CC BY
22
КомбЫована 1нформац1я
Довжина блока, байт
-0-1 LZW-Vitter -В-2 Матричний-Vitter ^-3 - LZH-LZW
-е-4 Vitter-LZH —Ж—5 Матричний-LZW
Рисунок 4
4 РЕКОМЕНДАЦИ ДО ЗАСТОСУВАННЯ
Р13НИХ КАСКАДНИХ СПОСОБОВ СТИСНЕННЯ
В АСУ
Виходячи з результаив проведених дослщжень, мож-на дати наступш рекомендацп по реал1зацГ1' каскадних способ1в стиснення в автоматизованих системах управ-лшня.
Для систем, шформащя в який передаеться в текстовому вигляд1, значне скорочення надм1рност1 повщомлень можна одержати при використанш способ1в LZH-LZW та Vitter-LZH. Можна сказати, що щ способи текст-ор1ентован1 i при стисненш дають непоганий коефщ1ент стиснення. При цьому спостерiгаeться явна залежшсть коефiцieнта стиснення вiд розмiру блока, що стискаеться. Чим бтьше блок, тим бiльший коефiцieнт стиснення.
Для систем, у яких основний шформацшний поик поданий у виглядi графiчноl шформацп, найкращi результати дають способи Vitter-LZH та LZH-LZW. Особливо непоганий коефщент стиснення отримано
способом Vitter-LZH на масивах даних у 64 i 128 байт.
Для стиснення шформацшного потоку вимiрювальних даних найкраще тдходять способи LZH-LZW та LZW-Vitter, що дають значнi коефщенти стиснення, особливо це стосуеться способу LZH-LZW. Також непоганий результат дае використання способу матричний-LZW.
При стиснення комбшованих даних найбiльший коефiцieнт спостершаеться у межах вiд 128 до 2048 байт при стиснення способами LZH-LZW та LZW-Vitter.
5 ВИСНОВКИ
У робот описаш алгоритми, що реалiзують стиснення даних найбiльш поширеними на даний час способами: LZH, LZW, Vitter, матричним. На 1'х основi запропоно-ванi каскаднi способи стиснення: LZW-Vitter, матрич-ний-Vitter, LZH-LZW, Vitter-LZH та матричний-LZW.
Наведеш результати дослщжень залежностi коефiцi-ента стиснення в^ довжини блока для рiзних каскадних способiв. Виконано порiвняльну оцiнку способiв за зна-ченнями коефiцieнта стиснення на рiзних iнформацiйних потоках. Для кожного виду шформацшного потоку видтеш способи, що дають найкрашд результати.
Даються рекомендацп по використанню запропонова-них каскадних способiв для стиснення шформацшних масивiв рiзного характеру в автоматизованих системах управлшня.
ПЕРЕЛ1К ПОСИЛАНЬ
1. Кохманюк Д. Сжатие данных: как это делается.//1п<^ех Pro, 1992, №1, С.18-29; 1993,№2, С.30-49.
2. Кричевский Р.Е. Сжатие и поиск информации. -М.: Радио и связь, 1989. - 168 с.
3. Чернега B.C. Сжатие информации в компьютерных сетях. -Севастополь: СевГТУ, 1997.-214с.
4. Ziv J., Lempel A. Compression of individual sequences via variable-rate coding.//IEEE Trans. On Inform. Theory, 1978. -Vol.24, №5, рр. 530-536.
УДК 62-5:007:621.391:519.2
МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО СРАВНЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Е. Н. Кирсанова, М. Г. Садовский
Рассматривается метод, осуществляющий распознавание образов, минуя стадии выделения словаря признаков и алфавита образов. Идея метода - сравнение входного потока изображений через палитру - специальный объект, созданный по наборам фрагментов исходных изображений. Для оценивания близости между изображениями вводятся специальные меры "похожести".
The pattern recognition method having neither feature alphabet nor pattern dictionary recovery stages is indicated. It compares input images through a special object called palette building from fragments of images. Measures to estimate the dis-
tances between images are given.
ВВЕДЕНИЕ
Задачи распознавания образов опираются условно на два класса: собственно задачи распознавания и задачи классификации. В задачах первого класса заданными считаются элементы алфавита образов и конкретные представители этих элементов в виде обучающей
выборки, указан словарь признаков и величина допустимых затрат. Задача распознавания состоит в построении решающего правила, обеспечивающее распознавание с минимальными ошибками на основе имеющейся информации.
Задачи классификации состоят в разбиении совокупности объектов на классы так, чтобы объекты внутри одного класса были на языке признаков близкими друг другу. Для этого необходимо создать алфавит образов -определить тип и количество множеств, на которые разбивается исходная совокупность, выделить систему признаков. Процедура выделения системы информативных признаков объектов существенно зависит от их природы, цели исследования, ограничений на стоимость измерения признаков и качества классификации. Эти условия являются априорной информацией, необходимой для решения задачи.
Зачастую, однозначное выделение признаков внутри группы тех или иных сравниваемых объектов весьма затруднено - характерным примером такого рода объектов могут служить текстуры. При решении задач распознавания приходится либо привлекать дополни-тельную, априорную информацию, которая, строго говоря, полностью лежит за пределами конкретного метода сравнения либо построения классификации (например, соображения типа связности или иные топологические характеристики объектов), либо идти на существенное повышение затрат при построении классификаций.
На практике возникает необходимость эффективного построения классификации набора изображений при условии, что априорной информации о количестве элементов в алфавите образов, о системе признаков, а также данных о возможном типе решающего правила нет. Тем самым, стандартный способ решения применим, но трудоемок, требует существенных затрат и, как правило, оказывается плохо обусловлен: результаты оказываются очень чувствительными к малым изменениям свойств исходных объектов, которые интуитивно не должны приводить к существенным изменениям в построенной классификации. Возникает вопрос о сравнении исходных объектов и построении (на основе такого сравнения) классификации, которая бы опирались только на информацию, которую можно извлечь из самих объектов сравнения. Понятно, что такого рода метод должен быть достаточно универсальным - не требовать существования обучающей выборки, обходиться без априорной информации и усилий по обучению распознаванию. Кроме того, при применении к изображениям, метод должен быть инвариантен (или мало чувствителен), относительно достаточно широкого класса преобразований исходного изображения, таких как мутация в точке и/или блочные перестановки, а также инверсии (отражения). В нашей работе предлагается новый метод сравнения дискретных объектов, основанный на вычислении условных энтро-пий (информационного отличия) двух (нескольких)
сравниваемых объектов. Возможности метода демонстрируется на примере цифровых изображений.
