CC BY
35
УДК 622.831
А.Г.ПРОТОСЕНЯ, д-р техн. наук, профессор, kaf-sgp@mail.ru НГУЕН НЫ БАЙ, аспирант, nhubayxdm@gmail.com
Национальный минерально-сырьевой университет «Горный», Санкт-Петербург
A.G.PROTOSENYA, Dr. in eng. sc., professor, kaf-sgp@mail.ru NGUYEN NHU BAY, post-graduate student, nhubayxdm@gmail.com National Mineral Resources University (Mining University), Saint Petersburg
МЕТОД РАСЧЕТА НОРМАЛЬНЫХ НАГРУЗОК НА КРЕПЬ СТВОЛОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ МАССИВАХ
Предложен метод расчета нормальных нагрузок на крепь стволов, сооружаемых в физически нелинейных массивах. Предполагается, что вокруг выработки формируется область предельного состояния. Деформационные свойства породного массива описываются моделью физически нелинейного тела. Для исследования напряженно-деформированного состояния пород вокруг выработки использованы уравнения деформационной теории пластичности. В качестве условий пластичности приняты предельные состояния пород Кулона.
Ключевые слова: физическая нелинейность, пластичность, напряжения, ствол, крепь, порода.
METHOD OF NORMAL LOAD PREDICTION ON VERTICAL SHAFT LINING BASED ON NONLINEAR BEHAVIOUR OF ROCK MASS
Method of normal load prediction on vertical shaft lining which is constructed in nonlinear rock mass is suggested. It is supposed, that limit state zone is formed around excavation. The deformation properties of rock mass in the suggested method are determined according to nonlinear rock model. In order to predict stress and strain state around excavation the equations of deformation plasticity theory are used. The Mohr-Coulomb strength criteria is taken as a yield surface.
Key words: nonlinear, plasticity, stresses, shaft, lining, rock.
Постановка задачи. Для расчета нагрузок на крепь стволов в настоящее время наибольшее распространение получили схемы, основанные [1, 3] на взаимодействии системы «крепь - порода». В данной работе предлагается дальнейшее развитие методов расчета нагрузок с учетом нелинейного деформирования горных пород вокруг стволов.
Для расчета нагрузок рассмотрим систему взаимодействия «крепь - порода». На ее границе имеем условие совместности перемещений
и„(Р, г) - и0(г) = и(Р),
где ит (Р, г), ио (г), и(Р) - перемещение точек на контуре тоннеля соответственно на большом удалении от забоя, до ввода крепи в работу, а также вызванное нагрузкой Р; г - время.
Для нахождения ио(г) необходимо решить объемную задачу нелинейной теории пластичности и ползучести. Однако для получения практических выводов используем аппроксимацию
и о(г) = их (Р, г Щ/), (1)
в которой /1(/) - функция, с помощью которой описывается «сдерживающее» влия-
ние забоя на развитие радиальных перемещений; I - расстояние от забоя. Примем зависимость [3]
М) = 1 - e -
(2)
где Р - коэффициент.
Заметим, что при I = 0 перемещение точек на контуре тоннеля в забое равно нулю, в случае I ^ го перемещение ио(г) ^ иш(Р, г).
Согласно соотношениям (1) и (2), условие совместности перемещений преобразуем к виду
иш (Р) = и (Р)ер1, (3)
в котором для простоты записи г опущено.
Следовательно, нахождение нагрузки на крепь ствола свелось к определению и (Р) и и (Р).
Для получения иш (Р) рассмотрим напряженно-деформированное состояние массива пород в плоскости, перпендикулярной к оси ствола. Предположим, что на бесконечности плоскость сжимается усилиями, равными горизонтальным напряжениям в нетронутом массиве:
а^ = АуН; а^ = АуН.
Здесь Н - расстояние от поверхности; у -объемный вес; А = у /(1 -V) - коэффициент бокового распора; V - коэффициент Пуассона.
Граничные условия на контуре ствола
а г = р ; т г9 = 0.
