CC BY
77
МЕХАНИКА
УДК 531.39
МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИЗГИБА ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН, ЛЕЖАЩИХ НА СЛОЖНОМ ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
П.Г. Великанов
Казанский государственный университет, кафедра теоретической механики E-mail: pvelikanov@mail.ru
Данная работа посвящена решению задач линейного деформирования пластин непрямым методом граничных элементов, основанному на применении фундаментального решения задачи изгиба изотропной пластины, лежащей на сложном двухпараметрическом упругом основании. В результате анализа разрешающих уравнений показано, что задача изгиба изотропной пластины, лежащей на простом винклеровском упругом основании, является частым случаем задачи, заявленной в заголовке статьи.
Investigation of the Isotropic Plates Bending Lying on the Complex Two-parameter Elastic Foundation by Boundary Element Method
P.G. Velikanov
This work is dedicated to the investigation of the linear deformation problem of plates based on application of the fundamental decision of task of the isotropic plate bending lying on the complex two-parameter elastic foundation by an indirect method of boundary elements. In the issue of resolving system analysis was indicated that the task of isotropic plate bending lying on the simple elastic foundation is a special case of the task declared in the title of the article.
Рассмотрим тонкую линейно упругую пластину, ограниченную гладким кусочно-ляпуновским контуром. Дополним область пластины до бесконечной области. По контуру к бесконечной пластине приложим компенсирующие нагрузки q(Z),m(Z). Нагрузка q(Z) — распределенное по контуру Г усилие, нормальное к поверхности пластины, m(Z) — распределенный по контуру Г момент вокруг касательной к контуру Г [1] (рисунок).
Пластина с контурными компенсирующими нагрузками
Решение задачи изгиба пластины непрямым методом граничных элементов (НМГЭ) заключается в представлении решения как суммы основного и компенсирующего решений. Основное решение
© П.Г. Великанов, 2008
определяет деформацию бесконечной пластины от заданных нагрузок; компенсирующее решение определяет действие на бесконечную пластину системы сил, распределенных по контуру пластины (компенсирующих нагрузок), за счет которых выполняются краевые условия на контуре пластины. Сумма основного и компенсирующего решений должна удовлетворять дифференциальному уравнению изгиба изотропной пластины, лежащей на сложном двухпараметрическом упругом основании (по моделям проф. П.Л. Пастернака, проф. В.З. Власова и др.) [2]:
ьи, (*,„) = -Им), (1)
где
^ ЕЬ3 2 к Ь2 4 кг 1
° = 12(Г-^- 2Р2 = 1С' X4 = ^ = й' (2)
Ь = А2 — 2р2А + х4 — дифференциальный оператор; А — оператор Лапласа; kz — параметры
упругого основания (коэффициенты постели).
Решение уравнения (1) ищем в виде
чо = со + у же) — ^дП^'с^т(^)]^); (3)
г
™г(‘) = // С(*,С )р (С №П(с) + £ о(г,й)р4(й). (4)
п+ г=1
Здесь Ь(Х'У) — точка области; £(С,,) — точка контура; шг (£) — частное решение уравнения (1);
Рг — модуль сосредоточенной силы, приложенной в точке (г (* = 1, 2, ...,п). G(t' ^) — фундаментальное
решение.
Для получения фундаментального решения О(х, у)поставленной задачи в дифференциальном уравнении (1) интенсивность распределенной нагрузки моделируют единичной сосредоточенной силой Р, приложенной в начале координат, которая математически описывается обобщенной дельтафункцией Дирака 5(х,у):
ЬО (Х,у) = ^.
