Метод решения задачи этапного усиления мощности полигона сети железных дорог Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 656.2.02 Ткаченко Юрий Александрович,

аспирант кафедры «Изыскания и проектирование железных дорог» ДВГУПС,

тел. 89098739737, e-mail: urtk@mail.ru Шварцфельд Вячеслав Семенович, д. т. н., профессор, заведующий кафедрой «Изыскания и проектирование железных дорог» ДВГУПС,

тел. 89145415320, e-mail: svs@festu.khv.ru,

МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЭТАПНОГО УСИЛЕНИЯ МОЩНОСТИ ПОЛИГОНА СЕТИ ЖЕЛЕЗНЫХ ДОРОГ

Y.A. Tkachenko, V.S. Shvartsfeld

METHOD OF SOLVING THE PROBLEM OF INCREASING CAPACITY ON RAILWAYS NETWORK POLYGON

Аннотация. Приводятся результаты автоматизации определения маршрутов следования поездов и поиска оптимальной схемы увеличения провозной способности на найденных маршрутах. Отличительной особенностью является поиск кратчайшего и альтернативных маршрутов одновременно по нескольким критериям. Для найденных маршрутов представлен способ поиска оптимальной схемы.

Ключевые слова: алгоритм, провозная способность, оптимальная схема, кратчайший путь.

Abstract. The results of automated determination of trains routes and searching for the optimal scheme to increase freight capacity on routes is presented. A distinctive feature is the search by several criteria for the shortest and alternative routes simultaneously. It is shown how to find the optimal scheme to increase freight capacity for the found routes.

Keywords: algorithm, freight capacity, the optimal scheme, the shortest path.

Задача этапного усиления мощности полигона сети железных дорог является многоэкстремальной, имеющей разрывы первого рода целевой функции. Решение задачи предлагается производить с помощью декомпозиции, существенно снижающей размерность задачи и состоящей из двух основных этапов.

На первом этапе для проведения системного анализа сети железных дорог необходимо иметь информацию о кратчайших и альтернативных маршрутах следования поездов между заданными узлами. Для этих целей сеть железных дорог можно представить в виде взвешенного ориентированного графа [1] G = {YZ, ZV}, где YZ = {yzx, yz2, ...yzn} - множество узлов сети (раздельные пункты с путевым развитием); ZV = { zvi]- } - множество звеньев (участки железнодорожной линии, соединяющие смежные узлы zvi и zvj). В связи с тем, что

участки пути могут быть однопутными с движением поездов в обоих направлениях и многопутными со специализацией путей по направлениям движения поездов, звенья должны иметь соответствующую ориентацию.

Маршрут следования поездов на сети железных дорог j из узла yzt в узел yzj представляет собой упорядоченную последовательность звеньев, которая начинается в yzt и заканчивается

в yZj . Причем звенья, входящие в состав одной и

той же магистрали или железнодорожной линии, должны иметь одинаковый признак специализации пути по направлению движения поездов и номер железнодорожного пути. Этими ограничениями обеспечивается условие непрохождения маршрута дважды через один и тот же узел. Ранг или длина маршрута L(Uj) представляет собой физическую длину по данному пути j , т. е. расстояние из узла yzt в узел yz.. В отдельных случаях, в

зависимости от постановки и целей сетевого анализа, «ранг маршрута» может представлять собой показатели: протяженность, стоимость перевозок, время доставки груза, результирующую пропускную или провозную способности и т. п.

Все возможные маршруты из узла yz в узел

yz_j образуют множество My = {jj}. Каждый

маршрут ujj (k = 1, K), k - порядковый номер

маршрута, будем описывать перечнем звеньев,

входящих в данный маршрут:

j _

uij jp ,ups ,usd ,-,uhj

= zv. ,zv ,zv ,,...,zv, ., ip ps sd hj

или упорядоченным перечнем узлов:

j

Uj = yzi,yzp,yzsyzi.

(1)

(2)

Системный анализ. Моделирование. Транспорт. Энергетика. Строительство _Экономика и управление_

ш

В реальных условиях, как правило, для связи между заданными узлами сети железных дорог используются не все возможные маршруты, а только те, которые удовлетворяют определенным условиям или обладают определенными свойствами.

