Метод приближенного решения задачи Коши для системы уравнений стационарного течения газа в трубопроводе Текст научной статьи по специальности «Математика»

фиксированных координатах х4 = 5, х5 = 2, х6 =4 и выполним уже описанные процедуры.

Решением задачи, удовлетворяющим условию f (х) = 109, будут точки:

х° =(2,3,4,5,6,1), Х2 =(1,3.6.5.4,2),

х° = (1,5,3,6,4,2) , х4 = (3,1,5,6,4,2) ,

Х5 = (3,1,6,5,2,4) , х° = (3,4,2,6,15) ,

х° = (4,2,3,6,1,5) , xjj = (2,4,5,3,1,6) .

Следует отметить, что значения функции вверх возрастает и вниз убывает с одинаковым интервалом при равномерном распределении значений коэффициентов.

Выводы

Исследованы сложные комбинаторные задачи на множестве перестановок. Рассмотрены некоторые свойства допустимой области евклидовой комбинаторной задачи с использованием теории графов и комбинаторных конфигураций, предложен и реализован алгоритм метода локализации значения линейной функции на множестве перестановок.

Дальнейшее развитие данной работы будет направлено на реализацию и адаптацию сформулированного метода на других комбинаторных конструкциях, а также на разработку новых методов решения комбинаторных оптимизационных задач с учетом входных данных.

Литература: 1.Сергиенко И.В., Каспшицкая М.Ф. Модели и методы решения на ЭВМ комбинаторных задач оптимизации. Киев: Наук, думка, 1981. 287 с. 2.Сергиенко И.В., Шило В.П. Задачи дискретной оптимизации: проблемы, методы решения и исследования. Киев: Наук, думка. 2003. 260 с. 3. СтоянЮ.Г., Яковлев С.В. Математи-

УДК519.63:519.85:533:532.542 "

МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ СТАЦИОНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ ГАЗАВ ТРУБОПРОВОДЕ

ТЕВЯШЕВ А.Д., СМИРНОВА В.С.__________________

Предлагается метод приближенного решения задачи Коши для системы уравнений стационарного течения газа в трубопроводе. Верификация метода проводится путем сравнения результатов приближенного анализа с результатами численного моделирования стационарных неизотермических режимов течения природного газа.

1. Введение

Математическому моделированию ичисленному анализу стационарных неизотермических режимов транспорта природного газа по участку трубопровода посвящено большое количество работ [ 1 -101. Однако до

ческие модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. Киев: Наук, думка, 1986. 265 с. 4.Баранов В.И., Стечкин Б.С. Экстремальные комбинаторные задачи и их приложения. М. :Физматлит, 2004. 238 с. 5. Ємець О. О., Колєчкіна Л. М. Задачі комбінаторної оптимізації з дробово-лінійними цільовими функціями. Киев: Наук, думка,2005. 118с.6.СеменоваН.В., Колечкина Л.Н., Нагорная А.Н. Подход к решению векторных задач дискретной оптимизации на комбинаторном множестве перестановок // Кибернетика и системный анализ. 2008. № 3. С. 158-172. 7.Донец Г.А., ШулинокИ.Э. О сложности алгоритмов поиска в глубину на модульных графах// Теорія оптимальних рішень. 2002. №1. С. 105-110. 8. Донец ГА. Алгоритмы раскраски плоских графов// Теорія оптимальних рішень. 2006. №5. С. 134-143. 9Донец Г.А., Самер ИМ. Альшаламе. Решение задачи о построении линейной мозаики//Теорія оптимальних рішень. 2005. №4. С. 1524. 10. Донец Г.А., Колечкина Л.Н. Метод упорядочения значений линейной функции на множестве перестановок // Кибернетика и системный анализ. 2009. № 2. С.50-61. И.Донец Г.А., Колечкина Л.Н. Об одном подходе к решению комбинаторной задачи оптимизации на графах // Управляющие системы и машины. 2009. №4. С.31-35. 12. Рыбников КА. Введение в комбинаторный анализ. М:.Изд-во Моек, ун-та, 1985. 308 с. 13. Липский В. Комбинаторика для программистов. М.: Мир, 1988. 213 с.

