CC BY
71
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том VIII 1977
№ 2
УДК 533.6.013.2
МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОБ ОТРЫВНОМ ОБТЕКАНИИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ ПРОИЗВОЛЬНО ДВИЖУЩЕГОСЯ ТРЕХМЕРНОГО ТЕЛА
М. А. Головкин
Рассмотрена нелинейная задача о произвольном неустановив-шемся движении трехмерного тела в идеальной несжимаемой жидкости. Приведены условия схода свободной вихревой пелены с поверхности тела при неустановившемся обтекании. Показано, что форма представления потенциала абсолютных скоростей, принятая в работе, позволяет свести условие непроницаемости тела к уравее-' ндям .Фредгольма II рода для плотности потенциала двойного сдр^,,., ; при этом давление на поверхности тела выражается непосредственно, ’ ’
через гидродинамические особенности. Проведенные численные : ; исследования показали практическую применимость метода к расчёту ь обтекания трехмерных тел. : пт;
. : "'Г!
Вопрос о возможности существования течений идеальной жидкости при наличии в ней разрывов тангенциальных компонентов скоростей рассматривал еще Л. Прандтль. Та кие течения для класса плоских и автомодельных трехмерных течений рассмотрены также в работах [1-^3]. В работе [4] решена задача о расчете двумерного отрывного течения с перемещающейся вдоль контура точкой отрыва потока. В работах [5] и [6] на основе дискретной вихревой модели решена задача об отрывном обтекании абсолютно тонкой пластины бесконечного размаха и круглой пластины и дан метод решения задачи об отрывном обтекании тонкого крыла произвольной формы в плане. В работе [7] рассмотрена задача о неустановившемся обтекании произвольного профиля со свободно деформирующимся вихревым следом. При этом граничные условия сведены к интегральному уравнению теории потенциала для плотности потенциала двойного слоя. В работе [8] приведено доказательство .отсутствия относительного течения жидкости в области, ограниченной твердой непроницаемой вихревой поверхностью, в случае стационарного обтекания трехмерных тел посту-патёльным потоком, и получены соотношения для расчета такого обтекания при наличии подъемной силы. В работе [9] задача о произвольном циркуляционном безотрывном обтекании крыла конечной толщины сведена к решению уравнения I рода относи-
тельно плотности диполей, а в работе [10] в линеаризованной постановке рассмотрена задача об обтекании крыла на основе применения формулы Грина. В работах [11] и [12] рассмотрена задача о бесциркуляционном обтекании тел конечной толщины идеальной несжимаемой жидкостью, в которых условие непроте-кания поверхности тела сводится к решению уравнения Фред-гольма II рода для плотности потенциала простого слоя, а в работе [13] дан анализ условий, которые необходимо выполнять на угловой задней кромке крыла при стационарном обтекании.
Фиг. 1
В данной работе рассмотрена задача о произвольном неуста-новившемся движении кусочно-гладкого трехмерного тела, причем образующиеся за телом поверхности разрыва тангенциальных компонентов скоростей могут деформироваться*. Приведены условия схода свободной вихревой пелены с поверхности тела при неустановившемся обтекании, причем линия схода пелены может быть замкнута. Условие непротекания поверхности тела сводится к уравнениям Фредгольма II рода относительно плотности потенциала двойного слоя. Рассматриваемая работа является обобщением работы [7] на трехмерный случай.
Т. Постановка задачи. Пусть тело с кусочно-гладкой поверхностью 5 (л:, у, z) (прямоугольная система координат Oxyz связана с телом) произвольно движется в безграничной идеальной несжимаемой ЖИДКОСТИ С переносной скоростью ©о =W+®Q, где
W = grad (х, уу z, t) — вектор-поступательной скорости, ©о =«>(£) X Хг(х, у, z) — вектор скорости вращательного движения тела с угловой скоростью w(0, t — время. Жидкость также может совершать неустановившееся невозмущенное телом движение со скоростью К = grad Фк(л:, у, z, t). Если вектор возмущенной телом скорости, обращающейся в нуль на бесконечном удалении от тела, обозначить » = grad<p(x, у, z, t), то вектор абсолютной скорости частиц жидкости будет равен U—V+u.
Будем считать, что с поверхности тела в виде поверхности разрыва тангенциальных составляющих скоростей сходит след s,(x, У, z, t), сопряженный с телом по гладкой и замкнутой линии
. * В настоящей работе не приводятся соотношения для вычисления деформации следа, однако в переменных Лагранжа они могут быть получены, например, аналогично работе [7].
схода х, которая разбивает поверхность 5 на две части: и 52.
Поверхность 5 делит безграничное пространство О на внешнюю по отношению к 5 и 53 односвязную область <?_ и внутреннюю 0+ (фиг. 1). Причем нормали пх и п., к 5, и 52 направлены в в+, а положительное направление нормали п*3 показано на фиг. 1.
