Математическое моделирование возбуждения конической антенны с полупрозрачными стенками и продольной щелью Текст научной статьи по специальности «Физика»

РАДЮЕЛЕКТРОН1КА ТА ТЕЛЕКОМУШКАЦП

РАД1ОЕЛЕКТРОНИКА ТА ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ

RADIO ELECTRONICS _AND TELECOMMUNICATIONS_

УДК517.958:537.8

Дорошенко В. А.1, Стрельницкий А. Е.2, Стрельницкий А. А. 3

1Д-р. физ.-мат. наук, профессор, декан, Харьковский национальный университет радиоэлектроники, Украина 2Канд. техн. наук, доцент, Харьковский национальный университет радиоэлектроники, Украина 3Аспирант, Харьковский национальный университет радиоэлектроники, Украина, E-mail: o.stral@i.ua

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ КОНИЧЕСКОЙ АНТЕННЫ С ПОЛУПРОЗРАЧНЫМИ СТЕНКАМИ

И ПРОДОЛЬНОЙ ЩЕЛЬЮ

Рассмотрена краевая задача возбуждения гармоническим электрическим радиальным диполем полубесконечного полупрозрачного кругового тонкого конуса с продольной щелью. Метод решения задачи основан на использовании потенциала Дебая, интегральных преобразований Конторовича-Лебедева и метода рядов Фурье. Получено аналитическое решение задачи и исследовано влияние щели на спектр, структуру поля и его поведения у вершины конуса.

Ключевые слова: диполь, полупрозрачный конус, продольная щель, строгий метод, аналитическое решение.

ВВЕДЕНИЕ

Математическое моделирование процессов взаимодействия электромагнитных волн с объектами является одним из базовых этапов проектирования и создания современных радиоэлектронных приборов и устройств. Построение математической модели, адекватной рассматриваемому физическому процессу, является ключевым моментом и играет существенную роль в теоретическом изучении рассеивающих и фокусирующих свойств тел. Задача дифракции электромагнитных волн на канонических сплошных идеально проводящих регулярных и однородных структурах (цилиндр, шар) относятся к хорошо исследованным задачам теории дифракции, чего нельзя сказать об электродинамических краевых задачах для им-педансных нерегулярных и незамкнутых структурах. Ус -ложнение конструкций радиофизических, радиотехнических и электронных приборов и устройств значительно расширяют область их применения, но приводит к необходимости совершенствования соответствующих математических моделей. Так, наличие ребер (вершин, краев) приводит к возникновению краевых волн, которые

нередко вносят существенный вклад в рассеиваемое поле. Конические структуры занимают особое место среди ка -нонических структур, поскольку имеют вершину и являются моделями широкополосных и сверх-широкополос-ных антенн [1]. Задачам дифракции электромагнитных волн на неограниченном круговом идеально проводящем конусе посвящено значительное число работ [2-6]. Для практических приложений интерес представляет решение электродинамических задач для неидеально проводящих конусов (полупрозрачных, резистивных, диэлектрических и т.д.) [7-9]. Наличие неоднородностей в виде щелей на поверхности рассеивающих экранов меняет структуру рассеянного поля и приводит к появлению щелевых и реберных волн, а также к расширению рабочей полосы радиотехнических устройств [10, 11]. Анализ литературных источников показал отсутствие строгого решения краевой электродинамической задачи для полупрозрачного конуса с прорезанной от вершины продольной щелью.

Целью данной работы является исследование модельной задачи возбуждения точечным источником полубесконечного неидеальнопроводящего конуса с продольной щелью.

© Дорошенко В. А., Стрельницкий А. Е., Стрельницкий А. А., 2014 14 DOI 10.15588/1607-3274-2014-1-2

ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ

Электрический радиальный диполь с единичным моментом возбуждает полу-бесконечный круговой полупрозрачный тонкий конус Е с углом раскрыва 2у и находится на оси конуса в точке В (г0) (рис. 1). Поле диполя изменяется по гармоническому закону в~ш. Свойство конической поверхности частично отражать и частично пропускать электромагнитное поле определяется параметром прозрачности W > 0. Вдоль образующей конуса от его вершины прорезана продольная щель с угловой шириной ^, равной по величине двугранному углу, который образован плоскостями, проходящими через ось конуса и кромки щели.

