CC BY
49
МЕТОД АГРЕГИРОВАНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ С ЗАВИСИМОСТЯМИ ВИДА Г(и)=аиьеси
Старцев В.Н.
(Воронежский государственный архитектурно -строительный университет, г. Воронеж)
Обоснованное в [1] предпочтительное применение зависимостей скорости операции от количества ресурсов в виде
/у \ Ъ си
Дм) = аи е открывает вопрос о методах и моделях решения задач управления с их использованием. Следует сразу отметить, что возникает ряд трудностей при решении классических задач методами? изложенными в [2], связанных с определением времени реализации проектов в зависимости от количества ресурса и оптимальным распределением самого ресурса при различных схемах взаимодействия проектов.
Пусть есть п проектов с разнымиДи):
\/\(и) - а\иЪхе°хи•> и<кг;
I Ми) = Мк1\ и>ки
/2(м) = а2иЬгеСги, и<к2;
/2 (и) — /2 (к2 X и>к2,
|/;.(М) = ^ес-м, и<к1- , = 1 п
\Л(и) = Мк1Х и>кг;
Очевидно, агрегированное представление функции будем искать в виде:
(2) /(и) = аиъеси.
В качестве неизвестных имеем коэффициенты а, Ь и с. Прологарифмируем (2):
(3) 1п(/(и)) = 1па + Ыпи + си .
Рассмотрим последовательный случай.
Тогда время реализации всего проекта (мультипроекта) можно записать как:
(4) т0(и) = ^^ + ^^ + ...+ УУп
/(и) /2(м) /я(м)
Скорость реализации всего проекта будет:
П
(5) Ш = ^
Т0(и)
Вычислив поочерёдно Т и Дм) при трёх различных значениях и. получим данные, по которым можно из уравнения (3) составить систему трёх линейных алгебраических уравнений.
1п(/(иг)) = 1п а + Ь 1п щ + сщ
(6) -Пп(/(и2)) = Ыа + Ыпи2 +си2
1п(/(м3)) = 1па + Мпи3 +сщ
Решив эту систему любым из известных способов, получим искомые коэффициенты а. Ь и с. а, следовательно, и агрегированное описание комплекса операций.
(7) /(и) = аиьеси;
Тогда время реализации проекта можно определять как:
П
(8) Т(и)=^—
/О)
Относительную погрешность агрегирования можно представить как разность времени реализации проектов определённого по формулам (4) и (8), отнесённую к То:
(9) Д= *о^юо%.
Эксперимент с различными комбинациями зависимостей и параметрами операций показал, что если форма графика для всех проектов одинакова (вогнутая или переменной кривизны) то на интервале (0; У (см. рис. 1) возможно практически идеальное агрегированное представление одной функцией с
погрешностями, не превышающими 1%. Если же форма графиков различна (см. рис. 2), то указанный интервал разбивается на участки, как правило, два-три, позволяющие достигать Д < 3%.
Рис. 1.
Рис. 2.
Интервал (ктт; кп) для графика, описывающего общий процесс, пологий ввиду постепенного увеличения в нём доли горизонтальных частей составляющих его функций, поэтому данный участок описывается одной отдельной зависимостью с достаточной точностью (1-2%).
Таким образом, любое количество последовательно реализуемых проектов с нелинейными Дм) различной формы, описываемых уравнениями (1), независимо от близости значений &,■ можно описать одной или несколькими функциями Дм) = аиеси. Количество этих функций колеблется в зависимости от предполагаемого коридора финансирования итт<и<итях и необходимой точности расчётов. Изложенный подход проиллюстрируем на примере.
Пусть дано пять последовательно реализуемых проектов, описываемых зависимостями (9). Их объёмы указаны в млн. руб. на рис. 3. Графики представлены на рис. 4. Предполагаемые границы, в которых может проводиться финансирование -1(Н80 млн. руб., допустимая погрешность в расчётах - 2%. Найдём агрегированное представление проектов.