Задача отыскания потенциала <р для соленоидального поля скоростей, как известно, сводится к следующей внешней задаче Неймана для уравнения Лапласа:
Д?_=0 в 0_; (^)_ = Ъоп—Уп на 5_;
р+-р- = 0; на 53.
(1.1)
2. Некоторые исходные соотношения. Как известно, согласно формуле Стокса, скорость, индуцируемая ограниченной линией х поверхностью 5' с распределенным по ней двойным слоем переменной по 5' плотности V, выражается формулой
<2»
х 5'
Здесь Г = 4™ — циркуляция скорости по любому контуру, охватывающему х в предположении отсутствия поверхности 5'; г' — вектор, направляемый из точки интегрирования В(Ь, у, С) в фиксированную точку М(х, у, г); ч — единичный вектор касательной к х в точке интегрирования, у'1 — вектор поверхностного распределения завихренности. Далее будем считать, что Г и у’— функции, удовлетворяющие условию Липшица.
Аналогично работам [14] и [15] первый интеграл в (2.1) при стремлении точки к точке х0 £ т выражается формулой:
^ ■". -Г-«' + [- ^-р-—Т?1с‘I -р- ] »' + °(11:>• <2-2)
где п' — главная нормаль, Ь'— бинормаль к х; сх и с2 — некоторые константы; с3 — кривизна линии х в точке х0.
Известно (см., например, [16]), что скорость, индуцируемая вихревым слоем, распределенным по поверхности 5', на границе этого слоя [второй интеграл в (2.1)] равна:
V"' = т’ (х0) 1п I -^г-1 п" -(-0(1). (2.3)
Здесь ^ = 7*(х0) • = ^(х^соэ а —проекция вектора у' на направ-
ление -с, а -^(х)— на направление /, нормальное т; «" — нормаль к поверхности 5' в точке х0; а —угол между вектором у* и касательной к линии х.
Так как циркуляция скорости по контуру ЛЬ (см. фиг. 1) Г3 (х, I, () = ср3+—<р3_, а вектор поверхностной интенсивности вихревого слоя равен
+ <2‘4>
* В дальнейшем индексы 1, 2, 3 или I (<=1, 2, 3) будут соответствовать поверхностям $1, ^2, 53, остальные же буквенные индексы, стоящие внизу, означают проекцию на соответствующее направление, а знаки “ и . + в зависимости от смысла, соответствуют 0_, 0+ или же предельным значениям величин на поверхности 5; со стороны отрицательного или положительного направления нормали к ней щ. Если индексы .—“, . + “ у величин отсутствуют, то это означает, что они непрерывны при переходе через 5^.
то применение интеграла Коши — Лагранжа с обеих сторон точки £>6 53< совершающей движение вдоль следа с относительной скоростью
приводит первое на поверхности 53 граничное условие (1.1) к виду:
где х и I — некоторые ортогональные поверхностные координатные линии на 53.
3. О направлении схода потока с поверхности тела и условиях на линии схода. Пусть по поверхностям 5 и 53 распределен вихревой или двойной слой. Составляя выражение для вектора скорости вблизи линии схода потока в точке М-^А^х, учитывая, что на линию х опираются поверхности 51; 52 и 53, требуя ограниченности вектора скорости и принимая во внимание соотношения (2.1) —(2.3), получим следующие тождества по времени:
аналогичные соотношениям в работе [7]. Здесь т — любое направление, а за положительное направление векторов принято такое, при котором смешанное произведение х X я, • Тг положительно, т. е. векторы, входящие в него, составляют правую систему.
Очевидно, что (3.2) тривиально выполняется при чч, =7т3^0,
что возможно при а1 = а2 = а3 = + “, т. е. когда вихревые линии,
лежащие на 52, 53 ортогональны х или когда полные векторы завихренности равны нулю (у, = у2 = у8 == 0). Условие (3.2) выполняется и в случае комбинации двух последних тождеств, например: а! = а2 = +-£-, Уз = 0; а] = + -у-, у2 = у3 = 0 и так далее.
Требование непрерывности скоростей вблизи точки А эквивалентно выполнению (3.2) и тождествам ='Рг3_, =
которые дают скачок скоростей по направлению х в следе:
Если 7, =0, то это означает отсутствие вихрей, ортогональных х на 53, что возможно при Т3 = 0 или 8та3==0.
Рассмотрим тождество (3.2) в различных случаях расположения нормалей я, и пг в точке Л^х.
