Математическое моделирование влияния дислокаций на спин-волновой резонанс в ферромагнетиках типа «Легкая ось» Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК: 538.911; 530.145

С.Г. Гестрин, Е.А. Пилипенко, Е.В. Щукина

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ДИСЛОКАЦИЙ

НА СПИН-ВОЛНОВОЙ РЕЗОНАНС В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ

ТИПА «ЛЕГКАЯ ОСЬ»

Изучено влияние дислокаций на спин-волновой резонанс в

ферромагнетиках. Показано, что переменное однородное магнитное поле вызывает рост колебаний плотности магнитного момента, локализованных на дислокациях, ориентированных вдоль оси легкого намагничения кристалла. Взаимодействие однородного магнитного поля с локализованными волнами носит характер параметрического резонанса.

Дислокация, спин-волновой резонанс, локализованная волна

S.G. Gestrin, E.A. Pilipenko, E.V. Sehukina

MATHEMATICAL SIMULATION OF DISLOCATIONS’ INFLUENCE ON SPIN-WAVE RESONANCE IN FERROMAGNETIC WITH THE AXIS OF SLIGHT MAGNETIZATION

The article deals with dislocations’ influence on spin-wave resonance in ferromagnetic. The author shows that alternating uniform magnetic field causes the growth of magnetic moment density oscillations located in dislocations oriented along the axis of slight magnetization of a crystal. The interaction of uniform magnetic field with confined waves has the nature ofparametric resonance.

Dislocation, spin-wave resonance, located wave

Известно, что дефекты кристаллической структуры существенно влияют на различные процессы, происходящие в кристаллах. Так, наличие дислокаций приводит к локализации на них различных ветвей колебаний. Амплитуда локализованных волн быстро убывает с удалением от дислокации, а их частота сдвинута относительно частоты объемных колебаний [1-3]. Ниже исследован процесс резонансного возбуждения переменным однородным магнитным полем неоднородных колебаний плотности магнитного момента в тонкой ферромагнитной пленке, содержащей дислокации, ориентированные вдоль оси легкого намагничения. Ранее данное явление изучалось теоретически без учета влияния дефектов структуры, и было показано, что оно носит характер параметрического резонанса [4]. Как следует из проведенных в данной работе вычислений, в условиях резонанса w=w0 = 2ws (k) (w- частота внешнего переменного магнитного поля, w0 - частота

однородного ферромагнитного резонанса, ws (k)- частота спиновых волн) нарастают стоячие спиновые волны, локализованные на дислокациях. В данной работе получена и исследована зависимость от времени их амплитуды в предположении 4^- K << 1 (K - коэффициент анизотропии). Показано, что с течением времени резкое убывание амплитуды локализованных колебаний плотности магнитного момента с удалением от дефекта сменяется значительно более медленным.

Как известно, уравнение движения магнитного момента в ферромагнетике имеет вид

[4, 5]:

дМ Г-* -1 Е\е\

~^ = ПН Эф, М , (1)

дI 2тс

где М - плотность магнитного момента (намагниченность), g - гиромагнитное отношение ферромагнетика; е и т - заряд и масса электрона, с - скорость света,

НЭф - эффективное поле.

Учитывая обменное взаимодействие, а также наличие в кристалле дислокаций (будем предполагать, что они ориентированы вдоль оси симметрии г ), запишем выражение для эффективного поля в виде:

— д 1М -т—1 2 о д 2М „ / — \ — —

Нэф =а'к дХдх— ^а р~дкг3(р°)+ п+Н. (2)

Здесь а - постоянная решетки, р- характеризует обменное взаимодействие атомов, расположенных вдоль оси дислокации, с>(Д) - двумерная дельта-функция; Г = X, Ух)- двумерный вектор, определяющий положение дислокаций в кристалле, ак - симметричный тензор второго ранга; V - вектор, направленный вдоль оси симметрии кристалла 2 (ферромагнетик типа «легкая ось»), К > 0 - коэффициент анизотропии,

Н - магнитное поле в ферромагнетике.

В рассматриваемых ниже одноосных кристаллах ак имеет отличные от нуля

компоненты ах = ауу = а2, аг = а1. Будем предполагать, что кристалл имеет форму

эллипсоида и п(х), п(у), п(г) - коэффициенты размагничивания вдоль его главных осей.

Если предположить, что ферромагнетик находится во внешнем магнитном поле, ориентированном вдоль оси х : Нхвнеш (|) = Н0х exp(- 1а#), то для однородных колебаний плотности магнитного момента находим [4]:

т^Щ^гН^ш (I), (3)

о0 — о

где о0 ° (o('x))12 — частота однородного ферромагнитного резонанса [4, 5, 6],

(x) = M 0 (4p(n(x) — n(z))+ K) (4)

О = M 0^4pn — n ')+

Оу' = jM 0 (4p(n (y) — n (z))+ K).

