CC BY
32
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________________________2008, том 51, №6_____________________________
ИНФОРМАТИКА
УДК 519:87:681.8
* *
Ф.И.Ерешко , М.А.Горелов , С.Т.Наврузов МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ КООПЕРАЦИИ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ВОДНЫХ РЕСУРСОВ БАССЕЙНОВ
ТРАНСГРАНИЧНЫХ РЕК
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан З.Д.Усмановым 07.04.2008 г.)
В работе [1] описана проблема вододеления в условиях трансграничных бассейнов, проводится системный анализ проблемы, предложены модели и принципиальные обоснования кооперации стран-пользователей водных ресурсов трансграничных рек. Настоящая работа развивает указанные подходы и содержит формальное обоснование целесообразности кооперации стран-водопотребителей.
Статическая модель отдельной страны. Рассмотрим процесс управления расходованием водных ресурсов в отдельно взятой стране в пределах одного года. Будем предполагать, что в рассматриваемой стране имеется одна электростанция и при ней водохранилище, позволяющее создавать запасы воды. Пусть Аи - площадь, занятая под сельскохозяйственные культуры и расположенная выше водохранилища по течению, а Аа - площадь, занятая под сельскохозяйственные культуры и расположенная ниже водохранилища. Обе эти величины являются управлениями оперирующей страны.
Обозначим чи - объем воды, приходящей на территорию данной страны через государственную границу, ч0 - объем осадков, выпадающих непосредственно на территории данной страны. Обе эти величины будем считать случайными с известными распределениями вероятностей. Распределение величины ч0 определяется природными факторами, для получения распределения величины чи нужно знать принципы поведения сопредельной страны (можно, например, предполагать, что оно описывается моделью, аналогичной данной).
Пусть чъ - сброс воды через плотину водохранилища до периода полива, - сброс воды через плотину водохранилища в период полива, ча - сброс воды через плотину водохранилища после периода полива. Эти три величины считаем также управлениями оперирующей стороны.
Аналогично въ - производство электроэнергии на электростанции до периода полива, еч - производство электроэнергии на электростанции в период полива, ва - производство электроэнергии на электростанции после периода полива. Будем считать, что производство электроэнергии определяется производственными функциями вЪ = ф(чЪ), еч=^Чч), еа=у(Ча)-Разница в производственных функциях обусловлена тем, что в период полива на режим сброса воды могут накладываться дополнительные ограничения, отражающие запросы сель-
ского хозяйства. Мы будем предполагать, что в каждый из этих периодов режимы работы электростанции выбираются оптимальным образом, а потому функции ери ^монотонно возрастают. Кроме того, будем считать, что здесь уже учтены ограничения по мощности электростанции, предполагая, что значения производственных функций не меняются, начиная с некоторой величины. Пусть ре - денежные затраты на производство единицы электроэнергии.
Обозначим си - объем воды, затрачиваемый на полив из источников, находящихся выше по течению от водохранилища, а сл - объем воды, затрачиваемый на полив из источников, находящихся ниже по течению от водохранилища. Эти величины тоже являются управлениями. Примем ограничения на выбор управлений в форме вероятностных ограничений, что обеспечивает уровень гарантированной отдачи водного объекта: Вер(си>чи+ч0, сл>чч)>Ъ, где уровень ъ характеризует гарантию, на которую рассчитывает управляющий орган страны. Пусть Си - объем сельскохозяйственной продукции, произведенной на площадях, расположенных выше водохранилища, а Са - объем сельскохозяйственной продукции, произведенной на площадях, расположенных ниже водохранилища. Будем считать, что объемы производства определяются производственными функциями Си=Ф(Аи,си) и Сл=¥(Аа,сл). Разница производственных функций может определяться различиями природных условий. Принимаем, что при фиксированных Аи и Ал функции Ф и ¥ монотонно возрастают и вогнуты по си и са соответственно. Пусть рс - денежные затраты на производство единицы сельхозпродукции.
Предположим, что за получаемую воду чи страна платит сумму ти, а за воду чл=чъ+чч+ча-сл получает сумму т^. Суммы ти и та считаем в этой модели заданными параметрами (мы не исключаем случая, когда они равны нулю, что соответствует некооперативному управлению).