Пусть точка схода А — угловая точка линии 1г12, образованной пересечением ортогональной к х плоскости П, проходящей через точку А, с поверхностями 5, и 52, причем /^5,, /2с=52. В этом случае пхфп2, щ тфщ т, 0<р<1, где — угол между /, и /2. Если тт=0 в точке А, то в силу условия (3.2) имеет место тривиальный случай ч*, =-[Тз = 0.
Из условия непрерывности скоростей в области и граничных условий следует, что в углу, образованном поверхностями 5 и 53, проекция относительной скорости на плоскость П отсутсТ-
(2.5)
дГ3 дГ з д1 дГ3 дт дt д1 1 дх д(
(2.6)
+ Тз X и • ==■ 0.
(3.1)
(3.2)
== V-
(3.3)
вует, откуда следует, что поверхность 53 должна иметь общую касательную плоскость либо с £., либо с 52) тогда из условия (3.2)
либо я3 || пи либо я, II п
Ъ. = о, -Т2 + = о,
Тха = 0, Тх,+Тхз = 0-
(3.4)
Анализируя эти выражения при условии, что вихревая пелена сходит с поверхности тела 5, и учитывая соотношение (2.6), приходим к следующим условиям:
дt ^ <к д( ^ „ аг . _<*г ^ ^
д( дт д( ^ )
Щ = пи (t) = 0, Тт, (t) — 1Ъ (t) = 0 при »з = — я2, Tti(/) = 0, Tt.(0 — Tk(0 = 0 при
Условие (3.4') является следствием условия Чаплыгина — Жуковского об ограниченности скорости жидкости вблизи острой кромки при ~(3(г)^£0, следствием непрерывности скоростей и условия схода следа 58 в любой момент времени именно с острой кромки тела.
Аналогично для случая, когда точка А подвижна или неподвижна и расположена на гладком участке (^=1) линии ^/2, применяя соотношение (2.6), записанное в системе координат, связанной с точкой отрыва А, получаем
п3 = п „ ЬЛ0=Ъ,(*) — ЪМ) при -§г + ^-'4г>0’
л3 =-я2, и(9 = ъ(9—Уъ(*) ПРИ ~!г+ “?Г ’ “ЗГ <°-
(3.4")
Учитывая, что индивидуальная производная йГ/сИ инвариантна относительно системы координат, т. е. производные в соотношении (2.6) можно взять в системе координат, связанной с телом, соотношения (2.4) и (2.5) для угловой точки А при О -» А могут быть представлены в виде:
т, V + %-
®з = + Із Н-§-Тз’ Та = *«* + ~
Подставляя эти соотношения в выражение (2.6), получим, что
I „2 — О — dt “2_
пелена сходит с поверхности тела, т. е. 0, и что sign -у-., =
Г <ЭГ , (ЭГ dr 1 = -Slgn -ЯГ + -ЛГ-ЯГ , получим:
дГ
-\-v2 —v2 . Учитывая это, а также то, что вихревая
dt
Vt,
liU
дх dt
1 f\
2
Tk = -
V
V
дГ
dt
sign
<0, г>Хз = , dr
1—
dt
Vz
v~
— , (3.5) (3.6)
При относительной скорости внутри тела, равной нулю (это имеет место, как будет показано в п. 5, в данной задаче), в выражениях (3.3), (3.5) и (3.6) 1> ^2- ’ В том случае, когда
точка А неподвижна и лежит на гладком участке линии /,/2, (3.4") преобразуется в (3.4'), при этом (3.5) и (3.6) остаются в силе.
Соотношения (3.5), (3.6) сохраняются и в случае подвижной линии отрыва (точки А), расположенной на гладком участке поверхности S, при этом выражения, входящие в (3.5), (3.6) нужно рассматривать как полученные в системе координат, начало которой движется и всегда совпадает с точкой отрыва А.
4. Представление потенциала возмущенных скоростей. Учитывая, что в общем случае тело может совершать вращательное движение с угловой скоростью о» (t), как это делалось в двумерном случае (см. работы [7] и [17]), заполним область G+ вихрями с интенсивностью
rotva = Q(t) = 2(o(t), (х, у, z)£G+, (4.1)
зависящей только от времени. Так как внешнее возмущенное течение при этом должно оставаться потенциальным, то необходимо положить
rot©s = Q(t) = О, (х, у, Z)£G-. (4.2)
При этом скорость Vs от вихрей, заполняющих область G+, как в области G+, так и в области G- могла быть найдена из соотношения = rot q>1J, где у3 = Q(<)/4n j j*J—-------векторный потен-
циал, удовлетворяющий векторному уравнению Пуассона Дуа=Й(^). Однако это приводит к противоречию, заключающемуся в том, что циркуляция скорости, обусловленной этими объемными вихрями, непрерывна при непрерывном переводе контура интегрирования LcG- в L+ с G+ в силу непрерывности скорости ver а интеграл по поверхности, натянутой на этот контур, которому должна равняться циркуляция скорости в силу формулы Стоксаг оказывается разрывным в силу условий (4.1) и (4.2).
