Метод расщепления граничных условий для задачи о движении жидкости между двумя некоаксиальными цилиндрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м III 19 72 :

№ 5

УДК 517.9:532/533

МЕТОД РАСЩЕПЛЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ ДЛЯ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ ДВУМЯ НЕКОАКСИАЛЬНЫМИ ЦИЛИНДРАМИ

Э. Н. Сармин

Доказывается корректность математической формулировки задачи для итераций, возникающих при расчете движения жидкости между двумя некоаксиальными цилиндрами. Дано обоснование сходимости последовательных приближений, получаемых по методу малого параметра, вводимого в граничные условия, и указан численный метод нахождения этих итераций.

Рассмотрим предложенный в статье [1] метод, являющийся приложением идей, сформулированных в работах [2] и [3], к решению уравнений Навье — Стокса, описывающих двумерное течение жидкости между поверхностями двух некоаксиальных цилиндров.

Схема течения представлена на фигуре (О—центр неподвижного цилиндра, радиус которого равен 1, О'—центр вращающегося цилиндра радиусом г, е — расстояние ОО').

Введением криволинейных полярных координат р и ср, связанных с исходными формулами

1 V — 1 | Р 81п ?

_1_

£2

+ Р2-

2-|- СОБср

У =

р2 +1— (£+

р СОЗ О

+ Р2 - 2 С05 ?

е +

1-

V

е +

1-

задача была сведена

где Е = ^ у у ■ е

(см. [1]) к нахождению периодического по у решения уравнения

_1_ Р(Яр~2ДУ, V) Р £> (р> <р)

(I)

удовлетворяющего в кольце с радиусами (р0, 1) условиям

Т(1,ср) = 0, ЧГ(Ро, 9) = 1г0;

(2а)

(26)

Коэффициент Ламе Н? имеет вид

Из двух констант ЧГ0 и К0 одна задается, а другая неизвестна, и эта неопределенность компенсируется дополнительным условием

Корректность краевой задачи. Среди методов решения нелинейных уравнений наиболее распространен метод последовательных приближений, когда предыдущие приближения подставляются в правую часть. Докажем корректность сформулированной выше задачи для каждой итерации, т. е. для случая, когда правая часть

Пусть нам известен расход ЧГ0, а скорость У0 подлежит определению. Единственность и непрерывность по правой части решения в такой постановке вытекают из следующих соображений: разность любых двух решений Ф = ЧГ1 — ЧГ2 должна удовлетворять однородным граничным условиям вида (2а)—(2в) (отличной от нуля

нению (1) с правой частью Ър = Гл — Р2. Нам достаточно показать, что Ф-»0 при 8/^ —*■ 0.

Разобьем Ф на два слагаемых: Ф = Ф0 + ^Хо. гДе Ф0 — решение задачи

Здесь и в дальнейшем через Г = Г0 + Г1 будет обозначаться граница кольца 5, состоящая из внутренней окружности Г0 и внешней IV '

Функция Хо может быть выписана в явном виде, но мы ее не приводим из-за громоздкости. Для доказательства нам достаточно, что она существует, единственна и сколь угодно гладка в области 5.

(2в)

о

F=zF(р, ч>).

может быть лишь постоянная, равная

урав-

дФ0

а функция Хо обладает следующими свойствами:

Д Яр-2 Дхо = 0; Xok = const;

Коэффициент с, стоящий перед Хо. выражается через Ф0:

ЛІ.

д//~2ДФ0

I *.

Г0

Из справедливости для Ф0 априорных оценок [4]

I ®0 |1\г4 (5) ^ II [ка (5)>

где Мз не зависит от 8/% следует единственность решения задачи и его непрерывность по правой части.

Непрерывность решения по граничным условиям следует из только что доказанной непрерывности по правой части, так как малое возмущение расхода Т,, сводится при помощи масштабирования решения к решению той же задачи, но с маловозмущенной правой частью. Корректность доказана.

Аналогично можно доказать корректность задачи для случая, «огда известна скорость, а расход подлежит определению. Но в дальнейшем речь пойдет только о первой постановке задачи.

Итерационный метод решения и его сходимость. Предложенный в [1] итерационный метод решения сводится к последовательному решению двух эллиптических уравнений: первое

ИеО(^_ь_^_,) Р 0(Р, ?)

лри краевых условиях

і дЧГ- і

= £5Г1 + {?'-1 на гі-

9, = а (Vі + К0 г] + 2,-! на Г0)

(4)

0 (4а)

и второе при условиях

Го

л,

Д (5)

^г|т„=1, 'Ггк = 0. (5а)

Через Яе здесь обозначена величина tF0/v, где — задаваемый расход, а V — коэффициент кинематической вязкости.

