CC BY
130
УДК 539.4
Материалы с памятью формы как объект механики деформируемого твердого тела: экспериментальные исследования, определяющие соотношения, решение краевых задач
А.А. Мовчан, С.А. Казарина
Институт прикладной механики РАН, Москва, 119991, Россия
Описываются новые результаты экспериментальных исследований и моделирования термомеханических явлений, характерных для сплавов с памятью формы. Приведены экспериментальные данные, свидетельствующие об отсутствии деформационного упрочнения для процесса накопления деформаций прямого мартенситного превращения в сплавах с памятью формы, о перекрестном упрочнении при мартенситной неупругости, связанном с предварительным прямым мартенситным превращением, о рео-номных свойствах сплавов с памятью формы, об устойчивости стержней из никелида титана, нагружаемых в режиме мартенситной неупругости. Кратко изложены некоторые основные особенности процессов, происходящих в сплавах с памятью формы на различных структурных уровнях. Приведена модель нелинейного склерономного деформирования сплавов с памятью формы при фазовых и структурных превращениях, учитывающая эти особенности. Предложены простейшие варианты описания реономных свойств сплавов с памятью формы. Описаны различные классы краевых и начально-краевых задач термомеханики для сплавов с памятью формы.
Ключевые слова: сплавы с памятью формы, упрочнение, реономные свойства, устойчивость, эксперимент, микромеханика, определяющие уравнения, краевые задачи
Shape memory materials as an object of solid mechanics: Experimental study, constitutive relations, solution of boundary-value problems
A.A. Movchan and S.A. Kazarina Institute of Applied Mechanics RAS, Moscow, 119991, Russia
The paper reports on new results of experimental research and simulation of thermomechanical phenomena characteristic of shape memory alloys. Experimental data are presented on the absence of work hardening in strain accumulation attendant on direct martensite transformation in shape memory alloys, on cross hardening involved in martensite inelasticity and associated with preliminary direct martensite transformation, on rheonomic properties of shape memory alloys, and on stability of TiNi rods loaded in the mode with martensite inelasticity. Some of the basic peculiarities of the processes occurring in shape memory alloys at different structural levels are briefly reviewed. A model that takes into account the above peculiarities and describes nonlinear scleronomic deformation of shape memory alloys in phase and structural transformation is set forth. Simplest variants of description of rheonomic properties of shape memory alloys are proposed. Different classes of boundary-value and initial boundary-value problems of thermomechanics for shape memory alloys are considered.
Keywords: shape memory alloys, hardening, rheonomic properties, stability, experiment, micromechanics, constitutive equations, boundary-value problems
1. Уникальные макроскопические свойства и явления, характерные для сплавов с памятью формы
Для сплавов с памятью формы характерен целый ряд уникальных свойств и явлений [1], связанных с происхо-
дящими в этих материалах термоупругими фазовыми и структурными превращениями. Ниже будут описаны особенности некоторых из этих явлений, важные для моделирования термомеханического поведения сплавов с памятью формы. Явление накопления деформаций
© Мовчан А.А., Казарина С.А., 2012
прямого превращения сводится к тому, что при охлаждении образца из сплава с памятью формы, находящегося под действием постоянного напряжения с ненулевым девиатором, через интервал температур прямого превращения (М5, М£) в нем растет неупругая деформация, девиатор которой соосен девиатору приложенных напряжений. Интенсивность деформации, накопленной при полном прямом превращении, является монотонно возрастающей функцией интенсивности этого напряжения. Для достаточно высоких напряжений наблюдается насыщение процесса роста деформаций с ростом напряжений с выходом на асимптоту, параллельную оси напряжений.
Для выяснения того, характерно ли для процесса накопления деформаций прямого превращения явление деформационного упрочнения, были проведены эксперименты по прямому превращению при ступенчато меняющемся напряжении в образцах из никелида титана. На первом этапе, при охлаждении от Т = М5 до некоторого значения Т = Т0 < М£, действовало растягивающее напряжение а1. Охлаждение на втором этапе от Т = Т0 до Т = М£ происходило под действием напряжения а2 < а1. Если бы для явления накопления деформаций прямого превращения было бы характерно деформационное упрочнение и существовала поверхность нагружения, внутри которой возможны лишь упругие деформации, то уменьшение напряжений при переходе от первого этапа ко второму привело бы к уходу точки, изображающей напряженное состояние, вглубь упругой области. Неупругая деформация на втором этапе процесса не должна была бы развиваться. Согласно данным, приведенным на рис. 1, деформации
сразу после скачкообразного уменьшения напряжений продолжают увеличиваться. Следовательно, явление деформационного упрочнения для процесса прямого превращения не характерно, для описания накопления деформаций прямого превращения нет необходимости вводить конструкции типа поверхности нагружения и ассоциированного закона течения.
Явление мартенситной неупругости наблюдается при изотермическом нагружении сплава с памятью формы, находящегося в мартенситном состоянии. При этом имеет место рост неупругих деформаций с ростом напряжений, а диаграмма «напряжение а - деформация г» несколько напоминает упругопластическую, хотя природа этих явлений совершенно различна (см. следующий пункт). Для мартенситной неупругости характерно явление деформационного упрочнения. Данный факт иллюстрируется на рис. 2, где изображены диаграмма изотермического монотонного нагружения растяжением образца из никелида титана (кривая 2) и диаграмма, соответствующая нагружению, разгрузке и повторному нагружению (кривая 1). Согласно экспериментальным данным [2], для процесса деформирования сплавов с памятью формы в мартенситном состоянии характерен эффект Баушингера, т.е. упрочнение сплавов с памятью формы в мартенситном состоянии носит, по крайней мере, отчасти трансляционный характер.