Поступила в редколлегию 02.06.2009

Рецензент: д-р физ.-мат.наук, Шарифов Ф.А.

Донец Георгий Афанасиевич, д-р физ,- мат. наук, зав. отделом Института кибернетики им. В.М.Глушкова НАН Украины. Научные интересы: математическое моделирование, информатика, кибернетика. Адрес: Украина, 03680, МСП, Киев-187, пр. академика Глушкова, 40.

Колечкина Людмила Николаевна, канд. физ.-мат. наук, доцент, докторант Института кибернетики им. В.М.Глушкова НАН Украины. Научные интересы: математическое моделирование, информатика, кибернетика. Адрес: Украина, 03680, МСП, Киев 187,пр. академика Глушкова, 40, e-mail: ludapl@ukr.net, 8(050)2034585,8(0532)666915.

настоящего времени еще не построен комплекс адекватных стандартизованных математических моделей стационарных неизотермических режимов транспорта природного газа, которые корректноучитываютвсе значимые физические эффекты, оказывающие влияние на физические параметры транспортируемого газа. Для успешного развития этих моделей необходимо эффективное сочетание методов аналитического анализа и адекватного численного анализа.

В наших работах [11,12] сформулирована математическая модель нестационарного неизотермического движения реального газа по участку трубопровода, построенная на основе базовых в газовой динамике фундаментальных законов сохранения массы, импульса и энергии с использованием общих положений термодинамики. Эта модель также описывает стационарные режимы работы участка газопровода, когда параметры системы не зависят от времени. В [11,12] проведен аналитический и численный анализ модели стационарного неизотермического движения

РИ, 2009, № 1

81

реального природного газа по участку трубопровода, которая представляет собой систему из двух обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций давления р и температуры Т. Для описания дозвукового режима течения газа рассмотрена задача Коши для данной системы уравнений. изучены общие свойства решений и получены в явном виде решения в некоторых частных случаях. Однако полученные аналитические решения описывают не все важные для практики случаи. Поэтому для дальнейшего развития модели актуальной задачей является разработка приближенных аналитических методов решения задачи Коши и получение аппроксимирующих формул, описывающих стационарное неизотермическое течение газа с необходимой для практики точностью.

Целью работы является дальнейшее развитие математической модели: разработка метода приближенного аналитического решения задачи Коши, получение формул, описывающих распределение давления вдоль трубопровода, и разработка алгоритмов расчета гидравлических режимов стационарного неизотермического течения природного газа по линейному участку трубопровода.

2. Математическая модель стационарного неизотермического течения газа по участку трубопровода

Стационарное течение газа в тру бопроводе постоянного круглого сечения при постоянном удельном массовом расходе W описывается системой двух обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций давления р(х) и абсолютной температуры Т(х) (х - координата вдоль оси трубопровода) [11, 12]. Далее будем рассматривать реальные безаварийные стационарные режимы течений, когда скорость газа много меньше скорости звука. Пусть на горизонтальном участке однониточного газопровода длиной L течение газа происходит в положительном направлении оси х, в этом случае W>0. Формальная постановка задачи о дозвуковом стационарном течении газа в трубопроводе может быть сформулирована в виде задачиКоши. Требуется найти непрерывные вместе с производными функции р(х) и Т(х), удовлетворяющие на интервале 0 < х < L системе обыкновенных дифференциальных уравнений

dp _ /.RW2zT dx 2Dp ’

dT_ dp 4k dx ~~ ^ dx DWC,,

(T-T„),

и начальным условиям

а)

(2)

p(0) = Pi, T(0) = T1. (3)

Здесь R- газовая постоянная; D -внутренний диаметр трубопровода; X >0 - коэффициент гидравлического