)(y) = jM 0 (4p(n(y)— n(z\

Считаем, что внутри кристалла существует магнитное поле H = (hx, hy, H 0), которое создает малую поперечную намагниченность mx и my, а Mz » M0 = const:

hx = —4pn(x)mx + нхвнеш(t), (5)

hy =—4pn ^y )my, (6)

H 0 = —4m(z )M 0. (7)

Однородный ферромагнитный резонанс приводит к тому, что энергия внешнего

переменного магнитного поля, приложенного в направлении, перпендикулярном к оси

легкого намагничения, будет сильно поглощаться, если его частота окажется близкой к о0. Данное явление было изучено в целом ряде работ [4], поэтому мы не будем здесь подробно на нем останавливаться.

Рассмотрим кристалл, содержащий дефект кристаллической структуры. Подставляя (2) в (1) и предполагая, что в кристалле находится всего одна дислокация, проходящая через начало координат, находим:

-іатх = ум о

- іоту = —М с

+ а 2

Э2 Э

2

— сх^к + а2

Эх2 Эу2

С Э2 Э2 ^

Эх2 Эу2

-4р(п(у) — п(г^) — К ту + а2к2д(р)—Моупу(о), (8)

— 4р(п(х)— п(г))—К тх — а2к28(р)—Моупх(о) (9)

Для плоскопараллельной пластинки, поверхность которой перпендикулярна к оси легкого намагничения ( п(х) = п (у) = 0, п ^) = 1), имеем:

Ґ

2

-іатх = ум с

іоту = — ум с

■ Хі к + а

Э2 Э

+ -

2

Л

Эх 2 Эу

+ 4р — К

ум ^ J

22

ту + а 2 к 28(р)—М сс]ту (о),

а1к2 + х

Э2 Э2

Л

Эх 2 Эу

+ 4р — К

тх — а 2 к 23(р)—М оУП(о)

(10)

(11)

Согласно (10) и (11) находим:

тх = —іПу ,

(12)

т.е. решение описывает волну, поляризованную по кругу.

Из (10) и (11) получаем уравнение для тх :

Э2 Э

2 Л С

Эх2 Эу2

тх —

х1 , 2 К — 4р

—к +----------------

о

ЧХ2

ОТ,

М0Х2 у

т„

—— а2 к 2д(р)тх (о).

Х

Для осесимметричного возмущения, локализованного на дислокации:

Г

\Х2

Эр2 р Эр

Отсюда:

то, х (Р) = -1—а 2 к 2 то,х(о)К о

X , 2 К — 4р

—к +-------------

о

Л

ОТ,

М ох

1 — „2/2 ^(Р)

о 2 У

т„ =----------------а к

2р х

т

р

:(о)

2р х

а1к2 + К — 4р

о

X

М оа

-р

= ——а 2 к 21М о то,х(о)х

о 2 у

X

(13)

(14)

, Г---------------1 2 кК\---------------г Iсо$,(крсо$,о)4а). (15)

(2р) I со—уа1Мо(к +к )— Мо(К — 4р)*

Полагая в (15) р = 0, находим дисперсионное уравнение для осесимметричных волн, локализованных на дислокации [1, 2, 3]:

1 + — а2к2Мо Г

2р ■*

КІК

о

уа1М о (к2 + к2 )— М о (К — 4р)

= о.

(16)

Выполняя интегрирование в (16) и пренебрегая малыми членами порядка величины

ущМок2 + Мо(К — 4к)—° << 1

уаМ оКо2

(17)

находим:

2

2

о

o1k2 + K - 4— - k02 exp

4—a —a2 k2

JJ

(18)

Если пластинка ограничена плоскостями г = 0 и г = Ь, и спины в поверхностном слое направлены перпендикулярно к поверхности, т. е. на границах находятся узлы стоячей волны, то решение внутри пластинки имеет вид:

где

mx (P, Zt) = -1—a 2 k 2 mo,x(o)K,

2— o

—n

00_ k 2 + K - 4—

w

Л

o

o

gM oa

-p

sin k,z sin cot,

0 2

k = —, n = 1,2,3.... n L

(19)

(20)

Здесь п - число полуволн, которое укладывается на толщине пластинки Ь .

Таким образом, находим возможные собственные частоты локализованных на дислокации колебаний:

(

О

—n

f

o11 — I + K - 4— - k0 exp

4a1 L2 —a 2—n2

Vi

(21)

JJ

Последнее слагаемое в (21) определяет поправку, связанную с наличием дислокаций.