Пусть Жъ - запас воды в водохранилище на начало года, Жа - запас воды в водохранилище на конец года. Предполагаем, что выполняется балансовое соотношение
Wa=Wb+Wu+Wo-Cu-Wb-Ww-Wa.
Будем считать, что качество управления системой оценивается по следующим вспомогательным критериям: производством сельхозпродукции С=Си+Сл; объемами производства электроэнергии еъ, еч и еа; вероятностью чрезвычайного положения в результате засухи в будущем, которая монотонно зависит от запаса воды Жа; финансовыми затратами /=Ре(еъ+еч+еа)+РсС; сальдо расчетов за воду т^ти.
Предположим, что оперирующая сторона пользуется сверткой критериев g(C,eЪ,ew,ea,Wa,f,mdгmu) [2]. Естественно предполагать, что функция g убывает по аргументу/ и возрастает по остальным аргументам.
Замечание. В рассматриваемой ситуации могут быть еще следующие ограничения. Ограничение по продовольственной безопасности С>С*. Ограничения по энергетической безопасности еъ>еъ*, еч>еч*, еа>еа* (именно поэтому величины еъ, еч, еа входят в свертку по отдельности, а не в сумме, так как мы считаем, что электроэнергию нельзя запасать.) Ограничение по объему водохранилища Жа<Ж*. Ограничение по финансам /</*. Ограничение, обеспечивающее экологическую и/или политическую стабильность вида ч^>ж. Эти ограничения носят «мягкий» характер (один киловатт час электроэнергии вряд ли может коренным образом изменить ситуацию). Поэтому их правильно учитывать с помощью штрафных функций. В дальнейшем будем предполагать, что это уже сделано при формировании свертки g.
Будем считать, что в отношении неопределенности притоков воды чи и ч0 оперирующая сторона ориентируется на математическое ожидание своего критерия g. Предположим, что площади посевов Аи и Ал выбираются до того, как станут известны реализации этих случайных величин, а остальные управления выбираются после того, как конкретные объемы станут известны. В таком случае управления чъ,чч,... следует считать функциями чи и ч0. В этих условиях задача оптимизации имеет характер двухэтапной задачи стохастического программирования: максимальное математическое ожидание критерия оперирующей стороны определится формулой
тах М тах g,
Аи ■ Аё ТЪ Т ,Та ,Си ,Сё
здесь М обозначает оператор вычисления математического ожидания [3,4].
Поиск оптимальных управлений. Выпишем необходимые условия оптимальности управлений в задаче, сформулированной в предыдущем разделе.
Уменьшив значение чъ на бесконечно малую величину 8, увеличив на ту же величину
значение и не меняя остальных управлений, мы изменим значение критерия на величину
Поэтому в точке оптимума должно выполняться равенство
Кдек деъ дтъ
дg дщ _ дg др
дg дщ дg др
По аналогичным соображениям, должно выполняться равенство -
де„ ^ деа дТа
Уменьшив значение си на бесконечно малую величину 8, увеличив на ту же величину значения и сл и не меняя прочих управлений, мы изменим значение критерия на величину
^ дg д¥ дg дщ дg дg дФ^
дс "д^ +ИГ„ 'Т, +~дгр‘ ~гс ,
8. Отсюда следует
Лемма 1. В оптимальной точке должно выполняться равенство
Eg Eg дщ dg _ dg дФ
sc+&Г"EW+~dfp' “sc"EC,
Из этого равенства и сделанных в предыдущем разделе предположений о монотонности вытекает следующее утверждение.
Eg дщ Eg Eg д¥ Eg дФ
Следствие. Если----------1--п > 0, то-------<--------.
dew dWw EfPe , EC dcd EC dcu
Смысл леммы следующий: при прочих равных условиях сельскохозяйственное производство выгоднее размещать ниже по течению, поскольку при этом вода, до того как будет использована на полив, обеспечит выработку электроэнергии. Дополнительные условия означают, что доходы от производства электроэнергии должны окупать затраты, что при современных технологиях выполняется, если нет дефицита мощностей.
