Матрицы Адамара нечетного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.3

МАТРИЦЫ АДАМАРА НЕЧЕТНОГО ПОРЯДКА *

Н. А. Балонин,

канд. техн. наук, доцент Л. А. Мироновский,

доктор техн. наук, профессор

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Рассматриваются классические матрицы Адамара и близкие к ним C-матрицы. Вводятся так называемые M-матрицы как возможное обобщение матриц Адамара на случай нечетных порядков n. Описан компьютерный алгоритм, облегчающий отыскание таких матриц. Приведены конкретные примеры M-матриц, найденных сочетанием аналитических и численных методов, и перечисляются их свойства.

Classical Hadamard matrices as well as a related class of C-matrices are considered. We introduce M-matrices as a possible generalization of Hadamard matrices in the case of odd order n. A computer algorithm for finding such matrices is described. Finally, we give concrete examples of M-matrices found by a combined analytic-numeric method, and list some of their properties.

Введение

Матрицы Адамара находят широкое применение в теории кодирования (коды, исправляющие ошибки), теории планирования многофакторных экспериментов (ортогональные блок-схемы) и прочих областях. Они обладают рядом замечательных свойств, отличающих их от других ортогональных матриц. К ним относятся, в частности, минимальность первой (столбцовой) и чебышевской (строчной) норм, минимальность максимального по модулю элемента, а также максимальная близость элементов между собой.

К сожалению, матрицы Адамара существуют далеко не при всех четных порядках п, а при нечетных п вообще не существуют. Поэтому возникает задача отыскания ортогональных матриц, наиболее близких по своим свойствам к матрицам Адамара. В настоящей работе исследуется задача поиска ортогональных матриц, максимальный по модулю элемент которых минимален. Примером таких матриц для четных п, не кратных четырем, служат так называемые ^матрицы - симметричные ортогональные матрицы с нулевой диагональю и остальными элементами ±1. При нечетных п структура искомых ортогональных матриц (далее они называются M-матрицами) становится более сложной. Отыскание их для каждого нечетного п сопряжено со значительными трудностями.

* Работа выполнена при поддержке РФФИ, гранты 04-0l-00464, 04-07-90354.

Прежде чем приступить к решению этой задачи, приведем известные результаты для четных п, в первую очередь, для п, кратных четырем.

Известные результаты

Матрицы Адамара. Напомним, что матрицей Адамара порядка п называется такая пхп-матри-ца A с элементами ±1, что ААТ = nE, где Е - единичная матрица [1].

Простейшая матрица Адамара имеет вид

A =

она ортогональна: AAТ=2E и симметрична.

Легко убедиться, что если M и N - матрицы Адамара порядков т и п соответственно, то их кроне-керово произведение, т. е. матрица M ® N является матрицей Адамара порядка тп. Например, если A - матрица Адамара 2-го порядка, то в результате кронекерова произведения A ® A получим матрицу Адамара 4-го порядка

l l l l

l -l l -l

l l -l -l

l -l -l l

Для существования матриц Адамара порядка п > 2 необходимо, чтобы п делилось на 4. Гипотеза о том, что это условие является и достаточным,

пока не доказана. Для практического получения матриц Адамара можно использовать команду ИаЬатагЬ пакета МА^АВ, она позволяет строить матрицы Адамара для случаев, если п, п/12 или п/20 являются степенями двойки. К сожалению, сюда не входят такие п, кратные четырем, как 28, 36, 44, 52, 56, 60 и другие, хотя для них уже давно найдены матрицы Адамара.

С-матрицы. С-матрицей (СопГегепсе-МаШх) называется любая матрица C порядка п с нулями на главной диагонали и + 1 и -1 на остальных местах, удовлетворяющая условию CTC = (п-1^.

Простейшие С-матрицы имеют вид

о 1 1 0 1

1 Н-ь 0 1 , 1 1 Н-ь 0 1

0 1 1 1

1 0 1 Н-ь 1

1 Н-ь 1 0 1 Н-ь

1 Н-ь 1 Н-ь 1 0

1 1 1 1 1

0 1 -1 -1 1

1 0 1 -1 -1

1 Н-ь 1 0 1 -1

1 Н-ь -1 1 0 1

1 -1 -1 1 0

(1)

Первая и третья из них симметричны, вторая и четвертая - кососимметричны.

Симметричные С-матрицы порядка п могут существовать лишь в том случае, если п-2 делится на 4, а п-1 представимо в виде суммы квадратов двух целых чисел. Например, при п = 2, 6, 10, 14, 18 они существуют, а при п = 22 - нет, так как число 21 не представляется суммой двух квадратов.