Множество маршрутов, обладающих определенным свойством, обозначим М*. С учетом

этого при анализе сети железных дорог могут быть найдены: допустимые маршруты Мдоп с М* ;

оптимальные маршруты М°" с М °п; маршруты М^ с М<Ьш>, имеющие ранг, значение которого не

превышает заданной величины, и т. п. Частным случаем является поиск кратчайшего маршрута по заданному показателю, т. е. маршрута с минимальным рангом ц (£т1п) е М*.

В некоторых случаях необходимо рассматривать независимые (по узлам и звеньям) маршруты, т. е. такие маршруты, в состав которых не входят одни и те же звенья или узлы. Нахождение таких маршрутов требуется, например, при анализе надежности и живучести сети железных дорог.

Выбор (поиск) допустимых Мд°п с М* или

оптимальных Моп с Мд

У V

маршрутов между за-

рий д^ , значение которого не превосходит некоторой заданной величины д'. В других случаях границей допустимости может служить непревышение значения заданного критерия или оптимального критерия на величину £ , т. е.

(4)

дооп <доп +£ . V V

или

ддоп <доп (1 + <у /100)

(5)

данными узлами и у2. может осуществляться

по различным критериям. Такими критериями могут быть максимально допустимые значения: длины маршрута, стоимости перевозки грузов, эксплуатационных затрат, какого-либо технического параметра (число двухпутных или однопутных участков) и т. п. В некоторых случаях на маршрут могут накладываться ограничения по соображениям надежности и живучести. Например, маршрут следования грузов не должен проходить через районы, подверженные различным природным воздействиям, вблизи государственной границы и т. д.

В общем случае определение критериев может осуществляться различными способами. Остановимся на критериях, обладающих свойством аддитивности. К таким критериям относятся стоимость перевозки грузов, удельные эксплуатационные расходы, протяженность маршрута и т. п., определяемые как сумма отдельных составляющих этого критерия по звеньям, образующих маршрут:

дУ =д^) = !/у , (3)

где 8 - частный критерий звена .

Условием поиска допускаемых маршрутов, как было отмечено выше, может выступать крите-

где и - процентное отклонение от оптимального значения критерия.

Критерии узлов 8, в общем случае, будем считать равными 0. В тех случаях, когда при нахождении маршрута необходимо учесть критерии узлов, их включают в критерий звеньев, которые проходят через соответствующие узлы.

Поиск кратчайших путей на полигоне сети железных дорог выполняется на основе некоторого критерия, называемого «длиной» пути. Наиболее часто в задачах распределения перевозок критерием является минимум затрат на освоение заданных объемов перевозок.

В качестве оценок распределения перевозок, наряду с минимумом дифференциальных затрат, могут выступать время следования по выбранному маршруту; протяженность маршрута; ходовая, техническая и участковая скорости; расход электроэнергии или топлива и т. д. Назначение того или иного частного оценочного критерия распределения перевозок либо их совокупности зависит от требуемой степени детализации и возможностей получения информации о предлагаемых критериях.

Каждому звену графа (участку железнодорожной линии) можно присвоить ранг (вес), т. е. значение соответствующих критериев (длина, время хода, стоимость перевозки, удельные эксплуатационные расходы и т. п.). Тогда решение данной подзадачи сводится к нахождению маршрута с оптимальными значениями по каждому критерию и близких к нему.

Следующей подзадачей, после выделения пар рассматриваемых маршрутов, является поиск оптимальных схем увеличения провозной способности на этих линиях.

Требуется найти такой вариант этапного развития существующих железнодорожных линий, входящих в полигон сети, чтобы за расчётный период были наименьшие суммарные приведённые затраты на усиление мощности указанных элементов полигона сети.

На полигоне сети требуется распределить грузопотоки такими долями а, по возможным маршрутам их следования, найти такой вариант

иркутским государственный университет путей сообщения

этапного усиления мощности железнодорожных линий, чтобы соблюдалось условие:

Э = Х Э (t, Г, Гmin при выполнении ограничений:

Г ^ [ Гт1п ; Гмах ]

Г'е[Г' • Г' ]

L min ' мах J

яе[0;1]

t е

[к;t,]

(6)

(7)

где Э - суммарные приведенные затраты; Г - грузопоток в одном направлении; Г' - грузопоток в обратном направлении; а - коэффициент распределения грузопотоков; ^ - расчетный период времени.