1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Для описания метода статистического сравнения объектов на примере цифровых изображений введём строгие понятия и точные формулировки. Под цифровым изображением (ЦИ) будем понимать решётку (размером NX M элементов), в узлах которой находятся символы из некоторого алфавита. В случае, если в узлах расположены всего два элемента - 0 или 1 - имеем бинарное изображение. Ограничимся также в своём рассмотрении случаем только прямоугольных связных ЦИ: граница изображения представляет собой прямоугольник, а все узлы содержат символы. Все эти предположения носят технический характер, и приняты для упрощения изложения, на общность излагаемых результатов они не влияют.
Смальтой (размера q Xq ) будем называть любой фрагмент (квадрат), со стороной в q подряд стоящих узлов, выделенных из рассматриваемого изображения q < min{N, M} . Смальта размера 1 X 1 представляет собой символ, стоящий в узле решётки рассматриваемого ЦИ. Хорошим примером смальты такого размера является пиксел экранного изображения. Положение любой смальты в исходном изображении характеризуется координатами (i, j) её левого верхнего узла (его выбор в качестве характеристики смальты не принципиален, необходимо выбрать единообразный способ - ключ - для определения положения смальты). Системой координат, в которой перемещается ключ, являются границы изображения. Выбор точки начала отсчета также произволен, и определяется исследователем. Две смальты (два изображения) считаются совпадающими (одинаковыми), если в одноимённых узлах (по положению ключа) в них находятся одинаковые символы.
Получить множество смальт из ЦИ можно двумя обсуждаемыми ниже способами.
Под считыванием на торе будем понимать способ, когда исходное ЦИ замкнуто в тор. Тогда при перемещении ключа в пределах ЦИ можно считать все N X M номинально возможных смальт (для ЦИ размером NX M узлов). Все недостающие (выступающие за границы плоского ЦИ) края смальты считываются с соответствующих противоположных сторон изображения. Замыкание изображения в тор приводит к тому, что общее количество считанных смальт Q1 (мощность данного множества) всегда остается константой.
\Q 1 = NX M. (1)
Под считыванием на плоскости будем понимать
способ, когда полученное множество смальт будут составлять только те смальты, полностью лежащие внутри плоского ЦИ. Мощность получаемого множества будет зависеть от размера считываемых смальт:
данный метод, и обсуждающиеся в Приложении 3.
1б2| = ^- д + 1) х (М- д + 1).
(2)
Множество смальт ЦИ, полученное любым способом, будем называть его мозаикой. Список смальт в ней будем всегда упорядочивать, например, лексикографически - смальты упорядочены по возрастанию лексикографического номера строк, начиная с первой. Такой критерий не является внутренне присущим ЦИ и зависит от выбора исследователя. Строки смальт перебираются снизу вверх.
Возможное количество различных смальт (размера д х д), которое можно получить из алфавита в N
символов будет равно N4х д. Очевидно, что в силу различных причин - конечности ЦИ, возможностей цифрового представления нецифрового изображения либо особенностей изображения (того, что на нем представлено), - число различных смальт, реально встречающихся в конкретном ЦИ будет гораздо меньше. Множество всех различающихся между собой смальт, встречающихся в изображении, назовем носителем мозаики этого ЦИ.
Ключевыми понятиями метода являются конечная мозаика и частотная мозаика.
Под конечной мозаикой будем понимать множество смальт, полученных из ЦИ, с указанием для каждой смальты числа ее копий wi в нем; индекс г нумерует
смальты в выбранном нами порядке. Получившаяся конструкция полностью соответствует конечно-частотному словарю символьной последовательности [1-6]. Условие нормировки конечной мозаики будет зависеть от способа вырезания смальт.
Частотная мозаика строится по конечной мозаике: вводим частоты встречаемости смальт /1 в мозаике, как
отношение числа копий данной смальты к общему количеству вырезанных из ЦИ смальт: (для случая вырезания смальт на плоскости)
/1 =
(N - д + 1) х (М - д + 1)'
(если смальты вырезались на торе)
Гг =
W:
N х М
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА СТАТИСТИЧЕСКОГО СРАВНЕНИЯ
Если объектами исследования являются t ЦИ, то энтропии их мозаик (всюду ниже будем называть их абсолютными) равного размера легко могут быть вычислены по формуле:
* = -ЪГг Ч-
(5)
(где ^ - частоты встречаемости смальт); пусть они
равны , , . ., , соответственно. Любую мозаику
(размера t > 1 ) можно рассматривать как t - частичную функцию распределения [6, 7]. Если известна равновесная функция распределения ф* , то всегда можно вычислить условную энтропию некоторой заданной функции распределения ^ относительно эталона (равновесной). Такая условная энтропия равна:
* = Уу,- 1п -
ф*
(6)
(3)
(4)
Таким образом, идея метода заключается в сравнении входного потока изображений через "эталонный" объект - палитру. Выбор "эталонного" объекта будет во многом определять получаемые результаты. Палитру размера д будем создавать из частотных мозаик ЦИ размера д следующим образом: объединим носители всех исследуемых изображений, т.е. им соответствующие смальты, а частоты встречаемости смальт в палитре пересчитываем так, чтобы они являлись средними арифметическими частот смальт исходных мозаик.
Такой выбор частот позволяет считать палитру своеобразным статистическим предком исходных мозаик. Он обеспечивает минимум суммы условных энтропий всех сравниваемых мозаик относительно неё. Покажем это.
Пусть /1 , /г2 , ..., - частоты смальт сравниваемых
мозаик размера д . Дополним носитель каждой из мозаик до объединения носителей, приписав нулевые частоты тем смальтам в мозаике, которые в ней исходно отсутствовали. Рассмотрим величину
Подчеркнем, что конечная мозаика и частотная мозаика представляют собой два принципиально различных объекта. Для каждого из них возникают принципиально различные задачи, не влияющие на
- ' /(1) 12/1) ьр-,
I = 1 г 1
(7)
являющуюся суммой условных энтропий всех t сравни-
вaeмыx мoзaик oтнocитeльнo иx cтaтиcтичecкoгo пpeдкa, чacтoты кoтopoгo paвны p. Бyдeм иcкaть тaкиe чacтoты
pt, чтoбы (7) дocтигaлo минимyмa. МИНИМУМ (7) ищгм
мeтoдoм нeoпpeдeлëнныx мнoжитeлeй Лaгpaнжa, пpи oчeвиднoм ycлoвии cвязи:
IPi = 1
Bapьиpyя функцию Лaгpaнжa для (7)
(8)
L = S - À
IP i
(9)
^e p - пepeмeнныe этoй функции, a À - нeoпpeдeлeн-ный мнoжитeль, пoлyчaeм cиcтeмy:
dd-L (p 1, P2,-, Pk ) = -1JP- + À =0 api pi
i = 1
д J2 )
д—L (P 1, P2,-, Pk) = - I — + à = 0 dp2 1 2 k ^ P2 i = 1
(10)
dp
-L (Pi, P2,..., Pk)
t Л0
- yJ-L- + à = 0
^ Pk
кoтopaя c yчëтoм cвязи дaëт знaчeниe для пapaмeтpa À = t, и для чacтoт иcкoмoгo cлoвapя, являющeгocя cтaтиcтичecким пpeдкoм, имeeм
P
J + J2 + ••• + f
J
= Jl_il
(11)
гдe индeкc j пpoбeгaeт вce cмaльты из oбъeдинeния нocитeлeй cpaвнивaeмыx cлoвapeй.