Нормированные ^матрицы, порядок которых отличается от адамаровых на два, обладают тем же экстремальным качеством, что и матрицы Адамара: максимальный по модулю элемент их минимален (на классе ортогональных матриц). Будем далее обозначать максимальный по модулю элемент ортогональной матрицы через а. Величина

п 1

этого элемента для С-матриц равна ге.= -,

\1п -1

т. е. лишь немного уступает матрицам Адамара,

у которых а = —^. Например, при п = 6 отличие у/п

составляет менее 10% .

Вместе обе эти формулы описывают точную нижнюю границу максимального по модулю элемента ортогональных матриц четного порядка: первая - для п, не кратных четырем, в частности, для 6, 10, 14, 18, 26; вторая - для п, кратных четырем, в частности, для 4, 8, 12, 16, 20.

В совокупности матрицы Адамара и С-матри-цы дают решение задачи о поиске ортогональных матриц с минимальным по модулю элементом почти для всех четных п. Исключение составляют отдельные значения, такие как п = 22 и п = 34, решение для которых авторам неизвестно.

Значительно хуже обстоит дело для нечетных п, где известно лишь несколько оптимальных (ортогональных, с минимальным по модулю максимальным элементом) матриц для небольших значений п. Информация о них приводится ниже.

Оптимальные матрицы нечетного порядка ^-матрицы)

Назовем матрицы, доставляющие решение задачи о поиске ортогональных матриц с минимальным по модулю элементом для нечетных п, минимаксными или просто M-матрицами. Их главное свойство - минимальность величины а, т. е. значения максимального по модулю элемента на классе всех ортогональных матриц данного размера. Здесь можно выделить три задачи.

Задача 1. Поиск конкретных M-матриц для различных значений п.

Задача 2. Определение точной нижней границы а * для величины максимальных по модулю элементов M-матриц а в зависимости от п: а>а* = f (п).

Задача 3. Определение числа Ь уровней элементов в M-матрице при разных п.

Так, матрицы Адамара могут быть названы одноуровневыми, поскольку все их элементы равны по абсолютной величине. С-матрицы - двухуровневые, модули их элементов равны 0 и 1. В общем случае M-матрицы оказываются Ь-уровневыми, причем Ь зависит от п.

Следует ожидать, что решение всех трех поставленных задач будет зависеть от того, какой остаток при делении на 4 дает нечетное число п (1 или

3). Соответственно, множество M-матриц распадается на два подмножества, отличающихся нижними границами, числом уровней Ь и типом матриц.

Алгоритм поиска оптимальных матриц

Чисто аналитическое решение рассматриваемой задачи найти затруднительно, поэтому воспользуемся помощью персональных компьютеров и математических пакетов для того, чтобы провести исследование комбинированным способом -сочетанием вычислительных (для определения структуры матриц) и аналитических (для установления точных значений элементов) методов.

Опишем вычислительный алгоритм, который использовался для нахождения M-матриц. Он строился на основе итераций, в которых на каждом шаге максимальный по модулю элемент а матрицы уменьшают по правилу ай+1 = ак й/(й + р) для ее элементов, где й - номер итерации,р > 0 -

г

—I =*p- It =“-р- п —I 1 1 п -М- L. L

■ Рис. 1. Зависимость величины максимального элемента f = a~Jn

некоторое число. Так как после этого матрица перестает быть ортогональной, ее снова ортого-нализируют путем вычисления полярного разложения. Напомним, что полярное разложение представляет данную матрицу в виде произведения ортогональной и симметричной матриц. Именно первая из них используется в дальнейшем. При оптимизации максимальный элемент несколько возрастает, но, как правило, не настолько, чтобы достичь прежнего значения.

Итерационный процесс сходится к некоторой ортогональной матрице, после чего его многократно повторяют, изменяя начальную матрицу и запоминая лучшее из найденных ранее решений.

Указанный процесс может быть записан в виде следующего алгоритма:

1) в качестве начального приближения берется квадратная невырожденная матрица;

2) матрица заменяется ортогональным сомножителем ее полярного разложения;

3) уменьшается максимальный по модулю элемент матрицы;

4) производится возврат к п. 2 до тех пор, пока процесс не сойдется к определенной матрице.

Этот алгоритм был реализован в виде MATLAB-функции procrust (название функции связано со сходством рассматриваемой задачи с известной в теории матриц проблемой Прокруста [2]):

Function [alpha,Q]= procrust(n);

% program finds Procrust matrix with minmax(abs(a(:))) alpha=1; gam=2; p=10; for j=1:10 A=rand(n);

if rank(A)<n, A=A+eye(n)/10; end,

for i=k:5000

[U,S,V] = svd(A); Q=U*V’; M=max(abs(Q(:))); m=Q/M*(1+p/k); A=satlins(m);

end

a=Q; alpha=max(abs(a(:))); gamma=alpha*sqrt(n);

if gamma<gam, X=a; y = alpha; gam=gamma; end

end

Q=X; alpha = y; end

В качестве входного аргумента функции берется порядок n, а выходными являются искомая ортогональная матрица Q и ее максимальный элемент alpha.