Наша задача — определить накладываемые на а и Ие условия, при которых метод сходится, и указать скорость его сходимости. В работах [5—7] подобная задача решена для бигармонического уравнения в односвязной области, когда на границе области известны искомая функция и ее нормальная производная. Стоящая перед нами проблема отличается от только что упомянутой, однако идеи работ [5—7] могут быть применены для исследования нашего случая. Несколько видоизменим операторы, введенные в работах [5] и [6], придав им другое содержание, но при этом покажем, что новые операторы сохранили все свойства исходных и потому для них справедливы все основные теоремы работ [5—7]. .

Обозначим через /? оператор, ставящий в соответствие вектору Л = (А0, Нх), компоненты которого определены на Г0 и Г, соответственно, решение задачи

кН^2&и — 0, &и\г — 1г, иг = 0.

При этом предполагается, что вектор Л подчиняется требованию

2 тс

| (А0 —Л1)^ = 0. (6)

Для таких векторов автоматически выполняется равенство

<11 = 0.

дЩг Ьи

дп

Через К обозначим оператор, ставящий в соответствие вектору А вектор g = (go, £1) с компонентами:

-і ди р дл

я;

-1 ди дл

г,

Пусть (/ — оператор, который отображает функцию V, определенную в кольце 5, на решение тю краевой задачи:

Д/Ур2 Дте» = и, Н9 2Дда|г0=сопз1,

Ат |Гі = ад |г = 0, ^ ^ “ 0

(7)

(7а)

Операторы /?,/(■ и б (здесь мы сохраним те же обозначения, что и в [5—7]) могут быть найдены в квадратурах, так как для кольца 5 известна функция Грина, дающая решение задачи Дирихле:

С (Л <3) = 2^1п

ехр -

1пр0

1п Р

к— ІП ---------

рд

где квазипериодическая функция с периодами 1 и т = 1пр0. Так, например, оператор К связывает векторы £ и А соотношением

g = Kh = Л/,Г1 [ /((/>, г) А (^) сИг ,

где

Оператор К обладает всеми свойствами аналогичного оператора из работы [5]: он непрерывен, его ядро может быть симме-тризовано, т. е. он самосопряжен, если в качестве скалярного

произведения взять интеграл от произведения двух векторов с весом Нр\ он положительно определен и подчиняется выведенным оценкам в [5]; нуль не является его собственным значением.

Справедливо также утверждение, что оператор К имеет полную ортонормированную с весом Нр систему собственных векторов. Все его собственные значения можно перенумеровать:

0<...<Х2<Х1<>,0 = ||/С1.

Из этого следует, что при

КII

><0 норма оператора

(Е + аКУ стремится к нулю при у -* оо.

Наряду с оператором К рассмотрим оператор Кс, который получается из К, если принять Яр^1. Оператор Кс мажорирует К в том смысле, что

іпШр

5

вир //р

івдкдак

вир Нр

А-дИад.

(8)

Найдем выражения для собственных значений оператора Кс. Для этого разложим А0 и Л, в ряды Фурье:

00 СО

л0= иЬк) е‘к*, нг = М4) г'’*?.

к = —оо к——ж

Согласно условию (6) йоП) =М0>. Теперь определим коэффициенты Фурье вектора Искомые величины будут равны значениям внешних нормальных производных по р в концах интервала (р0, 1) от решений задачи: для к, = О

для | к | > 1 ®і + -

“о +

■да.

1

и;=А<°), и0 (р0) = и0 (1) = 0;

к2

(р0) = ™к(\) = н[“\

ик + -у«*(ро>=«*(1)=о.

Выписав выражения компонент вектора g через вектор к, найдем

1

1-р 8 1п р0

(9 а)

а собственные значения, соответствующие &-м гармоникам для |Л(> 0 являются корнями уравнений: для I Л I = 1

11 , о р^' + Р°.

1 - Ро ЁгЧ-р.

Ро

4

1 +

2 (Р5-1 — Ро) (1 +р2)1пр0

. 1 — РI

0;

(96)

для \к\ >2 .

$Ь&Т + (1 +Ро)к(к^- — сЬлН

л2_) __________________\ 811 *т_______} Ро ^ 5И2 т - эЬ2 ^

* '* 2(1-А2)зЬА-г ^ 4 2(1 — Л8)и» 1»“/

где т = — 1п ро-

Можно показать, что при фиксированном р0 корни уравнения <9 в) стремятся к значениям

г<1) ро г<2) I

* 2(|А| — 1) ’ * 2(|Л|+ 1)’

и, таким образом, их порядок убывания совпадает с порядком убывания собственных значений оператора К из [6]. Аналогично [6] при помощи неравенства (8) доказывается, что собственные значения оператора К удовлетворяют ограничениям

где Х£ — перенумерованные в порядке убывания собственные значения оператора Кс. В частности,

*1 ^ /1-----------(з- тах І*/1’2>) *

(4— її г

что дает достаточное условие для сходимости итераций при известной правой части:

НУ

- -<а<0.