Для получения фундаментального решения применяется двумерное интегральное преобразование Фурье [3]. Трансформанты величин определяются следующим образом:
О (^'П) = 2л/ /о (Х'У) ег(5х+та)^у; ^[5(х,у)] = -Л; ^[Ь] = ((С2 + ,2)2 + 2р2 (С2 + ,2) + X4)-
— Ю — Ю
Тогда трансформанта фундаментального решения примет вид
о(С,п)= 1
2п^((С2 + п2)2 + 2р2(С2 + П2) + X4)'
Таким образом, последовательно применяя формулу обращения двумерного интегрального преобразования Фурье [3]
сю сю
О (Х'У) = 2П / / О (С'П) е —<('*+П") ^ = П^/008 ПУЛ>1 ((С2 + ,2 )2 +С.°^2С(Х 2 + ,2) + х4) ^
— ю —ю 0 0
свойства интегралов от четных и нечетных функций и аппарат теории вычетов в пространстве оригиналов, получим следующие представления для фундаментальных решений в зависимости от величины дискриминанта знаменателя трансформанты и соотношений между коэффициентами:
a) р > X ^ О(х, у) = — 4П“2^{Ко(л/р2 + 52г) — Ко(л/р2 — 52г)}, 52 = /р4 — X4;
1 ______________________________ 2
b)р < х ^ £(х у) = -2пв2д^о(г/г’ ^’в2 = ^х4 - р4’ ^ = 1 aгctan ^;
c) X = 0 ^ С(Ж’У) = - 4пр^2в {1п г + Ко (л/2рг)};
¿) р = X ^ ^(х,у) = —-—^-2&ег0 (г/1, 0) (осуществляется предельный переход при ^ ^ 0 и
4п^х2
далее используется правило Лопиталя);
12
е) р = 0 ^ С(х’ у) = — 2л^ке*о(г/1);
О р = х = 0 ^ £(х у) = 8“ог21п г
Как можно заметить, в этот перечень входят наряду с другими фундаментальное решение задачи изгиба изотропной пластины, лежащей на простом винклеровском упругом основании е) и фундаментальное решение задачи изгиба изотропной пластины ^.
Случай е), впервые приводящийся в работе [4], является частным случаем Ь), так как при р = 0 выполняется следующая последовательность действий:
в = X = 1/1; ^ = п/4; ^ег0 (г/1, п/4) = ^ег0 (г/1).
Для реально существующих двухпараметрических упругих оснований выполняется случай Ь), поэтому именно его мы и будем далее рассматривать.
В случае Ь) ^ег0 (г/1,^) — обобщенная функция Томпсона - Кельвина (мнимая часть обобщенной модифицированной функции Бесселя второго рода нулевого порядка К0).
Обобщенные функции Томпсона - Кельвина в рядах представляются следующими соотношениями [5]:
(х/2)2к соб2^^ (х/2)2к вт2&^
г0(х, ^ = 2. —(^—; ^0(х, ^ = 2. ——; к—0 к—0
, , / 2 \ , . . , . (х/2) соб 2&^ 1
кег0 (х, <р) = 1п----С Ьег0 (х, <р) + <р ■ ое^0 (х, <р) + ^---(г^--------2^ _;
V Х / 1—1 (^-) 0—1 5
, ч / 2 \ ^ (х/2)2к вт2&^ ^ 1
&е20 (х, <^) = I 1п-С I ое^0 (х, ^) — ^ ■ Ьег0 (х, ^) + 2^-(Т!)2-----2^ _’
Vх/ к=1 ( -) в=1 5
где С = 0, 5772157... — постоянная Эйлера.
На контуре пластины рассмотрим следующие граничные условия:
т = 0, т,п = 0 — жесткая заделка, (5)
т = 0, Мп =0 — свободное опирание, (6)
Уп = ^1 т, Мп = ^2т,п — упругое закрепление. (7)
Здесь Мп и Уп — изгибающий момент и обобщенная поперечная сила на контуре Г; &ь &2 — постоянные, определяющие упругие свойства закрепления (при ^1 =0, &2 =0 получаются граничные условия свободного края).