Действительно, пусть контур LczS замкнут и пусть выполняются условия (4.1) и (4.2). Рассмотрим интегралы по контурам
L- a S- и I+CS+: jv^-dl и j*®® -d/. Так как теорема Стокса
Z. —
выполняется отдельно в каждой из областей G_ иО+,то, применяя ее для вычисления этих интегралов с учетом условий (4.1) и (4.2),
получим — 0 и dl — JJ Qn db соответственно, где
L— L +
8 с: G+— какая-либо поверхность, опирающаяся на контур L+.
Соединим контуры Z._ и L+ двумя бесконечно близкими отрезками Z.J и L2 и рассмотрим интеграл по образованному таким образом контуру от скорости учитывая последние два интеграла и что J©s-d/-f j©s-d/ = 0, получим
Л, L,
(4.3>
L б
Интеграл в левой части уравнения (4.3) можно представить в виде:
j* (vl — ©f.) • dl = |V X П ■ dl, (4.4)
L 1
где y“ — вектор поверхностной плотности вихрей, характеризующий разрыв касательных скоростей. Таким образом, в силу соот-
ношений (4.3) и (4.4) мы приходим к выводу, что тангенциальная скорость на поверхности S должна претерпевать разрыв, и, следовательно, по поверхности 5 необходимо распределить вихри с плотностью уш, которую представим в следующем виде: =
— яХ®|> где — проекция ©о на S. Покажем, что при этом условия (4.3) и (4.4) будут выполнены. Действительно, в силу свойств двойного векторного произведения, = Учитывая
непрерывность скорости вращательного движения при переходе через поверхность S и подставляя последнее выражение в правую часть соотношения (4.4), применив к нему формулу Стокса, получим ^Vg-dl= ^v*-dt=2 Принимая во внимание условие
L L "Ъ
(4.1), убеждаемся, что соотношение (4.3) при этом выполняется, что и требовалось доказать.
В силу того, что возмущенное течение в области G_ потенциально, и в силу сказанного выше, потенциал возмущенного течения может быть представлен в виде
¥_ = ?! + ^+Т) (4.5)
где <pv — потенциал двойного слоя, распределенного по поверхностям 5 и Sa с плотностью v, Z7!4"1 = F— + FL — потенциал возмущенного движения в области G_ от вихрей, заполняющих область G+, и вихревого слоя на поверхности S с интенсивностью 7”. Потенциал /\L+T для заданного момента времени известен и может быть представлен в виде интеграла по поверхности S.
Следует отметить, что в соотношение (3.2) будет входить теперь поверхностная интенсивность х = Yv + Y”> ПРИ этом введение поверхностных и объемных вихрей никак не повлияет на условие (3.1), которое тождественно выполнению теоремы Томсона, так как система поверхностных и объемных вихрей выбрана таким образом, что они в след не сходят. Это видно из рассмотрения интеграла от скорости + vi по замкнутому контуру L'dS-, который равен нулю.
5. Преобразование уравнения для потенциала возмущенных скоростей. Вернемся к задаче (1.1) для потенциала возмущенных скоростей. С учетом соотношения (4.5) граничное условие на •S’-можно представить в следующем виде:
(t)- + (-TL)-x,o„-(t) + (t) = 0’ (x,y,s)^S-t (5.1)
причем здесь = (dFa+ildn) и все члены этого уравнения непрерывны при переходе через поверхность S. Следовательно, уравнение (5.1) выполняется при (х, у, z)£S+, однако = г>2+ -|-
-Ь г>+ на поверхности 5+ будет некоторой непотенциальной функцией. Но так как vi — gradF^ при (х, у, z)£S, rot©s = 2(/) при (х, у, z)fG+, rot г>о = 2о) (t) всюду в области G, то с учетом условия (4.1) получим: rot(t>9+? — г»о) — 0 при (х, у, z)£G+.
Это выражение, как известно, есть необходимое и достаточное условие потенциальности вектора (©s+? — ©“), таким образом, (®s+i — ®o) = gradF2+Y-“ при (х, у, z)(-G+. Учитывая это и обозначив потенциал относительной скорости в G+ через.
ф = tpv _J_ ^+т-“_+ получим =0 при (*, у, Z)£S+.
Очевидно, в соответствии с формулой Гаусса, потенциал Ф удовлетворяет уравнению Лапласа.
Таким образом, задача отыскания решения задачи (1.1) свелась к внутренней задаче Неймана для уравнения Лапласа ДФ = 0 с
граничным условием = 0 на поверхности 5+. Тогда, по тео-
реме единственности для внутренней задачи Неймана
Ф ==с(0, т. е. ©+=0, [х, у, г)^в+, (5.2)
ч
где © — относительная скорость жидкости.