Aлгopитм cpaвнeния цифpoвыx изoбpaжeний пpeдлoжeнным мeтoдoм тaкoв:
1. для кaждoгo из cpaвнивaeмыx ЦИ cтpoитcя чacтoт-нaя мoзaикa выбpaннoгo paзмepa q ,
2. из пoлyчeнныx мoзaик cтpoитcя пaлитpa,
3. вычиcляютcя вce xapaктepиcтики вcex coздaнныx мoзaик (включaя пaлитpy): aбcoлютныe энтpoпии, yc-лoвныe энтpoпии (выпoлнeниe пpeдвapитeльнoй Rnac-cификaции изoбpaжeний),
4. вычиcляютcя мepы близocти, нa ocнoвe кoтopыx пpинимaютcя oкoнчaтeльныe peшeния o клaccификaции иcxoдныx ЦИ тe или иным мeтoдoм (нaпpимep, aлгopитм KRAB [8, 9]).
3. ИCПOЛЬЗУEMЫE XAPAKTEPИCTИKИ И MEPÛ
Пoд cтaтиcтичecкими xapaктepиcтикaми ЦИ бyдeм пo-
нимaть любыe кoнcтpyкции и иx пpoизвoдныe, пocтpoeн-ныe нa ocнoвe чacтoт cмaльт мoзaики: aбcoлютнaя энтpoпия, ycлoвнaя энтpoпия и любыe иx пpoизвoдныe. Ocoбeннocть вcex xapaктepиcтик - иx зaвиcимocть oт paзмepa cмaльт: peзyльтaты cpaвнeния вceгдa дoлжны paccмaтpивaтьcя c yчëтoм paзмepa cмaльт, пo ^repLM мoзaики пocтpoeны, пocкoлькy изoбpaжeния, близкте нa oднoм paзмepe cмaльт, мoгyт oкaзaтьcя вecьмa дaлëкими нa дpyгoм. Moнoтoннocть yбывaния в cxoдcтвe cpaвнивaeмыx изoбpaжeний пo мepe pocтa paзмepa cмaльт зapaнee нe oчeвиднa.
Caмoй пpocтoй xapaктepиcтикoй являeтcя вeличинa aбcoлютнoй энтpoпии, xapaктepизyющaя нeoпpeдeлeн-нocть oбнapyжeния cмaльты гдe-тo внyтpи paccмaт-pивaeмoгo ЦИ. Близocть aбcoлютнoй энтpoпии к мaкcимaльнo вoзмoжнoй ( Nln (N) , гдe N - мaкcимaльнo вoзмoжнoe чиcлo cмaльт зaдaннoгo paзмepa) oзнaчaeт, чтo pacпpeдeлeниe cмaльт этoгo paзмepa в ЦИ близюэ к paвнoвecнoмy: чacтoты paзличныx cмaльт пoчти coвпa-дaют дpyг c дpyгoм. С pocтoм paзмepa cмaльт кoличecтвo yникaльныx cpeди ниx вcë вoзpacтaeт. B peзyльтaтe, pacпpeдeлeниe чacтoт нa вcëм мнoжecтвe вoзмoжныx cмaльт paзмepa q cтaнoвитcя "диcкpeтным": знaчeния
чacтoт paвны либo нулю, либo (NX M)-1 , гдe N и M -paзмepы ЦИ. С pocтoм paзмepa cмaльт pacпpeдeлeниe нa вcëм мнoжecтвe cмaльт нe cтaнoвитcя paвнoвecным; нo oнo cтaнoвитcя тaкoвым нa oгpaничeнии вceгo мнoжecтвa cмaльт дo нocитeля мoзaики дaннoгo ЦИ. Иными cлoвaми, дocтижeния мaкcимyмa aбcoлютныx энтpoпий для двyx paзныx мoзaик нe гapaнтиpyeт coвпaдeния cpaвнивaeмыx ЦИ, пocкoлькy эти мaкcимyмы, oпpeдe-лeны кaждый нa cвoeм пoдмнoжecтвe мнoжecтвa вoзмoжныx cмaльт paзмepa q .
Знaчeниe ycлoвнoй энтpoпии гoвopит o том, кaкoвo paзличиe пo элeмeнтнoмy и чacтoтнoмy cocтaвy мeждy пaлитpoй и выбpaннoй мoзaикoй paзмepa q. Дaннaя вeличинa лeжит в диaпaзoнe oт 0 дo ln N (здecь N -кoличecтвo oбpaбaтывaeмыx изoбpaжeний). Ecли мoзaикa и пaлитpa coдepжaт тoлькo идeнтичныe cмaльты (вce нaбopы cмaльт, a тaкжe нaбop cмaльт в пaлитpe coвпaдaют дpyг c дpyгoм), тo вeличинa ycлoвнoй энтpoпии paвнa 0. Beличинa ln N cooтвeтcтвyeт cлyчaю, M^a мoзaики пoпapнo нe пepeceкaютcя. Уcлoвнaя энтpoпия пoкaзывaeт нeoпpeдeлëннocть oбнapyжeния cмaльты в ЦИ, ecли нaм извecтнo pacпpeдeлeниe cмaльт в пaлитpe. Смьгсл вeличины ycлoвнoй энтpoпии -пoкaзaтeль пoxoжecти pacпpeдeлeния чacтoт cмaльт в мoзaикe ЦИ c pacпpeдeлeниeм чacтoт aнaлoгичныx cмaльт в пaлитpe. Близка к нулю знaчeния пoзвoляют дocтoвepнo yтвepждaть, чтo cмaльтa, нayгaд вынyтaя из пaлитpы, вcтpeчaeтcя и в ЦИ, пpичëм, c тoй œe или близкoй чacтoтoй. Пpoтивoпoлoжный cлyчaй - cмaльтa, вынyтaя нayгaд из пaлитpы, пoчти нaвepнякa нe
д
встречается в ЦИ с этой частотой. Для промежуточных значений можно лишь говорить, что такая смальта в мозаике ЦИ содержится, но её частота весьма отлична от наблюдаемой для нее в палитре.
