se, na sluča-jan način, podskup od N vrednosti. Broj vrednosti u podskupu N odreduje se po-moću izraza (9). Dalji postupak je isti kao i u slučaju odbacivanja donje eks-tremne vrednosti, samo što se umesto donje ekstremne vrednosti posmatra gomja ekstremna vrednost
b) postupak ocene uspeŠnosti
Postupak utvrdivanja opravdanosti zadrtavanja ili odbacivanja gomje eks* tremne vrednosti isti je kao i postupak iz-ložen u slučaju odbacivanja donje ekstremne vrednosti, samo što se umesto donje ekstremne vrednosti tmin posmatra gomja ekstremna vrednost t^
METODA POREĐENJA
EKSTREMNE VREDNOSTI
SA KVANTILIMA
Odbacivanje donje ekstremne
vrednosti
Neka su /,, .... t„ vrednosti koje je slučajna promenljiva t poprimila u toku jednog eksperimenta i neka je najmanja vrednost u skupu tih vrednosti. Pretpostavlja se da slučajna promenljiva t ima troparametarsku Vejbulovu raspode-lu čija je funkeija gustine raspodele/(7, a. b, c), gde je a - parametar položaja (po-četka) b - parametar razmere (skale) i c -
parametar oblika Cije vrednosti treba od-rediti. Tačkaste ocene a,b i ć, za para-metre a, b i c, respektivno, mogu se odre-diti primenom jedne od poznatih metoda.
Donji kvantil troparametarske Vej-bulove raspodele dat je sledećim izra-zom:
I
<P=a + b[-ln(\-p) J (18)
gde je p - Fjtfj donji kvant (rizik) ili vrednost funkeije raspodele F(t) zat- tp.
Na osnovu skupa vrednosti slučajne promenljivc t: {//, t2. .... /„}, u koji je uključena i donja ekstremna vrednost
A
odrede se tačkaste ocene aj. 6, i ć\. Za-menom parametara a, b i c ovim odgova-rajućim ocenama u izraz (18) dobija se tačkasta occna donjeg kvantila troparametarske Vejbulove raspodele:
ip I = a, + [-In (1 - р)]л (19)
Zatim se iz skupa vrednosti {//. />, /„}
izbaci najmanja ili donja ekstremna vrednost tmHi tako da skup ostaje sa л-1 vrednosti. Koristeći ove vrednosti ,Jcr-njeg“ skupa, ponovo sc odrede tačkaste ocene parametara raspodele: avb2 \ č2. U izrazu (18) teorijski parametri a, b i c za-mene se ovim tačkastim ocenama i ponovo se odredi vrednost donjeg kvantila:
tp2=a2+b2[-l„('-p)f (20)
U izrazima (19) i (20) prepomčuje se da vrednost za p bude jedan promil (/7 = 0,001). PoSto se odrede ove dve
314
VOJNOTEIINlCKI glasnik 1/2002.
tačkaste ocene donjih kvantila, pomoću izraza (19) i (20), tada se najmanja ili donja ekstremna vrednost t^n uporedi sa vrednostima ovih kvantila, pa ako je:
(21)
tada se može odbaciti, kao malo vero-vatna vrednost, autlajer (outlayer), jer ve-rovatnoća njcne pojave je najverovatnije manja od jednog promila (0,001). Ova tvrdnja je utoliko tačnija, ukoliko je veći broj vrednosti л, slučajne promenljive /. U protivnom, ako uslov dat izrazom (21) nije ispunjen, tada ne trcba odbaciti.
Odbacivanje gornje ekstremne
vrednosti
Neka su th .... t„ vrednosti koje je slučajna promenljiva t poprimiia u toku jednog eksperimenta i neka je 1Ш najve-ća vrednost u skupu tih vrednosti. Pret-postavlja se da slučajna promenljiva t ima troparametarsku Vejbulovu raspode-lu čija je ftmkcija gustine raspodele f (t. a. b, c), gde jc a - parameter položaja (početka), b - parametar razmere (skale) i c - paramelar oblika Čije vrednosti treba
odrediti. Tačkaste ocene a,b i ć za para-metre a. b i c, respektivno, mogu se odrediti primenom jcdne od poznatih metoda.
Gomji kvantil troparametarske Vej-bulove raspodele dat je sledećim izrazom:
t4=a + b(-lnq)r (22)
gde je q - 1 - F(tq) = R(tq) gomji kvant (rizik) ili vrednost funkcije pouzdanosti R(t) za t = tq.