Докажем обратное утверждение, что требование ©+=0 в области й+ тождественно задаче (1.1) с граничным условием на поверхности 5_. Пусть ©+=0, тогда вследствие условия (5.2) Ф = с(0 и, следовательно, выполняется уравнение (5.1) вследствие непрерывности производных, входящих в него.
Из условия (5.2) и непрерывности V, ©2, И''', ©“ с учетом поведения на границе потенциала двойного слоя и касательной к поверхности скорости от вихревого слоя получим, что относительная скорость на поверхности тела 5_ равна ©*_ = ®$_—• ©5+ = = —V X и, где у -= у'1 + у" — вектор поверхностной плотности вихрей, обусловленный двойным слоем и введенным ранее вихревым слоем.
Итак, граничное условие (5.1) может быть заменено условием
(5.2), которое с точностью до несущественной функции времени; в силу свойств потенциала двойного слоя, приводится к интегральному уравнению, определяющему плотность потенциала двойного слоя V в точке Р0(5 в любой момент времени
2пч(Р0. 0 - ^ »(Р, ЦК(Р0, Р;^5 = ф(Р0> <). (5-3)
Г де
ИРо, 0 = -®* + Фу-П+Т-" + ^IV(/>, г)К{Р0, Р)й5, (5.4.)
' ;................ , ;
К (Р0, Р)=------~г------ядро интегрального уравнения (5.3).
При этом потенциал в (54) может быть найден
в любой момент времени как интеграл по любому пути в области от вектора скорости ©а+т-ш = причем
удобно воспользоваться формулой полного дифференциала, связывающей приращение /7++т_“ с проекциями скорости на оси координат, а путь интегрирования выбрать вдоль осей координат. Тогда ш сводится к интегральному выражению, после изменения порядка интегрирования в котором и применения формулы Гаусса потенциал/*"++1_т представляется в виде интеграла по поверхности 5. " •
6. Решение уравнений для плотности потенциала двойного слоя. Таким.образом, задача о произвольном движении трехмерного тела в идеальной несжимаемой жидкости свелась к решению интегрального уравнения (5.3) при условиях, наложенных на искомую функцию (3.1) и ее производные (3.5), (3.4') или (3.4") и (3.3). Причем
в правой части уравнения (5.3) содержится неизвестная функция: в точках поверхности 53) стремящихся к линии схода х, предельные значения плотности потенциала двойного слоя неизвестны и связаны с плотностью потенциала двойного слоя на поверхностях ^ и 52 соотношением (3.1).
Покажем, что соотношение (3.1) удовлетворяется тождественно уравнением (5.3). Для этого предварительно докажем, что разрыв в решении уравнения Фредгольма II рода для плотности потенциала двойного слоя
2*> (Ро) - АР) к (Р, Р0) ^ = В (Р0) (6.1)
в точках Р) б ^ и Р2 £ 52 при Рх -* А, Р2 -> А, где А 6 ^ (■= — некоторая линия на поверхности 5), равен
v(Л)-v(Pг) = [S(P1)-S(Яs)]/f^,
где —угол между /1 и 12.
Действительно, проведем из точки А сферу 8 радиуса Я и обозначим часть поверхности вырезанную этой сферой через 8Ь а часть поверхности 52 -- через 82, причем пусть и 32 поверхности Ляпунова, и пусть Рхв^и Рг6^2- Разбивая интеграл в решении (6.1) на интеграл по 5/(8, Ш2) и интеграл по ЬХС1Ь2 и учитывая, что ядро К(Р, Р0) имеет скачок по переменной Р при переходе из §! в 82 через г, получим:
Ит §§ч(Р)К(Р, Р1)(18= Л ч(Р)К(Р, Л)^5*г(1-Р)у(Ру)+0(/?’|),
Р1^А 5 5/(6, ив2)
(/-1, / = 2), (г = 2, /=1),
где 0 < 7] < 1.
Учитывая, что радиус Р сферы может быть выбран произвольно малым, и записывая (6.1) для точек Р4 и Р2, с учетом последнего соотношения получим исходное соотношение, что и требовалось доказать. В частном случае, когда окрестность \С1Ь2 точки А гладкая и точка А не является особой точкой этой окрестности, то (3=1 и разрыв в решении (6.1) определяется только разрывом правой части уравнения (6.1), что следует и из работы [18]; если разрыв правой части равен нулю, то для любых разрыв в решении
(6.1) равен нулю.