Явления накопления фазовых и структурных деформаций в сплавах с памятью формы тесно связаны между собой, поскольку они имеют единый источник — кристаллографическую деформацию фазового перехода. При фиксированной величине объемной доли мартенситной фазы q сумма фазовых и структурных деформаций огра-
Рис. 1. Накопление деформаций прямого превращения при двухступенчатом нагружении. Напряжение первого этапа = 200 МПа. Напряжение
второго этапа указано на графиках
Рис. 2. Деформационное упрочнение никелида титана при изотермическом деформировании в режиме мартенситной неупругости. Диаграмма первоначального нагружения, разгрузки и повторного нагружения (1), диаграмма монотонного нагружения (2)
ничена сверху кристаллографической деформацией, умноженной на q. Связь между этими процессами можно проиллюстрировать результатами опытов на прямое превращение при двухступенчатом нагружении, когда, в отличие от ранее рассмотренного случая, напряжение второго этапа а2 не ниже, а выше напряжения первого этапа а1. На основании экспериментальных данных [3] можно установить, что деформация, накапливаемая в таком процессе при полном прямом превращении, не зависит ни от температуры Т*е (ММ3), при которой произошла смена величины напряжений, ни от величины напряжения первого этапа а1, лишь бы только эта величина была меньше а2, а определяется лишь величиной а2. Объясняется этот факт тем обстоятельством, что после окончания первого этапа прямого превращения при изотермическом возрастании напряжений от а1 до а2 происходит структурное превращение и неупругая деформация возрастает за счет структурной составляющей. Малые значения а1, приведшие к малым значениям фазовых деформаций, накопленных в конце первого этапа, компенсируются большим приращением структурных деформаций при изотермическом возрастании напряжений до а2. Тот факт, что фиксированному значению напряжения а2 соответствует одно и то же значение неупругой деформации независимо от соотношения в этой деформации фазовых и структурных компонент, свидетельствует о тесной связи процессов фазового и структурного деформирования.
В [4] экспериментально обнаружено явление перекрестного упрочнения, заключающееся в том, что добиться деформационного упрочнения сплавов с памятью формы в мартенситном состоянии можно не только путем изотермического деформирования в мартенсит-ном состоянии, но и с помощью прямого превращения под действием напряжения. Для этого образец в аусте-нитном состоянии нагружается некоторым напряжением а и охлаждается через интервал температур прямого мартенситного превращения, переходя в полностью мартенситное состояние. Далее следует разгрузка. По-
Рис. 3. Явление перекрестного упрочнения: исходная диаграмма деформирования отожженного материала (1); диаграмма повторного нагружения после первоначального нагружения до напряжения 225 МПа и разгрузки (2); диаграммы нагружения после полного прямого превращения под действием напряжений 200 (3) и 250 МПа (4) и разгрузки
лученный таким образом материал обладает примерно таким же деформационным упрочнением, как если бы он был переведен в мартенситное состояние путем охлаждения в отсутствие напряжений, а после этого нагружен изотермически до того же напряжения а. Явление перекрестного упрочнения иллюстрируется рис. 3. Здесь кривая 1 — исходная диаграмма нагружения в мар-тенситном состоянии отожженного образца из никелида титана, 2 — диаграмма повторного нагружения после первоначального нагружения до а = 225 МПа и разгрузки. Кривые 3 и 4 соответствуют нагружениям после полного прямого превращения под действием постоянного напряжения 200 и 250 МПа соответственно и разгрузки. Факт наличия перекрестного упрочнения свидетельствует о тесной связи процессов накопления деформаций при фазовых и структурных превращениях. Радиус поверхности нагружения для структурных деформаций в сплавах с памятью формы зависит от достигнутой к тому времени фазовой деформации.
Поскольку термоупругие фазовые превращения в сплавах с памятью формы считаются процессами без-диффузионными, то макроскопические механические свойства этих материалов обычно предполагаются склерономными, т.е. не зависящими от масштаба времени. Обнаруживаемые ранее временные эффекты объяснялись обычно явлениями выделения (при прямом превращении) и поглощения (при обратном превращении) латентного тепла фазового перехода, реономностью самого процесса теплопроводности и теплообмена образцов из сплавов с памятью формы с окружающей средой и отсутствием контроля изотермичности процессов [5].
Однако, согласно экспериментальным данным [6, 7], реономные эффекты проявляются в сплавах с памятью формы даже при их деформировании в изотермических условиях, в частности при структурных превращениях в отсутствии фазовых, когда эффекты, связанные с латентным теплом фазового перехода не имеют места и
изотермический режим может быть легко обеспечен. В частности, оказалось, что форма диаграмм жесткого изотермического нагружения никелида титана в режиме мартенситной неупругости зависит от скорости деформирования (чем больше эта скорость, тем меньшая деформация соответствует тем же значениям напряжения). При мягком ступенчатом нагружении в режиме мартенситной неупругости на каждой ступени процесса нагружения наблюдается явление ограниченной ползучести. Достаточно большие скачки напряжений вызывают мгновенный скачок неупругой деформации. После этого наблюдается рост деформаций со временем при постоянных напряжении и температуре сначала с чрезвычайно высокой скоростью, которая с течением времени уменьшается до неразличимых величин примерно за 1 ч выдержки при постоянном напряжении. Величина деформации Де, накапливаемой с течением времени при постоянном напряжении после его скачка при фиксированном уровне начального напряжения а0, растет с ростом скачка напряжений Да; при фиксированных значениях Да величина Де принимает максимальные значения в случае, когда напряжение а0 находится в районе точки перегиба диаграммы а-е мартенситной неупругости, где касательный модуль принимает минимальные значения. Величина Де сопоставима с мгновенным скачком деформации, соответствующим тому же скачку напряжений. Аналогичное явление наблюдается при мягком ступенчатом нагружении в режиме сверхупругости. При мягкой ступенчатой разгрузке в режиме сверхупругости наблюдается уменьшение деформаций со временем при постоянной температуре и напряжении. Имеет место явление релаксации напряжений после монотонного нагружения образца из нике-лида титана в режиме мартенситной неупругости и последующей изотермической выдержке при фиксированном значении полных деформаций. Сразу после фиксации деформаций напряжения убывают с большой скоростью, однако с течением времени скорость релаксации падает до неразличимых величин за период времени порядка 1 ч. Величина падения напряжений за весь период релаксации растет с ростом скорости предварительного нагружения и для высоких значений этой скорости может составлять около 10 % начального значения напряжений.
В [8] установлено, что термоупругие фазовые превращения могут быть причиной потери устойчивости тонкостенных элементов из сплавов с памятью формы. Пластинка-полоска из никелида титана, не теряющая устойчивость под действием некоторой сжимающей нагрузки ни в аустенитном, ни в мартенситном фазовом состоянии, теряет устойчивость при фазовом переходе из одного из перечисленных состояний в другое. Критическая нагрузка потери устойчивости при прямом мартенситном превращении может быть в 3-4 раза ниже, чем критическая нагрузка изотермической потери
устойчивости в мартенситном фазовом состоянии, обладающем наинизшими значениями модуля Юнга.
Экспериментально исследовано явление потери устойчивости при изотермическом сжатии стержней из никелида титана в мартенситном фазовом состоянии. Установлено, что соответствующие критические нагрузки могут быть многократно ниже эйлеровых нагрузок потери устойчивости для мартенситных значений модуля Юнга. Критические нагрузки потери устойчивости всегда меньше, чем максимальные выдерживаемые этими стержнями нагрузки, причем чем короче стержни, тем больше разница между критическими нагрузками потери устойчивости и потери несущей способности.