Поскольку коническая поверхность является координатной поверхностью сферической системы координат

г, 6, Ф введем ее с началом в вершине конуса (г = 0), который определяется уравнением 6 = 2у.

Задача заключается в нахождении в присутствии источника и конической поверхности полного поля Е, Н:

Е = Е0 + Е1, Н = я0 + щ, (1)

где Ео, Но поле источника, а Ец, Н1 - рассеянное конусом поле. Искомое поле Е, Н удовлетворяет:

1) уравнениям Максвелла вне полупрозрачного конуса и источника;

2) краевым условиям на поверхности конуса:

{й x[E+ + £"]} = Zn х L [я+- Я~]

й х E = й х E

(2)

В(гЛф)

Во (ГсД.фо)

Рис. 1. Полубесконечный круговой полупрозрачный тонкий конус с продольной щелью

3) условию на бесконечности;

4) условию ограниченности энергии в любой ограниченной области пространства,

где E = E |0 ±,

Y±0'

Z = —W sin у, q = -ik, k = ^л/ец,

q

w = д/ц/е - волновое сопротивление среды, е и ц -проницаемости среды, в которую помещен незамкнутый полупрозрачный конус, й - внешняя нормаль к поверхности конуса ^, L - дифференциальный оператор 2-го порядка по радиальной координате:

LU =

дг 2

Л

(rU). Следует

отметить, что наличие в

краевых условиях (2) дифференциального оператора позволяет построить уточненную модель неидеально проводящей конической поверхности по сравнению с моделью краевых условий с линейной зависимостью между электрическим и магнитным полями [12]. Краевая электродинамическая задача в такой постановке имеет единственное решение [13]. Введем потенциал Дебая и , через который выражаются составляющие электромагнитного поля [14]. Полному полю Е, Н соответствует потенциал и, а полю источника и рассеянному полям, соответственно, и0 и и1:

и = ио +

Таким образом, исходная электродинамическая задача 1)-4) свелась к смешанной краевой задаче математической физики относительно потенциала и , который удовлетворяет:

- уравнению Гельмгольца

2

Ди - д и = 0,

всюду вне незамкнутой полупрозрачной конической поверхности и источника;

- принципу предельного поглощения;

- условию ограниченности энергии;

- краевым условиям на конусе, соответствующим (2):

и А = W sin у

10=у '

ди дё

= 0,

Q ]L= el 0=у+0- el 0=

(3)

=Y-0.

МЕТОД РЕШЕНИЯ. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Для решения краевой задачи применим интегральные преобразования Канторовича-Лебедева [15] относительно радиальной координаты и представим неизве-

Y

стныи потенциал для рассеянного конусом поля щ в таком виде

1

2— J Tthnx

2п ero o KlT (qrP-U2+H (cos y)UixdT

(4)

\[r

В результате формального предельного перехода в (8) при исчезновении щели (d ^ 0) получаем значения коэффициентов для сплошного полупрозрачного конуса:

_ 1

х0 _"

2W та(0- +1

Xp = 0 для p Ф 0 .

Тогда потенциал для рассеянного сплошным полупрозрачным конусом поля имеет вид

где KiT (qr) функция Макдональда, P_1/2+ix (cos у) функция Лежандра 1-го рода,

U>iT = I

1/2+iT (± cos 9) шф

-——e , (5)

P—1/2+iT (± cos Y)

M1 =-

Гтйит KiT (qr0) KiT (qr). ,2„„ J

2п er0 0

sfr

x P-1/2+iT (cos Y) P_1/2+iT (± cos 9) dT

2W та(0) +1 P_ 1/2+iT (± cos Y)

(9)

хп неизвестные коэффициенты, а знак «+» в (5) соответствует области 0 < 6 < у, и «-» - области у < 6 < п. В результате использования краевых условий (3), а также условия непрерывности потенциала и его частных производных в щели приходим к таким функциональным уравнениям относительно искомых коэффициентов хп:

I

а1п)хУп<Р = 1,

d/2 < |ф| < п, ст(хп^ = 1 + 2Wта(П)'

I та(П)хпетф= 0, |ф< dl2,

(6)

(7)

Для изучения структуры рассеянного поля и спектра краевой задачи следует перейти к интегрированию по мнимой оси, воспользоваться теоремой Коши о вычетах [16] и записать интеграл в (9) в виде ряда вычетов подынтегральной функции. Подынтегральная функция после преобразования интеграла является мероморфной функцией комплексной переменной, полюсы которой являются спектральными значениями краевой задачи для сплошного полупрозрачного конуса и корнями уравнения

nP_y2+q (cos y)P~y2+q (_ cos y) + 2W cos nq = 0. (10)

При малых значениях параметра W (W << 1), поверхностные свойства сплошного полупрозрачного конуса незначительно отличаются от поверхностных свойств сплошного идеально проводящего конуса, а корни уравнения (10)

(п) (-1)псйлт Г(1/ 2 + /т + п)

Щ- _--х

/т п Г(1/ 2 + /т-п)

_1_

Р-1/2+/т (-СОв у)Р_п1/2+/т (сову)

Сведем (6), (7) к системе линейных алгебраических уравнений фредгольмовского типа (СЛАУ-2), поскольку решить (6), (7) представляется проблематичным из-за их неустойчивости. Используя метод рядов Фурье, приходим к СЛАУ-2 такого вида

(Р) 1

B0, p (8)_ I Bn,Р (S)Xn \, (8)

iT Р 2W

I п=_да

8 = d/ 2, p = 0, ±1, ±2...

Bn,p (8) =

1 sin (п _ p )5

п _ p

п Ф p,

—(п_5), п = p.

q ± =a±--WG^ ± + O (W 2 )

п

Ga =

cos na

—[ p_1/2(cos y ) p_1/2(_cos Y )]

q=a

P_1/2+a + (cos Y) = 0 , P_1/2+a_ (_ cos Y) = 0,

5 = 0,1,2,3...

находятся вблизи корней P_12+q(±cosy) = 0, которые

определяют спектр для сплошного идеально проводящего конуса в случае осесимметричного возбуждения его электрическим радиальным диполем [2]. Вблизи вершины составляющие электрического поля ведут себя как

(qr У

-1+a

ппр, а магнитного (qr)

W

, где

^п.пр

G** = -

W ** / 2 \ _

= аидпр _ —G + O (W ) аид.пр = а0^

cos па0

P_1/2+a_ (cosY2)P_V2+?(_cos Y2)]

d q

q=a0

п=—СО

п=—СО

п=_<ю

Учитывая свойства функций Лежандра, заключаем, что при достаточно малом параметре W имеем ап.пр <аид.пр. Из вышеизложенного следует, что особенность поля у вершины сплошного полупрозрачного конуса при W << 1 больше, чем у сплошного идеально проводящего.

В случае большого значения параметра прозрачности W >> 1 (полупрозрачный конус с высоким уровнем прозрачности), корни (10) такие:

? / =

V2 + , + ^[Р, (cosУ2)]2 + О((-2),

, - 0,1,2,3..., = V2 + ^ + О (("2). (11)

Электромагнитное поле вблизи вершины сплошного полупрозрачного конуса ведет себя так:

Ш ~ |дг| 1+V2W , ~ д

П/2W

(12)

Отсюда следует, что особенность поля вблизи острия конуса слабо зависит от угла раствора полупрозрачного конуса.