Совершенно аналогично получим, понимая т как линию схода, что разрыв в решении уравнения (5.3) равен у(Р,) —у(Р2)=^3[а(Р1)—
— а(Р2)]/^. Здесь 2тга(Р,) и 27га(Р2) — предельные значения углов, под которыми’ видна площадка 83, вырезаемая сферой 8 в поверхности 53, из точек Р] -> А и Р2 -> А. Но ^(Рх) — а(Р2) = (3, откуда и следует соотношение (3.1). Таким образом, соотношение (3.1) не накладывает ограничений на угол, под которым вихревая пелена сходит с поверхности тела.
Из приведенных в п. 3 соотношений (3.5), (3.4') или (3.4") и (3.3) достаточно выполнить условие касательности свободной поверхности 53 к поверхности 5 и условие (3.5) для скорости сноса вихревой пелены. При этом соотношения для производных от плотности потенциала двойного слоя (3.3 ), (3.4') или (3.4"), когда линия х является особой, будут выполнены в силу свойств уравнения (5.3).
Для доказательства этих фактов необходимо продифференцировать уравнение (5.3) по двум ортогональным направлениям т и I (полученные таким образом соотношения эквивалентны уравнениям работы [8]) и рассмотреть пределы полученных соотношений при Р1->А и Р2->А. Рассматривая разность соответствующих производных от решения (5.3) для Р,А и Р2-»Д, с учетом поведения скорости, касательной к поверхности следа, убеждаемся, что условие (3.3) будет выполнено для любых р, а условие (3.4") выполняется в случае Р=1. В случае особой линии х, для любых р^О дифференцируя уравнение (5.3) по 1Х и 12 и учитывая, что при Рг->А и Р2Л имеет место соотношение (2.3), и разрешив полученные уравнения относительно и •[. —(1=1, / = 2 или /=1, 1 = 2}
I ^ -а
убеждаемся, что условие (3.4') для производных от V также будет выполнено.
Таким образом, поскольку в правой части (5.4) уравнения (5.3) содержится неизвестная функция vg, алгоритм решения уравнения
(5.3) может быть следующим. После сведения этого уравнения к системе алгебраических уравнений, эта система с учетом условия
(3.1) решается прямым методом, после чего по условию (3.1) определяется >3, а следовательно, и у3 на каждом шаге по времени.
Однако поскольку порядок системы обычно достаточно велик, целесообразно свести отыскание решения уравнения (5.3) к нахождению решений интегральных уравнений Фредгольма II рода, которые могут быть представлены в аналитическом виде или отысканы итеративными методами. Для этого интеграл, входящий в выражение (5.4), представим в виде суммы:
|Ь(р, ^)К(Р0, р)^+ Л ч{р, о/с(р0, р)<« =
А5з
= 1 уз (Р', <) |(1! (Р., Р') ^ + Л V (Р, О АГ(Р0, Р) (6.2)
где Д53 — часть следа шириной Ш, примыкающая к линии схода х,
Ф(1)(Р0, Р') = ф(1)<т0, /о, **> = 1^0, А» \ 1)М,
м
у8(Р', ^)— среднее значение v(P, () на <11, причем Р(х, /)бД53, а точка Р' (х, /,) 6 х.
Таким образом, с учетом соотношения (6.2) выражение (5.4) может быть записано в следующем виде:
’НРо, о=*(0)(п. о+]Ч(р\ тт(рй, р\ (б.з)
где значения ф<0)(Ро, 0 и ^(1)(Ро» Р'> 0 ясны из выражений (5.4) и
(6.2).
Будем искать решение уравнения (5.3) в виде
V (Р0, О = у<0) (Р0, I) +1 Vз (Р', I) ;(1! (Р„ Р', I) йх, (6.4)
где у<0)(Р0, г) — в силу линейности уравнения (5.3) решение этого уравнения с правой частью Ф(0)(Р0, £)•
Подставляя выражение (6.4) в уравнение (5.3), получим уравнение
2я^(1)(Р0) Р', 0 — ||^(,)(Р, Р', ЦК(Р0, Р)^ = ф(1)(Ро, Р'\ О-
s
Правая часть этого уравнения имеет особенность в точке Яр Р'- Домножая это уравнение на регуляризирующий множитель е(Р0 — Р’) и производя замену переменных путем введения новой функции
.,(1) = ;(,)(Р, Р', ^г(Р-Р'), получим уравнение Фредгольма II рода
^(1)(Р0, Р\ 0-Яу(1)(Р, Р', *)К(Р0, Р', Р)^ = Ф(1)(Я0, Р', 0, (6.5)
5
где ядро
К(Р0, Р', Р) = К(Р0, Р)-^~Рр,\ , У’ЧП, Р', *) =
в{Р— Р )
= Ф(,)(Я0. Р', Ъ*(Р0-Р')-
Это уравнение решается для различных значений параметра Р'. При этом характеристические числа уравнения (6.5) будут такими же, что и для уравнения (5.3) с правой частью ф(0).