сопротивления: безразмерный параметр, который зависит от числа Рейнольдса и относительной шероховатости внутренней поверхности трубопровода; Ср(р,Т) - удельная теплоемкость газа при постоянном давлении; к>0 - коэффициенттеплопередачи; Тн -температура окружающей среды; z(p.T) - коэффициент сжимаемости в термическом уравнении состояния:

p = z(p,T)RTp, (4)

где с - плотность газа,

Ц(Р.Т)

L тСУ) -V _ RT2 ' dz'

СР UtJ р рср IstJ

(5)

-коэффициентДжоуля-Томсона, V = 1/р -удельный объем.

Мы предполагаем, что газ является физически однородным иописываетсяуравнениями состояния, которые удовлетворяют условиям устойчивости равновесных термодинамических систем [5]. Функции z(p.T) и Ср(р,Т) считаются заданными функциями термодинамических переменных р и Т. При этом функции z(p.T)>() и Ср(р,Т)>0 ограничены, непрерывны и имеют непрерывные частные производные всех порядков в области G: {0<pm;n<p<pmax, 0<Тпш,<Т<Тп,ах!. Предполагаем, что область G соот-ветствуетреальным режимам транспорта природного газа.

3. Метод приближенного интегрирования

Задача (1)-(3) в общем случае не поддается точному решению. Поэтому для ее аналитического решения используются различного рода приближения [9]. Большинство из них основано на замене функций z(p.T). Ср(р,Т), |Д (р,Т) их средними значениями, которые затем вычисляются с помощью итерационных процедур с использованием численных методов.

В настоящей работе предложен метод приближенного решения задачи (1 )-(3), позволяющий получить аналитическое описание стационарного течения газа. Суть метода состоит в замене уравнения (1) более простым приближенным уравнением с разделяющимися переменными, решение которого может быть получено в явном виде. Покажем, что уравнение (1) можно представить в виде

dp _ XRW2Y(p)

dx " 2Dp ’ ^

где Y(p) - функция давления. Точный вид функции Y(р) можно найти следующим образом. Пусть Р = Уі(х) и Т = у2(х) -решениезадачи(1)—(3). Функция р = V] (х) монотонноубываетнаинтервале [0,L] и имеет однозначную обратную функцию х = yf'(p) • Поэтому температуру можно представить в виде функции давления т = У2(уГ1 (Р)) • Подставив Т = У2ІУГ1(Р)) в (1)> получим уравнение, которое имеет вид (6), где Y(р) определяется соотношением

Y(р) = Z(p,у2(уJ-1 (р)))у2(у]-1 (р)). (7)

РИ, 2009, № 1

82

Таким образом, задача (1)-(3) сводится к решению системы уравнений (2) и (6), где Y(p) определяется соотношением (7), с учетом условий (3). Уравнение (6) является обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными и при условии (3) будет иметь решение р = Уі(х). Однако функция Y(p) неизвестна, пока не найдены V](x) и у2(х), и требуется другой метод ее определения. Поэтому можно аппроксимировать функцию Y(p) приближенным выражением Y(p). Для этого мы будем использовать метод пробных функций.

В качестве пробных будем рассматривать функции F(p) > 0, непрерывные и ограниченные в области

Pmm > Р > Ртах Пусть F(p) -пробнаяфункция,которая выбрана так, что функция

f(x) =

z(yi(x),y2(x))y2(x)

слабо изменяется при

F(yi(x))

О ^ х ^ L . Запишем уравнение (1) в виде

dp _ /.RW2 F(p) zT dx 2D p F(p) ’

и формально будем считать, что в (8) -=const(x)

F(p)

при 0 ^ х S L • Значение этой постоянной можно вычислить в точке х = 0 • Тогда (8) можно заменить приближенным уравнением

dp _ /-RW2Y(p) dx 2Dp

где

Y(p)=F(p)

ЦРіДі)Т|

F(Pi)