Физически нелинейно-пластическая модель массива пород. Для описания нелинейных связей между напряжениями и деформациями используем уравнения деформационной теории пластичности:
8i -s2 = -a2); s2 £3 =y(G2
83 -£1 =у(Оз -Oi),
(4)
где в1, в2, 83 - главные деформации; а1, а2, а3 -главные напряжения; у - скалярная функция, определяемая на основе экспериментальных данных.
Анализ экспериментальных данных деформирования пород в условиях объемных напряженных состояний показывает, что зависимость между наибольшим сдвигом у и максимальным касательным напряжением т для деформационной теории пластичности может быть описана выражением
у = 2Бтп
(5)
где В, т - постоянные.
Из зависимости (5) следует, что у = Втт.
При решении задачи используем условие несжимаемости горных пород. В этом случае задача сводится к решению системы уравнений
da
- +
dr r B_
T
= 0;
~ ~ — \m+1 .
(6)
8e + 8 r =
где 8е, 8г, аг, ае - соответственно компоненты деформаций и напряжений в полярной системе координат; г - радиальная координата.
Используя зависимости
8 r = du / dr; 8e = u / r,
(7)
запишем условие несжимаемости в виде
ёи / ёг + и / г = 0, (8)
откуда
и = С1 / г, (9)
где С1 - произвольная постоянная.
Учитывая зависимости (7) и (8), из системы (6) получим
2 ( С1 ) m+1
B1
(10)
Из уравнения равновесия системы (6)
1
С Л + / С1 ^ т+1 1 аг = С2 - (1 + т)1 ТТ
B ) -2-
r 1+m
где С2 - произвольная постоянная.
ae-a r =
2
r
Произвольная постоянная С2 определяется из граничного условия на бесконечности а г ^ уИ при г ^ да:
С2 = АуИ.
Тогда компоненты напряжений в физически нелинейной области
,'С, ^1+m 1 Сг = уИ - (1 + m)| —- ' ;
се = уИ + (1 - m)
5 ) -L-
м 1+m
Ci ] 1+m 1
(11)
в
2
* 1+m
Рассмотрим пластическую область. Будем считать, что вблизи контура ствола породы находятся в предельном состоянии, описываемом условием Кулона:
(Се - С )2 + ^ = sin2 р(Се + С + 2Kctgp)2,
где cr, се, тге - соответственно нормальные и касательные напряжения; K, р - сцепление и угол внутреннего трения.
Компоненты напряжений вокруг выработки кругового очертания при граничном условии сг = Р и тге = 0 имеют вид [2]
сг = (P + Kctgp)rа- Kctgp ;
Се = (P + Kctgp)1-^inPrа - Kctgp ; (12) 1 - sin p
* ю = 0,
где а =
2sin р 1 - sin р
На границе раздела пластической и физически нелинейной сред при г = г0 имеет место условие непрерывности напряжений аг и ае. Приравнивая напряжения аг и ае (11) и (12) и решая полученную систему уравнений, получим зависимость для нахождения безразмерного радиуса г0 области предельного состояния вокруг ствола:
га (1 - этр)(АуИ + А^р) (13)
г0 = —-:—. „ .—Г . (13)
(1 + m sin р)( P + Kctgp)
Для нахождения перемещений в пластической области используем условие несжимаемости (8), тогда
u = C3/r,
(14)
где С3 - произвольная постоянная.
Для определения неизвестной С3 используем условие равенства перемещений (9) и (14) при г = г0:
С1 / го _ Сз/ го ,
тогда С3 = С1.
Для нахождения С1 найдем разность главных напряжений (12) на границе области предельного состояния:
ае-аг = а(Р + КсЛ&рК . (15)
Из равенства напряжений (10) и (15) на границе го следует
■ (ш+1)
. (16)
Q = ВГо2
а
-(P + KctgpK
На контуре выработки r = 1 перемещение (14)
u = C1.
(17)
Перемещение U (P) найдем из решения задачи Ламе:
U (P) =
P ( R1 + R02 -—2+v1
E
V R12 - Ro
(18)
)
где Я1, Я0 - внешний и внутренний радиусы тоннеля; Е1, у1 - модуль упругости и коэффициент Пуассона крепи.
