Метод решения обратных задач, использующий дополнительную априорную информацию Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.948

МЕТОД РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЙ ДОПОЛНИТЕЛЬНУЮ АПРИОРНУЮ ИНФОРМАЦИЮ

О.В. Григорьева

Во многих обратных задачах математической физики имеется дополнительная априорная информация о точном решении, которую необходимо использовать для качественного улучшения приближенного решения. В работе дано обобщение метода невязки, предложенного В.К. Ивановым в работе [1]. Метод невязки позволяет использовать дополнительную априорную информацию.

Ключевые слова: операторное уравнение, некорректно поставленная задача, гильбертово пространство, метод невязки.

I. Постановка задачи. Пусть U, F и V - гильбертовы пространства, A - инъективный линейный ограниченный оператор, отображающий U в F, а L - линейный замкнутый оператор с

областью определения D (L) с U и множеством значений R (L) с V, причем D (L) = U . Обозначим через K выпуклое замкнутое множество из U и предположим, что K П D(L) ф 0 . Рассмотрим операторное уравнение первого рода

Au = f (1)

и предположим, что при f = f0 существует решение u0 уравнения (1), которое принадлежит множеству K П D (L), но точное значение f0 нам не известно, а вместо него даны f5 е F и 5 > 0 такие, что

If -f>||<5. (2)

Требуется, используя априорную информацию f5, 5 , D (L) и K, построить приближенное решение us уравнения (1) и оценить его уклонение ||u5 - u0|| от точного решения u0.

Метод решения поставленной задачи будет заключаться в сведении ее к вариационной задаче

inf {||u||2 +1|Lu||2 : u е D(L) П K,||Au - f51| < 5}. (3)

II. Обоснование метода (3).

Теорема 1. При любых значениях 5 > 0 и f5 е F вариационная задача (3) разрешима. Доказательство. Пусть Q5 = {u: u е D(L) П K,||Au - f5|| < 5} . Тогда из того, что u0 е K П D (L) и соотношения (2) следует, что D.5 ф 0.

Таким образом, числовое множество G5 = {||u||2 +1|Lu||2 : u еП5} непустое и ограничено снизу

числом 0. Если ||f5|| < 5, то 0 еПг и является решением вариационной задачи (3). Если ||f51| > 5, то из ограниченности снизу множества G5 следует существование нижней грани

inf {||u||2 + J|Lu||2 : u е D(L) П K,||Au - f51| < 5}. Из определения нижней грани следует существование минимизирующей последовательности {un}сП5 такой, что

||un ||2 +1|Lun ||2 ^ inf {||u||2 +1\Lu\2 : u еП5}. (4)

Из (4) следует ограниченность последовательностей {un} и {Lun}, а ввиду гильбертовости пространств U и V - их слабая предкомпактность.

Таким образом, существует подпоследовательность {un^} такая, что

unk ^ u при k ^ да, (5)

а

сл

Lunk ^ v при k ^ да. (6)

Так как оператор L линеен и замкнут, то из (5) и (6) следует, что u е K П D (L) и

v = Lu. (7)

Из линейности и ограниченности оператора A и соотношения (5) следует, что

сл

Aun ^ Au при k ^ да, (8)

а из (8), что

сл

Aunk - fs ^ Au - fs при k ^ да. (9)

Из (9) по свойству нормы слабого предела имеем, что

||Au - fS || < lim I\Au4 - fs ||, (10)

k ^да

а из того, что для любого k unk eQ.S , а, следовательно, ||Aunk - fs || < S , на основании (10) получим, что

|| Au - fS У < S. (11)

Таким образом, учитывая соотношение (11) и то, что u е K П D (L), получим

u е Qs. (12)

На основании свойства нормы слабого предела и соотношений (5)-(7) получим, что

II 1|2 И l|2 ill ||2 II ||2)

||u|| +|\Lu\\ < \unk\\ + \Lunk\\ . (13)

k^да I )

Из соотношений (4), (12), (13) следует, что u является решением задачи (3). Тем самым теорема доказана.

Наряду с задачей (3) рассмотрим задачу

inf {||u||2 +|\Lu\\2 :u е D(L)ПK,||Au -fs|| = s}. (14)

Теорема 2. Если для любых u е K и Я е [0;1] Xu е K, а | \fs || > s , то задачи (3) и (14) эквивалентны.

Доказательство. Чтобы не проверять разрешимость задачи (14), докажем, что любое из решений задачи (3) является решением задачи (14).

