CC BY
378
УДК 621.9.07
Р. Хевер
МЕТОД АНАЛОГИИ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ДИНАМИКИ МЕХАНИЗМОВ
Введение. Механические системы в настоящее время с точки зрения динамики трудно поддаются расчету. Имеется в виду полный просчет механической системы с определением таких динамических параметров, как жесткость, упругость, собственная частота колебаний и т. п. Данные значения динамических параметров поддаются расчету и анализу с большой степенью погрешности, с использованием при расчете всевозможных эмпирических зависимостей и коэффициентов, которые принимаются приближенно. Расчет ведется с заведомо большими погрешностями, поэтому в итоге мы получаем модель механической системы с увеличенными значениями ее конечных параметров (масса, размеры и т. п.).
Таким образом, выявлено, что существующая методика расчета динамических систем не позволяет достичь высокой степени точности. Вследствие этого многие авторы предпринимали попытки провести аналогии динамических систем в виде электрических цепей, т. к. сложные механические системы удобно анализировать путем приведения их к хорошо исследованным электрическим цепям. Расчет электрических цепей позволяет определить параметры электрической цепи на любом ее участке, электрические модели более удобны для экспериментального исследования, нежели моделируемые механические. Существует также возможность комбинирования механических и электрических элементов какой-либо электромеханической системы в одной чистой эквивалентной электрической цепи, которую затем можно анализировать для получения всех взаимосвязей и характеристик.
Анализ литературных источников. В соответствии с упомянутыми во введении электромеханическими аналогиями все механические величины имеют свои определенные аналоги в области электрических явлений, и наоборот. Это даже используется иногда на практике при решении сложных инженерных задач. «Благодаря единству уравнений электрических и механических систем исследование явлений в механической системе может быть заменено исследованием процессов в электрической цепи, ...что обычно сопряжено с меньшими трудностями. ... Процессы в электромеханических системах, представляющих совокупность электрических и механических устройств, также могут с успехом исследоваться с помощью электромеханических аналогий» [1, С. 103]. Эффективность использования названных аналогий существенно повышается благодаря идентичности дифференциальных зависимостей между напряжениями и токами для так называемых дуальных элементов самих электрических цепей, которыми являются соответственно «сопротивление и проводимость; индуктивность и емкость» [3, С. 101] и т. д. Указанное полезное обстоятельство позволяет рассматривать в качестве электрического аналога механиче-
ской массы, например, равным образом и электрическую индуктивность, и электрическую емкость, что расширяет возможности проводимого анализа.
Простой пример — две системы. Первая из них, имеющая механическую природу, состоит из оси, передающей вращение через пружину и маховик, погруженный частично в вязкую тормозящую жидкость, валу, жестко связанному с маховиком. Вторая система — электрическая — состоит из источника электродвижущей силы, соединенного через катушку индуктивности, конденсатор и активное сопротивление со счетчиком электрической энергии. Если подобрать значения индуктивности, емкости и сопротивления так, чтобы они определенным образом соответствовали упругости пружины, инерции маховика и трению жидкости, то эти системы обнаружат структурное и функциональное сходство (даже тождество), выраженное, в частности, в том, что они будут описываться одним и тем же дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим работу [2], автор которой предлагает сопоставление некоторым механическим величинам электрических. Например:
Механические величины
Сила - ^
Скорость - V Перемещение - х Количество движения - р Вязкое трение - Р Масса - т
Податливость - 1/Ж
где Ж - жесткость пружины
Электрические величины
Напряжение - е Ток - 7 Заряд - q
Магнитный поток - Ф Сопротивление - Я Индуктивность - Ь Емкость - С
Далее предлагается механическая колебательная система и ее электрические аналогии: прямая (рис. 1, б), инверсная (рис. 1, в).
Рис. 1
Под прямым методом аналогии автор понимает представление механической системы в виде электрической цепи с последовательным соединением элементов.
Этот тип аналогии, получивший название «прямая аналогия», полезен при рассмотрении электромагнитных систем, в которых имеется «сродство» между силой и электрическим напряжением (например, в пьезоэлектрических системах). Здесь заряд или генерируемое напряжение прямо пропорциональны приложенной силе. Однако очевидность ограниченности такой аналогии состоит в необходимости «переводить» механические параллельные конфигурации в электрические сериеисные (последовательные) цепи.
Инверсная аналогия предполагает представление механической системы в виде электрической цепи с параллельным соединением элементов. Оба (электрический и механический) «контуры» имеют в этом случае параллельную конфигурацию, изображенную на рис. 1 а, в. Однако серьезный недостаток этого типа аналогии состоит в том, что частотные характеристики элементов цепей обратны. Эффект влияния массы и индуктивности (которые здесь не аналогичны друг другу) возрастает с ростом частоты, в то время как эффекты податливости и емкости уменьшаются. Эта «инверсная» аналогия, таким образом, нарушает закономерности относительно поведения системы при изменении частоты, в то время как «прямая» аналогия нарушает конфигурацию эквивалентных цепей.
Затем автор для согласования соотношений между механическими и электрическими аналогиями вводит коэффициент п и приводит математические выкладки.
Анализ данного метода позволяет сделать вывод о том, что для дальнейших расчетов автор предлагает введение коэффициента, являющегося впоследствии источником неточностей в расчетах.