Na osnovu skupa vrednosti stučajne promenljive t: {ti, r* .... /„} u koji je uključena i gomja ekstremna vrednost
A
odrede se tačkaste ocene avbx i č\. Za-menom parametara a, b i c ovim odgova-rajućim ocenama u izraz (22), dobija se taćkasta ocena gomjeg kvantila troparametarske Vejbulove raspodele:
(23)
Zatim se iz skupa vrednosti {//, t„)
izbaci najveća ili gomja ekstremna vrednost tako da skup ostaje sa л-l vrednosti. Koristeći ovc vrednosti ,,kr-njeg“ skupa, ponovo se odrede tačkaste
A
ocene parametara raspodele: d2,b2 i <?2-U izrazu (22) teorijski parametri a. b i c zamene se ovim tačkastim ocenama i ponovo se odredi vrednost gomjeg kvantila:
(24)
U izrazima (23) i (24) preporučujc se da vrednost za q budc jedan promil (9 = 0,001).
Pošto se odrede ove dve tačkaste ocene gomjih kvantila, pomoću izraza (23) i (24), tada se najveća ili gomja ekstremna vrednost ^ uporedi sa vrednostima ovih kvantila, pa ako je:
л(25)
tada se t^ može odbaciti, kao malo vero-vatna vrednost, autlajer (outlayer), jer je verovatnoća njene pojave najverovatnije manja od jednog promila (0,001). Ova tvrdnja je utoliko taćnija, ukoliko je veći
VOJNOTEIINIĆKJ GLASNIK 3/2002.
315
broj vrednosti n, slučajne promenljive /. U protivnom, ako uslov dat izrazom (25) nije ispunjen, tada ne treba odbaciti.
Ilustrativni primeri
PRIMER 1
Pn usvojenim vrednostima parame-tara Vcjbulove raspodele: a = 250,
b * 100 i c = 2,5 pomoću specijalno raz-vijenog računarskog programa, generisati n — 50 pseudoslučajnih brojeva koji predstavljaju vrednosti pscudosiučajne promenljive / koja ima Vejbulovu raspo-delu sa datim vrednostima parametara ove raspodele. Koristeći tako dobijeni ceo skup vrednosti za t, proveriti da li se može odbaciti donja ekstremna vrednost /mlt. Usvojiti da su rizici opravdanosti od-bacivanja vrednosti medusobno jed-naki i da iznose 5% {p-q- 0,05). Pri reSavanju ovog problema koristiti empi-rijske vrednosti za srednju vrednost m i standardnu devijaeiju o.
Rešenje:
Za date vrednosti parametara Vcjbulove raspodele, pomoću raćunara, dobi-jen je sledeći skup od n - 50 pseudoslu-Cajnih brojeva.
308.60 383,94 337.82 352.81 334,92
328.63 337.19 315,94 431,45 303.98
321,88 273,17 365,51 426.29 306,37
310,01 347,14 335,99 379,92 392.61
341,88 373.64 271,37 265.04 347,68
311.50 340.32 371,16 340.00 338.33
294,32 340.45 366.59 331,48 274,00
330.34 363.20 376,33 440,85 277.47
301,20 423,33 294,69 319.37 285,65
290.30 352.36 308.88 348.98 352.72
Najmanja i najveća vrednost u da-tom skupu vrednosti su: /^ = 265,04 i
* 440,85. Koristeći računarski program, dobijeni su sledeći rezultati:
Za n « 50 (kada je uključena vrednost
O:
a = 246,0517 £ = 103,1371 ic = 2,3342 m = 337,3525 i a = л = 42.0800.
Za n — 49 (kada je isključena vrednost
a = 260,2428 b = 88.6120i ć = 2,0088 m = 338,8283 i 6 =5 = 41,1879.
Studentov ili /-test:
izračunata vrednost /-statistike, /=-0,1763 kritična vrednost /-statistike, 1,6607
broj stepeni slobode N = 97 donji rizik/7 = 0.05.
Fišerov ili F-test:
izračunata vrednost F-statistike, F=l,0438 donja kritična vrednost F-statistike, Fp(NI, N2) = 0,6241
gomja kritična vrednost F-statistike, Ffttt, N2) = 1,6044
prvi broj stepeni slobode Nl = 50 drugi broj stepeni slobode N2 = 49 donji rizik p - 0,05 gomjirizik^ = 0,05.
PoŠto su istovremeno ispunjena oba uslova: -1,6607 < t = -0,1763 < 1,6607 i 0,6241 <F = 1,0438 < 1,6044, to se sa poverenjem <P= 1 - (0,05 + + 0,05) = 0,90 može doneti odluka da ne treba odbaciti donju ekstremnu vrednost /_ = 265,04.
PRIMER 2
KoriScenjem podskupova vrednosti izdvajanih na slučajan način (sa vraća-njem) iz celog skupa vrednosti pseudo-
316
VOJNOTEHNIČKJ GLASNIK 3/2002.
slućajnih brojeva datih u Primcru l, рго-veriti da li se može odbaciti donja eks-tremna vrednost
a) na osnovu usrednjavanja m i о po podgrupama;
b) na osnovu uspešnosti neodbacivanja tm„ u podgrupama.