В случае близкого расположения источника к вершине конуса (наиболее интересном для практических приложений) одна из составляющих электрического поля определяется слагаемым

* 1кр1 [ кг0

Ш19 -

4W1

3/2+?0 sin кг0 е

-¡кг

г0

которое описывает сферическую ТЕМ волну, соответствующую спектральному значению д0 (11) и распространяющуюся от вершины конуса. Поле этой волны и определяет поведение электромагнитного поля вблизи вершины конуса (дг << 1):

Ш ~ И_1+а, |я| ~ |дг|а, а--^2 + д0. (13)

В структуре поля для сплошного идеально проводящего конуса такой волны нет [2], а ее существование обусловлено поверхностными свойствами полупрозрачного конуса. Вдоль оси конуса (9 - 0) поле этой волны отсутствует, а вблизи поверхности конуса (9 - у) достигает своего наибольшего значения. Если источник располагается в точках кг0 - пп, п е М, то поле этой волны пренебрежимо мало и ее вклад в общее поле незначителен. О возможности существовании ТЕМ волн в структуре рассеянного подобной конической поверхностью поля упоминается в [8]. Для произвольных значений параметра прозрачности W анализ спектра краевой задачи может быть проведен на основе численного решения

уравнения (10). Изменению параметра W в пределах от нуля до больших значений соответствует изменение поверхностных свойств полупрозрачного конуса от свойств, близких к свойствам идеально проводящего конуса, до свойств поверхности, слабо отражающей падающее на нее поле. В соответствии с (13), поведение электромагнитного поля у вершины конуса определяется величиной параметра а , зависимость которого от параметра прозрачности и угла раскрыва конуса приведена на рис. 2, 3. Отсюда видно, что особенность поля вблизи вершины конуса слабо зависит от угла раствора конуса при больших значениях . С уменьшением параметра , особенность поля у вершины полупрозрачного конуса приближается к особенности сплошного конуса.

а

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

у=я/2

: 1 - • * — • у=:гс/3

. 1 - * - ■ у=тг/4 - у=я/6 - ■ — у=я/8

о

4

10

Рис. 2. Зависимость параметра а , характеризующего поведение поля у вершины конуса от параметра прозрачности W

а

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

идеально проводящий конус

нчи

}У=10

15

30

450 60

У

75

90

Рис. 3. Зависимость параметра а от угла раскрыва полупрозрачного конуса

АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ПОЛУПРОЗРАЧНОГО КОНУСА С УЗКОЙ ПРОДОЛЬНОЙ ЩЕЛЬЮ

В предположении узкой щели (8 ^ 1) потенциал Де-бая щ имеет такое асимптотическое разложение по малому параметру 8 вдали от щели:

^ т +

щ ___т^лто)Ат к/т (дг) ч

4 л2 г^ ° о(°)-8/ (2лГ) л/Г ' Р-1/2+/Т (± сов 6)

Р-1/2+/т (± сОв У) +с +сс

£ е/пф 1

Г°п п_-с 0

К/т (ЯГ) Р--п2+/т (± сов 6)

8 /пт+Г т5Ллта°хЬ°х

л3г0Г

0 о(-р)-8/(2л w) (14)

_ dт + O I — 821п1

у!г Р-\/2+/т (± сов у) ^ Г 8

) ) +1/2ЖД<<1, 1 к/т(дг0 К

а0т --;=—,Ь0т _-Р-1/2+/т(сО8У).

4ес«лт -/г°

В случае исчезновения щелей на поверхности полупрозрачного конуса (8 ^ 0), в пределе представление для щ1 (14) совпадает с выражением для сплошного полупрозрачного конуса (9). При неограниченном возрастании параметра прозрачности W (W ^ +оо) полупрозрачная поверхность исчезает, а предел потенциала «1 (14) (W ^ +оо) равен нулю. Появления в представлении (14) ряда Фурье по азимутальной координате ф обусловлено наличием щели на поверхности полупрозрачного конуса. В результате использования алгоритма сведения интегрального представления к представлению в виде ряда по полюсам подынтегральной функции, правую часть (14) можно записать в виде суперпозиции волн, которые возникают вследствие взаимодействия поля источника и рассеивающей конической поверхностью. Эти волны определяются собственными значениями краевой задачи, которые удовлетворяют такому спектральному уравнению:

о£ р)(уЛ )-8/(2лW)_ 0, р _ 0,1,2..