2. Микромеханика фазовых и структурных превращений в сплавах с памятью формы
Причиной уникальных термомеханических свойств и явлений, характерных для сплавов с памятью формы, являются происходящие в этих материалах термоупругие фазовые и структурные превращения. В простейшем случае сплав с памятью формы может состоять из двух твердотельных фаз: высокотемпературной, жесткой аустенитной фазы, имеющей весьма симметричную кристаллическую решетку (с ОЦК-ячейкой типа В2 для никелида титана), и низкотемпературной, маложесткой мартенситной фазы, имеющей менее симметричную кристаллическую решетку (моноклинную с искажениями типа В19' для никелида титана). При охлаждении через интервал температур (М8, Мг) происходит прямое термоупругое фазовое превращение из аустенитной фазы в мартенситную, в процессе которого объемная доля мартенситной фазы ц возрастает от 0 до 1. При нагреве через другой интервал температур (Л8, Аг) происходит обратное превращение мартенсита в аустенит. Переход элементарного аустенитного объема в элементарный мартенситный объем сопровождается кристаллографической деформацией, которая сводится в основном к формоизменению.
Важнейшим свойством прямого термоупругого превращения является его многовариантнность, заключающаяся в том, что высокосимметричная ячейка аустенитной фазы может перейти в низкосимметричную ячейку мартенситной фазы в нескольких различных направлениях. Для никелида титана таких направлений 12. Если учесть разориентированность различных зерен поликристаллического сплава с памятью формы, то имеется достаточно плотное множество различных направлений прямого преобразования на микроуровне. В результате получается, что под единым термином «мартенсит» понимается целая совокупность структурных состояний, имеющих одинаковую элементарную ячейку, но различающихся степенью ориентированности низкосимметричных мартенситных элементов. Все это мно-
жество ограничивается, с одной стороны, полностью сдвойникованным мартенситом, в представительном объеме которого все направления мартенситных ячеек равновероятны, а с другой стороны — гипотетическим для поликристаллического сплава с памятью формы полностью ориентированным (раздвойникованным) состоянием, в котором все направления мартенситных ячеек одинаковы. Осредненная макроскопическая деформация формоизменения представительного объема хаотического мартенсита по сравнению с аустенитным состоянием равна нулю. Та же деформация полностью ориентированного мартенсита равна кристаллографической деформации фазового перехода.
При изотермическом нагружении полностью или частично сдвойникованного мартенсита монотонно возрастающим напряжением происходят его раздвойнико-вание, переориентация и возрастание степени ориентированности. Меняется его структурное состояние, что можно трактовать как структурный переход, в процессе которого растут деформации формоизменения (явление мартенситной неупругости). В отличие от термоупругого фазового перехода, который может быть как прямым, так и обратным, структурное превращение может иметь лишь одно направление, ведущее к росту степени ориентированности мартенситных элементов. Путем разгрузки и нагружения в обратном направлении можно добиться обнуления приобретенных при предварительном нагружении структурных деформаций, однако мартенсит при этом не станет сдвойникованным, что подтверждается наличием эффекта реверсивной памяти формы.
Анализ процессов, происходящих в сплавах с памятью формы на мезоуровне позволяет утверждать, что процесс прямого мартенситного фазового превращения сводится к одновременно осуществляемым процессам зарождения и развития мартенситных мезоэлементов. Под каждым таким элементом понимается совокупность большого числа элементарных мартенситных объемов, примыкающих друг к другу и имеющих одинаковую или одинаково сдвойникованную ориентацию. Ориентация мартенситного мезоэлемента определяется в момент его зарождения таким образом, чтобы действующие в области этого мезоэлемента локальные напряжения на кристаллографических деформациях именно такого направления преобразования совершали максимальную работу. Под локальными напряжениями подразумевается сумма макроскопических напряжений от внешней нагрузки и случайным образом распределенных в представительном объеме материала микронапряжений.
В процессе роста мартенситных мезоэлементов их направление не изменяется (т.е. переориентации мартенсита и соответствующего структурного превращения не происходит), если действующие напряжения не меняются, либо их изменение таково, что изображающая
точка в пространстве девиатора напряжений не выходит за пределы некоторой поверхности нагружения.
Вклад в накопление деформаций прямого превращения дают как процесс зарождения, так и процесс развития мартенситных мезоэлементов. Этот тезис подтверждается экспериментальными данными, связанными с явлением ориентированного превращения [1], состоящего в том, что после снятия действующих напряжений деформации прямого мартенситного превращения продолжают накапливаться «в сторону» ранее действовавшего напряжения при продолжении прямого превращения в отсутствие макроскопических напряжений, причем скорость роста деформаций при этом существенно ниже, чем для случая, когда напряжения продолжают действовать. Если бы вклад в деформацию прямого превращения давал только процесс зарождения мартенситных мезоэлементов, то рост деформаций после снятия напряжений прекращался бы. Если бы вклад в деформацию давал только процесс развития мезоэлементов, то после снятия напряжений рост деформаций продолжался бы с прежней скоростью.
Процесс зарождения мартенситных элементов определяется мгновенным напряженным состоянием, процесс развития (при неизменных или изменяющихся так, чтобы не выходить за пределы поверхности нагружения напряжениях) определяется предшествующей историей, полученной в момент зарождения ориентацией мезо-элемента. Таким образом, между двумя этими составляющими процесса прямого превращения имеется принципиальное различие. Поэтому вклады процессов зарождения и развития мезоэлементов в процесс накопления деформаций прямого превращения должны определяться различными моделями.
В рамках сформулированных выше представлений легко объяснить описанный выше факт отсутствия деформационного упрочнения при накоплении деформаций прямого превращения. Дело в том, что приращение неупругой деформации на каждом этапе прямого превращения связано с переходом в мартенситное состояние некоторой новой совокупности аустенитных элементарных объемов, т.е. он не является результатом дополнительного деформирования ранее уже продефор-мированного и поэтому упрочненного объема сплава с памятью формы.
В случае обратного превращения происходит процесс деградации мартенситных мезоэлементов, состоящий в отделении элементарных мартенситных объемов и переходе их в аустенитное состояние. Возможно, на последней стадии процесса деградации мартенситного мезоэлемента при обратном превращении, когда его размер становится меньше размера мартенситного зародыша, происходит коллективный переход всех составляющих мезоэлемент элементарных мартенситных объемов в аустенитное состояние, т.е. акт «исчезновения» мартенситного мезоэлемента при обратном превраще-
нии, являющийся двойственным акту его зарождения при прямом превращении. Однако между процессами постепенной деградации мартенситного мезоэлемента и его окончательного исчезновения нет такой принципиальной разницы, как между процессами его зарождения и роста. Поэтому процесс обратного превращения можно рассматривать в рамках единой модели деградации мезоэлементов, не выделяя акт окончательного их исчезновения.