Функция satlins из тулбокса NNet (Neural Network Toolbox) ограничивает амплитудное значение элементов не выше 1.

Компьютерные эксперименты показали, что указанный численный алгоритм дает хорошие результаты для n < 20. С его помощью были найдены M-матрицы для всех нечетных n < 11.

Задача поиска M-матриц для n > 11 остается открытой, так же как и вопрос о числе уровней этих матриц при разных n.

Некоторые представления о нижней границе для показателя а (величине максимального элемента оптимальных матриц) можно получить из рис. 1. На нем показана зависимость величины максимального по модулю элемента а оптимальной матрицы, умноженной на-v/n, от размера матрицы n для1 < n < 32. Точки, лежащие на уровне единицы, относятся к матрицам Адамара, несколько выше лежат точки для С-матриц.

Выше всего находятся точки для нечетных значений n. Очевидно, что с ростом n все точки окажутся ниже некоторого уровня, и одна из задач состоит в том, чтобы оценить его величину.

Как видно, величина максимального элемента M-матриц соответствует оценке с / 4n, где константа с больше единицы приблизительно на 10%. Первая же матрица 22-го порядка, которая выпадает из последовательности чередующихся через 4 (по порядку 6, 10, 14, 18, 26, 30) двухуровневых C-матриц, отвечает как раз этой оценке. При n > 25 график стабилизируется со значением с = 1,14 (у матриц Адамара с = 1, а у C-матриц этот показатель стремится к 1 с ростом n, в этом принципиальное различие рассматриваемого случая). Поскольку и прочие матрицы следуют определенной тенденции, вряд ли оценка изменится существенно.

Структура оптимальных матриц

Перейдем к описанию конкретных M-матриц для n = З, 5, 7, 9, 11. Поиск этих матриц производился путем сочетания численного и символьного моделирования в пакетах MATLAB и MAPLE с помощью описанной выше и прочих специально разработанных программ [З].

Для случая n = З оптимальная матрица имеет вид

Mз =-

-12 2 2 -12 2 2 -1

(2)

Она ортогональна и симметрична, величина ее максимального элемента а= 2/3. Матрица содержит два типа элементов, т. е. является двухуровневой. Она связана с геометрической задачей о вписывании данного правильного октаэдра в куб минимального размера [4].

Для случая п = 5 оптимальная матрица оказалась трехуровневой:

Mg =

11

-2 З б б б

З б -б б -2

б -б -З 2 б

б б 2 -б З

б -2 б З -б

(З)

Она также ортогональна и симметрична, величина ее максимального элемента а = 6/11. Из 25 ее элементов 15 равны 6/11, т. е. находятся на верхнем уровне, и по пять элементов на двух других. Таким образом, элементы верхнего уровня составляют 60% от общего числа (у матрицы M3 -67%, а у матриц Адамара - 100%).

При исследовании случая п = 7 были найдены две матрицы: пятиуровневая матрица M7 со значе-

нием а=-

5 + 7л/7

5З

N7 со значением а = этих матриц такова:

О,444 и двухуровневая матрица 2 + З^2

14

=О,44б. Структура

M7 =

a -d с a -a -a -a

-d с a a a a -a

с a -d a -a a a

a a a -с b -b b

-a a -a b e -a -d

-a a a -b -a -d -e

-a -a a b -d -e a

0,45

0,35

0,25

0,15

0,05

10

20

30

40

50

Рис. 2. Распределение абсолютных величин элементов матрицы M7

N7 =

a a a a b b -b

a -b -b a -a b a

a -b a -b b -a a

a a -b -b -a -a -b

b -a b -a -b a -a

b b -a -a a a b

-b a a -b -a b a

В отличие от предыдущих случаев, элементы этих матриц иррациональны. Для M7 они содержат >/7: а = 3 + 3\17, Ь = 9, с = 5 --\/7, й = -6 + 3\/7, е = 4 + -у/7, при нормировке все их надо разделить на 22 + 47 . Элементы матрицы N содержат 42 : а = 2 + 42, Ь = 2. При нормировке их надо разделить на 2 + 4\/2.