шах {Х*1,2)} ^-1+1

Рассмотрим теперь оператор О. Ясно, что для решения задачи (7) справедливо равенство

т,—2 Л м-2 » Л , Г дН72 Ш

Н9 Дда = Яр Дхе; — р01п р I----------^-------а/,

Го

л л

где да — решение уравнения (7) с граничными условиями Ди;|г =

= да|г = 0. ,

Из формулы Грина следует

Г<ЭЯр“2Дда 1 ГГ , .

г„ 5

откуда заключаем, что

I дН?дп™ а1 <[”(1-Ро2)11,3(Я®*Л

Го 5

1/2

Этим доказано, что в пространстве Соболева — Слободецкого для решения задачи (7) и (7 а) выполняются неравенства

I! (5) ^ 0 143 (5) ’

где с — константа, не зависящая от V.

Перечисленные выше свойства операторов К и О позволяют перейти к доказательству сходимости итераций. Итерационную схему, заложенную в решении уравнений (3) —(5 а), интерпретируем аналогично [7] следующим образом. Пусть к-я итерация является

к

суммой £+1 членов: = где 1^ = !^ — Чг,_1 при 1 и

/=о _

•»1о-=11го- Разложим у}к на два слагаемых: ^* = ^+ ■»]*, где ^является решением задачи

ЬН~2а4 = 0, 7]°а|г = 0, .

и;2 а4 |п = и-2 Ащ^ + «я,-1 ^

Я-2 Д 4 |Гп = Яр-2 Ащ_г + аЯр-1 ^

'Г(

2я

+

+ к№д-%г

Г,

гг-1 дт\

Н> Тп

а является решением задачи (7), (7а) с

V ■■

Яе

Р(ЯГ2дт*-,, т*_,) Л(Яр"2Д^_2, ^_2)

0(р, ?) 0(р, ?)

В отличие от работ [5—7] в нулевом члене положим -ц° =

и 710 = ¥0, где 'Ро —решение исходного уравнения, соответствующее Яе = 0 (см. [1]). Такое задание начального приближения значительно упрощает выкладки и делает нагляднее окончательный результат. Используя операторы /? и {?, легко придем к рекуррентным формулам

к-2

= Х (£ + /?«#,

/=0

<4-/-

р дп) ЖУН0 дп

■*1* = Яе О

1 ^ Р(Я72 Д^-1,7!,.) , V Д (Яр 2 АГ];, 7].-,) Д (р, <р) о ^

р ?

1=0

г=о

£(Р. ?)

Таким образом, мы подошли к формулировке следующих положений, доказательства которых опустим из-за идентичности с доказательствами в работах [5—7]:

1. Если г)0, т)!,..., г]п_ 1 принадлежат пространству Т (5), где I—целое число, /> 3, тогда

N«11 < с (/) Яе 2 НЯ 1

*+ 'о

«'о 2 <•*>

1+1=п—1

^2 2 (?)

г+-

(5)

где С зависит только от / и не зависит от т)(. (0 — 1).

2. Пусть справедливы предположения п. 1 и пусть а<0, 2 + а||/С||>8>0.

Тогда верно неравенство

с- I о а д V п а д ~ II Е+[* М9дп) ЛИ?дпУ]п-/-1\\ ,+1- <

С,(/, 8) и ..........

| а | (/ +2)* 1 ,+ . И/1 ■

»=О К"2 2 (5) 2 (5)

3. Ограничения, накладываемые на я в п. 2, вместе с неравенством для Яе

^е+тНгаг~:Н' <Ю)

ЧГ2 2 (5)

достаточны для сходимости рассматриваемого нами итерационного процесса, так как при этих условиях для разности между к-ы и (6 — 1)-м последовательными приближениями справедлива оценка

4Ы1 ,+ ±

2 (5)

Ь*1 1+ 1 < (й + 2)2 '

Численное решение уравнений. Перейдем теперь к методу решения задач (3) — (4а) и (5)—(5а). Вторая из этих двух задач — классическая задача Дирихле для уравнений Пуассона, а первая может быть легко сведена к ней. Решение первой задачи содержит два слагаемых: 2, = 2, + с 1п р, где 2, соответствует решению уравнения (3) с граничными условиями

п I _ ® <—1 | О I

п—1—і

а постоянная V0* выражается через с\

с

а J он

г„

Таким образом, нужно найти периодическое по <р решение краевой задачи Дирихле

д2ю 1 ду 1 дЗг> „ . ,

+—3—5“ = г, =/.