Далее рассмотрим работу [3], в которой предлагается метод идентификации, позволяющий определять параметры соединений непосредственно по частотным характеристикам конструкции. Сущность метода заключается в следующем. Для простоты предполагается, что вся конструкция (механическая система) состоит только из двух подконструкций, соединенных вместе двумя сопрягаемыми поверхностями. Затем сопряжение моделируется посредством нескольких линейных пружин и демпферов (рис. 2). Цель работы состоит в том, чтобы идентифицировать свойства этих пружин и демпферов. Далее следует составление уравнений движения и их расчет.
Рис. 2
Авторами [3] предлагается методика расчета и определения параметров не всей механической системы, а ее отдельных элементов - пружины, демпфера. Несмотря на то, что в данной работе предлагается метод аналогии, заключенный в том, что основная система, состоящая из любого числа элементов, приводится к двум подсистемам, для упрощения, с последующим просчетом соединения (демпфер, пружина), сама работа носит практический характер: параметры частотных характеристик определяются с помощью экспериментов.
Рассмотрим также пример, описанный в [4]. Цель: сформировать математическую модель движения поступательной механической системы, состоящей из тела массой т, подвешенного на пружине, обладающей жесткостью Ьм и жестко связанной с демпфером, характеризующимся коэффициентом вязкого трения RM. К телу приложена сила f(t), действующая в вертикальном направлении.
Далее автор, пользуясь таблицей, составляет эквивалентную электрическую схему данной механической системы.
Соотношения аналогии фазовых переменных и параметров элементов
Подсистема Фазовые переменные Параметры элементов
типа потенциала, и типа потока, г С L Я
Электриче- ская Электрическое напряжение Электрический ток Электрическая емкость Электрическая индуктивность Электрическое сопротивление
Механическая поступательная Скорость Сила Масса Г ибкость Механическое сопротивление
Механическая вращательная Угловая скорость Вращающий момент Момент инерции Вращательная гибкость Вращательное сопротивление
Тепловая Температура Тепловой поток Теплоемкость - Тепловое сопротивление
Г идравли-ческая и пневматическая Давление Расход Г идравличе-ская емкость Гидравлическая индуктивность Гидравлическое сопротивление
Математическая модель описанной механической системы в соответствии со вторым законом механики имеет вид
По аналогии можно записать уравнение, характеризующее процессы, протекающие в электрической цепи под действием тока внешнего источника 7(0:
Приведенным математическим моделям соответствуют эквивалентные схемы, в которых параллельно источникам внешнего воздействия ДО или Ці) включены элементы емкостного, резистивного и индуктивного типов.
Следует обратить внимание на то, что токи, протекающие в ветвях схемы, соответствуют составляющим силам, которые уравновешивают внешнюю приложенную силу. Потенциал узла 1 численно равен скорости перемещения тела. Для определения перемещения необходимо взять интеграл от потенциала точки 1. Это требует построения вспомогательной схемы, состоящей из источника тока, управляемого потенциалом точки 1, конденсатора и резистора, включенных параллельно к источнику тока.
Удаление из эквивалентной схемы ветви с катушкой индуктивности дает возможность получить модель поступательной механической системы, в которой отсутствует упругая связь, обеспечиваемая пружиной.
Анализ данной работы позволяет сделать вывод о том, что автор предлагает общую аналогию представления простейших механических систем в виде электрических цепей, а также некоторое соотношение аналогий фазовых переменных и параметров элементов (табл.). В отличие от монографии Г. П. Нуберта [2] в работе [4] отсутствует переводной коэффициент, что на первый взгляд может дать нам большую точность при аналогии. Однако данная методика не предполагает определение динами-
1 I
Рис. 3
ческих параметров системы, таких как собственная частота колебаний, вынужденная частота колебаний и т. п.
Постановка задач исследования. Таким образом, в процессе исследования литературных источников выявлено, что тема диссертации является достаточно актуальной, т. к. на данный момент ни один из авторов не применил в своих выкладках и работах метод аналогии непосредственно для механических систем и ориентирование на динамические параметры системы. Это означает, что на данном этапе ощущается необходимость проведения различных расчетов и анализов динамических систем.
Тема диссертации предполагает представление механических систем в виде аналогичных электрических цепей. Предполагается разработка методики расчета - алгоритма для любых механических систем с помощью метода аналогии путем представления их в виде электрических цепей. Представив механическую систему в виде электрической цепи и произведя ее расчет, мы сможем точно определить любой параметр механической системы на начальном этапе проектирования. Это позволит конструировать механические системы с минимальной степенью погрешности.
Заключение. Таким образом, при решении указанной проблемы необходимо:
1. Сопоставить значения механических величин их электрическим аналогам с подробным обоснованием выбора, т. е. обосновать применение аналогии. Например: вязкое трение P и электрический аналог - сопротивление R.
2. Провести теоретические исследования простейших механических систем с получением всех возможных динамических характеристик.
3. Преобразовать исследованные механические системы методом аналогии в электрические цепи и произвести их полный просчет с определением всех динамических характеристик.
4. Произвести анализ полученных результатов методом аналогии с сопоставлением их полученным при расчете механической системы и сделать вывод о возможности применения метода аналогии при исследовании динамики механизмов.
5. Создать инженерную методику расчета механических систем методом аналогии.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Атабеков Г. И. Основы теории цепей: Учеб. для вузов. - М.: Энергия, 1969.
2. Нуберт Г. П. Измерительные преобразователи неэлектрических величин. - Л.: Энергия, 1970.
3. Wang I. H., Liou C. M. Экспериментальная идентификация параметров механического соединения // Современное машиностроение. Сер. Б. - 1991. - № 5.
4. Веников В. А. Теория подобия и моделирования (применительно к задачам электроэнергетики). - М.: Высш. шк., 1976.