Фиксируем механизм расчета за воду. Будем считать, что рассматриваемая страна покупает воду у лежащей выше по течению по цене pu и продает нижележащей стране по цене Pd-
Лемма 2. Пусть случайные величины wu и wu'таковы, что вероятность выполнения неравенства wu>x при любом х больше вероятности выполнения неравенства wu' >х. Если выполняется условие pu<pd, тогда значение критерия max М max g, вычисленное для
A A
d ,ъ,„wa,eu ,ed
величины wu больше, чем аналогичное значение, вычисленное для величины wu
Доказательство. Фиксируем управления Аи и Аи, доставляющие максимум функции М тах g при выполнении всех ограничений, описанных в предыдущем разделе, и
м>ь,^, ^а,си,сл
функции Wb, ww, wa, си и си, реализующие максимум свертки g при всех значениях параметров wu и wo и при выполнении всех ограничений, описанных в предыдущем разделе. Тогда g(C,eb,ew,ea,Wa,f,pdWdгPuWu)<g'{C,eb,ew,ea,Wa,f,pdWdгPuWu) (здесь g'- значение критерия в задаче, аналогичной описанной в предыдущем разделе, но с величиной wu' вместо величины wu). Значит,
тах g(C,eь,ew,ea,Wa,f,pdwd -р^и) < £{С,еь,е^еаЖа,/,рс1ма -р^и),
WЪ,Ww,Wa, eu. ed
и тем более
max g(C,eb,ew,ea,WaJ,pdwd - Puwu) < max g (C,eb,ew,ea,WaJ,pdwd - Puwu).
Wb,W„Wa,cuCd wb,ww,waCuCd
Отсюда последовательно получаем неравенства:
М max g(C,eb,ew,ea,Wa,f,Pdwd - Puwu ) <М max g’(C,eb,ew,ea,Wa,f,Pdwd - Puwu )
w w w c c w w w c c
,vb’ w ,va^u’^d b’ w’ ,va^u^d
и
шах М тах g(C, еь, ^, еа ,Жа, /, р^л ) < тах М тах ^(С, е, ^, еа №а, Л Р<^л ) .
4Л ^Ь^^аСаСё Ла,Лё П^Л,са,сё
Лемма доказана.
Смысл леммы следующий: если поступающая вода дешевле продаваемой, то увеличение притока воды только увеличивает значение критерия.
Распределение ресурса в условиях кооперации. Рассмотрим страны, расположенные вдоль русла одной реки. Перенумеруем их натуральными числами от 1 до п сверху вниз по течению. Каждую из стран будем описывать моделью, аналогичной той, которая описана в первом разделе. Введем обозначения.
Пусть Лк - площадь, занятая под сельскохозяйственные культуры и расположенная
выше водохранилища по течению в к-ой стране, а Лка - площадь, занятая под сельскохозяйственные культуры и расположенная ниже водохранилища в той же стране. Обе эти величины являются управлениями соответствующей страны.
Обозначим м>к - объем воды, приходящей на территорию к-ой страны через государственную границу, wko - объем осадков, выпадающих непосредственно на территории данной страны. Величину wko будем считать случайной с известным распределением вероятностей, которое определяется природными факторами. Пусть wk - сброс воды через плотину водохранилища к-ой страны до периода полива, wkw - сброс воды через ту же плотину в период полива, '^'1 - сброс воды через плотину водохранилища этой страны после периода полива. Эти три величины считаем управлениями данной страны.
Аналогично екъ - производство электроэнергии на электростанции до периода полива, ек - производство электроэнергии на электростанции в период полива, ека - производство
электроэнергии на электростанции после периода полива (все относится к к-ой стране). Будем считать, что производство электроэнергии определяется производственными функциями екь =фк (wkъ), ек =ук (), ека =фк (wka ). Как и выше, считаем, что функции (рк и монотонно возрастают.
Пусть рк - денежные затраты на производство единицы электроэнергии в к-ой стране.