(10)

Конкретный вид функции Y(р) будет определяться выбором пробной функции F(p) . Приэтомизопреде-лений (10) и (6) следует, что для любой F(p) всегда имеет место равенство

Y(Pi) = Y(Pl). (11)

Решение р = у1(х) уравнения (9). удовлетворяющее условию (3), описывает приближенную зависимость давления от х, поскольку в общем случае Y(p) не совпадаете Y (р). Сравнение функции р = у](х) с точным решением задачи (1)-(3)) р = у1(х) показывает, что всегда имеют место следующие свойства:

а) Уі (0) = у і (0) = pj (вытекает из начального условия (3)):

б)^

dx

и (6)).‘

х=0

Фч

dx

х=0

(следует из (11) и уравнений (9)

Из свойств а) и б) следует, что в разложениях функций У](х) и У](х) в ряд Тейлора в окрестности точки

РИ, 2009, № 1

х=0 первые и вторые члены будут попарно равны, различие появится в слагаемых, которые содержат х в степени два и выше. Поэтому можно ожидать, что при соответствующим образом подобранной функции F(p) решение Уі(х) приближенного уравнения (9) будет мало отличаться от точного решения у j (х) на интервале [0, L].

Таким образам, приближенное решение задачи (1)-(3) осуществляется в два этапа. Сначала задается функция F(p) и находится решение р = у | ( \) приближенного уравнения (9), удовлетворяющее условию (3). Затем это решение подставляется в уравнение (2), из которого находится зависимость Т = у2(х), удовлетворяющая условию (3).

Уравнение (9) удобно записать в виде уравнения с

разделяющимися переменными Р Ф=_в F(p) dx ’ (12)

где

Е _ XRW2 zCpi.TOTj 2D F(pj) ' (13)

Выбор функции F(p) неоднозначен и оценивается по точности получаемых с ее помощью результатов и по простоте аналитических вычислений. Возьмем в качестве пробной функции F(p) = ра ,где а -вещественная постоянная. В этом случае (12) принимает вид

где

В =

р1-^ = -В

dx :

z(p1.T|lT|

2D

Р“

(14)

(15)

Интегрируя (14) и учитывая начальное условие (3), получаем:

р(х) =

р? а -(2-а)Вх

1

2-а

(16)

ИДИ

р(х)= Pi

(2-а) XRW^zlp^TQT!

1

2-а

. (17)

2 Dp?

В частном случае при а = 2 из (17) получаем

p(x) = Ple-Bx, (18)

где

В =

XRW2 z(pj.T] ГГ,

2D

Pi

(19)

Из формулы (16) получаем давление на выходе трубопровода при х = L :

р2 = р(ь) =

р?-“— (2 —ot)BL

1

2-а

(20)

83

Отсюда получаем соотношение

1 t \

от ^ I 2—а 2—а |

BL=^lpi _Р2 ' <2»

Вычислим среднее давление на интервале [о, L]:

_ 1 L

p = -jp(x)dx (22)

L о

Используя (16), получаем выражение для р через параметры pj, В и а :

Р =

1

AL(3 - а)

3—а"

(2 - а)Вь) 2_а

• (23)

z(p1,T1)T1 ^ z(p2,T2)T2 F(P]) F(p2)

В случае, когда F(p)= ра , сформулированный критерий принимает вид

z(pbT])Ti _ z(p2,T2)T2

„И

Pi Р2

(27)

Условие (27) позволяет определить значение а для пробной функции F(p)= ра . Ниже мы получим решения задач, имеющих прикладное значение, и покажем, как соотношение (27) преобразуется в уравнение относительно а .