Мерой "резонанса" текущей мозаики с палитрой будем считать следующую величину:
Б* - Б,
О, = -)
(12)
где ^^ - энтропия созданной палитры, Б- - значение
условной энтропии - -мозаики. Данная величина изменяется в пределах от 0 до 1. Нулевое значение значит, что текущая мозаика очень слабо пересекается с палитрой. Единичное - мозаика эквивалентна палитре.
Другой пример меры близости - величина "парного резонанса", показывающая насколько две мозаики пересекаются друг с другом (насколько они близки между собой):
Si + Б,
= 1 - -—7> 7 2
(13)
где - энтропия созданной палитры для этой пары
мозаик, Б, и Б, - значения условных энтропии каждой 1 -
из мозаик. Величина (13) лежит в пределах от 0 до 1, при этом 0 - полностью различные мозаики, а 1 - полностью совпадающие. В выражении (13) палитру можно создавать, как для пары, так и для всех мозаик, что позволяет оценить кучность мозаик.
Показатель близости, оценивающий насколько все мозаики в группе близки друг к другу, - скалярный показатель "кучности" сравниваемых мозаик в группе:
А =
- < Б)
1п t
(14)
где < Б) - среднее арифметическое абсолютных энтропий всех сравниваемых мозаик. Величина (14) принимает значения от 0 до 1, при этом нулевое значение -полностью совпадающие мозаики в группе, а единичное -попарно непересекающимся.
Для демонстрации смысла полученных мер сравнения, рассмотрим подробнее соотношение между всеми этими величинами. Рассмотрим два предельных случая.
Первый - все цифровые изображения в группе полностью совпадают между собой. Тогда все их мозаики размера ^ также совпадают, палитра также совпадает с любой из мозаик. Энтропия палитры, равна энтропии любой из сравниваемых мозаик. Условные энтропии мозаик равны нулю. Величины резонансов равны единице.
Противоположный случай - никакие две мозаики попарно не пересекаются, т.е. не содержат ни одной общей
смальты. Тогда энтропия палитры - среднее арифметическое энтропий мозаик плюс некоторая добавка 1пt, характеризующая неопределённость в выборе мозаики. Значение энтропии палитры максимально, что дает хорошее значение для "кучности". Энтропия палитры зависит от внутренней структуры всех изображений: если распределение смальт на носителе каждого ЦИ является равновесным, то значение абсолютной энтропии палитры будет равно 1п (О) , где О - мощность элементов палитры (сумма носителей всех ЦИ). В противном случае, эта величина определяется только в ходе эксперимента, как и вычисляемые через нее меры. В заключение сформулируем свойства данного метода:
1. Сравнение объектов при помощи "эталонной" мозаики требует только разбиения сравниваемых объектов на однородные (в каком-то смысле) фрагменты, для которых можно было бы вести речь о частотах их встречаемости;
2. По сравнению с методами распознавания не требует стадии выделения словаря признаков и алфавита образов, обучения распознаванию, а также априорной информации;
3. Метод является универсальным, так как не зависит от природы сравниваемых объектов. Он зависит только от качества их цифрового представления;
4. Метод обладает инвариантностью относительно сдвига и перестановки любых крупных частей исходных изображений и вращения вокруг центра изображения, а также мало чувствителен к точковым мутациям (подробности обсуждается в Приложении 2);
5. Метод является симметричным: порядок в последовательности обрабатываемых изображений не влияет на получаемые результаты сравнения.
4. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Прежде чем обсуждать результаты, проиллюстрируем работу изложенного метода на цифровых изображениях. Ситуация с выбором класса тестовых ЦИ затруднена тем, что его выбор заранее не очевиден, поскольку он должен диктоваться областью применения метода, которая в силу его специфичности тоже не очевидна. Этот выбор определяет как эксперименты, так и получаемые результаты. Более того, даже если выбирать класс изображений только с точки зрения наглядности работы метода, то выбор его также непрост. По большей части, это связано с тем, что при анализе изображений мы в существенно большей степени, чем для других, склонны принимать во внимание смысл и значение всего рассматриваемого изображения, привнося тем самым, в той или иной мере, дополнительную информацию, отсутствующую в наборе фрагментов исходных изображений. В такой ситуации хорошими тестовыми объектами, могут стать ЦИ, являющиеся приближениями различных вариантов канторовых множеств на плос-
кocти - кoвpы Cepпинcкoгo [10], paзвepткa Гильбepтa [11], фpaктaлы, a тaкжe любыe "cлyчaйныe", пoлyчeн-ныш гeнepaтopaми cлyчaйныx чиceл. С дpyгoй cтopoны, в дaннoм мeтoдe cмaльты мoзaик cpaвнивaютcя пocимвoль-нo (cимвoлы из oдинaкoвыx пo ключу yзлoв peшeтки). Этo oзнaчaeт, чтo мeтoд cильнo зaвиcит oт кaчecтвa циф-poвoгo пpeдcтaвлeния изoбpaжeний. Oднo и тoжe mo6-paжeниe, пpи paзличныx cпocoбax oцифpoвки, пpи cpaв-тении бyдeт paccмaтpивaтьcя, кaк coвepшeннo paзныe.
B кaчecтвe тecтoвыx изoбpaжeний были выбpaны 6 фpaктaлoв, paзвepткa Гильбepтa и cлyчaйныe тoчки, пoлyчeнныe гeнepaтopoм cлyчaйныx чиceл (pиc. 1). Paз-мep ЦИ paвeн 200 X 200 пикceлoв. Bce вeличины peзo-нaнcoв paccчитaны oтнocитeльнo oбщeй пaлитpы. ^лу-чeнныe знaчeния вcex xapaктepиcтик для вcex ЦИ пpивeдeны нижe в Taблицax 1,2,3 и 4.
Aнaлиз этиx peзyльтaтoв пoзвoляeт yтвepждaть, чтo чeм бoлee yпopядoчeнным, cтpyктypиpoвaнным и "paзyм-ным" (oблaдaeт cмыcлoм для чeлoвeкa) являeтcя тo, что пpeдcтaвлeнo нa ЦИ, тeм мeньшe бyдeт paзмep cмaльты, нa кoтopoм мoжнo пoкaзaть paзличия мeждy ЦИ. Это жe cпpaвeдливo и для пoнятия "paзмep ЦИ". Пocкoлькy, чeм мeньшe paзмep ЦИ, тeм мeньшe пoтeнциaльнoe чиcлo cмaльт, кoтopыe из теш вoзмoжнo пpoчитaть. Oчeвиднo, что paзмep ЦИ пpямo oпpeдeляeт вoзмoжнoe paзнooбpaзиe мнoжecтвa выpeзaeмыx cмaльт.