ф2 р др р ду2

Методика решения таких задач разработана достаточно полно. Укажем один безытерационный метод, основанный на идее метода прямых [8] по переменной «.

Запишем разностную аппроксимацию для исходного уравнения

;'т;' + ^(г + ПГдї’,А;-?- (Ч)

Здесь приняты обозначения &¥ = 2к/К, V = {V (р, &8<р)},

^ (р, £8?)} - векторы размерностью К (6 = 0, 1,..., /С — 1). Матрица А = {а^} имеет вид

аи~ ~ 2; я,-, /+1 = аг+1, <• = 1; ао, к-\ а*-_1,0= 1,

остальные элементы равны нулю. Нетрудно показать, что при 6 = 0 разностная система аппроксимирует исходное уравнение со вторым порядком точности относительно 8ср, а при 0=1 —с четвертым порядком.

Заметим, что вид правой части в уравнении (11) не зависит от точности аппроксимации, поэтому реализация схемы четвертого порядка не более трудоемка, чем реализация схемы второго порядка. Такое представление схемы повышенной точности возможно только для периодических решений, при краевой непериодической задаче потребовалось бы усложнить вычисление правой части. Известно, что собственные векторы матрицы А

.Угс

соответствуют собственным значениям Ху = — 4 эШ2 , которые

кратны, так как = Однако легко проверить, что для А

справедливо представление А = С?-1 А(2, где Л — диагональная матрица, а (3 и 0~1 имеют вид

<з=<г‘ - вд={со* (І-+Щ-

Такая единая форма записи коэффициентов удобна для реализации на ЭВМ.

Умножая уравнение (12) слева на <3 и вводя обозначения

w = Qv, Ф = (}Р, (12)

получим для каждого элемента дифференциальное уравнение

1 1

®;+у ’< - -—8—<|3>

1~ттв~к

Запишем теперь разностную аппроксимацию граничных условий (4), считая, что мы разбили отрезок [р0, 1 ] на Л/ равных частей

о Л 1 Ро

длинои 8р = —;

а ЦГ^Г1-!^-1, /, . 8р\ , / , аНц \ 0|-1 .

а«=я1—— 1-тМ1 + -2-!|,г*' ПР"Р=|;

2'0 — а

і *1-- <~Ч1 + А |+„,

Яр 8р \ 2р0

+ I 1 + 8р) 2о-1 при р == р0

+

Здесь верхний индекс обозначает номер итерации, а нижний — значение функции на соответствующем этому номеру пространственном слое. Данная аппроксимация имеет погрешность 0(8р).

Применив к 2|) и йдг преобразование (12), получим граничные условия для обыкновенных дифференциальных уравнений (13). Решение их и обратный переход к исходным функциям v дает следующее приближение.

Метод применялся к частному случаю рассматриваемого движения — к расчету поля течения между неподвижной и вращающейся частями круглого подшипника. Анализ особенности, возникающей при малой величине зазора, а также результатов расчетных исследований будет проведен в следующей работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. С а рм и н Э. Н. Об одном численном методе решения частной задачи гидродинамической теории смазки. Труды секции по численным методам в газовой динамике II Международного коллоквиума по газодинамике взрыва и реагирующих систем. Новосибирск, август 1969 г. М., Изд-во ВЦ АН СССР, 1971.

2. D о г о d п i с у п A. A. On one method for solution of a problems of viscous flow about a body. Paper on VII Symposium on advanced problems and method in fluid dinamics. Jurata, Poland, Sept., 1965.

3. Дородницын А. А., Меллер H. А. О некоторых подходах к решению стационарных уравнений Навье — Стокса. „Журн. вычисл. матем. и матем. физики”, т. 8, № % 1968.

4. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг А. Оценка решений эллиптических уравнений вблизи границы. М., Изд. иностр. лит., 1962.

5. Пальцев Б. В. О разложении задачи Дирихле и смешанной задачи для бигармонического уравнения в ряд по решениям распадающихся задач. „Журн. вычисл. матем. и матем. физ.“, т. 6, № 1, 1966.

6. П а л ь ц е в Б. В. Сходимость разложений по малому параметру, вводимому в граничные условия решений краевой задачи для уравнений Навье—Стокса. .Журн. вычисл. матем. и матем. физ.“, т. 10„

№ 2, 1970.

7. П а л ь ц е в Б. В. О сходимости метода последовательных приближений с расщеплением граничных условий при решении краевой задачи для уравнений Навье — Стокса. «Журн. вычисл. матем. и матем физ.*, т. 10, № 3, 1970.

8. Лебедев В. И. Уравнения и сходимость дифференциальноразностного метода (метода прямых), „Вестник МГУ", 1955, № 10.

Рукопись поступила 26/1 1972 г. Переработанный вариант поступил 7jIV 1972 г.