Подставив (21) в (23), получим выражение для р через параметры Pi, р2 и а :

— _ (2-а) (р?~а~рІ~а)

Р (3-а )(р2-а_р2-ау (24)

Формула (24) справедлива при любом а . В частных случаях, когда а = 2 или а = 3, она принимает вид:

- _ Pi ~Р2 ? при а = 2 .. (25)

In —

Р2

р — Рі Р2 1 п(рі /р2) при ос = 3 (26)

Р1-Р2

Если cl = 0 , то (24) переходит в известное в литературе выражение [13]:

2 (р? ~ Р2) _ 2(pi +PiP2 +Р2)

3(рГІІ) 3(pj+p2) '

4. Условие оптимальной аппроксимации

Функцию F(p) следует выбрать так, чтобы она наилучшим образом аппроксимировала функцию z(p,T) -Т на интервале [0. F |. Таким образом, возникает задача об оптимальном выборе функции F(p). Для количественной формулировки этой задачи необходимо установить, что следует понимать под наилучшей аппроксимацией функции z(p.T) -Т . Очевидно, можно дать различные определения наилучшего приближения. Однако пригодность того или иного критерия может быть установлена лишь после детального анализа результатов решаемых с его помощью практических задач.

В данной работе мы примем простой критерий оптимальной аппроксимации. При записи уравнения (9) предполагалось, что после подстановки решения задачи Коши (1)-(3) в выражение z(p.T)T/F(p) мы должны получить функцию от х, которая слабо изменяется на интервале [О, L], Поэтому можно потребовать, чтобы значения этой функции на концах промежутка [О, L] были равны:

5. Расчет величины W при известных значениях pi, р2, Т], Т2

Для решения рассматриваемой здесь задачи получим выражение для W. Используя формулы (16) и (21), имеем:

XRW2L z(Pl.T1)T1 _ 1 / 2-а 2-а)

(2-а)™1 Р2 ’

рГ

2D

Отсюда получаем

2 D

W =

(2-а) XRLz(p1,T1)T1 Если а = 2 , то из (28) получаем:

(pi2-P?pH

1/2

. (28)

W =

2Dpf

-In— XRLz(p1,T])T1 р2

nl/2

(29)

В рассматриваемой задаче величины рь р2, Т] и Т2 считаются известными, поэтому, согласно (27), величина параметра а определяется соотношением:

ln z(Pi -T) )Т] z(p2.T2)T2

1пр1

Р2

(30)

Учитывая соотношение (27), формулу (28) можно записать в более «симметричной» форме:

W =

2 D Pl Р2

2-а /.LR гфіЛіУД z(p2,T2)T2

-,1/2

(31)

где величина а определяется формулой (30).

Если вычисленная по формуле (30) величина а будет равна 2, то для вычисления W следует использовать формулу (29).

Используя уравнение состояния (4), выражения для W и а можно записать в другой форме. Соотношение (3 0) принимает вид:

а = 1-

1п

In

Pi

Р2

Pl

Р2

(32)

84

РИ, 2009, № 1

Формула (31) записывается в виде:

1/2

W =

■77-ІР1Р1-Р2Р2]

2-а XL

Формула (29) записываются в виде

,а * 2 ■

W =

2DPiPi lnPL

XL

Р2

1/2

(33)

(34)

Ниже мы приведем результаты расчетов для конкретных режимов течения природного газа.

Таблица 1

W. кг/(\г‘.Ь) 435.24 544.05 680.06 794.313

р2. Па 7.03-106 6.19 10е 4.58106 1.77 10е

Т2, К 299.024 298.29 294.715 285.392

исходных данных для расчетов по полученным в работе формулам.

6. Численное моделирование стационарных режимов течения газа

Для проверки корректности сделанных предположений при выводе приближенных уравнений и адекватности приближенного аналитического анализа были использованы результаты численного анализа. Для получения тестовых примеров было проведено численное моделирование стационарных неизотермических режимов течения природного газа (метана). В качестве термического уравнения состояния использовалось уравнение Бертло [2, 5], для которого

z(p,T) = 1 + 0,07(р/рс)(Тс /Т)(1-6Т2 /Т2), (35)

где рс=4.6*10б Па, Тс=190 К. Численное решение задачи Коши (1)-(3) для различных значений удельного массового расхода W проводилось при начальных условиях pi=8.3 • 106 Па, Т i=313 К и следующих значениях параметров: D=1.4 м, L=112000 м, л=0.01, к=1.63 Вт/(м2*К), R=518 Дж/(кг*К), Ср=2746 Дж/ (кг*К), Тн=283 К.