Эти ограничения вытекают из условия распределения грузопотоков на полигоне сети и требуют изменения загрузки в определённых диапазонах; изменения долей распределения в заданном диапазоне; соблюдения временных границ.

Транзитный грузопоток между двумя железнодорожными линиями полигона может распределяться неравномерно. Если выразить транзитный грузопоток через доли распределяющегося грузопотока и обозначить их через а, то предел изменения а - отрезок от 0 до 1.

После назначения коэффициента распределения грузопотока и выбора перспективных технических состояний решение задачи этапного усиления мощности подразумевает решение нескольких мелких задач:

- расчет потребной и возможной провозных способностей;

- нахождение сроков исчерпания мощности;

- формирование возможных переходов из одного состояния в другое;

- расчет капитальных вложений и эксплуатационных расходов для каждого технического состояния;

- нахождение экономически рациональных сроков перехода;

- нахождение оптимальных (и близких к ним по разным критериям) схем увеличения провозной способности.

Расчет потребной и провозной способности можно выполнить согласно методике и формулам, представленным в учебнике [2].

На основе исходных данных о грузовых перевозках и рассчитанной возможной провозной способности, методом линейной интерполяции производится поиск сроков исчерпания мощности технического состояния.

Перед определением капитальных вложений

производится поиск возможных переходов из одного технического состояния дороги в другое. Поиск происходит по принципу логической целесообразности (переход от более совершенного к менее совершенному состоянию не допускается).

Определение экономически рационального срока перехода из состояния / в ] начинается с анализа условий возможности появления такого срока. Он может наступить при выполнении условий:

С (t) > сj (t) E • Kj < С, (t) - CJ (t)

(8)

где Ci (t), C. (t) - ежегодные эксплуатационные расходы соответственно в i-м и j-м состояниях; K

- общая стоимость перехода из i-го в j-е состояние; E - нормативный коэффициент эффективности капитальных вложений.

Формирование оптимальной схемы в общем случае производится методом, разработанным на кафедре «Изыскания и проектирование железных дорог» МИИТа профессорами А.П. Кондратченко и И.В. Турбиным, и осуществляется на сетке «состояние - время». На этой сетке вертикальными линиями отмечены технические сроки исчерпания мощности каждого технического состояния, а горизонтальными линиями - технические состояния. Подробно этот метод описан в учебнике [2].

В исследовании В.С. Шварцфельда [3] для нахождения глобального минимума целевой функции предлагается использовать метод Хука -Дживса (метод конфигураций). Процедура метода Хука - Дживса состоит в следующем: назначая в каждой зоне исходную базовую точку, исследуют окрестности этой точки и получают следующую базовую точку с лучшим значением функции цели. При изменении значения целевой функции в пределах заданной точности поиск минимального значения критериальной функции в данной локальной области прекращают. Сравнение локально-оптимальных значений целевой функции определяет решение задачи, соответствующее глобальному минимуму функции приведенных затрат на усиление мощности полигона сети при наилучшем распределении грузопотоков.

Решение двух подзадач этапного усиления мощности полигона сети железных дорог можно выполнить автоматизированным способом. В его основе заложено применение классического алгоритма Э.В. Дейкстры [4] для поиска кратчайших путей. Выбор алгоритма может быть обусловлен сравнительно небольшой асимптотикой и простотой реализации.

Системный анализ. Моделирование.

Экономика

Транспорт. Энергетика. Строительство и управление_

Цх..) ^шт[£(х1), Ь(р) + с(р, х:)].

(9)

ш

В общем случае этот метод основан на приписывании узлам (вершинам) временных меток, причем метка узла (вершины) дает верхнюю границу значения критерия от узла ух к рассматриваемому узлу (вершине). Эти метки (их величины) постепенно уменьшаются с помощью некоторой итерационной процедуры, и на каждом шаге итерации одна из временных меток становится постоянной. Последнее указывает на то, что метка уже не является верхней границей, а дает точную длину «кратчайшего» пути от узла ух к рассматриваемому узлу (вершине).

Алгоритм метода

Присвоение начальных значений:

Пусть Ь(х) - метка узла (вершины) х ■ .

Шаг 1. Присвоить Ь(ух) = 0 и считать эту метку постоянной. Присвоить Ь(х) = <х> для всех х ■ Ф ух и считать эти метки временными. Присвоить р=ух.