Отметим, что выражение (3) точно удовлетворяет дифференциальному уравнению (1). Чтобы (3) было решением краевой задачи, необходимо из системы сингулярных интегральных уравнений, которая получается при подстановке (3) в краевые условия (5)-(7) на контуре пластины Г, определить
функции д(£),т(£). При этом надо совершить предельный переход точки £(х,у) из внутренней области 0+ на границу Г. Тогда ядра интегральных уравнений будут определены во всех точках контура, за исключением точки, где £(х,у) = £(С,п). В этой точке г = 0, а следовательно, ядра потенциалов будут иметь особенности.
Для дальнейшего анализа воспользуемся тем фактом, что цилиндрические функции целых порядков, отличных от нулевого, всегда можно преобразовать посредством рекуррентных соотношений вида:
хКп - пКп хКп-1; хКп - пКп хКп + 1; К— п - Кп ; К0 --- ^^1;
[х—пКп] = —х—пКп+1; [хпКп] = —хпКп—1; 2Кп = Кп—1 + Кп+1;
ах 1 J ах
2
К2 = - К1 + К0; 2пКп = хКп+1 — хКп—1.
х
Вторую производную функции К0 найдем непосредственно из дифференциального уравнения Бесселя:
а2К0 (х) 1 аК0 (х)
“^х^ = К0 (х) —
Дифференцируя далее и используя рекуррентные соотношения, получим выражения для определения производных старших порядков:
а3 к (х) 1 л 2 ^ аК0 (х)
= К0 (х) + I 1 +
\ rp2 i /"/'г*
d4K° (x) = Л+2.) к° (x) - 2 (1+*^ dK° (x)
rl rp 4 \ rp2 f ^У> \ ^2 ¡ rl rp
\AjtAj \ *AJ / \ / Ll/tV
Заменим в выражениях для производной переменную x на хег 99:
d2K° <!^) = e2-K° (xe-) - 1 dK° f) ;
2
(д/tV *AJ Ll/tV
d3K° (xei 9) 2i9 1„ ( ei 9N . ( 2i9 . ^ dK° (xei 9) 2i9 1
Г° (xei 9 ) 2. 1 ( . ) / 2. 2 \ dK° (xei 9 ) 2. 1 ( . ) 3. ( . )
AL-J_ = -e2. 9_K° (xe.9) + e2. 9 + -.) -^^ = -e2 9-K (xe. 9) - e3. 9Ki (xe.9) ;
32
(д/tV \ / (д/tV
= e2. 9 fe2. 9 + -3) K° (xe. 9) - 2 fe2. 9 + 4) dK° d(xe 9) = e2. 9 f e2. 9 + A) K (xe. 9)
v x j x v x J dx v x /
d4 K° (xe. 2. / 2. 3 \ ( . ) 2 ( 2. 3 \ dK° (xe. 2. / 2. 3 . , ■ ч
-----dx4------' = e2. 9 í e2. 9 + x2 ) K° (xe.9) - x ( e2. 9 + — ) -^^ = e2. 9 ( e2. 9 + — ' K2 fxe^
После разделения действительной и мнимой частей комплексного числа получим следующие выражения:
d2 ker° (x, w) . . 1 .
-----—2---------------------------------= cos 2w ■ ker° (x, w) - sin 2w ■ kei° (x, w)-ker° (x, w);
dx x
d2kei° (x, w) . . 1 ..