Usvojiti da su rizici opravdanosti odbaci-vanja vrednosti tmi„ medusobno jednaki i da iznose 5% {p-q- 0,05), kao i vrednosti donjeg i gomjeg rizika a,=c^= = 0,05. Takode, usvojiti da je minimalna verovatnoća uspešnosti neodbacivanja и,Л*„ = 0,90.
Za rešavanje problema pod a) usvojiti da je broj podgrupa Np * 300, a pod b) Np = 50.
Rešenje:
a) Prosečne vrednosti za srednje vrednosti i standardne devijacije, kada je donja ekstremna vrednost uključena i kada je ona isključena, respektivno:
m, = 336,59 sx = 38,96 = 334,05 40,78.
Studentov ili Mest:
izračunata vrednost /-statistike, / = 0,7813 kritična vrednost /-statistike, t/N)= -1,6474 broj stepeni slobode N - 598 donji rizik p = 0,05.
FiSerov iti /•'-test:
izračunata vrednost /•’-statistike, F * 0,9126 donja kritična vrednost F-statistike, Fp(Nl, N2) = 0,8265
gomja kritična vrednost F-statistike, FJNI. N2) = 1,2099
prvi broj stepeni slobode N1 = 299 drugi broj stepeni slobode N2 = 299 donji rizik/? - 0,05 gomji rizik </ = 0,05.
Pošto su istovremeno ispunjena oba uslova:
-1,6474 </ = 0,7813 < 1,6474 i 0,8265 <f = 0,9126 < 1.2099,
to se sa poverenjem (P= 1 -(0,05+0,05)* *0,90 može doneti odluka da ne treba odbaciti donju ekstremnu vrednost /„я * = 265,04.
b) Od N - n * 50 proba (podgrupa) bilo je M- m * 50 uspeSnih ishoda (slučajeva kada /*,„ nije trebalo odbaciti). Na osnovu toga dobijena je ocenjena frekvencija uspeSnosti /* mf(n + 1) = 0,9804 i gra-nice poverenja /?, = 0,942952 i p2 = * 0,998995.
PoSto je donja granica poverenja />, = 0,942952 veća od = 0,90 sa ve-likim poverenjem se može zadržati donja ekstremna vrednost /^ * 265,04.
PRIMER 3
Znajući da skup vrednosti pseudo-slučajne promenljive /, dat u Primeru l, ima Vcjbulovu raspodelu sa paramctri-ma: a - 250, b = 100 i c* 2,5 na osnovu porcđenja donje ekstremne vrednosti /жл sa donjim kvantilima tlp i /^, odredenim kada je prisutno i kada je ono odsut-no, primenom odgovarajućeg izloženog postupka proveriti da ti se donja ekstremna vrednost tmiH možc odbaciti. Usvojiti da je red kvantila (kvanti) p-q - 0,001.
Rešenje:
Na osnovu izioženog teorijskog postupka i primenom računarskog progra-
VOJNOTEHNlCKI GLASNIK 3/2002.
317
ma đobijcne su sledeće vrednosti donjih kvantila: tIp = 251,40 i /^ = 263,09. Oni su odrcdcni sa sledećim tačkastim ocena-та parametara Vejbulove raspodele:
0 = 246,0517 £ = 103,1371 i ć = 2,3342; za n - 50 (kada je uključena vrednost (^п)
1
а = 260,2428b =88,6120 i ć = 2,0088; za o=49 (kada je isključena vrednost Pošto su istovremeno ispunjena oba uslova:
'™ = 265,04 >/,„ = 251,40 i U = 265,04>^ = 263,40,
sa velikim poverenjem se može doneti od-luka da nc treba odbaciti donju ekstremnu
vrednost tmit = 265,04.
PRIMER 4
Koristeći opisane postupke i odgova-rajući računarski program za odbacivanje ekstremnih vrednosti, kao i skup vrednosli datih u Primeru l, odrcditi neku vrednost za 1тлУ koja je u datom skupu vrednosti jednaka 265,04, koja se po kriterijumima datim u tim postupcima može odbaciti. Za rcšavanje ovog problema koristiti sve po-datke date u primerima 1,2 i 3.
Rešenje:
Ako se u skupu vrednosti pscudoslu-čajnc promcnljive f, koje su date u Primeru l, donja ekstremna vrednost smanji sa 265,04 na 240,5 i primcne sva tri opisa-na postupka za odbacivanje ekstremnih vrednosti, kao u primerima 1, 2 i 3, onda prcma kriterijumima prva dva postupka, vrednost /ляя = 240,5 ne treba odbaciti.
own
Medutim, primenom trećeg postupka, koji se odnosi na uporedivanje гмл sa donjim kvantilima t,p i /^, ovu vrednost treba odbaciti. U ovom slučaju dobijene su slede-ćc tačkaste ocene parametara raspodele:
a = 222.569 b = 128,083 i c = 2,8684; 2a n - 50 (kada je uključena vrednost U- 240,5) i
л = 259,719 £ = 89,232 ić = 2,0260; za n»49 (kada je isključena vrednost = 240,5).