Обновление меток:

Шаг 2. Для всех х . еО(р) , метки которых

временные, изменить метки в соответствии со следующим выражением:

ционных затрат (критерий П7г]) (рис. 1), которые могут быть определены по формуле:

п=Екч+££ с(о-ч ,

(10)

где п - количество технических состояний, входящих в схему; К - капитальные вложения; С - эксплуатационные расходы; X - номер этапа; ^ - год проведения реконструктивных мероприятий по переходу дороги из состояния 7 в состояние ч - коэффициент приведения отдалённых во времени затрат к начальному периоду.

состояние

Е С (,) -ч

К-ч

Превращение метки в постоянную:

Шаг 3. Среди всех вершин с временными метками найти такую, для которой Ь(х*) ^ шт[Дх*)].

Шаг 4. Считать метку вершины х постоянной, присвоить р =х* .

Шаг 5. Если р =г, то Ь(р) является длиной кратчайшего пути. Останов. Если р Фг, перейти к шагу 2.

Этот алгоритм отлично подходит не только для автоматизированного поиска кратчайших и альтернативных маршрутов следования поездов между заданными узлами, но также и для поиска оптимальных схем увеличения провозной способности, так как с математической точки зрения сетку «состояние - время», на которой происходит поиск оптимальных схем, можно представить в виде взвешенного ориентированного графа с множеством узлов (точек перехода из одного состояния в другое) и множеством рёбер, соединяющих смежные узлы (переходы из одного состояние в другое). Его ориентированность обусловлена тем, что обратные переходы невозможны.

Каждому ребру графа присвоен вес, т. е. значение приведенных строительно-эксплуата-

Рис. 1. Схема вычисления критерия П,

Так как оптимальная схема овладения перевозками - это такая схема, при которой критерий суммарных затрат за период развития мощности дороги будет минимальным, то решение задачи сводится к нахождению маршрута с наименьшими приведёнными строительно-эксплуатационными затратами П, из начального состояния в конечное:

Э = кяач + Е К-Ч + ЕЕС (0ч. (11)

Итоговым результатом является схема с минимальными строительно-эксплуатационными затратами, после чего происходит поиск глобального минимума на экономической поверхности при помощи метода Хука - Дживса.

Алгоритм Дейкстры использовался одновременно при создании двух программных средств, что позволило сократить время на реализацию.

Первое программное средство (рис. 2) служит для отыскания кратчайших и близких к ним маршрутов на полигоне железнодорожных линий. Однако оно может быть также использовано для

х=1

X=1 г=г,.+1

X=1

иркутским государственный университет путей сообщения

обоснования выбора направления трассы при проектировании новых железнодорожных линий.

Рис. 2. Главное окно программы поиска кратчайших путей

Второй программный продукт (рис. 3, 4) служит для поиска оптимальных схем увеличения провозной способности на сети железных дорог. На данную программу получено свидетельство о государственной регистрации [5].

Вывод: применение данного метода с использованием вычислительной техники позволяет не только значительно облегчить и ускорить процесс поиска кратчайших и близких к ним маршрутов на полигоне сети железных дорог, но так же произвести поиск оптимальных схем увеличения провозной способности на выбранных линиях.

Рис. 4. Поиск оптимальной схемы увеличения провозной способности

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Форд Л. Р. Потоки в сетях / Л. Р. Форд, Д. Р. Фалкерсон. М. : Мир, 1966. 277 с.

2. Изыскания и проектирование железных дорог : учеб. для вузов ж. д. трансп. / И. В. Турбин, А. В. Гавриленков, И. И. Кантор и др. : под ред. И. В. Турбина. М. : Транспорт, 1989. 479 с.

3. Шварцфельд В. С. Обоснование этапности усиления мощности полигона сети железных дорог в предпортовом регионе : дисс... канд. техн. наук : 05.22.03 / В. С. Шварцфельд. М., 1984. 195 с.

4. Кристофидес Н. Теория Графов. Алгоритмический подход. М. : Мир, 1978. 432 с.

5. Ткаченко Ю. А. Формирование оптимальных схем увеличения провозной способности параллельных железнодорожных линий / Ю. А. Ткаченко, В. С. Шварцфельд : свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011611359, 11.02.2011.

Рис. 3. Ввод данных о технических состояниях линии, расчет провозной способности, определение сроков исчерпания мощности