Предположим противное, то есть существует точка u е K П D (L) такая, что ||Au - fs || < s и

||u||2 +||Lu||2 = inf {||u||2 + ||Lu||2 :u еQS}. (15)

Рассмотрим числовую функцию р(Я), определяемую формулой

p(A) = ||AAu - fs ||, Яе[0;1]. (16)

Из (16) следует непрерывность функции р(Я) на отрезке [0;1] и что

р(1) = |Au - fs || < s. (17)

Тогда из (17) следует существование числа т > 0 такого, что для любого значения Я, удовлетворяющего условию |Я -1 < т , выполняется неравенство

р(Я)< s. (18)

Таким образом, из (18) следует, что р\ 1-| =

A

1 - 21 »

- fs

< S и, следовательно,

(l-2]», а (1 -2) M2 + (1 -21 \L»\2 <IHI2 \L»\2, что противоречит тому, что û решение задачи (3).

Таким образом, || Aû - fS || = S и û является решением задачи (14). То, что любое решение задачи (14) является решением задачи (3) очевидно.

Теорема 3. Если для любых » е K и X е [0;1], X» е K, то решение задачи (3) единственно.

Доказательство. Предположим, что |\fS || > S и теорема неверна. Тогда существуют точки û1 и û2 е Qs такие, что û1 Ф û2 и

||»1|2 +| (LûJ2 = ||û2||2 +| |Lû2||2 = inf {|M||2 + ||Lû||2 : û eQS}. (19)

û1 + û2

Пусть û

. Тогда из соотношения (19) будет следовать, что

IMU2 +1|Lû||2 < inf {|M||2 +1|Lû||2 : û е Qs

(20)

Так как из теоремы 2 следует, что \Ащ - /8|| = 8 и \\Аи2 - /8|| = 8 , то из строгой выпуклости гильбертова пространства Г следует, что

||А« - /81| < 8. (21)

Из (21) следует существование числа т > 0 такого, что

A

1 - 21û

- fs

1 - 21û е°.

< S , а, следовательно, (22)

Тогда из (20) и (22) будет следовать, что

(1 - 2) 2 +(1 - 2) 2 < inf {||ûlP +1 \Lût : û еО

2 )•• У 2,..................................(23)

Соотношение (23) противоречит нашему предположению о существовании двух различных решений задачи (3).

Если 11/81| < 8 , то единственным решением задачи (3) является элемент 0 . Тем самым теорема доказана.

Решение задачи (3) обозначим через и8 и определим оператор Р8, отображающий Г в и формулой

Р8/8 = и8. _ (24)

Теперь исследуем непрерывность оператора Р8 на множестве АК + Б8о, где

^о = {/: / е Г,||/|| < 80,0 < 80 < 8} . Для этого наряду с задачей (3) рассмотрим аналогичную задачу

1|2 и г II2

inf {||û||2 +||Lû||2 : û е D(L) f| K,|| Aû - fs (n)||< s}

(25)

где /8 (п) е Г. Из теорем 1-3 будет следовать существование единственного решения и8 (п) за-

дачи (25).

В дальнейшем мы будем предполагать, что множество К является выпуклым, замкнутым и удовлетворяет условию: для любых и е К и X е [0;1], Хи е К.

Теорема 4. Если /8 и {/8 (п)} с АК + , |\/81| > 8 и для любого п /8 (п) > 8 , а /8 (п) ^ /8

2

при n ^да , то ||ûs (n)- ûs|| +|\LûS (n)- Lûs|| ^ 0 при n

2

Доказательство. Предположим противное. Тогда существует число е0 > 0 и подпоследовательность {пк} такие, что для любого к 1|/8 (пк )|| > 8 и

К (пк ) - «812 + I\1и8 (пк ) - Ьи8 ||2 > е02. (26)

Так как /8 е АК + 580, то существует точка и е В (Ь) П К такая, что

||Аи - /81| < 8. (27)

Из того, что /8 (пк) ^ /8 при к ^да, следует существование номера к1 такого, что для любого

к > к1

и / ч и и и 8 - \Лй - iA

Ц/ (Пк) - /81| < |\Лй - /81| +-11 2 -781. (28)

Из (27) и (28) следует существование номера к2 > kj такого, что для любого к > к2

и / ч и 8 - \Лй - iA

/ (Пк)- /81| < " , т. (29)

2

Таким образом, из (28) и (29) следует, что при к > к2

||/8 (пк)- Аи|| < 8, (30)

а из (30), что для любого к > к2

II 1|2 И ||2 и ц2 и и2

||и8 (пк )|| +|\Ьи8 (пк )|| < И +1 \Ьи\ . (31)

Из (31) следует слабая предкомпактность последовательностей {иПк} и \ЬиПк}, а так как оператор Ь линеен и замкнут, то без ограничения общности можем считать, что существует точка и е В (Ь) П К такая, что

сл

и8 (пк и при к ^да (32)

и

Ьи8 (пкЬи при к ^да. (33)