3. Определяющие соотношения модели нелинейного деформирования сплавов с памятью формы при фазовых и структурных превращениях
В [9-11] на основании сформулированных выше гипотез путем подсчета вероятностей различных ориентаций образующихся или переориентирующихся мар-тенситных элементов сформулирована следующая модель нелинейного деформирования сплавов с памятью формы при фазовых и структурных превращениях:
е^ =р^ (1)
de?hst = <Vq+3 р D2—q ^ —i )d—i> 2 —
= 3 Pdi —(1 - qf (q)) ф(—i)+f(q) 4phst’
2 —i
Здесь j — тензор фазово-структурной деформации; —ij, — тензор напряжений и его интенсивность, штри-
хом обозначаются компоненты девиаторов; pV — линейная деформация объемного эффекта реакции полного прямого превращения; рD1, рD2 — верхние грани значений деформации, которые могут быть накоплены при полном прямом превращении или при структурном переходе; f(q) — материальная функция, определяющая соотношение между процессами зарождения и развития мартенситных мезоэлементов. Для обратного превращения f (q) = 1/q. Для прямого превращения эта функция удовлетворяет ограничениям 0 < f (q) < 1/q. Возможны следующие представления: f (q) = a0 = const, где 0 < a0 < 1; f (q) = 1/(C + q), где С = const, C > 0; f (q) = P/q, где 0 <P< 1. Вид функцииf (q) и значение соответствующей константы могут быть определены по данным опыта на ориентированное превращение. В случае если микронапряжения имеют симметричное распределение, т.е. отсутствуют ориентированные микронапряжения, функции ф(—i) и у(—i) можно трактовать соответственно как интегральную функцию распределения интенсивности микронапряжений в аусте-нитном состоянии сплавов с памятью формы и дифференциальную плотность распределения интенсивности микронапряжений в мартенситном состоянии сплава с памятью формы. Необходимо отметить, что уравнение
(1) правильно описывает вклад в процесс деформирования структурного превращения только для случая монотонного нагружения. При наличии разгрузок и повторных нагружений эти соотношения должны быть модифицированы (см. далее).
Уравнение для приращения девиатора фазово-структурной деформации (1) представляет собой, вообще говоря, не интегрируемое независимо от пути термомеханического нагружения инкрементальное соотношение. Однако существует один частный случай, для которого это соотношение может быть существенно упрощено.
Пусть рассматривается процесс, начинающийся из полностью аустенитного состояния и состоящий из конечного числа фрагментов прямого или обратного фазового превращения, сопровождающихся или нет структурным переходом, а также из фрагментов, сводящихся только к структурному превращению самому по себе. Предполагается, что:
1. Разгрузка в рассматриваемом процессе отсутствует, т.е. dаi > 0.
2. Компоненты девиатора напряжений меняются пропорционально одному параметру.
3. Функции распределения интенсивности микронапряжений в аустенитном и мартенситном состояниях сплава с памятью формы совпадают, также как и значения Рв1 =PD2•
Тогда решение системы (1) для тензора фазовоструктурной деформации е?ы не зависит от пути термомеханического нагружения и определяется конечной формулой
Pv % +
-ф(—i)
(2)
Доказательство сформулированного положения основано на применении к дифференциальной форме (1) теоремы Пфаффа.
Соотношение (2) представляет собой аналог деформационной теории пластичности для сплавов с памятью формы. Необходимо отметить, что данное положение является существенно более емким и менее очевидным, чем аналог из теории пластичности, согласно которому при монотонном пропорциональном нагружении уравнения деформационной теории пластичности являются интегралом уравнений теории течения. В рамках сформулированного выше положения рассматривается существенно более широкое, чем пропорциональное монотонное нагружение, множество разнообразных процессов (структурные и фазовые, как прямые, так и обратные переходы). Для всего этого множества должна быть справедлива единая алгебраическая зависимость
(2), которая как раз и является выражением упомянутой тесной связи между фазовыми и структурными деформациями. Описанные в п. 1 результаты опытов по прямому превращению при двухступенчатом нагружении,
когда при переходе от первой ступени ко второй приложенное напряжение возрастает, а накопленная деформация не зависит ни от величины напряжений, действующих на первом этапе, ни от температуры, при которой произошло увеличение приложенных напряжений, подтверждают зависимость (2). Согласно (2), при фиксированных значениях q и сумма фазовых и структурных
деформаций е^ фиксирована, что также соответствует экспериментальным данным.
В случае когда хотя бы одно из сформулированных выше условий не выполняется, использование конечных соотношений (2) может привести к ошибкам. В частности, это относится к процессам, содержащим участки разгрузки и повторного нагружения. Для описания таких процессов ниже будет сформулирован аналог теории пластического течения для сплавов с памятью формы.
Приращение девиатора неупругих деформаций делится на фазовую и структурную составляющие:
ае^ = ае^+?ае*. (3)
Здесь е|- — структурная деформация мартенситной части представительного объема. Чтобы получить структурную деформацию всего представительного объема, производится осреднение, из-за чего и возникает множитель q в (3). Поскольку, как следует из экспериментальных данных, для процесса накопления фазовых деформаций при прямом превращении явление деформационного упрочнения не характерно, для величин ае?ь формулируются определяющие соотношения, не аппелирующие к понятию поверхности нагружения и для частного случая /(д) = 0 имеющие вид:
de?h = 3 р D1 — ф(—i)dq. 2—
(4)
Для того чтобы модель развития структурных деформаций учитывала как обычное, так и перекрестное деформационное упрочнение, строится аналог теории пластичности с изотропным и кинематическим упрочнением, причем параметром изотропного упрочнения является длина дуги фазового деформирования х1, а кинематическое упрочнение зависит от структурных деформаций. Уравнение поверхности нагружения в отношении структурных деформаций имеет вид:
Si -Ф(Х) = 0, (5)
аХ = (^за<-/рЬа<:;рЬ)0'5 = PDФ(оi)dq, (6)
SІJ =0 -Р, Si =73/2 ^, (7)
dP j = Y(—i)dest, dej = dkSu.