Обозначим еки - объем воды, затрачиваемый на полив из источников, находящихся в к-ой стране выше по течению от водохранилища, а ска - объем воды, затрачиваемый на полив из источников, находящихся в той же стране, но ниже по течению от водохранилища. Эти величины тоже являются управлениями. Положим, как и ранее Вер( ск < ^ ^, ек < w/t )>Ъ.
Пусть С - объем сельскохозяйственной продукции, произведенной в к-ой стране на площадях, расположенных выше водохранилища, а С^ - объем сельскохозяйственной продукции, произведенной в той же стране на площадях, расположенных ниже водохранилища. Будем считать, что объемы производства определяются производственными функциями Ск _фк (Ак, ск) и С = х¥к (Ак, ск ). Как и прежде, будем предполагать, что при фиксированных Аг,^ и Ае функции Фк и х¥к монотонно возрастают и вогнуты по cu и си соответственно.
Пусть рк - денежные затраты на производство единицы сельхозпродукции в к-ой
стране. Принимаем балансовое соотношение ^+1 _ ^ ^ — ска . Естественно считать,
1_
Ь w а ё
что ^=0.
Пусть Жь - запас воды в водохранилище на начало года, Жа - запас воды в водохранилище на конец года. Также определяем балансовое соотношение
К = К + wk + - ск - м/к - wkw - .
Предположим, что к-я страна платит стране, лежащей непосредственно выше по течек
нию, сумму т за используемую воду.
Будем считать, что цели к-ой страны описываются следующими вспомогательными критериями: производством сельхозпродукции Ск _ СЪ + Ск ; объемами производства электроэнергии еЪ, еЪ и ека; вероятностью чрезвычайного положения в результате засухи в будущем, которая монотонно зависит от запаса воды Жк; финансовыми затратами ^ _ Рк (е1 + ек + е1) + р1Ск; средствами шк+1 — тк, вырученными за воду.
Предположим, что оперирующая сторона пользуется сверткой критериев ^ (Ск, ек, ек, ек^, шк+1 — шк) . Относительно этой свертки и отношении страны к неопределенности делаем те же предположения, что и в первом разделе.
Эффективное распределение ресурсов. Один из эффективных (оптимальных по Парето) способов распределения водных ресурсов может быть найден следующим образом. Рассмотрим сумму
^тах М тах gk
лк лк ,„к ,„к ,„к „к „к °
і~к
к=1 Ли ■ Лё »Ь .ww .wa С С
Найдем максимум этой суммы по всем управлениям всех стран и ценам на воду рк, удовлетворяющим сформулированным в предыдущем разделе ограничениям (стандартные рассуждения показывают, что при разумных предположениях этот максимум достигается). Соответствующие управления будут эффективными [2,5].
Рассмотрим изолированное поведение игроков. Решим задачу оптимизации, описанную выше для первой страны. При этом будут найдены оптимальные управления как функции случайных параметров, и тем самым будет определена величина w2 как функция этих случайных параметров. Теперь можно решить аналогичную оптимизационную задачу для второй страны и т. д. Найденный набор управлений будем называть точкой status quo.
Фиксируем следующий механизм расчетов за воду. Будем считать, что за объем воды
к
w , соответствующий точке status quo, страна ничего не платит, а воду сверх этого количества приобретает по цене рк.
Сокращая затраты на полив участков, расположенных ниже водохранилища, на бесконечно малую величину 5 к-я страна уменьшит свой выигрыш на величину ——г • —г- 5 . Но
дСu дек
к+1 с
при этом она получит дополнительные деньги р о, за счет чего ее выигрыш увеличится на
величину
pk+О . Понятно, что такое сокращение выгодно, если
дm
к+1
дмИ._дёк „к+1
дск дек дш
k +1
p
Аналогично, если к+1-я страна купит бесконечно малый объем воды 0 по цене рк+1, ее
k +1
выигрыш уменьшится на величину
pk+1О. Но эту воду она сможет использовать для
дm
k +1
производства электроэнергии и сельхозпродукции, за счет чего ее выигрыш увеличится на
величину
Л+1
k +1
дgu+1 д Щ
k +1
дСк+1 де
k +1
д>в1:1 де‘
k +1
О. Ясно, что приобретение воды выгодно, если
дgk+1 д¥к+1 дgk+1 дщ
к+1
+ -
>
к+1
-р
k +1
дСк+1 дек+ д£+1 дек+1 дmk+1
Пусть выполняется неравенство
дgk+1 д^1
_к+\
дщк+1 дgk дЧк
дСк+1 де
к+1
■ + -
+1
д-, де.