Так как оператор А линеен и ограничен, то из соотношения (32) следует, что

сл

Аи8 (пк)- /8 (пк) ^ Аи - /8 при к ^ да. (34)

Из соотношения (34) по свойству нормы слабого предела будем иметь, что

||Аи - /8|| < Нш|| Аи8 (пк )- /8 (пк |. (35)

к ^да

Из того, что для любого к || Аи8 (пк) - /8 (пк )|| < 8 , а /8 (пк) ^ /8 при к ^ да , на основании (35) будем иметь, что

|| Аи - /81| < 8. (36)

Из (32) и (33) по свойству нормы слабого предела будет следовать, что

2 и ii2 (и 1|2 И i|2)

||и|| +|\Lu\ < lim { \и8 (пк) + \Lu8 (пк ) (37)

кI '

Теперь введем в рассмотрение последовательность {мк}, определяемую формулой

ик = Уки8 +(j - У к )u (38)

где ук e[ü;j] и удовлетворяет условию

\\Лйк - /81| = 8-||/8 (Пк )-/81|. (39)

Из (38) и (39) следует, что для любого к

\\Лик - /8 || < У к ||Л«к - /8 || + (j - Ук )||- /8 ||, (40)

а из (40), что для любого к

\\Aük - fs || < Ук5 + (1 - Ук) || Aü - fs\\ < 5. (41)

Так как f5 (nk) ^ f5 при k ^ да , то из (41) следует, что

Yk ^ 1 при k ^ да. (42)

Из (38) и (42) следует, что ük ^ ü5 при k ^ да и Lük ^ Lü5 при k ^ да . Таким образом,

II 1|2 и ||2 и ц2 и ц2

||ük|| +||Lük|| |üs|| +|\Lüs\\ , (43)

а из определения üs (nk) и теоремы 2, что для любого k

\\Aüs (nk)-fs|| >S -fs (nk)-fs||. (44)

Из определения üs (nk) и формулы (44) следует, что для любого k

1|2 ||г / ч||2 „(,, ц2 и,- ||2

u (nk )||2 + |\ьи5 (nk |2 < inf {||u||2 + ILUI2 : u g D (L) f| K, || Au - fs || < 5 -1| fs (nk ) - fs ||}, (45)

s \nk \\ ^\\LUs\nk \\ — inM U ^\\LU\\ : u^D\Ln iK ,Au fs fs \nk ) Js

а из (39), что для любого k

inf {|Uli2 +|LUI2 : U g D (L) | K,|| Au - fs|| < s —| fs (nk )- fs|| <||Uk||2 +||LUk||2}. (46)

Из (43), (45) и (46) следует, что

и II2 и 2 - (и ||2 il ||2 ]

UJ + \LuÀ - ,lim { \Us ( nk I + \Lus ( nk Я }, (47)

а из определения us и (36), что

Il 1|2 и ||2 |М|2 II <Ч|2

U + \LuA < u + \Lrn . (48)

Из (37), (47) и (48) следует, что

llusl|2 +||Lus||2 =1 Uli2 +1 LUI2 = lim l|\us (nk )|| +|Lus (nk )|| }. (49)

k^-œ U )

Таким образом, из (36), (49) и теоремы 3 следует, что

Us = U. (50)

Из (32), (33) и (50) следует, что

сл

us (nkus при k ^да, (51)

а из (51) и (52), что

Из (49), (53) и (54) следует, что

Lüs (nk Lüs при k ^да, (52)

Ы1 < lim |üs (nk | (53)

k ^да

||LüS||< lim |\LüS (nk)||. (54)

k ^да

||üs (nk ||üs|| при k ^да (55)

и

||LüS (nk )|| ^ ||Lüs || при k ^ да, (56)

а из (51), (52), (55) и (56), что üs (nk üs, а Lüs (nk) ^ Lüs или ||üs (nk) - üs || +1|LüS (nk) - Lüs || ^ 0 при k ^ да , что противоречит (26) и доказывает теорему. Теорема 5. Если fs и {fs (n)}с AK + S^ , ||fs|| < S , а fs (nfs при n ^да, то

||üs (n)||2 +1|Lüs (n)||2 ^ 0 при n ^ да .

Доказательство. Как отмечалось ранее, при условии ||fs || < s задача (3) имеет единственное решение üs = в . Рассмотрим два случая.

1-й случай. Пусть ||/8|| < 0. Тогда существует номер N такой, что для любого п > N имеет место соотношение ||/8 (п)||< 8 а, следовательно, при п > N и8 (п) = в и

и (п)|| +||Ьи8 (п)|| = 0.