Решения уравнения (6.5) с правой частью фО)(Р0, Р', 0 и уравнения типа (5.3) с правой частью Ф<0)(Ро, *), из которых вследствие соотношения (6.4) складывается решение исходного уравнения (5.3), могут быть представлены в аналитическом виде посредством резольвенты. Однако для численного решения задачи на ЭВМ метод отыскания резольвенты не всегда удобен. Поэтому иногда целесообразнее искать решение методом последовательных приближений, а так как характеристическим значением для этих уравнений является Х=—1, то применяя прием аналитического продолжения посредством домножения [19], получим:
^(Ро, о=-у *) + ЬоА) (р0, о+у(,Л)(р0, т +... (*=0, о, (6.6) ’
где
#>(Р0, <)= 1/2*У*)(Л>. 0, №г(Ро, *) = Я К(Р» 0^.
В этом случае для отыскания необходимо воспользоваться соотношениями (3.4') или (3.4") для случая, когда точка А подвижна и р=1. Подставляя выражение (6.4) в соотношение чх =0, из уело-
вия (3.4') получим уравнение для определения ч3:
йгЬм:'"* + ж=0> <6'7)
где г = 1 или 2, т. е. производные в уравнении (6.7) необходимо брать с той или иной стороны точки А, в зависимости от знака выражения
^ 4. ^ д1 — ^ ~ ^
дt дт д( дt 2 ’
в соответствии с условием (3.4'). Для нахождения ч3 в этом случае можно воспользоваться и вторым из тождеств по времени (3.4') для проекций вектора поверхностной плотности вихрей ц\_ (£) — ?т (х) = 0,
I
которое после подстановки в него выражения (6.4) дает уравнение для определения V*:
~ 7Г С Л = • (6'7°
и/|) 011 *' о1^
Аналогично, когда точка А подвижна, а ее окрестность является гладкой, причем точка А не является особой точкой этой окрест-
дчт
ности (Р = 1), из условия (3.4"), учитывая непрерывность — на 5,
дополучим уравнение для определения у3:
<6-8»
где i= 1, j == 2, или i = 2, j= 1, в соответствии со знаком выра-dr <?г дт /0 ....
жения — -----в условии (3.4 ).
dt дх dt
Таким образом, в случае отыскания решения уравнения (5.3) итеративным методом, его решение может быть представлено выражением (6.4); после того как найдены решения ^0) и v{1), входящие в выражение (6.4), плотность диполей в следе v8 может быть найдена из уравнений (6.7) или (6.7') в случае фиксированнной линии х, такой, что р ф 0, или же из уравнения (6.8) в случае, когда х подвижна и лежит на гладком участке поверхности 5.
7. Давление жидкости на поверхности тела. Давление жидкости на поверхности S- определяется интегралом Коши — Лагранжа, записанным в подвижной системе координат:
Р— va V% дФу
— = F(t) + —------— — — — ^ ,
Р 1 2 2 dt dt
где р — плотность жидкости, F(t) — произвольная функция времени.
Учитывая уравнения (4.5) и (5.3) и поведение потенциала двойного слоя на границе, получим:
<р_= Ф*' — Фу + F*— F++T—■ 4™ + F-+\
Но в силу равенства F+ = Fci и свойства вихревого слоя с поверхностной интенсивностью 7Ш:
L'
F,J = FL — Fl = j v™-dl, h
где L'0— фиксированная точка, a L' — переменная точка, причем путь интегрирования LqL'cS, потенциал возмущенной скорости на по-
* При решении уравнений (6.7), (6.7') следует иметь в виду, что входящие в них соотношения имеют особенности.
верхности 5_ представляется в виде ®_ = Ф —Ф —4тп». Итак, на внешней стороне тела, учитывая, что Vs_ = — Т X я, получим*
Р_ 1>Н дФ^ 1
----= ^(0 Н--------------------Ь 4^---------— [х? + х?]-
Р 4 7 2 дt ^ 2 1/1
Таким образом, давление жидкости на поверхности тела выражается непосредственно через гидродинамические особенности.
8. Применение метода к расчету обтекания трехмерных тел.
С целью апробации предложенного метода и сравнения результатов расчета с известными точными решениями, была решена задача о бесциркуляционном обтекании тела потенциальным потоком (без схода с его поверхности вихревой пелены), которая сводится в этом случае к решению уравнения (5.3) с известной правой частью ф(Р0) *) =ФУ. Решение этого уравнения искалось в виде выражения
(6.6), при этом
^ (^05 к) == „ ® К. ^о)>
. . - 2- . ' . . :
Фиг. 3
0,7
Л
(О
0,7
* Здесь устранена допущенная в частном двумерном случае опечатка, указанная самим автором [7].