+1
дg
к+1
>
дСк дек
(1)
к+1
дm
Тогда для любой цены pk1, удовлетворяющей условию
.к+1
+1
дСк+‘ де'
+1
■ +
д,gu+1 дщ д-к+1 ' де
+1
д^к
+1
к+1
> P
+1
>
дСк дек
дg
(2)
дmk+1 дmk
сделка по продаже воды по этой цене выгодна обеим сторонам.
Теорема. Пусть в точке status quo неравенства (1) выполняются для всех k. Тогда точка status quo не является эффективной.
к
к
Доказательство. Как показано выше, передача достаточно малых количеств воды сверху вниз по ценам, удовлетворяющим неравенствам (2), приводит к увеличению выигрышей всех стран, поэтому точка status quo не может быть эффективной. В частности, в ней не
n
достигается максимум суммы ^ max М max gk .
“1 Ak A w wW ,ck ,cd
Понятно, что неравенства (1) выполняются, если страны находятся в «равных» природных и экономических условиях. На практике интересен случай, когда страны, лежащие ниже по течению, испытывают большую нужду в воде. В таком случае разница между левой и правой частями неравенства (1), а следовательно, и возможность компромисса еще больше. Выгода от кооперации может быть даже больше, чем описано в данной модели, если нижележащая страна может платить за воду не деньгами, а сельхозпродукцией, что смягчает ограничения по продовольственной безопасности. В случае, если имеется единая энергетическая система, то же относится и к ограничениям по энергетической безопасности.
Динамический вариант модели. В работе [1] при сделанных содержательных предположениях был сформулирован качественный вывод о целесообразности коалиции стран в рамках описанной модели. Теперь, на основе доказанной теоремы, по индукции, начиная с t=T и кончая t=1, проверяется, что на каждом шаге описанных в динамическом случае алгоритмов решаются задачи, полностью аналогичные задачам, решавшимся двумя разделами выше при анализе статических моделей. Поэтому все качественные выводы, полученные ранее, сохраняются и в динамическом случае. Разумеется, эффект от кооперации будет накапливаться от года к году.
Институт экономики Таджикистана, Поступило 07.04.2008 г.
Вычислительный Центр РАН
ЛИТЕРАТУРА
1. Ерешко Ф.И., Наврузов С.Т. - ДАН РТ, 2008, т.51, №3, с.256-263.
2. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. - М.: Наука, 1971, 384 с.
3. Хранович И.Л. Управления водными ресурсами. Потоковые модели. - М.: Научный мир, 2001, 295 с.
4. Данилов-Данилян В.И., Хранович И.Л. - Экономика и математические методы, 2007, т.43, №1, с.16-26.
5. Карлин С. Математические модели и методы в теории игр, программировании и экономике. - М.: Мир, 1964, 410 с.
Ф.И.Ерешко, М.А.Горелов, С.Т.Наврузов ТАЪМИНОТИ МАТЕМАТИКИИ ^АМКОРЙ ОИДИ ИСТИФОДАИ ЗАХИРАИ ОБИ ^АВЗАИ ДАРЁ^ОИ БАЙНИСАР^АДЙ
Дар мак;ола таъминоти математикии хдмкорй оиди ёфтани х,алли мусолиматоме-зи так;симоти захирах,ои обх,ои дарёх,ои байнисархддй оварда шудааст.
F.I.Ereshko, M.A.Gorelov, S.T.Navruzov MATHEMATICAL SUBSTANTIATION OF COOPERATION FOR UTILIZATION OF WATER RESOURCES IN THE BASINS OF TRANSBOUNDARY RIVERS
In the paper a mathematical substantiation with appropriate technique of finding a compromise solution for management of water resources in the basins of transboundary rivers is studied.