Решение проводилось методом конечных элементов при дискретизации пространственной области на 120 одномерных лагранжевых элементов пятого порядка.

Таблица 2

W; кг/(м:‘.Б) 435.24 544.05 680.06 794.313

а 0.301 0.139 0.054 0.0162

Sf 0.0052 0.0059 0.0082 0.0134

5W 0.0015 0.0016 0.002 0.0024

Значения а , рассчитанные по формуле (30)с использованием (35) и данных из табл. 1, приведены в табл. 2.

После расчета величин а было проверено предполо-

z(p,T)T

жение, что после подстановки в выражение

решения задачи Коши (1)-(3) мы должны получить функцию, которая слабо изменяется на интервале [0,L]. Были рассчитаны зависимости

fM= z(P(x)-T(x))-T(x)

' V а (значения а брались изтабл.

Р(Х)

2). На рисунке представлены графики зависимостей

Были получены зависимости р(х) и Т(х) при следующих значениях W: 435.24 кг/(м2*с), 544.05 кг/(м2*с), 680.06 кг/(м2*с), 794.313 кг/(м2*с). Расчет показал, что при W=680.06 кг/(м2,с) скорость движения газа по трубопроводу не превышает 21,2 м/с. Поэтому для практического применения результатов численного моделирования можно принять, что рабочие режимы течения газа соответствуют значениям W<680 кг/(м2*с). Расчеты при W=794.313 кг/(м2,с) имеют иллюстративный характер, поскольку в этом режиме имеется большой перепад давления на дл и не трубопровода, а скорость движения газа в конце трубопровода достигает 64,5 м/с, что, по-видимому, нетипично для стационарных безаварийных режимов транспорта природного газа. Однако даже в этом случае, как будет показано ниже, результаты приближенного анализа обеспечивают высокую точность расчетов.

В табл. 1 приведены результаты численного решения задачи Коши (1 )-(3), которые далее мы использовали в качестве

f(X)/f(0).

Из рисунка видно, что f (х) действительно слабо зависит от х и мало отличается от постоянной. Количественной мерой максимального отличия является величина 5f = max|f(x)/f(0)-l|, значения которой

Графики зависимости f(x)/f(o) при различных значениях W: 1 - 435.24 кг/(м2»с); 2 - 544.05 кг/'ім2»сі: 3 - 680.06 кг/(м2»с); 4-794.313 кг/(м2»с)

РИ, 2009, № 1

85

приведены в табл. 2. Из приведенных в табл. 2 данных видно, что 5f <10"2, если W<680 кг/(м2*с).

Была проведена численная оценка величины W при заданных значениях рь р2, Ть Т2 (аналитическое решение этой задачи получено выше в разделе 5). Расчет W проводился по формуле (31) с учетом (35), р2 и Т2 брались из табл. 1. Рассчитанные значения хорошо совпали со значениями W, приведенными в табл. 1. Относительная погрешность 5W =| W / W — 11 приведена в табл. 2 ( W - рассчитанное значение). Видно, что формула (31) дает оценку величины W с относительной погрешностью, не превышающей 0.0025.

7. Расчет величины р2 при известных значениях pi, Т,, Т2, W

Для решения рассматриваемой здесь задачи представим р2 в виде зависимости от pj, Т]. Т2, W. Положив х = L в формуле (17), получим:

і

2-а

. (36)

Р2 =Pi

(2- а) ARW2Lz(p1.T1)T1 2 Dp?

Заметим, что формула (36) справедлива и при а = 2 . Легко показать, что при а = 2 :

р2 = pj exp

>wRW2l.z(p|.T| )Г| Dp?