2-й случай. Предположим, что 11/81| = 8 . Тогда без ограничения общности можем считать, что

||./8 (п)||> 8. (57)

Из (57) и теорем 1-3 следует, что для любого п существует единственное решение и8 (п) Ф 0 вариационной задачи (3).

Предположим, что теорема неверна. Тогда существуют число е0 > 0 и подпоследовательность {пк} такие, что для любого к

||и8 (пк )||2 +||Ьи8 (пк |2 > £(). (58) Так как /8 е АК + , где 80 < 8 , то существует элемент И е В (Ь) П К такой, что

|| АИ - /81| < 8. (59)

Из (59) и того, что /8 (пк /8 при к ^да, следует существование номера к0 такого, что для любого к > к

о

и / ч и 8 - \Au - f8

\\fs (nk)- fs || < 11 2 781. (60)

Теперь введем в рассмотрение последовательность {йк}, определяемую формулой

йк = Хки, (61)

где для любого к > к0 Хк е( 0;1) и

||A«k - fs\\ = 5 -f (пк)-f8||. (62)

Из (60) следует существование числа Хк, удовлетворяющего соотношениям (61) и (62), а из (62) следует, что для любого к > к0

||А«к - f8 (Пк )||< 8. (63)

Из (63) и того, что ик е В (L) П K следует, что для любого к > к0

||2 ,, ц2 и ||2

U (Пк ) + \Lu8 (пк | <| |«к|| +| \Luk\ , (64)

Мпк \\ TLM8Vпк \\ - \\ик\\

а из (61), (62) и того, что /8 (пк) ^ /8 при к ^ да, следует, что

Хк ^ 0 при к ^ да. (65)

Таким образом, из (65) следует, что

а из (64) и (66), что

11_ ц2 и _ ц2

\\ик\\ +||Ьик|| ^ 0 при к ^да, (66)

22

\\и8 (пк ) + \Ьи8 (пк ) ^ 0 при к ^да. (67)

Соотношение (67) противоречит (58) и доказывает теорему.

Из теорем 4, 5 следует, что оператор Рз, определяемый формулой (24), непрерывен на множестве АК + Б8 ,

80

Р8 е С [АК + ^ ]. (68)

III. Решение одной обратной задачи физики твердого тела. Следуя [2], задача определения энергетического спектра бозе-системы по ее теплоемкости может быть сведена к интегральному уравнению первого рода типа свертки

+да

Аи = | в(т -^)и(^)^ = /(т), -да< т < +да, (69)

-да

^-Зт

где G(т) =---г, а u и { е L2 (-да; +да).

48И2 (e-x^2) 2

Предположим, что при /(т ) = f0 (т) существует точное решение щ (|) уравнения (69), которое удовлетворяет следующим условиям:

^ (|)> 0 (70)

и

+да +да

\ \щ + \ u (^ d^ < г2, (71)

—да —да

22

где м0 ) - производная от функции u0 ), а r - некоторое число.

Предположим, что вместо функции f0 (т) нам известны функция f (т )e L^-да, +да) и S > 0 такие, что

f -fo||^8. (72)

Требуется, используя исходную информацию, определить приближенное решение u8 Введем следующие обозначения:

K = {u(£): u (£)e L2 (-да; +да),u (£)> 0я.в.)

и

,, du(%) . ч

Lud^ ' u и Lu e L2 (-да; +да).

Используя для задачи (69)-(72) метод, изложенный в первом пункте настоящей статьи, сведем ее к вариационной задаче

I +да +да 2

М ^ | u2 (|) ^^ + | |u/ (I) ^ : u (|)> 0^ (-да; +да) ^ - /5|| < 5 I. (73)

^ —да —да

Решив задачу (73), мы получим приближенное решение us (|) задачи (69)-(72).

Литература

1. Иванов, В.К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода / В.К. Иванов// Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 1966. - Т. 6, № 6. - С. 1089-1094.

2. Лифшиц, И.М. Об определении энергетического спектра бозе-системы по ее теплоемкости / И.М. Лифшиц // ЖЭТФ. - 1954. - Т. 26. - Вып. 5. - С. 551-556.

Поступила в редакцию 1 декабря 2009 г.

METHOD OF THE INVERSE PROBLEM SOLUTION USING AN ADDITIONAL

A PRIORI INFORMATION

There is additional a priori information about the exact solution useful for qualitative improvement of the approximate solution in many inverse problems of the mathematical physics. In this article the generalization of the discrepancy method suggested by V.K. Ivanov in the article [1]. The discrepancy method allows using additional a priori information.

Keywords: Hilbert space, an operational equation, an improperly posed problem, a discrepancy method.

Grigorieva Olga Vladimirovna - Post-Graduate Student, the South Ural State University.

Григорьева Ольга Владимировна - аспирант, Южно-Уральский государственный университет.

e-mail: [email protected]