(15)

Уравнение

о£0)_ 0,

о£-р ^ )р_0= 0

представляет собой спектральное уравнение (10) для сплошного полупрозрачного конуса. Появление щели на поверхности полупрозрачного конуса приводит к возникновению в структуре рассеянного поля высших мод

(р _ 1,2...). При 8/W << 1 корни (15) £-р _ £-р (у^,8),

находятся вблизи корней £-р _ £-р (у, W) уравнения

(Яе £> 0)

о£ p)(y,W)_ 0,

а последние зависят как от угла раскрыва конуса у, так и параметра прозрачности W:

£ - р _ а_ р +

1

о

((8/W)2),

2лW р)

dд £

£_£-р . (16)

я _ 0,1,2..., р _ 0,1,2...

Наименьшее собственное значение спектра находится среди корней (16) при р _ 0 . Рассмотрим значения

£ -р при р _ 0:

а_ р

Ья р _

0 _£я +

2лW

d £ £ £_£ *

+ о

((8/W)2),

(17)

я _ 0,1,2..., О

(0)

_ 0

Наименьшее собственное значение краевой задачи а0 является наименьшим из значений (17):

8 1

£0 _ £0 +

2WdG* d £ <

- + о

((8/ W )2),

(18)

функции о£0)(у^). При записывается в таком виде

£° _2+£-Ш+0(<8/)2). <19)

а £0 - наименьший корень ^

W »1 и 8 ^ 1 значение (18) записывается в таком виде

1 1 8

Принимая во внимание представление (11), получаем из (19)

£0 ~ £0■

из чего следует, что £0 < £0.

8

2 л W

+

8

х

1

Поле вблизи вершины полупрозрачного конуса с узкими щелями ведет себя так

Ш ~ н|я| ~ \дг\-1/2+^>.

На основании (20) заключаем, что наличие узкой щели усиливает имеющуюся особенность поля (12) у вершины полупрозрачного конуса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе проведено исследование в строгой постановке электродинамической краевой задачи для полубесконечного полупрозрачного конуса с прорезанной вдоль образующей щелью в случае его возбуждения электрическим радиальным диполем, расположенным на оси структуры. Метод решения краевой задачи базируется на использовании интегрального преобразования Конторовича-Лебедева и рядов Фурье вследствие чего исходная электродинамическая задача сведена к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения потенциалов Дебая в ряд Фурье по азимутальной координате сферической системы координат. В частном случае сплошного полупрозрачного конуса исследованы спектр рассеянного поля и его поведение вблизи вершины. Впервые получено строгое решение в случае возбуждения конуса с узкой щелью электрическим радиальным диполем. Вследствие сравнения решений для сплошного полупрозрачного конуса и полупрозрачного конуса с продольной щелью показано, что наличие щели усиливает имеющуюся вблизи вершины полупрозрачного конуса особенность поля. Полученные в работе результаты могут быть использованы при проектировании широкополосных и сверхширокополосных антенн, а также приборов диагностики и контроля.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Астанин, Л. Ю. Основы сверхширокополосных радиолокационных измерений [Текст] / Л. Ю. Астанин, А. А. Ко-стылев. - М. : Радио и связь, 1989. - 191 с.

2. Излучение и рассеяние волн : пер. с англ. [Текст] / Под ред. М. Л. Левина. - М. : Мир, 1978. - Т. 1, 2: Т 1 - 552 с., Т 2 - 558 с.

3. Фельд, Я. Н. Возбуждение заданными токами металлического конуса, расположенного над металлической плос-

костью [Текст] / Фельд Я. Н. // Радиотехника и электроника. - 1995. - Т. 40, № 1. - С. 28-34.

4. Numerical Calculation of the diffraction coefficients for an arbitrary shaped perfectly conducting cone [Text] / [V. M. Babich, V. P. Smyshlyaev, D. B. Dement'ev, B. A. Samokhin] // IEEE Trans. on Antennas and Propagation. - May 1996. - Vol. 44, No. 5. - P. 740-747.

5. Горяинов, А. С. Дифракция плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси конуса [Текст] / Горяинов А. С. // Радиотехника и электроника. - 1961. -Т. 6, № 1. - С. 47-57.

6. Николаев, Б. Г. Дифракция поля точечного источника на круговом конусе [Текст] / Николаев Б. Г. // Записки науч. Семинаров. - 1974. - Т. 42, № 6. - С. 212-227.