(37)

Обозначим:

С =

/■RW2Lz(p1.T1)T1

2Dp?

(38)

В рассматриваемой задаче С - положительная постоянная, значение которой вычисляется с помощью исходных данных. С учетом (38) формула (36) записывается в виде

і

p2=Pl[l-(2-a)Cp. (39)

Очевидно, что формула (39) имеет смысл при условии (2 - a)C < 1.

z(P2-T2)T2

zfebTiJr,

а

[l-(2-a)c] 2_<

(41)

В левой части этого уравнения вместо р2 следует подставить выражение (39). Вследствие этого конкретный явный вид уравнения (41) зависит от вида

функции z(p,T2) (напомним,чтовеличиныр],Т],Т2 считаются заданными). Корень уравнения (41) следует искать на интервале

2-1/С<а<оо . (42)

Сформулируем утверждение о корнях уравнения (41 )в виде леммы.

Лемма. Пусть функция z(p. Т) действительных переменных р и Т непрерывна в области

о(р,т) = (О < ршш < р < ртах < оо, 0 < Ттт < Т < Ттах < оо} и в этой области удовлетворяет условию

0 < zmin - z(p-Т) ^ zmax < 00 •

Тогда при 0 <С < 1/2 , (р]Л\)єС2, Pi^O,

Tmin^T2<Tmax уравнение (41) на интервале 2-1/С<а<оо имеет нечетное число действительных корней.

Доказательство. Обозначим для краткости правую часть уравнения (41) как ср2(а). Рассмотрим предел левой части уравнения (41) при а —>■ 2 - 1/С . Замечаем, что

Ига р2 = 0

а—»2-1/С

Отсюда:

Ига

а-» 2—1/С

Z(p2-T2)T2

z(pi-T,)Ti

Вычислим предел:

z(0-T2)T2 ,zmaxTmax ZminTmin

(43)

lim ср2(а)=+со а—>2-1/С '

(44)

Ha основании (43) и (44) заключаем:

Анализ выражения (39) показывает: если 0 < Сй-, то р2 как функция а монотонно возрастает от 0 до р |

при увеличении а в интервале 2-—<а<оо, т.е.

имеют место соотношения Ит р2 = 0 и

а—»2-1/С

lim Р2 = Pi

а—ко

Величина параметра а определяется из дополнительного условия (27), которое мы запишем в виде:

Z(p2-T2)T2 Z(P] Т])Т]

Pi,

(40)

Подставив (39) в (40), получим уравнение относительно а :

lim

а—»2-1/С

ср2(а)

z(Pl-Т| )т,

—> +00

(45)

Вычислим предел при а —)■ оо :

lim

а—»оо

ср2(а)

z(p2.T2)T2 z(Pl Tl)Tl

z(PlT2)T2

z(Pl-T,)T,

<0. (46)

Здесь мы использовали, что 1ішф2(а) = 0 и

а—>сс

Ит р2 = р,

а—» со

На основании (45) и (46) заключаем, что разность между ф2(а) и выражением в левой части (41) на концах интервала 2- 1/С < о. ^ х имеет разные знаки.

86

РИ, 2009, № 1

Отсюда вытекает, что рассматриваемаяразность внутри этого интервала меняет знак нечетное число раз. Следовательно, уравнение (41) на интервале (42) имеет нечетное число корней. Лемма доказана.

Для численных расчетов были взяты значения Т2, W из табл. 1. Величина а определялась из решения уравнения (41), а затем по формуле (39) вычислялась величина |>2- Результаты расчетов приведены в табл. 3.

Таблица 3

W 435.24 544.05 680.06 794.313

Относ. по- греш- ность 5.8 10'4 0.0013 0.0047 0.0596

Из приведенных в табл. 3 данных видно, что расчетное значение Р2 отличается отточного с погрешностью, не превышающей 0.0047, если W<680 кг/(м2*с).