-----1—2------------------------------- = cos 2w ■ kei° (x, w) + sin 2w ■ ker° (x, w)-kei° (x, w);
dx2 x
d3 ker° (x, w) 1/^i t \ n 1 ■ f \ \ i t í \ \
-----—3-------= — (cos 2w ■ ker2 (x, w) - sin 2w ■ kei2 (x, w)) + cos 2w ■ ker° (x, w) - sin 2w ■ kei° (x, w);
dx x
d3kei° (x, w) 1/^7-/ n ^ n / \ \ i t f \ -nii, \
------ 3------= — (cos 2w ■ kei2 (x, w) + sin 2w ■ ker2 (x, w)) + cos 2w ■ kei° (x, w) + sin2w ■ ker° (x, w);
dx x
d4 ker° (x, w) 3 2 3
------ 4------= (cos 2w(cos 2w +—2) - sin 2w) ker2 (x, w) - sin 2w(2 cos 2w +—2)kei2 (x, w) ;
dx x x
d kei° (x, w) / ^ • 2 ^ \ i • f \ c\ f c\ c\ 3 \ -i / \
------г—4-----= (cos2w(cos2w +—2) - sin 2w)kei2 (x, w) + sin2w(2cos2w +—2) ker2 (x, w),
dx x x
где
2
ker2 (x, w) = ker° (x, w)------(cos 2w ■ ker° (x, w) + sin 2w ■ kei° (x, w));
2 t t
kei2 (x, w) = kei° (x, w)-----(cos 2w ■ kei° (x, w) - sin 2w ■ ker° (x, w))-
Следует также привести следующие соотношения:
A ker° (x, w) = cos 2w ■ ker° (x, w) - sin 2w ■ kei° (x, w);
Afce¿° (x, w) = cos 2w ■ kei° (x, w) + sin 2w ■ ker° (x, w) -
Важное значение в практическом применении имеют следующие интегралы:
[— —^---------- йх; / К2 (хег 9) йх; / 1К2 (хег 99) йх; / -3К2 (хег 99) йх.
х ах х х2
Взятие этих интегралов осуществим с помощью рекуррентных соотношений и применяя интегрирование по частям:
1 dKo (хег 9) 2i9 Г . i9 ч dKo (хег 9)
---------т-------dx = e2i 9 Ko (xei 9) dx---------------------------7--
x dx I 4 ' dx
K (xei 9) dx = — / Ko (xei 9) dx + 2e-2i9 dKo ^ ^
dx
1
K2 (xei 99) dx = e
) dx = e-9 i dK»(xei9) ;
x dx
3 / •) 2 f ( ) 1 ( ) dK0 íxei 9
—^K2 (xei 9) dx = e2i9 Ko (xei 9) dx - —K2 (xei 9) 0 1 '
dx
После разделения действительной и мнимой частей получим:
J 1 kero (x, p) dx = cos 2p J kero (x, p) dx — sin 2p J ke¿o (x) dx — ke^ (x, p);
J — ke¿o (x, p) dx = cos 2p J ke¿o (x, p) dx + sin 2p J kero (x) dx — ke¿o (x, p);
J ker2 (x, p) dx = — J kero (x, p) dx + 2 cos 2p ■ kero (—, P) + 2 sin 2p ■ ke¿o (x, p);
J ke¿2 (x, p) dx = — J ke¿o (x, p) dx + 2 cos 2p ■ ke¿o (x, p) — 2 sin 2p ■ kero (—, P);
A 1 1 / /
— ker2 (x, p) dx = — (cos 2p ■ kero (x, p) + sin 2p ■ keio (x, p));
f 1 1 / /
—ke¿2 (x, p) dx = — (cos 2p ■ ke¿o (x, p) — sin2p ■ kero (x, p));
I -32 ker2 (x, p) dx = cos 2p / kero (x, p) dx — sin 2p / ke¿o (x, p) dx — 1 ker2 (x, p) — kero (x, p);
x2 x
J -З2ke¿2 (x, p) dx = cos 2p J ke¿o (x, p) dx + sin 2p J kero (x, p) dx-----------ke¿2 (x, p) — ke¿o (x, p).