7. Felsen, L. B. Electromagnetic properties of wedge and cone surfaces with a linearly varying surface impedance [Text] / Felsen L. B. // IRE Trans. on Antennas & Propagat. - 1959. -AP-7, No.12. - P. 231-243.

8. Гошин, Г. Г. Граничные задачи электродинамики в конических областях. [Текст] / Гошин Г. Г. - Томск : Изд-во Томск. ун-та, 1987. - 127 с.

9. Bernard, J. M. L. Analytical-numerical calculation of diffraction coefficients for an Impedance cone [Text] / J. M. L. Bernard, M. A. Lyalinov // Trans. on Antennas and Propagation. - 2008. - vol. 56, No. 6. - P. 1616-1623.

10. Шестопалов, В. П. Сумматорные уравнения в современной теории дифракции [Текст] / Шестопалов В. П. - К. : Наук. думка, 1983. - 251 с.

11. Дорошенко, В. А О структуре поля радиального магнитного диполя, рассеянного конической поверхностью с прорезанными вдоль образующих щелями [Текст] / В. А. Дорошенко, В. Г. Сологуб // Радиотехника и электроника. - 1987. - Т. 32, № 5. - С. 1110-1112.

12. Senior, T. B. A. Approximate boundary conditions in electromagnetic [Text] / T. B. A. Senior, J. L. Volakis // The institution of Electrical Engineers. - London : United Kingdom, 1995. - 353 p.

13. Ваганов, Р. Б. Основы теории дифракции [Текст] / Р. Б. Ваганов, Б. З. Каценельбаум. - М. : Наука, 1982. -272 с.

14. Вайнштейн, Л. А. Электромагнитные волны [Текст] / Вай-нштейн Л. А. - М. : Радио и связь, 1988. - 440 с.

15. Уфлянд, Я. С. О некоторых новых интегральных преобразованиях и их приложениях к задачам математической физики. В кн. : Вопросы математической физики. [Текст] / Я. С. Уфлянд - Л. : Наука, 1976. - С. 93-106.

16. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного [Текст] / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. - М. : Наука, 1973. - 736 с.

Статгя надшшла до редакци 16.12.2013.

Шсля доробки 22.04.2014.

Дорошенко В. О.1, Стрельницький О. С.2, Стрельницький О. О.3

1Д-р. фiз.-мат. наук, професор, декан, Харювський нацюнальний ушверситет радюелектронжи, Украша

2Канд. техн. наук, доцент, Харювський нацюнальний ушверситет радюелектронжи, Украша

3Астрант, Харювський нацюнальний ушверситет радюелектронжи, Украша

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЗБУДЖЕНЯЯ КОН1ЧНО1 АНТЕНИ З НАП1ВПРОЗОРИМИ СТ1НКАМИ I ПО-ВЗДОВЖНЬОЮ Щ1ЛИНОЮ

Розглянута крайова задача збудження гармоншним електричним радiальним диполем нашвнесюнченного натвпрозорого кругового тонкого конуса з поздовжньою щшиною. Метод розв'язку задачi базуеться на використанш потенщалу Дебая, штегральних перетворень Конторовича-Лебедева i методу рядiв Фур'е. Отримано аналтчний розв'язок задачi i дослщжено вплив щшини на спектр, структуру поля та його поведшку поблизу вершини конуса.

Ключовi слова: диполь, натвпрозорий конус, поздовжня щшина, строгий метод, аналтчний розв'язок.

Doroshenko V. O.1, Strelnytskyi O. E.2, Strelnytskyi O. O.3

'Doctor of Science, professor, Dean, Kharkiv National University of Radio Electronics, Ukraine

2Ph. D., Associate professor, Kharkiv National University of Radio Electronics, Ukraine

3Postgraduate student, Kharkiv National University of Radio Electronics, Ukraine

MATHEMATICAL MODELING OF EXCITATION OF A CONICAL ANTENNA WITH SEMI-TRANSPARENT WALLS AND A LONGITUDINAL SLOT

A boundary problem of excitation of a semi-infinite semi-transparent circular thin cone with a longitudinal slot by a harmonic electrical radial dipole is considered. The solution method is based on using a Debuey's potential, the Kontorovich-Lebedev transforms and the Fourie's series method. It is shown that solving an electromagnetic boundary problem is equivalent to solving a system of linear algebraic equations with respect to unknown coefficients. The analytical problem solution is obtained and a slot effect on the boundary problem spectrum, the electromagnetic field structure and its behavior at the cone tip is investigated. It is proved that slot presence intensifies the tip singularity as for comparing with the field singularity at the tip of the continuous (closed) semi-transparent cone.