j j
(8) (9)
Здесь SiJ, р— тензоры активных напряжений и остаточных микронапряжений, развитие структурных деформаций происходит при выполнении условия (5), свидетельствующего о том, что изображающая точка лежит на поверхности нагружения и удовлетворяет ас-
социированному закону течения (9), радиус поверхности нагружения для структурных деформаций является монотонно возрастающей функцией длины дуги фазового деформирования, в результате чего модель описывает явление перекрестного упрочнения. Координаты центра этой поверхности рудовлетворяют дифференциальному соотношению (8). Таким образом, в процессах немонотонного деформирования в режиме мар-тенситной неупругости описывается обычное упрочнение, носящее трансляционный характер. Используя формализм, принятый в теории пластического течения, т.е. дифференцируя (5), подставляя в полученное соотношение (6), продифференцированное соотношение (7), в которое подставлены выражения (8), (9), можно получить линейное уравнение для величины Л. Решая это уравнение и подставляя результат в (9), можно получить закон течения для структурных деформаций. Используя далее соотношения (4) и (5), можно получить определяющее соотношение для приращения девиатора фазово-структурных деформаций при прямом превращении, сопровождающемся структурным переходом:
de?hst=^pd—Ф(а^+
3 Sm
T-f1 d—mn -<Ф(Х^ф(— i)dq 2Si
+--------------------------qSij.
(10)
Si y(—i)
Формула (10) верна в случае, если выполнено соотношение (10) и дифференциальное условие активного нагружения, которое имеет вид:
2S-d—mn -ф,(х^ф(—i)dq > °-
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то структурное превращение не имеет места и второе слагаемое в правой части (10) отсутствует.
4. Термодинамическое замыкание модели нелинейного деформирования сплавов с памятью формы
Температура является важнейшим параметром, управляющим фазовым составом и механическим поведением сплава с памятью формы. В силу сложных теплофизических свойств сплавов с памятью формы (выделение и поглощение латентного тепла фазовых переходов, диссипативные явления) температурный режим элемента из сплава с памятью формы не может быть корректно определен путем решения стандартного уравнения теплопроводности. Требуется формулировка уравнения энергетического баланса, учитывающего специфические особенности поведения сплавов с памятью формы. Кроме того, возникает проблема термодинамической состоятельности модели поведения сплавов с памятью формы, проверки выполнения в рамках этой модели законов термодинамики.
Обе эти проблемы могут быть корректно решены в рамках подходов рациональной термодинамики. Здесь, прежде всего, следует выбрать термодинамический потенциал, в рамках которого удобно рассматривать поведение сплавов с памятью формы и соответствующую совокупность параметров состояния. Известно, что плотность энтропии для аустенитного состояния сплава с памятью формы существенно выше, чем для мар-тенситного. Мартенситная часть представительного объема обладает по сравнению с аустенитной некоторой деформацией. Таким образом, энтропия и деформация аустенитной и мартенситной частей представительного объема сплава с памятью формы различаются. Удобно выбирать для описания двухфазного состояния сплава с памятью формы такой потенциал, основные параметры состояния которого могут иметь одинаковые значения для мартенситной и аустенитной компонент. Исходя из этих соображений удобно использовать потенциал Г иббса % причем ту его разновидность, которая получается из свободной энергии с помощью преобразования Лежандра с применением термоупругих е|Т, а не полных е. деформаций. В качестве независимых параметров состояния будут рассматриваться напряжения Оу, температура Т, параметр фазового состава д и девиатор фазово-структурной деформации е?ы. Потенциал Гиббса предполагается зависящим от первых трех из этих величин:
у = у(0,-, Т, д). (11)
Здесь и ниже для сокращения записи используются объемные плотности термодинамических потенциалов и энтропии, а также теплоемкость единицы объема.
Первый и второй законы термодинамики для квази-статических процессов записываются в форме:
( = А + й = °.е. - qi> i, (12)
41
D = a і/ e phst -(S+-5 )T -
D = TS + T
> 0.
(1З)
Здесь А, <2 — мощность работы внешних сил и скорость притока тепла к единице объема тела; qi — вектор теплового потока; D—скорость диссипации; 51 — объемная плотность энтропии. Проводя обычные преобразования в (13) и опираясь на закон теплопроводности Фурье qi = ~^Т, і, можно из (13) получить формулировку второго закона термодинамики в форме:
D = +д, ,і > 0, (14)
где D1 = D + чТ, і/Т--скорость механической дисси-
пации; kq — коэффициент теплопроводности. Исключая из (14) дивергенцию вектора теплового потока с помощью первого начала термодинамики (12), переходя в полученном неравенстве от плотности внутренней энергии и к плотности потенциала Гиббса у и используя продифференцированное выражение (11), можно получить
дТ
, ет ду ду .
-+ч)я*-1Г
Процессы, не сопровождающиеся фазовыми и структурными переходами в сплавах с памятью формы, считаются обратимыми. Для таких процессов D1 = 0 и из неравенства (15) следует
С = eeT = -
= -э7 ’ j =-э0/7
(16)
Принимается гипотеза о том, что соотношения (16), соответствующие обычным упругим выражениям для термоупругих деформаций и энтропии, справедливы и в случае процессов в сплавах с памятью формы, сопровождающихся фазовыми переходами. В результате неравенство (15) и выражение для D1 существенно упрощаются:
D =aj.e phst-^ q >0.
(17)
Подставляя полученное для D1 выражение (17) в правое равенство (14) и учитывая, что в силу закона теплопроводности Фурье дг г = —4 АТ, можно получить формулировку связного уравнения энергетического баланса:
phst
kqAT = TS - a/j^p -
(18)
Дальнейшая конкретизация соотношений (17) и (18) требует формулировки выражения для потенциала Гиббса двухфазного сплава с памятью формы. В большинстве работ по термодинамике сплавов с памятью формы [12, 13] и др. используется следующая система гипотез. Принимаются чрезвычайно сложные выражения для термодинамического потенциала двухфазного тела, состоящие как из аддитивных по отношению к параметру фазового состава, так и из неаддитивных частей. При этом неаддитивным частям потенциала приписывают различные выражения для прямого и обратного фазового превращения, а в некоторых моделях — различные выражения для полных и неполных циклов фазовых переходов. В результате термодинамический потенциал перестает быть однозначной функцией параметров состояния и становится функционалом истории их изменения.
В то же время постулируются чрезвычайно простые выражения для скорости механической диссипации типа [13]
D =±Aq, (19)
где A = const, знак плюс соответствует прямому превращению, а знак минус — обратному. Такой выбор знака обеспечивает неотрицательность скорости механической диссипации. Переход от неравенства (17) к равенству (19) позволяет вывести определяющие соотношения
для параметра фазового состава д. Для получения этих соотношений, соответствующих известным представлениям, и подбираются упомянутые выше выражения для неаддитивной части потенциала. Для того чтобы таким путем получить правильные выражения для зависимости характерных температур фазовых превращений от действующих напряжений, приходится для входящей в (17) величины е принимать неадекватные определяющие соотношения типа
е?Ы =РD
о
согласно которым интенсивность деформации, накапливаемой при полном прямом превращении под действием постоянного напряжения, не зависит от интенсивности этого напряжения.