При исследовании однородного ферромагнитного резонанса обычно исходят из линеаризованного уравнения движения плотности магнитного момента, откуда следует, что переменное однородное магнитное поле возбуждает только однородные колебания

плотности магнитного момента. На самом деле уравнение движения момента (1) является нелинейным, и однородные колебания связаны с неоднородными колебаниями. Следовательно, однородное переменное магнитное поле вызывает как однородные, так и неоднородные колебания плотности магнитного момента. Это возбуждение носит характер параметрического резонанса и называется параметрическим возбуждением спиновых волн [4]. Поскольку неоднородные колебания возбуждаются благодаря связи с однородными, то при записи уравнений (8, 9) нужно удержать не только линейные по тх (к )и ту (к) члены, но

и билинейные члены типов тх у (0)тх у (к).

Рассмотрим ниже один из наиболее интересных случаев, когда частота изменений однородного магнитного поля близка к удвоенной частоте со, (к), а также к частоте однородного ферромагнитного резонанса [4]:

О = 2ws (k)+ e = w0 + e.

(22)

Для плоскопараллельной пластинки, поверхность которой перпендикулярна к оси

легкого намагничения ( п(х ) = п (у ) = 0, п(г ) = 1), как известно из [4, 5, 6]:

со,, (к) = М0Л/[ак2 + К - 4ж\ак2 + К - 4рсоб2 в), со0 = ]М0 (К - 4р),

где o = a2 sin в + a1 cos в,

в - угол между k и П .

(23)

(24)

В дальнейшем для простоты вычислений будем предполагать а1 = а2. Подставляя (23) в (22), находим выражение для величины волнового вектора возбуждаемой спиновой волны:

2

(25)

Из (25) видно, что возбуждаемые спиновые волны распространяются в конусе, ось которого направлена вдоль вектора М0, причем угол раствора этого конуса определяется соотношением:

Согласно (26) очевидно, что для возбуждения спиновых волн необходимо выполнение условия

Таким образом, наличие большой константы магнитной анизотропии К препятствует возможности параметрического возбуждения неоднородных колебаний плотности магнитного момента. Если К близко к 4р , то возбуждаемые спиновые волны

распространяются в узком конусе, ось которого направлена вдоль вектора М0, причем угол

раствора этого конуса равен:

(26)

К < 4р.

(27)

(28)

Инкремент нарастания амплитуды спиновой волны г/к (о) будет особенно велик, если частота стороннего поля О близка к частоте ферромагнитного резонанса О0.

Согласно [4]:

, ,р(к) = 2р(уМ0)2 ^\ик (к+ик + кУк)|, (29)

(30)

где ск, с_к - нормальные координаты,

(31)

В (31) обозначено:

(32)

Предполагая, что в < в0, где в0 определяется условием (28), и приближенно полагая кг » к и кх, ку << к, из (32) находим:

Ак о {са2 +(К _ 4р))| Вк » 0, О(к)» Ак.

При этом, согласно (31):

Из (30) имеем:

т+(к)» ск, т

(к);

_к •

Нормальные координаты ск имеют вид:

Ск (I )= X,. (I )е(к >,

(')” 4’'^'. 1 =_'(О _О(к)] + 'Л М ■

где хк,

Окончательно из (35) и (37):

О О

т+(к)» хк^е 2 еЛк(0, т_(к)» х-^е 2 еЛк(о)

Здесь х,1 и х-1, - произвольные постоянные. Выбираем в дальнейшем:

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

,(1)

2 х-1 = т,,п ( = 0)е

хк ~ тк0 (^ = 0)е , х-к _ тк0 Из (39) и (38) находим окончательно:

т

(к) = тк 0 (г = 0)б1п—г

(о

т

Подставляя (34) в (29), получаем:

2р(М0 )2 в

Л к (о)-

(к !=тк 0(г=0)со5!0

и:

Мп

л1(°0- 0)2 + т2

(39)

(40)

(41)

Из (29) видно, что возбуждение однородным полем неоднородных колебаний будет происходить в том случае, если амплитуда стороннего переменного магнитного поля превосходит некоторое минимальное критическое значение:

и + > и

внеш с -

определяемое, согласно (29), из неравенства:

Ск >

0-О (к )

(42)

(43)

Подставляя сюда \ак I из (29), находим:

ис = М 0

[(°0 -о)2 + тТ ]• [00 -о (к) ^ +т (к)

р(к)

(44)

*

с

2

В условиях резонанса (22) критическое поле определяется соотношением [4]:

и = 7‘(к^ М0 » М0 — » 10-2М0 »10Гс. (45)

с р(к) 00 м0 М " ' '

Предполагая в дальнейшем, что выполняется условие Ив+неш \ >> Ис, и полагая для

определенности

Н

+

внеш

■ 10Hc, из (45) и (41) находим:

hk » 20p—(k )—. (46)