Для нaшeгo cлyчaя, мaкcимaльный paзмep cмaльты, пpи кoтopoм peзyльтaты имeют cмыcл (cтoит иx paccмaт-pивaть) - paзмep 3 X 3 . ^и бoльшиx paзмepax cмaльт
peзyльтaт иcкaжaeтcя из-зa влияния кoнeчнocти paзмepa ЦИ, пocкoлькy пpи тaкиx paзмepax кaждaя cмaльтa cтaнoвитcя вce бoлee yникaльнoй. Moзaики, пocтpoeнныe из тaкиx cмaльт, вce мeньшe пepeceкaютcя мeждy co6o^ иx xapaктepиcтики (нaпpимep, aбcoлютнaя энтpoпия) cтpeмятcя к paвнoвecнoмy pacпpeдeлeнию, пoэтoмy вce вeличины мep близocти пocтeпeннo выpaвнивaютcя, чтo нe пoзвoляeт пpинять пpaвильнoгo peшeния. Haпpимep, вeличины пapныx peзoнaнcoв, вычиcлeнныe пpи paзмepe cмaльты, paвнoм 4 (Pиc. 4), oтличaютcя дpyг oт дpyгa гopaздo мeньшe, чeм этo мoжнo нaблюдaть нa бoлee мeлкиx paзмepax.
Eщe oдним cпocoбoм oпpeдeлeния мaкcимaльнoгo paзмepa cмaльты, дo кoтopoгo cлeдyeт пpoвoдить cpaвнeния, являeтcя oцeнивaниe динaмики измeнeния вeличины ycлoвнoй энтpoпии c pocтoм paзмepa cмaльты. Бyдeм oтнocить вeличинy пpиpocтa ycлoвнoй энтpoпии, вычиcляeмyю кaк paзнocть мeждy пocлeдyющим и тeкyщим знaчeниeм, нa тeкyщий paзмep cмaльты. Этa вeличинa пoкaзывaeт, кaк c pocтoм paзмepa cмaльты мeняeтcя тa чacть пaлитpы (из-зa измeнeний в нocитeляx и pacпpeдeлeнияx в ocтaвшиxcя ЦИ), нa cмaльтax кoтopoй вычиcляeтcя этa xapaктepиcтикa ЦИ. Дpyгими cлoвaми, нacкoлькo pocт cмaльты пpивoдит к измeнeнию cтeпeни пepeceчeния нocитeлeй ЦИ мeждy coбoй. Ecли вeличинa пpиpocтa те измeняeтcя (нижe пopoгoвoй вeличины), то мoжнo гoвopить, чтo кoнкpeтнoe ЦИ rnpe-cтaлo пepeceкaтьcя c ocтaльными ЦИ нa пoдмнoжecтвe cмaльт пaлитpы - нocитeлe этoгo ЦИ.
На практике, если изменение величины условной энтропии для любого ЦИ меньше или равно некоторой задаваемой величине, то следует остановиться на том размере смальты, для которого эта величина была получена первой для любого из ЦИ. В нашем случае, прирост условной энтропии для Гильберт.Ьшр при размере смальты 3 X 3 составил 0,00138, что меньше порогового значения, равного 0,002 (Рис. 3). Однако, этот способ является достаточно субъективным, поскольку величину порога заранее определить нельзя.
На Рис. 2 представлены значения резонанса для
каждого из ЦИ. Эта величина является неким аналогом понятия "линейного расстояния" рассматриваемой мозаики до центра группы - палитры. По величине резонанса все ЦИ разделились на два класса, что скорее очевидно, поскольку первые пять ЦИ серьезно отличаются от оставшихся по палитре, с одной стороны. С другой -первые пять ЦИ являются родственными фракталами (визуально похожи), что означает, что в их структуре существуют определенные закономерности, которые и отличает их от оставшихся трех ЦИ. То, что Neton3var.bmp, фрактал, был отнесен во второй класс
изображений, тоже очевидно: для Гильберт.bmp, Случ_т1.Ьшр и Neton3var.bmp их палитра и структура отличаются как друг от друга, так и от 5 фракталов, что и приводит к выделению их в отдельный класс. Очевидно, что если бы палитра Гильберт.Ьшр совпадала с 5 фракталами (была темно-синей), то результаты для
него были бы другими: он был бы ближе к их классу. Результат: использование только этой меры близости позволяет выделить два класса ЦИ и дает основание для проведения дальнейших экспериментов, например, для изучения отношений, существующих между 5 фракталами.