Keywords: dipole, semi-transparent cone, longitudinal slot, rigorous method, analytical solution.

REFERENCES

1. Astanin L. Yu., Kostylev A. A. Osnovy sverhshirokopolosnyh radiolokacionnyx izmerenij. Moscow, Radio i svyaz, 1989, 191 p.

2. Izluchenie i rasseyanie voln: Per. s angl. [Tekst], Pod red. M. L. Levina. Moscow, Mir, 1978, Vol. 1,2: Vol. 1, 552 p., Vol. 2, 558 p.

3. Feld Ya. N. Vozbuzhdenie zadannyimi tokami metallicheskogo konusa, raspolozhennogo nad metallicheskoy ploskostyu, Radiotehnika i elektronika, 1995, vol. 40, No.1, pp. 28-34.

4. Babich V. M., Smyshlyaev V. P., Dement'ev D. B., Samokhin B. A. Numerical Calculation of the diffraction coefficients for an arbitrary shaped perfectly conducting cone, IEEE Trans. on Antennas and Propagation, May 1996, vol. 44, No. 5, pp. 740-747.

5. Goryainov A. S. Difraktsiya ploskoy elektromagnitnoy volnyi, rasprostranyayuscheysya vdol osi konusa, Radiotehnika i elektronika, 1961. vol. 6, No. 1, pp. 47-57.

6. Nikolaev B. G. Difraktsiya polya tochechnogo istochnika na krugovom konuse. Zapiski nauch. Seminarov, 1974, vol. 42, No 6, pp. 212-227.

7. Felsen L. B. Electromagnetic properties of wedge and cone surfaces with a linearly varying surface impedance, IRE Trans. on Antennas & Propagat, 1959, AP-7, No. 12. pp. 231-243.

8. Goshin G. G. Granichnyie zadachi elektrodinamiki v konicheskih oblastyah. Tomsk, Izd-vo Tomsk Un-ta, 1987, 127 p.

9. Bernard J. M. L., Lyalinov M. A. Analytical-numerical calculation of diffraction coefficients for an Impedance cone, Trans. on Antennas and Propagation, 2008, vol. 56, No. 6, pp. 1616-1623.

10. Shestopalov V. P. Summatornyie uravneniya v sovremennoy teorii difraktsii. Kiev, Nauk. dumka, 1983, 251 p.

11. Doroshenko V. A., Sologub V. G. O strukture polya radialnogo magnitnogo dipolya, rasseyannogo konicheskoy poverhnostyu s prorezannyimi vdol obrazuyuschih, Radiotehnika i elektronika, 1987, vol. 32, No. 5. pp. 11101112.

12. Senior T. B. A., Volakis J. L. Approximate boundary conditions in electromagnetic. The institution of Electrical Engineers, London, United Kingdom, 1995, 353 p.

13. Vaganov R. B., Katsenelbaum B. Z. Osnovyi teorii difraktsii. Moscow, Nauka, 1982, 272 p.

14. Vaynshteyn L. A. Elektromagnitnyie volnyi. Moscow, Radio i svyaz, 1988, 440 p.

15. Uflyand Ya. S. O nekotoryih novyih integralnyih preobrazovaniyah i ih prilozheniyah k zadacham matematicheskoy fiziki. V kn.: Voprosyi matematicheskoy fiziki. Leningrad, Nauka, 1976, pp. 93-106.

16. Lavrentev M. A., Shabat B. V. Metodyi teorii funktsiy kompleksnogo peremennogo. Moscow, Nauka, 1973, 736 p.