Тогда уравнение для определения нагрузки Р на крепь ствола получим из формулы (3) с учетом соотношений (17), (18) и (16):
- (ш+1)
ВгО
а 2
P_
E1
(P + Kctgp)roa
( R° + R° ^ 2+v1
V R1 - Ro
(19)
)
Уравнение (19) имеет смысл при г0 > 1. Физически нелинейная модель массива горных пород. При отсутствии облас-
e
ти предельного состояния вокруг ствола (г0 < 1) деформационные свойства массива описываются уравнениями (4) и (5). Компоненты напряжений аг и ае и перемещение и для данной задачи следующие:
аг = АуH - (АуH - Р) г~2/(1+т) ;
Т гг 1 - m
ае = Ау H +
(1 + да)(Ay H - Р) г
-2/(1 + да) '
U _ 5
Ay H - Р Y+да 1
1 + да У г
(20)
Согласно (18) и (20), уравнение для определения нагрузки на крепь ствола запи-
шем в виде
В Р_
Ay H - Р 1 + да
1 + да
( Р? + Р02 ^ -—2+v1
V Р12 - р0
(21)
У
Для линейно деформируемого массива (т = 0) постоянная Р = (1 + V)/Е . Тогда уравнение (21) для определения давления Р записывается так [3]:
(1 + v)
Ay H - Р Р ( Р2 + Р2
Е
Р, - Р
Т +V1
V1
-ß /
Для упругопластического массива постоянные т и Р также равны соответственно нулю и (1 + v)/Е, а уравнение (19) записывается в виде [3 ]
(1 + v)
2 E
_ _Р
_ E
а(Р + ^ctgp)roa+2 _
2
( Р12 + Р0
—^-— + vn
Р 2 Р ^ 1
V Р1 - Ро
(22)
Пример расчета 1. Найдем нагрузку на крепь ствола для упругопластического режима работы массива при следующих исходных данных: у = 25 кН/м3; Р0 = 3,0 м; Р1 = 3,4 м; Ех = Е = 2-104 МПа; Vl = V = 0,25; Н = 500 м; р = 30°; К = 1 МПа; I = 0.
Расчеты по формулам (13) и (22) показывают, что г0 = 1,2 и Р = 0,28 МПа.
Пример расчета 2. Найдем нагрузку на крепь ствола в физически нелинейно-пластическом массиве при следующих исходных данных: у = 25 кН/м3; Р0 = 3,0 м; Р1 = 3,4 м; Е = 2-104 МПа; V! = 0,25; Н = 500 м; р = 30°; К = 1 МПа; т = 0,32; Р = 7-10-5 ; I = 0.
Расчеты по формулам (13) и (19) показывают, что г0 = 1,38, а Р = 0,11 МПа.
Таким образом, из сопоставления расчетов для упругопластического и физически нелинейно-пластического массивов следует, что наличие физической нелинейности приводит к снижению нагрузок.
ЛИТЕРАТУРА
1. Булычев Н.С. Расчет крепи капитальных горных выработок / Н.С.Булычев, Б.З.Амусин, А.Г.Оловянный. М.: Недра, 1974. 381 с.
2. Ставрогин А.Н. Пластичность горных пород / А.Н.Ставрогин, А.Г.Протосеня. М.: Недра, 1979. 301 с.
3. Трушко В.Л. Геомеханика массивов и динамика выработок глубоких рудников / В.Л.Трушко, А.Г.Протосеня, П.Ф.Матвеев, Х.М.Совмен. Санкт-Петербург. горный ин-т. СПб, 2001. 393 с.
REFERENCES
1. Bulychev N.S., Amusin B.Z., Olovanniy A.G. Lining design of permanent excavation. Мoscow: Nedra, 1974. 381 p.
2. Stavrogin A.N., Protosenya A.G. Plasticity of rocks. Мoscow: Nedra, 1979. 301 p.
3. Trushko V.L., Protosenya A.G., Matveev P.F., Sovmen H.M. Geomechanics of rock mass and dynamics of deep ore mines / Saint Petersburg Mining Institute. Saint Petersburg, 2001. 393 p.
e
0
e