Рисунок 2 - Значения резонансов для каждого изображения
Рисунок 3 - Условные энтропии изображений
Таблица 1 - Значения абсолютных энтропии для всех изображений
Размер смальты Энтропия палитры Энтропия Энтропия Энтропия Энтропия Энтропия Энтропия Энтропия Энтропия
Ма^е1Ьг Мапае1Ьг2 ^1оп3уаг Car1Geidg еоэ Geig1 Гильберт Случ_т1
1 2,90203 2,24353 1,92551 2,80592 2,19388 3,17699 2,86555 0,638551 0,693099
2 5,20815 3,23524 2,74508 4,86687 3,7858 6,53849 5,26725 1,76358 2,79943
3 6,592 3,95593 3,35596 5,94053 4,4961 7,20392 6,43927 3,06906 6,27787
Таблица 2 - Значения условных энтропий для всех изображений
Размер смальты Энтропия палитры Усл. энтропия Усл. энтропия Усл. энтропия Усл. энтропия Усл. энтропия Усл. энтропия Усл. энтропия Усл. энтропия
Mande1Ьг Mande1Ьг2 ^1оп3уаг Car1Geidg еоэ Geig1 Гильберт Случ_т1
1 2,90203 0,485915 0,636032 1,43119 0,386457 0,508394 0,322703 1,77111 1,13143
2 5,20815 0,872924 0,942623 1,93041 0,890542 1,21086 0,986003 2,02485 1,80521
3 6,592 1,04207 1,08401 2,0056 1,09632 1,39834 1,22742 2,07806 2,06556
Таблица 3 - Значения резонансов для всех изображений
Размер смальты резонанс резонанс резонанс Резонанс резонанс резонанс резонанс резонанс
Mande1br Mande1br2 Neton3var Car1Geidg ео8 Geig1 Гильберт Случ_т1
1 0,83256 0,780832 0,506832 0,866832 0,824814 0,888801 0,389699 0,610125
2 0,832393 0,81901 0,629348 0,82901 0,767507 0,810681 0,611214 0,653387
3 0,841918 0,835557 0,695753 0,83369 0,787873 0,813801 0,684761 0,686657
Таблица 4 - Значения парных резонансов для некоторых пар изображений
Резонанс пары: Резонанс пары: Резонанс пары: Резонанс пары: Резонанс пары: Резонанс пары: Резонанс пары:
Размер смальты Mande1br и Mande1br и Mande1br и Mande1Ьr и Mande1br и Mande1Ьr и Mande1br и
Mande1br2 Neton3var Car1Geidg ео8 Geig1 Гильберт Случ_т1
1 0,806696 0,669696 0,849696 0,828687 0,860681 0,61113 0,721343
2 0,825701 0,73087 0,830701 0,79995 0,821537 0,721803 0,74289
3 0,838738 0,768836 0,837804 0,814896 0,82786 0,76334 0,764288
0,8
0,7-
2 3
размер смальтъ
■ резонанс для пары:
□ резонанс для пары:
□ резонанс для пары: Щ резонанс для пары:
□ резонанс для пары:
□ резонанс для пары:
□ резонанс для пары:
■ резонанс для пары: О резонанс для пары:
□ резонанс для пары:
□ резонанс для пары:
■ резонанс для пары: Щ резонанс для пары:
□ резонанс для пары:
■ резонанс для пары:
□ резонанс для пары:
□ резонанс для пары:
□ резонанс для пары:
□ резонанс для пары: П резонанс для пары:
□ резонанс для пары:
□ резонанс для пары:
□ резонанс для пары:
■ резонанс для пары:
□ резонанс для пары:
□ резонанс для пары: П резонанс для пары:
□ резонанс для пары:
Mandelbr.brrp и Mandelb[2.brrp Mandelbr.bmp и lvteton3uar.bmp Mandelbr.bmp и CarlGBidg.bmp Mandel br.brrp и cos.brrp Mandelbr.bmp и ffigl.bmp Mandel br.brrp и Гильберт.brrp Mandelbr.bmp и СпучП .bmp Mandel br2.brrp и Neton3var.brrp Mandelbr2.bmp и Carl Оэ dg. bmp Mandelbr2.brrp и cos.brrp Mandel br2.brrp и Qagl.brrp Mandelbr2.bmp и Гильбергг.Ьтр Mandelbr2.brrp и Спуч П .brrp Neton3var.bmp и CarlGäidg.bmp Neton3var.brrp и cos.brrp Neton3var.bmp и (Sgl .bmp Neton3var.brrp и Гильберт, brrp Neton3var.brrp и Спуч П .brrp CarlG3idg.bmp и cos.bmp CarlGadg.brrp и Qagl.brrp CarlG3idg.bmp и Гильбергг.Ьтр CarlGadg.brrp и Спуч П .brrp cos.bmp и Gsigl.bmp cos.brrp и Гильберт.brrp cos.brrp и Случ П .brrp Gsigl.bmp и Гильбэргг.Ьтр Gfei gl. brrp и Случ П. brrp Гильбергг.Ьтр и Спуч П .bmp
Рисунок 4 - Парные резонансы для всех пар изображений
Необходимо, еще раз отметить, что результаты сравнения ЦИ зависят от размера смальты: на одном размере ЦИ может быть ближе к палитре (или соседу), а на другом - дальше, что наглядно показывается на Рис. 2. Рост размера смальты не гарантирует монотонного поведения меры близости, поскольку она сильно зависит от структуры всех ЦИ. Это значит, что нельзя ожидать сохранения наблюдаемого сейчас поведения величины резонанса, если будет выбран другой набор изучаемых ЦИ (или в нем выполнены изменения).
Рис. 4 демонстрирует величины парного резонанса для каждого ЦИ с последующим в списке. Это позволяет оценивать насколько каждое изображение "похоже на соседа".
Данные скалярные характеристики очень удобны для дальнейшей обработки полученных результатов, например, методом KRAB [8, 9] при построении таксономии изучаемых множеств. Обсуждение этих вопросов, однако, выходит за рамки настоящей статьи.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Александров А.А., Александров B.B., Бородовский Ю.М. и др. Компьютерный анализ генетических текстов. М.: Наука, 1990.
2. Konopka A.K. "Theoretical Molecular Biology"/In: Molecular Biology and Biotechnology, (R.A.Meyers, Ed.) (1995). VCH Publishers, Weinheim, p.888 - 896.
3. Горбань А.H., Попова Т.Г., Садовский М.Г. Избыточность генетических текстов и мозаичная структура генома. Мол. Биология (1994), т. 28, № 3, с.313 - 322
4. Горбань А.Н., Попова Т.Г., Садовский М.Г. Корреляционный подход к сравнению нуклеотидных последовательностей ЖОБ (1994), т.55, № 4/5, с.420 - 430.
5. Бугаенко H.H., Горбань А.Н., Садовский М.Г. Об определении информационного содержания нуклеотидных последовательностей. Мол.биология (1996) т.30, №3, с.529- 541.
6. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. М.: Мир, 1976. Т.1.
7. Горбань А.Н. Обход равновесия. Новосибирск: Наука, 1984. 268 с.
8. Загоруйко Н.Г. Методы распознавания и их применение. М.: "Советское радио", 1972. 206 с.
9. Загоруйко Н.Г. Гипотезы компактности и компактности в методах анализа данных //Сибирский журнал индустриальной математики, Новосибирск, Институт математики СО РАН 1998 с. 114 - 127
10. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Основы функционального анализа. М.: Наука.- 1978. 735 с.
11. Горбань А.Н., Россиев Д.А. Нейронные сети на персональном компьютере. Новосибирск: Наука, 1996. 275с.