В [14, 15] предлагается использовать как можно более простые и обоснованные выражения для термодинамического потенциала, одинаковые как для прямого, так и для обратного термоупругого фазового превращения. Коренные различия в поведении сплавов с памятью формы для прямого и обратного фазового превращения при наличии или отсутствии структурного перехода предлагается учитывать за счет различий в величине скорости диссипации, что вполне допустимо в рамках классической термодинамики. Более того, предлагается не использовать никаких априорных гипотез относительно скорости механической диссипации, которые в общем случае не могут быть проверены в эксперименте. Вместо этого считаются заданными определяющие соотношения для скорости изменения фазово-структурных деформаций типа (6) и для параметра фазового состава, справедливость которых может быть непосредственно проверена в экспериментах. Эти определяющие соотношения должны быть подставлены в (18) для получения связного уравнения энергетического баланса и в неравенство (17) для проверки выполнения в рамках данной модели второго закона термодинамики.
Для осуществления этой программы необходимо конкретизировать выражение для потенциала Гиббса сплава с памятью формы, находящегося, вообще говоря, в двухфазном состоянии. В простейшем случае считается, что этот потенциал является аддитивной функцией упругих выражений для потенциала Гиббса аусте-нита ^1 и мартенсита ^2 с весами, равными объемным долям этих фаз:
¥ = 2 + (1 - 4 Ж, (20)
У т =■
6Кт 4Gm
-ааік(Т - То) +
(
+ С
Т - Т0 - Т 1п
- SmT + ит
(21)
Здесь т = 1 соответствует аустенитному, а т = 2 — мар-тенситному состоянию; Кт, Gm — утроенный объем-
ный и сдвиговой упругие модули сплавов с памятью формы в аустенитном и мартенситном состояниях; а и Са — коэффициент температурного расширения и теплоемкость единицы объема при постоянном напряжении, значения которых для упрощения считаются одинаковыми для аустенитного и мартенситного состояний; Т0 — отсчетная температура; ит, Бт — объемные плотности внутренней энергии и энтропии в ненагру-женных аустенитном и мартенситном состояниях при отсчетной температуре. Подстановка (20) в (21) дает для потенциала Гиббса двухфазного материала выражение
¥ = '
а
kk
6к X 4G(q)
-ааkk (Т-Т)) +
(
Т - Т0 - Т 1п
Здесь
+ С
- ч(Аи - Т АБ).
1 - і
1
і
К(д) К2
1
К,
+ и - ^т -
X+і
_ "Т" _ ,
(22)
G(q) ^ -1
А( = и1 - (2 > 0, АБ = Б1 - Б2 > 0.
Согласно (16), (22) получаются обычные соотношения для термоупругих деформаций и энтропии:
о,,
/ ет = ау
РєТ =. =
Jkk
+ 3а(Т - То),
(23)
2G(qУ ^ К (4)
5 = аст* + Сс 1п(Т/Т)) + 51 - 4АБ, (24)
выражение для скорости механической диссипации D = о.е+ (А( - ТАБ + 2(о.))4 > 0, (25)
2 (о..)=0»АК+ °Ае
. 6 К1К2 6G1G2’
АК = К1 -К2, АG = G1 - G2, а также формулировка связного уравнения энергетического баланса
КАТ = СаТ + Тааkk -
-(Аи+а* Рг + ) і - pDqv(а1)а1а1,
(26)
учитывающего как выделение и поглощение латентного тепла фазового перехода, так и диссипативные слагаемые, связанные не только со структурным, но и с фазовым переходом.
Для фазовых переходов, происходящих в отсутствии напряжений, неравенство (25) принимает вид:
М(Т*- Т)і > 0, Т*=А{7/А. (27)
Пусть М,° — точная верхняя грань значений температуры, при которых может происходить прямое фазовое превращение (в полных или неполных циклах) в отсутствие напряжений; 4° — точная нижняя грань температур, при которых может происходить обратное фазовое превращение (в полных или неполных циклах) в
отсутствие напряжений. Легко видеть, что необходимым и достаточным условием выполнения неравенства
(28) является
М° < Т*< А0. (28)
Очевидно, что неравенство (28) может выполняться лишь в случае, когда М8° < А8°, т.е. для сплавов с памятью формы первого типа (с широким гистерезисом). Таким образом, установлено, что предположение об аддитивности потенциала Гиббса (20) не противоречит второму закону термодинамики только для сплавов с памятью формы с широким гистерезисом, которые далее и рассматриваются. Для сплавов с памятью формы второго типа (с узким гистерезисом), к которым, как правило, относятся сложные, трех- и более компонентные материалы, необходимо вводить в потенциал Гиббса неаддитивную часть, зависящую от д. Способ распространения модели на этот случай изложен в [16].
В общем случае фазовых превращений, происходящих под действием механических напряжений, выполнение неравенства (28) является лишь необходимым условием выполнения второго закона термодинамики. Можно доказать, однако, что необходимым и достаточным условием выполнения (25) являются справедливость (28) и следующие выражения для точной верхней грани температур прямого фазового превращения при наличии напряжений М8о и точной нижней грани температур обратного фазового превращения при наличии напряжений А8о:
мО = м0 +
+(®у О, + 2(о.) + о** Рг V АБ,
(29)
А = А +
+ (У + 2 (оу ) + °ШРУ УАБ.
Таким образом, выражения для характерных температур прямых и обратных фазовых превращений в сплавах с памятью формы при наличии напряжений (29) получены как достаточные условия выполнения второго закона термодинамики. Согласно первому соотношению (29), величина М8о является достаточно сложной функцией о., 4, еУы. Однако в случае справедливости положения об активных процессах пропорционального нагружения это соотношение упрощается:
мо= м0 + РД0Ф(0;> + оkkРг + 2 (оу )
8 8 АБ '
(30)
Второму соотношению (29), соответствующему обратному превращению, т.е. случаю когда /(4) = 1/4, можно придать вид:
ерЫ 0,-/4 + 2 (оу) + ^ Рг
АБ '
Необходимо отметить, что основные вклады в зависимость характерных температур фазовых превращений от действующих напряжений дают первые слагае-
А0 = А +-
(31)
мые числителей правых частей (30) и (31). С учетом этого фактора на основании (30) можно утверждать, что величина М80 всегда возрастает с ростом интенсивности приложенных напряжений независимо от направления нагружения. Поскольку ф(о^ как интегральная функция распределения стремится к единице на бесконечности, то в пренебрежении вторым и третьим слагаемыми числителя правой части (30) зависимость М8° от оi является асимптотически линейной. В то же время, для малых напряжений, согласно (30), имеет место отклонение от линейной зависимости в сторону больших значений М80. Зависимость А« от действующих напряжений (31) принципиально отлична от зависимости (3 0). Если учитывать только основное слагаемое правой части (31), то величина АО является линейной функцией компонент девиатора напряжений. Поэтому температуры начала обратного фазового превращения могут как возрастать с ростом приложенных напряжений (в случае если свертка ст^еУы положительна), так и убывать (если эта свертка отрицательна). Все перечисленные выше качественные особенности зависимости характерных температур фазовых переходов от действующих напряжений наблюдаются экспериментально [17].