*я + 1
К» 4) = И^(то, 10, =
/,>^-
«=1/=1
где -с, / — координатные линии на поверхности 5; г и у— номера точек по х и I соответственно; 2'^, —телесный угол, под которым виден элемент поверхности ЬБц из точки Р0(~о, /0)б5.
Была составлена программа расчета течения на языке ФОРТ-РАН-ЦЕРН и проведено сравнение получающегося приближенного решения задачи об обтекании эллипсоидов вращения с известным точным решением [20], причем при различном „разбиении“ поверхности эллипсоидов на элементарные площадки (варьировались / и У) было получено удовлетворительное соответствие приближенного решения с точным. На фиг. 2 приведено сравнение результатов расчета потенциала скоростей, скорости и коэффициента давления на поверхности эллипсоида вращения с полуосями а=1; 6 = 0,5; с = 0,5 при обтекании его потоком со скоростью на бесконечности V~= 1. Приближенное решение отыскивалось до достижения отно-' сительной точности 0,01, число проделанных итераций при этом равнялось 9. Видно вполне удовлетворительное соответствие результатов.
На фиг. 3 показана начальная стадия (момент безразмерного
\
времени х = — =0,41 развития отрывного течения в придонной области полуэллипсоида вращения с полуосями а = 0,8, Ь = 0,2 при движении его по закону: У=10*, если *<0,1; V = 1, если *>0,1.
В заключение автор выражает благодарность В. А. Головкину за постоянное внимательное руководство проделанной работой.
ЛИТЕРАТУРА
1. Никольский А. А. О .второй* форме движения идеальной жидкости около обтекаемого тела (исследование отрывных вихревых потоков). ДАН СССР, т. 116, № 2, 1957.
2. Никольский А. А. Законы подобия для трехмерного стационарного отрывного обтекания тел жидкостью и газом. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 1, № 1, 1970.
3. Судаков Г. Г. Расчет отрывных течений около конических крыльев малой толщины. ,Ученые записки ЦАГИ*, т. 5, № 6, 1974.
4. Постоловский С. Н., Ильичев К. П. Расчет вихревого обтекания тел потоком несжимаемой среды при высоких значениях чисел Ие. НИИинформтяжмаш, Энергетическое машиностроение, турбостроение, № 3-70-20. М., 1971.
5. Белоцерковский С. М., Н и ш т М. И. О двух режимах срывного обтекания пластины. ДАН СССР, т. 213. № 4, 1973.
6. Белоцерковский С. М., Н и ш т М. И. Нестационарная нелинейная теория тонкого крыла произвольной формы в плане. „Изв. АН СССР, МЖГ% 1974. № 4.
7. Головкин В. А. Нелинейная задача о неустановившемся обтекании произвольного профиля со свободно деформирующимися вихревым следом. „Ученые записки ЦАГИ*, т. 3, № 3, 1972.
8. Павл овец Г. А. Методы расчета обтекания сечений крыла идеальным несжимаемым потоком. Труды ЦАГИ, вып. 1344, 1971.
9. Djojodihardgo R. H., Widnall S. E. A numerical method for the calculation of nonlinear unsteady lifting potential flow problems. AIAA Paper, N 69-23, 1969.
10. Mori no L., Kuo Ch-Ch. Subsonic potential aerodynamics for
compler configurations; A Ceneral Theg. ,AIA.\ j., v. |w'/4.
11. Маслов Л. А. Произвольное движение продолговатого тела в идеальной жидкости. „Изв. АН СССР, МЖГ‘, 1966, № 6.
12. Hess J., Smith A. Calculation of nonlifting potential flow about arbitrary threedimensional bodies. J. Ship. Res., 1964, vol. 8, № 2.
13. Mangier K. W., Smith J. H. B. Behaviour of the vortesc sheet at the trailing edge of a lifting wing. Aeronatical J., 1970, XI.
14. Дородницын А. А. Обобщение теории несущей линии на случай крыла с изогнутой осью и осью неперпендикулярной потоку. ПММ, т. VIII, 1944.
15. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М., „Мир“, 1973.
16. М а й к а п а р Г. И. К теории тонкого крыла. Приложение вихревой теории винта. Труды ЦАГИ, вып. 613, 1947. '
17. Казачков Л. Я. Нестационарное обтекание многорядной двумерной решетки профилей гидромашин в слое переменной толщины. .Энергомашиностроение", 1970, № 6.
18. Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М., Физматгиз, 1959.
19. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.—Л., Физматгиз, 1962.
20. Л а м б Г. Гидродинамика. М.—Л., ОГИЗ — Гостехиздат, 1947.
Рукопись поступила ЩШ 1976