12. Бугаенко Н.Н., Кирдин А.Н., Садовский М.Г. Кодирование кучей и восстановление целого из частей // 5 Всерос. конференция "Нейроинформатика и её приложения", Красноярск 22 - 25 сентября 1997 г. С.25-27.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Описание техники создания мозаики
Поскольку существуют несколько видов цифрового представления изображений, определяющих количество цветов в палитре, то для упрощения последующей обработки ЦИ были приняты следующие условия:
1. входное изображение рассматривается как последо-
вательность байтов, упорядоченных по строкам;
2. в одном байте ЦИ не может содержаться больше одного пиксела изображения; для этого все черно-белые и 16-цветные изображения преобразуются к виду: 1 пиксел - 1 машинный байт;
3. программа, реализующая данный метод сравнения, работает только с изображениями, удовлетворяющими первому условию, для чего все ЦИ преобразуются к требуемому виду;
4. текущая версия программы будет выдавать "осмысленные" (правильные) результаты, только если все входные изображения одинаковы с точки зрения битовой глубины: все цветные (1 пиксел - 3 байта), все черно-белые (1 пиксел - 1 байт)! Это значит, что нельзя сравнивать черно-белое изображение и цветное, так как текущая версия программы этого пока не отслеживает;
5. сравниваться в данной версии программной реализации изложенного метода могут только эквивалентные по размеру ЦИ.
Всюду ниже под понятием класс подразумевается конструкцию языка С++. В результате анализа были выделены следующие классы: класс Изображение (Image), класс Смальта (Smalt), класс Мозаика (Mozaic) и класс Палитра, который будет потомком класса Мозаика.
Класс Изображение содержит в себе данные о размере обрабатываемого ЦИ в пикселах, указатель на пиксельные данные и данные о глубине цвета обрабатываемого ЦИ. Конструктор данного класса получает в качестве параметра имя BMP файла, содержащего ЦИ: Image (char *BmpFileName);.Данный класс - конвертор формата BMP в удобное для работы программы представление (требования к представлению ЦИ были описаны выше). Необходимость выделения данного класса - соображения безопасности и удобства: каждая мозаика создается только из смальт конкретного ЦИ, к которому у нее есть права доступа.
Класс Image предоставляет удобный интерфейс для работы с любым требуемым пикселом ЦИ. При чтении последовательности пикселов происходит преобразование из входных 2D координат в выходную координату на прямой, так как строки ЦИ хранятся в строках развертки, выравниваемых на 32 битовую границу. Все строки - развертки хранятся последовательно одна за другой, восстанавливая исходное ЦИ слева направо и снизу вверх. Процесс создания мозаики (вырезания смальт) идет с левого нижнего угла ЦИ: с координаты (0,0);
Класс Смальта содержит в себе координаты положения смальты в ЦИ и указатель на обрабатываемое изображение. Местоположение смальты учитывается как положение (в координатах) крайнего левого пиксела первой строки. Необходимой характеристикой смальты является ее размер (в пикселах), поэтому конструктор этого класса имеет вид: Smalt(Image*, LONG x, LONG y, LONG w, LONG h);.
Три следующие функции обеспечивают наведение порядка на множестве смальт:
int CmpLines(Smalt &sm, LONG line); - сравнивает две одинаковые по индексу строки смальт:
int operator == (Smalt &sm); - сравнивает смальты построчно на эквивалентность;
int operator<(Smalt &sm); вводит отношение порядка на множестве смальт, основываясь на лексикографическом критерии старшинства. Смальты упорядочиваются построчно, с уменьшением старшинства по мере увеличения номера сравниваемых строк (снизу вверх).
Класс Мозаика реализуется как массив пар данных. Каждая пара состоит из указателя на смальту и числа копий, соответствующего этой смальте в данном ЦИ. Такая пара создается всегда после прочтения новой смальты из ЦИ. Занесение этой пары в массив осуществляется следующим образом. Смальта из добавляемой пары сравнивается с уже находящимися в массиве смальтами. Если ее экземпляр уже находится в массиве, то число копий увеличивается на единицу, и процедура на этом заканчивается. Если данная смальта в мозаике отсутствует, то ищется пара элементов массива, между которыми должна находится вновь добавляемая пара (смальта и число ее копий, равное 1), определяется данная позиция. После этого все элементы, которые должны находится после нового, сдвигаются на одну ячейку массива, необходимую для представления нового элемента. Новая смальта заносится в массив (на данную позицию) с частотой 1.
Столь "сложный " способ формирования мозаики обладает одним преимуществом: создаваемый массив пар сортируется в порядке старшинства смальт по мере его создания.
Методом поиска местоположения новой смальты выбран метод дихотомии, как самый эффективный среди методов прямого поиска при текущих условиях: позволяет найти требуемую позицию за log2N шагов (N -
число смальт в мозаике). Необходимость такого подхода оправдывается требуемыми скоростью работы и ограничениями на использование ресурсов, поскольку камнем преткновения этой процедуры является операция сравнения смальт. Чем больше уникальных смальт в ЦИ, тем больше операций сравнения необходимо произвести уже на этапе поиска местоположения смальты
Размер массива, выделяемый под мозаику, определяется сразу, поскольку максимальное количество его элементов заранее известно. В текущей версии программы предпочтение было отдано сдвигу элементов массива при освобождении требуемой позиции для простоты программирования и минимизации потребляемых ресурсов (памяти). Однако такой способ работы с массивом, естественно приводит к увеличению времени работы программы.
Необходимо отметить, что хотя в текущей мозаике хранятся числа копий смальт, будем считаем ее
частотной мозаикой. Необходимость такого шага -предотвращение потери значимости, которая возникала бы в процессе работы с очень маленькими плавающими числами.
Класс Палитра отличается от Мозаики только тем, что в нем хранятся не числа копий смальт, а непосредственно их частоты, а частоты встречаемости смальт рассчитываются только после окончания формирования всех мозаик.
Реализация алгоритма программы следующая:
1. Частотные мозаики создаются последовательно;
2. Формирование носителя палитры происходит параллельно с формированием мозаик. Это значит, что после создания первой мозаики палитра и эта мозаика эквиваленты по элементному составу (смальты и их порядок). При формировании следующей мозаики, ее смальты начинают добавляться (и упорядочиваться) среди уже существующих элементов палитры;
3. После окончания формирования мозаик происходит расчет частот встречаемости смальт в палитре: среднее арифметическое частот встречаемости смальт в мозаиках;
4. Рассчитываются все статистические характеристики;
5. Оформляется отчет по результатам вычислений.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Свойства метода
Инвариантность относительно сдвига и перестановки части изображения является важной характеристикой любого метода, претендующего на работу с изображением.
Результаты метода статистического сравнения изображений не зависят от перестановки или сдвига крупных частей исходных изображений, а также их вращения вокруг центра изображения.
Понятие "крупная часть ЦИ" нуждается в пояснениях, так как, очевидно, является относительным и субъективным.
Для его формализации введем следующие определения:
1. крупный - это сопоставимый по размерам с размерами исходного ЦИ (например, половина);
2. крупный - это "много" или "достаточно" больше размера смальты, для которой строится палитра. Достаточность, в свою очередь, будем понимать как возможность построения для этой части ЦИ новой мозаики, статистика, которой будет отличаться от равновесной. Последнее замечание гласит: если каждая смальта в новой мозаике уникальна, то это плохой выбор размера крупной части.