Для параметра фазового состава предлагается использовать инкрементальные определяющие соотношения, которые для случая /(4) = а0 имеют вид:
= .„ +
АБ + а0 СВ + Adоi + В&оа - &ТАБ),
В = П(1 - 4) (-
М0 - М0 8 [ 2
(32)
А = Рв [(ф« + «Оф'О^ )(1 -а0 4) + а0<о ] +
+ АG/ (3адМ, г = (МО - Т)/(М80 - М0), С = Pвq0iФ(0i) - О у В = АК/ (ЗК^о* +ег (33)
для прямого превращения и ( П Л
0—^с18| — Iх АБ(А - А0) I 2 J
х (1/ 4 еУ^М о. + А а + В&о а - АБа Т), (34)
г = 1 - (ао-т)/(- А?),
А = ^о^(0i) + АС/(ЗОаОм для обратного превращения, а величина В определяется по той же формуле (33), что и для прямого превращения.
5. Описание реономных свойств сплавов с памятью формы
Предлагаются две модели для описания реономных свойств сплавов с памятью формы. Согласно первой из них [18], постулируется существование класса предельно медленных процессов, свойства которых счи-
таются склерономными. Пусть процесс предельно медленного фазово-структурного деформирования описывается зависимостью е = ф1 (о, 4), где Ф1 (о, 4) — вообще говоря, функционал истории изменения своих аргументов. Тогда для процессов, происходящих с конечной скоростью, предлагается соотношение
е = k (Ф1 (о, 4) -е). (35)
Модель (35) качественно правильно описывает все перечисленные выше реономные свойства сплавов с памятью формы, кроме наличия скачков мгновенных неупругих деформаций при достаточно больших скачках напряжений. К тому же, согласно (35), зависимость деформации от времени после скачка напряжений для малых времен имеет линейную асимптотику, тогда как, согласно экспериментальным данным, эта асимптотика ближе к степенной.
Чтобы ликвидировать эти недостатки, предложена вторая модель [19], в рамках которой предполагается существование двух классов склерономных процессов — предельно медленных и предельно быстрых. Последние описываются функционалами е = ф2(о, 4), причем для одинаковых историй изменения о и д должно выполняться ф1(о, 4) >ф2(о, 4). Для процессов, происходящих с промежуточными скоростями, предлагается соотношение Ф1(о, 4) -е
ё = k-
(36)
е-ф2(о, 4)
В рамках соотношения (36) для случая когда напряжение скачком меняется от значения о0 до значения о0 + Ао и величина Ао достаточно велика, чтобы выполнялось неравенство Ф2(о0 + Ао, 4) > Ф1(о0, 4), неупругие деформации будут испытывать мгновенный скачок. Зависимость деформации от времени после такого скачка будет иметь степенную асимптотику, что соответствует экспериментальным данным.
6. Краевые и начально-краевые задачи для сплавов с памятью формы
Краевые задачи механики деформируемого твердого тела для сплавов с памятью формы в общем случае сводятся к решению трех групп уравнений. Это соотношения для определения напряженно-деформированного состояния типа (1), (23); уравнения, описывающие изменение фазового состава (32)-(34), а также уравнение энергетического баланса (26) для определения температурного режима. В общем случае эти три группы уравнений являются связанными и не могут решаться ни независимо, ни последовательно, а должны рассматриваться одновременно. Соответствующую начальнокраевую задачу можно квалифицировать как дважды связанную. В такой постановке к настоящему времени решены лишь одномерные по пространству задачи [20, 21].
Наиболее простыми можно считать несвязные краевые задачи, при постановке которых пренебрегают влиянием действующих напряжений на процесс фазового перехода и диссипативными слагаемыми в уравнении энергетического баланса. В результате температурный режим может быть определен из аналога уравнения теплопроводности с эффективной теплоемкостью, зависящей от температуры. После этого определяют зависимость параметра фазового состава от координат и времени, далее — напряженно-деформированное состояние. Несвязные задачи изгиба и кручения в рамках модели нелинейного деформирования сплавов с памятью формы решались в [22, 23]. Промежуточной по сложности является однократно связанная постановка задач, в рамках которой предполагается, что температурный режим известен (исходя из экспериментальных данных или каких-нибудь иных соображений), но учитывается влияние действующих напряжений на фазовый состав. Постановке и решению связных задач устойчивости для элементов из сплавов с памятью формы посвящены работы [10, 11, 24-31].
Работа выполнена при финансовом содействии РФФИ (проект № 11-01-00503) и государственного контракта № 16.740.11.0132.
Литература
1. Беляев С.П., Волков А.Е., Ермолаев В.А., Каменцева З.П., Кузьмин С.Л., Лихачев В.А., Мозгунов В.Ф., Разов А.И., Хайров Р.Ю. Материалы с памятью формы: Справочное издание / Под ред.
B.А. Лихачева. - Изд-во НИИХ СПбГУ, 1998. - Т. 2. - 374 с.
2. Liu Y, Xie Z., van Humbeeck J., Delaey L. Asymmetry of stress-strain curves under tension and compression for NiTi shape memory alloys // Acta Mater. - 1998. - V. 46. - No. 12. - P. 4325-4338.
3. Мовчан А.А., Казарина С.А. Термоупругие превращения в образцах
из никелида титана при одноступенчатом и двухступенчатом нагружении // Деформация и разрушение материалов. - 2006. -№7.- С. 19-23.
4. Мовчан А.А., Казарина С.А., Тант Зин Аунг. Аналог теории пластичности для описания деформирования сплавов с памятью формы при фазовых и структурных превращениях // Деформации и разрушение материалов. - 2009. - № 9. - С. 2-6.
5. Grabe C., Bruhns O.T. On the viscous and strain rate dependent behavior of polycrystalline NiTi // Int. J. Solids Struct. - 2008. - V. 45. -P. 1876-1895.