Na osnovu ovih tačkastih ocena dobijene su sledeće vrednosti donjih kvantila: tlp = 234,096 i t2p = 262,669.
PoSto nova donja ekstremna vrednost tm„ - 240,5 nije veća od oba donja kvantila tip = 234,096 i t2p = 262,669 prema po-slavljenom kriterijumu ovu vrednost treba odbaciti. Ovaj rezultat je prihvatljiv, kada se zna da su vrednosti date u Primeru 1 generisane sa parametrima raspodele: a = 250, b = 100 i c = 2,5, jer vrednost pseudoslučajne promcnljive t ne može biti manja od parametra položaja a e 250.
Prva dva navedena postupka odnose sc na slučajeve kada zakon raspodele slu-čajnc promcnljive / nije poznat i koriste se samo srednjc vrednosti i standardne devi-jaeije, a treći postupak se zasniva na po-znatom zakonu raspodele (troparametar-ska Vejbulova raspodela). Zbog toga je i dobijen prihvatljiviji rezultat nego u prva dva slučaja, kod kojih, kada je veliki broj podataka n (vrednosti za /), odbacivanje donje ekstremne vrednosti ne utiče bitno na promenu srednjih vrednosti i standard-nih devijaeija. Dakle, prva dva postupka treba primenjivati u slučajevima kada nije poznat zakon raspodele posmatrane slu-čajne promenljive.
318
VOJNOTEHN1ĆKJ GLASNIK J/2002.
Zaključak
Izložene mctodc odbacivanja eks-tremnih vrednosti, koje je u toku eksperi-mcnta ili ispitivanja poprimila posmatrana slučajna promenljiva, uglavnom su pozna-te. Medutim, kriterijumi za ovc metode su modifikovani. Tako, na primer* uveden je kriterijum istovremenog žspunjenja zahte-va Studentovog ili /-testa i Fišerovog ili F-iesia, da bi se posmatrana ekstremna vrednost odbacila Hi zadržala u dobije-nom skupu vrednosti slučajnc promenlji-ve. Drugim rečima istovremeno se prove-rava značajnost promene srednje vrednosti (mere istinitosti) i standardne devijaci-je (mere preciznosti) pri odsutnosti ili pri-sutnosti ekstremne vrednosti u skupu vrednosti. Uvodenjcm ovakvog kriteriju-ma postiže se pouzdanija opravdanost odbacivanja ili zadržavanja ekstremne vrednosti.
Predložena metoda primene uspe-šnosti i metoda poredcnja ekstremne vrednosti sa kvantilima su, uglavnom, nove metode koje, takodc, daju dobre rezultate.
Metoda primene uspešnosti zasnova-na je na prvoj izloženoj metodi i primeni granica poverenja za uspešnost, a metoda poredenja ekstremnih vrednosti sa kvantilima zasnovana je na pretpostavci da je poznat zakon raspodele posmatrane slu-ćajne promenljive.
Navedeni primcri, koji su urađeni korišćenjem računarskog programa, koji je razvijen specijalno za reSavanje ove problematike, pokazuju vaijanost i osctlji-vost izloženih metoda odbacivanja eks-tremnih vrednosti.
Litenttura:
[ 11 Fisz. M: Wahnchcuilichkeitsrchnung und Mathematische Sutustik, VEB Deutscher Vcrlag dcr Wissenschaftcn, Berlin. 1962.
|2| P. Chapouille etR.De РшН, Fubiliti des Sys^mes. Masson ct C*. Pariz. 1968.
|3| Gnedenko В.; Biliaev. Y.. Soloviev A.: Mćthođcs matWma-liqucs cn throne dc la fiabiliti. fcditions. Mir. Moecou. 1972 |4) B. L Van Dcr Waerden, Mathematische Statistik. Springer-Verlag. Berlin. 196$.
|$| H D. Brunk. An Introduction to Mathematical Statistics.
Blatsdcll Publishing Company. New York. 1965.
|6| IvanoviC, B : Teorijsfca statist tka. Naufo* knjiga, Beopad. 1979.
(7] Stojanović S.: MaicnuuCka sutisnka, Naofm knjiga. Beograd. 1980.
|8| Ivanovic, Z.: MatciralKka statist ika, NauCm knjiga. Beograd. 1976.
VOJNOTEHNIĆKI GI.ASNIK J/2002
319