Приведем необходимые для реализации алгоритма производные фундаментального решения в локальной системе координат:
G (t, Z)= A ke¿o (r/l,p), где A = —1/(2nD^2),
Z) = Akeio (r/1, P) cos y ;
д^1Z) = — ykeio (r/l,p)cos 71;
dGdT Z) = — Ake*o(r/1, p) sin 7; ^^1 Z) = Ake*o(r/1, p) sin 71;
d2G (t,z) = A
dn2 l2 d2G (t,Z) A
дт 2
l2
ke¿o (r/l, p) cos2 7 + ( - ) ke¿o (r/l, p) sin2 7 keio (r/l, p) sin2 7 + ( - ) ke¿o (r/l, p) co^ 7
d2G (t, Z) A . //jw
—;r— --- = —777 (cos2p ■ kei2 (r/l, p) +sin2p ■ ker2 (r/l, p)) cos 7 sin 7;
дпдт l2
x
д2О («,С) А
дпдп-і I2
кеі0 (г/1, р) соб 7 соб 7і + ( - ) кеі0 (г/1, р) бій 7 бій 71
А
АО (і, С) = 72(соб 2р ■ кег0 (г/1, р) + БІи2р ■ кег0 (г/1, р));
12
д—ОО(^,^) = із(соб2р ■ кег0 (-/1,р) + БІи2р ■ ке-0 (г/1,р))соэ7;
д—О (і, С) А . . .
----д------= — 1"з (соб 2р ■ кег0 (г/1, р) + бій 2р ■ кег0 (г/1, р)) соб 71;
д3О (і,С) А,, . , . . . , , . 44.2
» 2о----= — 73((соб2р ■ кег0 (г/1, р) + Біи2р ■ кег0 (г/1, р)) бій 7соб71 +
дт2 дп1 13
+ ^(соб 2р ■ кег2 (г/1, р) + бій 2р ■ кег2 (г/1, р)) соб (27 + 71));
д3О (і, С) А ,, , . . . , , . .. 2
„ ----= тт7((со8 2р ■ кег0 (г/1, р) + бій2р ■ кег0 (г/1,р))сов 7соб71 —
дп2дп1 13
1
(соб 2р ■ кег2 (г/1, р) + бій 2р ■ кег2 (г/1, р)) соб (27 + 71));
д3О (і, С) А,, 1-!/п \ ■ г> 1/п \\ ■ 2
—„ „ 2 = тз ((соб 2р ■ кег0 (г/1, р) + бій 2р ■ кег0 (г/1, р)) бій 7 соб 7—
дпдт2 13
1 (соб2р ■ кег2 (г/1, р) + БІи2р ■ кег2 (г/1, р)) соб 7(1 — соб27));
г
д2 АО (і, С) А,, , . . -г. і п / п \\
—7Т-?;------- = — 74((соб2р ■ кег0 (г/1, р) + Біи2р ■ кег0 (г/1, р)) соб71 соб7+
д Пд IV1 1
+ ^(соб 2р ■ кег0 (г/1, р) + бій 2р ■ кег0 (г/1, р)) бій71 бій7);
д3О (£,£) А 1-1/п \ -г. і і / и \\
, , ,— = тг((соб 2р ■ кег0 (г/1, р) + Біи2р ■ кег0 (г/1, р)) соб71 бій7соб7—
дпдтдп 13
1
(соб 2р ■ кег2 (г/1, р) + бій 2р ■ кег2 (г/1, р)) біи(27 + 71));
г
д4О (і, С) А , .| , . . . п/п \\ ■ 2
» » Оо— = — 77(соб 2р ■ кег0 (г/1, р) + Біи2р ■ кег0 (г/1, р)) бій 7соб71 соб7+ дпдт 2дп1 14
1_
г
+ ^(соб 2р ■ кег0 (г/1, р) + бій 2р ■ кег0 (г/1, р)) соб2 7 бій71 бій7—
(соб2р ■ кег0 (г/1, р) + БІи2р ■ кег0 (г/1, р) — 3 ^(соб2р ■ кег2 (г/1, р) +
+ бій 2р ■ кег2 (г/1, р)))(2біи27біи(7 + 71) — соб(7 — 71))).
Как показывает анализ ядер интегральных уравнений, применительно к асимптотике обобщенных функций Томпсона - Кельвина и их производных, для задачи изгиба изотропной пластины, выполненный по методике, изложенной в статье О.И. Панича [6], при переходе через гладкий контур обобщенная поперечная сила Уп и изгибающий момент Мп терпят разрывы первого рода:
;2 ■ шСО + Мп(£); Уп±(£) = ±2
Подставляя (3) в граничные условия (5)-(7), получаем систему сингулярных интегральных уравнений с неизвестными компенсирующими нагрузками о(С),т(£), которая примет следующий вид.