6. Мовчан А.А., Тант Зин Аунг. Экспериментальное исследование и феноменологическое моделирование реономных свойств сплавов с памятью формы // Вестник Тамбовского университета. Естественные и технические науки. - 2010. - Т. 15. - № 3. - С. 860-861.
7. Мовчан А.А., Казарина С.А., Тант Зин Аунг. Реономные свойства сплавов с памятью формы, проявляемые в опытах на мартенситную неупругость и сверхупругость // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2010. - Т. 16. - № 3. - С. 305-311.
8. Мовчан А.А., Казарина С.А. Экспериментальное исследование явления потери устойчивости, вызванной термоупругими фазовыми превращениями под действием сжимающих напряжений // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2002. - № 6. -
C. 82-89.
9. Мовчан А.А., Мовчан И.А., Сильченко Л.Г. Микромеханическая модель нелинейного деформирования сплавов с памятью формы при фазовых и структурных превращениях // Изв. РАН. МТТ. -
2010. - № 3. - С. 118-130.
10. Мовчан А.А., Мовчан И.А., Сильченко Л.Г. Влияние структурного превращения и нелинейности процесса деформирования на устойчивость стержня из сплава с памятью формы // Изв. РАН. МТТ. -
2010. - № 6. - С. 137-147.
11. Мовчан А.А., Сильченко Л.Г., Сильченко Т.Л. Учет явления мартен-ситной неупругости при обратном фазовом превращении в сплавах с памятью формы // Изв. РАН. МТТ. - 2011. - № 2. - С. 44-56.
12. Leclercq S., Lexcellent C. A general macroscopic description of the thermomechanical behavior of shape memory alloys // J. Mech. Phys. Solids. - 1996. - V. 44. - No. 6. - P. 953-980.
13. Boyd J.G., Lagoudas D.C. A thermodynamic constitutive model for shape memory materials. Part 1. The monolithic shape memory alloy // Int. J. Plasticity. - 1996. - V. 12. - No. 6. - P. 805-842.
14. Мовчан А.А., Ньюнт Со. Термодинамическое описание поведения сплавов с памятью формы с помощью аддитивного потенциала Гиббса // ПМТФ. - 2006. - Т. 47. - № 4. - С. 98-103.
15. Мовчан А.А., Казарина С.А., Мишустин И.В., Мовчан И.А. Термодинамическое обоснование модели нелинейного деформирования сплавов с памятью формы при фазовых и структурных превращениях // Деформации и разрушение материалов. - 2009. - № 8.-С. 2-9.
16. Мовчан А.А., Мишустин И.В. Анализ неаддитивных добавок к потенциалу Гиббса сплава с памятью формы // Изв. РАН. Серия физическая. - 2006. - Т. 70. - № 9. - С. 1388-1395.
17. Tanaka K., Watanabe T Transformation conditions in a Fe-based shape memory alloy: an experimental study // Arch. Mech. - 1999. -V. 51. - No. 6. - P. 805-832.
18. Мовчан А.А., Климов К.Ю. Моделирование реономных свойств сплавов с памятью формы // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2011. - Т. 17. - № 2. - С. 255-267.
19. Мовчан А.А., Климов К.Ю. Модель реономного поведения сплавов с памятью формы, использующая гипотезы о склерономности предельно медленных и предельно быстрых процессов нагружения // Механика композиционных материалов и конструкций. -
2011. - Т. 17. - № 4. - С. 508-522.
20. Мовчан А.А., Чжо То Я. Решение начально-краевых задач о прямом и обратном превращении в рамках нелинейной теории деформирования сплавов с памятью формы // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2007. - Т. 13. - № 4. - С. 452468.
21. Мовчан А.А., Чжо То Я. Решение связной термоэлектромеханической задачи для стержня из сплава с памятью формы в рамках теории нелинейного деформирования этих материалов // Механика
композиционных материалов и конструкций. - 2008. - Т. 14. -№3. - С. 443-460.
22. Мовчан А.А., Тант Зин Аунг, Мовчан И.А. Решение задач изгиба балок из сплавов с памятью формы в рамках модели нелинейного деформирования этих материалов при фазовых и структурных превращениях // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2009. - Т. 15. - № 3. - С. 422-436.
23. Мовчан А.А., Тант Зин Аунг. Анализ работы пружин из сплава с памятью формы в рамках модели нелинейного деформирования этих материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2009. - Т. 15. - № 4. - С. 591-600.
24. Мовчан А.А., Сильченко Л.Г. Устойчивость стержня, претерпевающего прямое или обратное мартенситные превращения под действием сжимающих напряжений // ПМТФ. - 2003. - Т. 4. - № 3. -
С. 169-178.
25. Мовчан А.А., Сильченко Л.Г. Анализ устойчивости при прямом термоупругом превращении под действием сжимающих напряжений // Изв. РАН. МТТ. - 2004. - № 2. - С. 132-144.
26. Мовчан А.А., Сильченко Л.Г. Аналитическое решение связной задачи об устойчивости пластины из сплава с памятью формы при прямом термоупругом фазовом превращении // ПММ. -2004. - Т. 68. - № 1. - С. 60-72.
27. Мовчан А.А., Сильченко Л.Г. Аналитическое решение связной задачи об устойчивости пластины из сплава с памятью формы при обратном мартенситном превращении // Изв. РАН. МТТ. -2004. - № 5. - С. 153-167.
28. Мовчан А.А., Сильченко Л.Г. Устойчивость круглой пластины из сплава с памятью формы при прямом мартенситном превращении // ПММ. - 2006. - Т. 70. - № 5. - С. 869-881.
29. Мовчан А.А., Сильченко Л.Г. Потеря устойчивости круглой пластины из сплава с памятью формы, вызванная обратным термоупругим мартенситным превращением // Изв. РАН. МТТ. - 2008. -№ 1. - С. 117-130.
30. Сильченко Л.Г., Мовчан А.А. Устойчивость вала из сплава с памятью формы, находящегося под воздействием кручения и растяжения-сжатия при термоупругих фазовых превращениях // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2009. - № 2. - С. 5259.
31. Сильченко Л.Г., Мовчан А.А., Мовчан И.А. Учет структурного превращения при анализе устойчивости круглой пластины из сплава с памятью формы // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2010. - № 5. - С. 57-65.
Поступила в редакцию 30.11.2011 г.
Сведения об авторах
Мовчан Андрей Александрович, д.ф.-м.н., проф., гнс ИПРИМ РАН, movchan47@mail.ru Казарина Светлана Александровна, к.т.н., снс ИПРИМ РАН, svetlans@mail.ru