(о) у^°кТ) ^
Рис. 3.
Д (м) = 0.08м2 V0061', м< 41.67;
Д(м) = 73.59, м> 41.67;
|/з(м) = ме~0 015м, и <66.67;
^ [/» = 24.52, м >66.67;
Д5(м) = 3.5м08е-001М, м < 80;
Д5(м) = 52.37, м > 80;
Сначала определим зависимость скорости операции от количества ресурсов для интервала (к\: к$). Для этого проведём
вычисления по формулам (4) и (5) при трёх значениях и, близких (к\, к5). Примем щ = 40; и2 = 60; щ = 80.
Рис. 4.
Пт = 50 80
0.08-402'5е_°'06'40 0.006-4026е-°03540
('10') 100 , 110 _ПС1
40-е-а01540 + 0.05-402-4е-°0540 +“ ' ЛеЖ
УIV
1 455
(11) = = = 32.93 млн. руб./год; (1]
У 0 X 3.
Аналогично получаем:
(13)
Г02(60) = 11.87лет; /02(60) = 38.33 млн.руб Г03(80) = 11.64 лет; /03(80) = 39.08 млн.руб Запишем систему уравнений (6) для полученных значений: 1п32.93 = 1па + Мп40 + с40 1п38.33 = 1па + Мп60 + с60;
1п 39.08 = 1п а + Ь 1п 80 + с80
Рис. 5
Решив систему, получим:
(14) а = 0.96; Ь = 1.123; с = -0.015;
/ {и) = 0.96м1123е_0015“;
Теперь проведём подобный расчёт для оставшегося интервала (10; 40). Примем щ = 10; м2= 25; м3= 40.
(15) ^ = 82.94леот;
Соответствующая система уравнений:
1п5.49 = 1па + Мп10 + с10
(16) - 1п21.94 = 1па + Мп25 + с25
1п32.93 = 1па + Мп40 + с40 Решение системы: а = 0.053; Ь = 2.196; с = —0.042;
Уравнение для интервала (10; 40):
(17) Дм) = 0.053м2196е~0042м;
Итак, общий результат полученного решения можно представить в следующем виде:
Дм) = 0.053м2' 196е-°042м, ю < и < 40;
40 < м < 80;
Дм) = 39.08, и > 80;
(18)
Дм) = 0.96м1123е~0015м,
Это и есть агрегированное представление комплекса операций. График для (18) изображён на рис. 5.
Погрешности малы и показать расхождение агрегированного проекта с идеальной кривой в данном масштабе сложно, поэтому приведём их в табличной форме в процентном выражении применительно к параметру Т для интервала (10;40) с самыми большими отклонениями. Из табл. 1 видно, что погрешность не превышает заданной в условии - 2%.
В противном случае интервал, в котором Д > [Д] разбивается на два, для каждого из которых определяется своя зависимость.
Таблица 1
и 10 12 14 16 18 20
То 82,2 59,0 45,4 36,8 30,9 26,7
Т 82,2 59,7 46,2 37,4 31,3 27,0
д, % 0,0 1,2 1,7 1,6 1,4 1,0
Столь хорошее приближение достигается тем, что выбранная для агрегированного представления функция позволяет привязываться к идеальной кривой сразу в трёх точках (степенная функция только в двух) и близко повторять её форму.
Литература
1. Баркалов С.А., Бурков В.Н., и др., Прикладные модели в управлении организационными системами. Воронежский государственный архитектурно-строительный университет -Тула, 2002 г.
2. Баркалов С.А., Бурков В.Н., Гилязов Н.М. Методы агрегирования в управлении пректами. - РАН, Институт проблем управления - Москва 1999 г.
3. Бурков В.Н., Квон О.Ф., Цитович В.А. Модели и методы мулътипроектного управления. - РАН, Институт проблем управления - Москва 1997 г.