Для жесткой заделки
J О & с) о (с) ^ (с) — у дОдП1 ^) т (С) ^ (С)+(і) = 0,
7 дО (І,С) ^ ^ Г [ д2О (І,С) ^ ^, д^г (і) п (9)
у ^^о (с) (с) Ч ^пдптт (с) (с) ^ ^ =0-
ГГ
М±(і) = ±- ■ т(і) + Мп(і); Уп±(і) = ^ ■ о(і) + ^„(і),і Є Г. (8)
г
Для свободного опирания
G (‘- С) q (С)ds (С) — í (‘-Z)m (С)ds (С) + wr (t) = о,
m (t) — D
2
+D
Для свободного края
1
дп-і
AG (t,Z) — (1 — v)
д2 G (t,Z)
q (C) ds (C)+
дAG (t,Z) (1 v) d3G (t,Z)
дт2dni
дп-і
дт 2
m (C) ds (C) + МП (t) = 0-
(1о)
2m (t) — D
AG (t,Z) — (1 — v)
д2G (t,Z)
дт 2
q (C) ds (C)+
+D
дAG (t,Z)
дп1
— (1 — v)
д3G (t,Z)
дт2дп1
2 q (t) — d
9AG (t,z)
дп
+ (1 — v)
д3G (t,Z) дпдт 2
m (C) ds (C) + Mr (t) = 0-
д 2G (t,Z) д2G (t,Z)
(11)
дп2
дт2
q (C) ds (C)+
+D
д2 AG (t,Z)
дпдп1
+ (1 — v)
д4° (‘-С) — K (t) ^ д3С (t,C) д3 G (t,Z)
дпдт2дп1
дп2дп1
дт2дп1
m (С) ds (С) + Vn (t) = 0
Для приближенного решения одной из систем (9)-(11) контур разобьем на N граничных элементов. В пределах каждого элемента функции компенсирующих нагрузок ), ш(£) будем считать постоянными. Для принятой аппроксимации д(£), ш(£) точки коллокации располагаем в узлах элементов.
Контрольный пример: Прямоугольная пластина, находящаяся под действием равномерно распределенной внешней нагрузки, все стороны которой свободно оперты, лежит на двухпараметрическом упругом основании. Механические характеристики и размеры пластины следующие: Н = 1(см), а = 10(см), Ь = 5(см), Е = 2 ■ 106 (кГ/см2), V = 0,3, к2 = 1540 (кГ/см3), кг = 1000 (кГ/см3). В таблице приведено сравнение численного решения МГЭ с точным решением, которое является обобщением решения Навье на случай двухпараметрического упругого основания [7]. Сравнение проводится для точки, являющейся центром тяжести пластины.
г
г
г
г
г
q(Kr/cM2) МГЭ (3) Решение Навье
w(cm) *10-3 w(cm)*10-3
100 0.7180 0.7179
250 1.7949 1.7947
500 3.5897 3.5895
Библиографический список
1. Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Решение задач нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек методом граничных элементов. Казань: Фэн, 2002. 199 с.
2. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М.: Физматгиз, 1960. 340 с.
3. Шевченко В.П. Интегральные преобразования в теории пластин и оболочек: Учеб. пособие. Донецк: Изд-во Донецк. ун-та, 1977. 115 с.
4. Коренев Б.Г. Некоторые задачи теории упругости и
теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях. М.: Физматгиз, 1960. 458 с.
5. Кончковский З. Плиты. Статические расчеты / Пер. с пол. М.В. Предтеченского; Под ред. А.И. Цейтлина. М.: Стройиздат, 1984. 480 с.
6. Панич О.И. О потенциалах полигармонического уравнения четвертого порядка // Мат. сборник. Одесса, 1960. Т. 50, вып. 3. С. 335-354.
7. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. 636 с.