8. Выводы

Проведено дальнейшее развитие математической модели дозвукового стационарного неизотермического течения реального газа в однониточном трубопроводе, которая представляет собой систему из двух обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций давления р(х) и температуры Т(х).

Науч ная новизна состоит в том, что предложен новый метод приближенного решения задачи Коши для данной системы уравнений. Суть метода состоитв замене точного уравнения более простым приближенным уравнением, решение которого может быть получено в явном виде. Для вывода приближенного уравнения использов ан метод пробных функций. Предложен вид пробной функции и получены аналитические выражения, описывающие распределение давления вдоль трубопровода. Получено решение задачи расчета величины массового расхода по известным значениям давления и температу ры на входе и выходе трубопровода. Получено решение задачи расчета величины давления на выходе трубопровода по известным значениям расхода, давления и температу ры на входе и температу ры на выходе.

Верификация предложенного метода проведена путем сравнения результатов приближенного анализа с результатами численного моделирования стационарных неизотермических режимов течения природного газа. Результаты расчетов тестовых примеров показали, что полученные в работе формулы с высокой точностью описываюттипичныережимы транспорта природного газа.

Полученные результаты имеют важную практическую значимость при расчете гидравлических режимов стационарного неизотермического течения природного газа по линейному участку трубопровода.

Литература: 1. Чарный И.А. Основы газовой динамики. М.: Гостоптехиздат, 1961. 200 с. 2. Неизотермическое течение газа в трубах / Васильев О.Ф., Бондарев Э.А., Воеводин А.Ф., Каниболоцкий М.А. Новосибирск: Наука, 1978. 128 с. 3. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. 840 с. 4. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. 424 с. 5. Термогидродинамика систем добычи и транспорта газа / Бондарев Э.А., Васильев О.Ф., Воеводин А.Ф. и др. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. 272 с. 6. Седов Л.И. Механика сплошной среды. СПб.: Лань, 2004. 2 т. 7. Основы численного моделирования магистральных трубопроводов / Под ред. В.Е. Селезнева. М.: Ком Книга, 2005. 496 с. 8. Современные компьютерные тренажеры в трубопроводном транспорте: математические методы моделирования и практическое применение / Под ред. В.Е. Селезнева. М.: МАКС Пресс, 2007. 200 с. 9. Сухарев М. Г., Карасевич А. М. Технологический расчет и обеспечение надежности газо-и нефтепроводов. М.: ГУП Изд-во «Нефть и газ» РГУ нефти и газа им. ИМ. Губкина, 2000. 272 с. 10. Гидравлические цепи. Развитие теории и приложения / Н.Н. Новицкий, Е.В. Сеннова, М.Г. Сухарев и др. Новосибирск: Наука, Сибирская издательская фирма РАН. 2000. 273 с. 11. Об одном классе задач математического моделирования нестационарных неизотермических режимов транспорта природного газа по участку трубопровода / Тевяшев

A. Д., Смирнова В.С. // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. 2007. №4/5 (28). С. 45-51. \2.Mame-матическое моделирование нестационарного неизотермического течения газа по участку трубопровода // А.Д. Тевяшев, В.С. Смирнова. // Радиоэлектроника и информатика. 2008. №2. С. 21-27.13 .Евдокимов А. Г., Дубровский

B. В., Тевяшев А. Д. Потокораспределение в инженерных сетях / Под общ. ред. А. Г. Евдокимова. М.: Стройиздат, 1979. 199с.

Поступила в редколлегию 19.03.2009

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Дорошенко В.А.

Тевяшев Андрей Дмитриевич, д-ртехн. наук, проф., заведующий кафедрой ПМ ХНУРЭ. Научные интересы: системный анализ и теория оптимального стохастического управления. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14,тел. (057) 702-14-36.

Смирнова Виктория Сергеевна, аспирантка кафедрыПМ ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование физических процессов. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 702-14-36.

РИ, 2009, № 1

87