Распределение модулей элементов нормированной матрицы M7 по уровням, полученное в МАТЬАБ с помощью команды р10^80гЦаЬв(М7(:))),’*’), показано на рис. 2. На нем видно, что нижний уровень содержит 6 элементов, три следующих - 4, 3 и 6 элементов соответственно, наиболее многочисленный верхний уровень - 30 элементов, что составляет около 61% (примерно столько же, сколько и у матрицы M5).

В случае п = 9 лучшая из найденных матриц

3 +43

имеет 4 уровня и показатель а = ——— = 0,3943. Ее структура и элементы таковы:

12

M9 =

d b b b b b b b b

b a a a -a -a -с -с -с

b a -с -a -с a a -с -a

b a -a -с a -с -a -с a

b -a -с a a -с a -a -с

b -a a -с -с a -с -a a

b -с a -a a -с -с a -a

b -с -с -с -a -a a a a

b -с a a -с a -a a -с

№ З, 200Б

ИHФOPMДЦИOHHO-УПPДBAЯЮШИE СИСТЕМЫ

49

1

55%

Рис. 3. Распределение числа элементов матрицы по уровням

□пили

ш

ой

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Рис. 4. Распределение количества уровней

12a = 3 + 43 , a = 0,3943, бЪ = yj б%/э - б, b = 0,3493, 4с = 43-1, с = О,18ЗО, 3d = 24З-З,

3 + 43

d = 0,1547. Максимальный элемент

12

= 0,3943375.

Здесь уже встречается иррациональность типа «корень из корня», возникающая при решении биквадратного уравнения.

Распределение модулей элементов матрицы М9 по уровням весьма неравномерно. Так, на нижнем уровне находится один элемент, на двух следующих - 24 и 16 элементов соответственно. На верхнем уровне находится 40 элементов, что составляет около 49% от общего числа.

Для п = 11 лучшая ортогональная матрица, найденная в МА^АВ, имеет шестиуровневую структуру:

Mn =

-ъ a f a a d с e a -a -a

-d f a -a e -a b с -a -a a

-a -e -с a d -a a -a f a b

a -d a b a a -f -a -e -с a

a a e a -b -a a -d -a -f -с

a -a a -d a -e a f с b -a

-f b d -с -a a a -a a e a

e a a a f -с -a a b d a

a a -a -f с a d b -a a e

a -с -b e -a -f a a a -a d

-с -a a a -a b e a -d a -f

Численные значения ее элементов следующие: а = 0,34295283, Ь = 0,33572291, с = 0,30893818, й = 0,2439851, е = 0,15671878, f= 0,045364966. Показатель а = 0,3429 равен значению элемента а.

Распределение абсолютных величин элементов матрицы M11 по уровням показано на рис. 3. Верхний уровень содержит 66 элементов, остальные -по 11 элементов, всего 66 + 55 = 121 элемент.

Распределение количества уровней в матрице в зависимости от их порядка показано на рис. 4.

Как видно, с ростом размерности матрицы происходит нерегулярное расслоение элементов, при том, что более половины от их количества совпадает по модулю с максимальным элементом -у матриц Адамара 100%. Количество уровней матрицы M13 находится под вопросом, поскольку численно-аналитические методы перестают быть действенными и пока не позволяют однозначно ответить на этот вопрос. Вместе с тем иногда кроме оптимальных вариантов наблюдаются субопти-мальные с меньшим количеством уровней - отсюда возникает предположение, что и такие задачи, связанные с оптимизацией не только норм элементов, но и структуры - можно решать.

Заключение

Необходимость вычислять матрицы Адамара возникает при решении многих математических и технических задач. Однако классические матрицы Адамара и близкие к ним по свойствам С-мат-рицы не существуют при нечетных п. В статье выделен класс так называемых M-матриц, которые могут рассматриваться как обобщение матриц Адамара на случай нечетных п. Они представляют собой подмножество ортогональных матриц, у которых максимальный по абсолютной величине элемент минимален. Описан компьютерный алгоритм, облегчающий отыскание таких матриц, и приведены конкретные матрицы для п < 11.

Литература

1. Hadamard J. Resolution d’une question relative aux determinants// Bull. sci. math. 1893. Vol. 2. P. 24О-248.

2. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления: Пер. с англ. М.: Мир, 1999. 549 с.

3. Шинтяков Д. В. Алгоритм поиска матриц Адамара нечетного порядка: Сб. докл. // Девятая научная сессия ГУАП / ГУАП. СПб., 2ООб (в печати).

4. Медяник А. И. Вписанный в куб правильный симплекс и матрицы Адамара полуциркулянтного типа // Матем. Физика, анализ, геометрия, 1997. Т. 4. № 4. С. 458-471.

50

ИHФOPMДIІИOHHO-УПPДBAЯЮШИE СИСТЕМЫ

№ З, 200Б