3. крупный - это когда переход от текущего размера "крупной части" к следующему вверх (на один пиксел по всему размеру) реально не ведёт к изменению энтропии.
Иными словами - крупный, это когда по нему всё очень хорошо восстанавливается (см. Приложение 3: процедура продолжения смальты).
Инвариантность метода относительно вращения ЦИ вокруг его центра, очевидна, если всегда это "новое" ЦИ помещать в палитру. При вращении на любое количество градусов необходимо соблюдать следующее правило: изменяться (вращаться) может только содержимое, расположенное внутри границ ЦИ, а не сами границы.
Точковая мутация - еще один важный параметр для изображений. Суть этой мутации состоит в изменении символа в некотором узле решетки ЦИ. Если 100% точковые мутации не приводят к изменению вычисляемых характеристик, то точно можно утверждать, что ничего "осмысленного" (с точки зрения человека) в этом ЦИ не было. Пример, случайное изображение.
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Методы, основанные на использовании
мозаики ЦИ
Все обсуждаемые ниже задачи и, соответственно, методы, основываются на понятии мозаики и способах ее формирования. Именно этот факт позволяет считать их родственниками методу статистического сравнения объектов, а также то, что объект исследования для всех -ЦИ.
Процедура продолжения смальты
Под продолжением смальты будем понимать процедуру получения из исходной смальты размера ^ смальты на единицу большего размера ^ + 1 . Способом получения смальт из ЦИ будет вырезание на торе. Заметим, что тогда все выделяемые смальты всегда пересекаются между собой по некоторым подсмальтам меньшего размера (кроме случая смальт размера 1 X 1 ).
Формализованное определение этой задачи будет таким: пусть существует частотная мозаика размера ^ , требуется взаимно однозначно восстановить по ней мозаику размера ^ + 1 , никакой другой информации нет.
Одна из возможных процедур восстановления -решение задачи условной оптимизации. Суть метода -максимизация энтропии создаваемой мозаики при учете ограничений: суммы всех частот встречаемости создаваемых смальт должны быть равны частотам встречаемости исходных смальт. Смысл ограничений прост: если в ЦИ некоторая смальта встретилась п раз, то все другие, включающие ее в себя как часть, будут встречаться не чаще раз. В противном случае обратный переход (от мозаики большего размера к меньшей) будет неоднозначен, т. е. мы никогда не получим ту же самую мозаику, по которой осуществлялось восстановление.
Требование максимизации энтропии создаваемой
В. П. Клименко, А. Л. Ляхов, Т. Н. Швалюк: АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРОГО КЛАССА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
мозаики гарантирует, что в создаваемой мозаике будут присутствовать все возможные смальты, которые могут существовать для мозаики размера ^ + 1 , но частоты смальт в ней будут отличаться от мозаики размера ^ + 1 ,. вырезанной из ЦИ
Задача локального восстановления Задача локального восстановления - это восстанов--ление исходного ЦИ по конечной мозаике. При таком восстановлении эта процедура имеет комбинаторный характер - перебор всех вариантов расположения смальт мозаики с целью получения исходного ЦИ, причем о правильности "сборки" постоянно сигнализируют известные величины границ ЦИ (размер) и количество смальт после каждого шага восстановления. Под шагом восстановления будем понимать "встраивание" еще одной смальты в уже собранную часть ЦИ. Таким образом, при неправильном восстановлении нам будет либо не хватать смальт определенного вида, либо будут нарушаться заданные границы изображения. Пример задачи этого типа - детская мозаика.
Задача глобального восстановления Восстановление изображения по частотной мозаике будем называть задачей глобального восстановления. Основное отличие этой задачи от предыдущей состоит в том, что частоты смальт уже не меняются в ходе сборки. Поскольку с частотной мозаикой, мы теряем информацию о размере ЦИ, меняется контекст задачи восстановления: вместо одного ЦИ теперь восстанавливается ансамбль изображений. Под ансамблем ЦИ будем понимать совокупность различных ЦИ, для которых
одинаков исходный частотный словарь.
Решением задачи глобального восстановления будет последовательное восстановление мозаик одна за одной до размера исходного изображения. Это значит, что в восстановленной мозаике размера NX N одна из смальт является нашим исходным изображением (т.е. в данном случае исходное изображение было квадратным). Это значит, что только одна смальта является необходимой,
а остальные И2 - 1 смальт являются лишними!
Главная проблема при разработке метода решения задачи глобального восстановления - создание подхода, позволяющего отбрасывать "лишние" смальты без потери качества восстановления последующих мозаик, а также нарушения условия нормировки. Один из подходов к решению этой задачи был предложен в [12].
В связи с тем, что задача восстановления в общем случае имеет только вероятностное решение, важен вопрос о том, когда она допускает однозначное решение. Необходимо создать критерий, определяющий существование критического размера мозаик - й* , при котором процесс восстановления ЦИ однозначен, т. е. начиная с этой длины, по любой мозаике восстанавливается все
ЦИ. Мозаика размера й* - такая, для которой частоты всех смальт равны единице, причем для мозаики размера й* - 1 хотя бы одна смальта встречается не менее двух раз. Для символьных последовательностей ее существование доказано [3-5].
УДК 681.3.06+519.683
АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРОГО КЛАССА
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
В. П. Клименко, А. Л. Ляхов, Т. Н. Швалюк
Символьные преобразования громоздких формульных выражений являются одним из наиболее сложных аспектов аналитического моделирования инженерных задач. Предложен компьютерный метод решения одного класса систем дифференциальных уравнений. Приведены результаты решения задач.
The symbolical transformations of bulky formula expressions are one of the most complex aspects of analytical modeling of engineering problems. Computer method of the decision of some class of systems of differential equations is offered. Results of the decision of problems are shown.
1. ВВЕДЕНИЕ
Усложнение математических моделей является одной из тенденций развития науки. Диалоговое, и тем более
ручное, манипулирования с формульными выражениями становится все менее эффективным и уже сейчас часто требует большим временных и интеллектуальных затрат от авторов задач, что на практике ограничивает сложность применяемых аналитических моделей и методов. В связи с этим, особую важность и актуальность представляет разработка средств автоматического решения задач методами компьютерной алгебры и технологии их применения.
Современные системы КА обладают возможностями описания весьма сложных аналитических моделей, однако, как правило, средства анализа, которые необходимы для построения автоматических программ, у них