Полагаем здесь — » 0,1M0, g = 2m0/h, m0 » 0,9-10 20'эрг/Гс , M0 = 103 Гс. Отсюда находим, что — » 1,8 109 Гц. Из требования hk << W (k) следует ограничение на величину угла — << 0,16. Из (28) видно, что при этом 4p- K << 0,4. Для удобства дальнейших вычислений представим инкремент в виде:

Гк ■ (47)

t 20—

Подставляя (47) и (40) в (15), находим:

b 1 -ехР—;0 ^

mx (р, z, t) = —(ak )2 mk 0 (t = 0)-—— j-2-d— cos(k—pcos j)djsin knz sin —-1. (48)

— (2p) 0 — +1 2

Амплитуда локализованных колебаний для пучности стоячей волны определяется соотношением:

b , „--ехр[—- .

m0x(р) » —(ak)2mk0(t = 0^T—7 j---------------d—j cos(k—Pcosj)dj. (49)

— (2p) 0 — +1

Результат вычисления интеграла (49) в МЛТИСЛО для Р/с = 0.1, ак = 0.1, в0 = 0,016, х ° кр и различных значениях 7/в представлен на рис. 1.

На рис. 1 введено обозначение т(х) ° т0х (р)/тк0 (0), где х = кр . Видно, что амплитуда локализованных спиновых волн быстро увеличивается с течением времени. При этом резкое убывание амплитуды локализованных колебаний с удалением от дислокации сменяется существенно более медленным. Это связано с ростом инкремента компонент

Фурье (40) с увеличением угла в между волновым вектором к и осью легкого намагничения (47).

m1(x)

m2(x)

х

х

а б

Рис. 1. Колебания магнитного момента, локализованные на дислокациях в ферромагнетике (развитие неустойчивости с течением времени): а) 7/т = 0.15 , б) 7/т = 1.5

Заметим, однако, что этот рост не будет продолжаться бесконечно долго, так как при достаточно больших амплитудах начнут играть роль ранее не учтенные нелинейные эффекты, которые, в конечном счете, приведут к некоторому стационарному режиму, который будет характеризоваться определенными амплитудами как однородных, так и неоднородных колебаний плотности магнитного момента.

Выше рассмотрено параметрическое возбуждение спиновых волн с частотой Щ (к )=^/2, однако возможно также параметрическое возбуждение волн с частотами щ(к )=( п/т)щ0, где п и т - произвольные целые числа. В частности, возможно параметрическое возбуждение спиновых волн с частотой щ (к) = щ. При этом (к)

определяется (21). Однако для возбуждения таких волн нужны значительно большие магнитные поля:

(—(k)72 —r

>> ис. (50)

М 0 ) Iм 0

Таким образом, в работе изучен спин-волновой резонанс в тонкой ферромагнитной пленке, содержащей дислокации, ориентированные вдоль оси ее легкого намагничения. Показано, что наличие дислокаций оказывает существенное влияние на характер резонанса, приводя к преимущественному росту с течением времени локализованных на них колебаний плотности магнитного момента.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Гестрин С.Г. Локализация поляритонов вблизи дислокаций в ионных кристаллах // Известия ВУЗов. Физика. 1996. №10. С. 45-50.

2. Гестрин С.Г. Локализация плазменных колебаний вблизи заряженных дислокаций и дислокационных стенок в полупроводниках // Известия ВУЗов. Физика. 1998. №2. С. 92-95.

3. Гестрин С.Г., Сальников А.Н. Локализация экситонов Френкеля на дислокациях // Известия ВУЗов. Физика. 2005. №7. С. 23-25.

4. Ахиезер А.И., Барьяхтар В.Г., Пелетминский С.В. Спиновые волны. М.: Наука, 1967. 368 с.

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.1Х. Статистическая физика. М.: Наука, 1978. 447 с.

6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.УТТТ Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 620 с.

Гестрин Сергей Геннадьевич -

доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Прикладная физика» Саратовского государственного технического университета

Пилипенко Елена Александровна -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Инженерная физика» Саратовского государственного аграрного университета

Gestrin Sergey Gennad'evich -

Doctor of Physical and Mathematical sciences, Professor of the Department “Applied Physics”, Saratov State Technical University

Pilipenko Elena Aleksandrovna -

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor of the

Department “Engineering Physics”, Saratov State Agrarian University

Щукина Елена Вячеславовна -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Прикладная физика» Саратовского государственного технического университета

Shchukina Elena Vjacheslavovna -

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor of the Department “Applied Physics”, Saratov State Technical University

Статья поступила в редакцию 06.02.2011, принята к опубликованию 07.08.2011