Математическое моделирование столкновения движущегося сферического тела с преградой Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 519.7:539.37

Ю. А. Комиссаров, Г. А. Малков, Н. Н. Лясникова, М. С. Киселев

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ДВИЖУЩЕГОСЯ СФЕРИЧЕСКОГО ТЕЛА С ПРЕГРАДОЙ

Представлен алгоритм расчета оптимальной толщины преграды, преодолеваемой сферическим телом с заданными геометрическими, кинематическими и физико-механическими параметрами. Алгоритм основан на анализе деформации преграды и сферического тела. В методике расчета используется минимум параметров тела и преграды, представленных в соответствующих справочных материалах. Методика не требует дорогостоящих механических и баллистических испытаний, основана на расчете баланса энергий: энергии деформирования преграды и сферического тела, энергии по перемещению тела вплоть до возникновения предельных напряжений, приводящих к разрушению преграды, и первоначальной кинетической энергии сферического тела. Приведен пример использования методики (алгоритма) расчета, который показал достаточно точное совпадение экспериментальных и теоретических данных.

Ключевые слова: тонкостенная пластическая преграда, сферическое тело, кинетическая энергия, энергия деформации, пластический модуль, оптимальная толщина преграды, методика определения толщины.

Введение

Определение оптимальной толщины оболочки, пробиваемой перемещающимся телом (снарядом), всегда было актуальной задачей в разных отраслях промышленности, особенно в военной, при проектировании защитных кожухов, переносных щитов, заборов и т. д. Именно поэтому задача создания и совершенствования методики расчета и оценки пробиваемости пластической преграды летящим сферическим телом, несомненно, актуальна.

Существующие методы расчета толщины преграды, преодолеваемой сферическим телом, как правило, имеют эмпирический характер, т. е. требуют проведения дорогостоящего эксперимента (испытания), который не всегда можно реализовать. В частности, в работах [1, 2] приведены графики баллистических испытаний с эмпирическими формулами, на основании которых определяется толщина пробиваемой преграды. Для расчета толщины преграды из другого материала требуется проведение аналогичного дорогостоящего испытания.

Целью нашего исследования являлась разработка методики расчета толщины тонкостенной пластической преграды, преодолеваемой сферическим телом, при минимуме физико-механических и кинематических параметров материалов преграды и тела.

Алгоритм расчета толщины преграды, преодолеваемой движущимся телом

Рассмотрим шарообразный снаряд радиусом R, м; плотностью р, кг/м3; движущийся с первоначальной скоростью V, м/с. Характеристики материала снаряда: условный предел текучести - о02с, Па; предел прочности - оВ с, Па; относительное сужение при разрыве -

Преграда - первоначальная толщина S, м. Характеристики материала: предел прочности оВ п, Па; условный предел текучести о02п, Па; относительное сужение при разрыве - ¥п.

Допущения:

- пренебрегаем упругими свойствами снаряда и преграды;

- вся кинетическая энергия снаряда переходит в работу по перемещению снаряда и по деформации преграды и снаряда;

- пренебрегаем краевыми эффектами на периферии преграды (ее площадь покрывает зону пластической деформации преграды);

- истинное напряжение а для материала преграды и снаряда определяется по формуле, Па:

ст = ст02 + E ln X,

(1)

где о0,2п и о0,2с - предел текучести преграды и снаряда; Еп, Ес - пластический модуль упругости преграды и снаряда; Xп, Xс - относительное удлинение материала преграды и снаряда при растяжении.

Считаем, что снаряд испытывает деформацию сжатия, Па, а преграда - деформацию сдвига, Па, которые определяются по следующим формулам:

т = т02 + G ln X; т02 = о02/л/3; G =—E,

3

(2)

где т02 и G - предел текучести и пластический модуль упругости при сдвиге [3]; X -относительное удлинение материала при сдвиге.

Пластический модуль упругости Е получаем из уравнения (1), при условии, что приведенное напряжение а пр (имеет максимум при апр = оВ). Уравнение связи истинного о и приведенного напряжения, Па:

о о02 + E ln X о =—=- 02

пр X

X

dCT

Приравнивая-р к нулю, получаем максимальное значение Хэ, соответствующее пре-

dX

делу прочности материала оВ:

d СТр Л ст02 ЕЕ ln X ( ст02 ^ ст02 + E ln Хэ -- = 0^—+ —--—— = 0^Х = Хэ = expl -1 + стВ = —--. (3)

dX

X2 X2

X2

E

X

Из уравнения (3) получаем

e стВ = exp [ст§2 E 1 E

(4)

где е = 2,718.

Пластический модуль упругости Е можно определить методом последовательных приближений из выражения (4) или по приближенной формуле, Па:

E = -

еств

exp

V

2ст,

ст

-1 cos

п 1

— +— arccos 33

(

ст

Л32

V 2стВ - ст02 У

(5)

Рассмотрим связь между напряжениями и деформациями при растяжении и сдвиге. Согласно энергетической теории [3], пределы текучести при растяжении о02 и сдвиге т02 связаны соотношением, Па:

Тт = о,

= o^/Vi.

(6)

Истинное напряжение при сдвиге, Па:

т = т02 + G ln X,

(7)

где X - относительное удлинение материала при сдвиге.

Относительная энергия пластической деформации, Дж/м3:

2 2 2 2 U = 0 02 = Т -Т02

2E

G

(8)

Согласно энергетической теории [3], связь касательных т и нормальных о напряжений имеет вид, Па:

т = о/Тэ.

(9)

Из уравнения (8), с учетом (1), (6), (7) и (9), связь между относительными удлинениями при растяжении X и сдвиге X

Я = (10)

Рассмотрим деформацию круглого снаряда и листовой преграды в момент ее прорыва

(рис. 1).

Rh

Рис. 1. Схема деформации снаряда и преграды в момент ее прорыва

В преграде на одинаковом расстоянии от оси y по радиусу R на высоте H касательное напряжение материала преграды тп, с учетом уравнения (2), достигает предельного значения, Па:

тп max = Т02,п + Gп ln ^ ,

где т02п, Gп и - предел текучести, модуль сдвига и максимальная относительная деформация материала преграды в месте ее прорыва.

С учетом этого уравнение для тп max, а также (1), (6), (7) и (8), Па:

0cmin = O02c + E clnhcmrn; Tcmax = 0cmax / ^ 0cmax = O02c + ^MX^^

= ^/3 • THmax или 0Hmax = 002п + E faX^ ,

где oc

минимальное среднее напряжение сжатия снаряда в момент разрыва преграды; о0

о02п - пределы текучести материалов снаряда и преграды; Хст1п- минимальная средняя относи-

о

тельная деформация снаряда в момент разрыва преграды; ocmaxHTcmax - истинные нормальные и касательные напряжения материала преграды в момент его разрушения; G^ En - пластические модули при сдвиге и растяжении материалов преграды; Ec - пластический модуль материала снаряда; A^max, Хптах и max - относительные удлинения при разрушении соответственно материалов преграды при сдвиге и растяжении и снаряда при растяжении; тптахи аптах - предельные значения касательных и нормальных напряжений материала преграды при ее разрыве.

Значение A^max определяется характером деформации при сдвиге материала преграды. Пренебрегая деформацией растяжения-сжатия y элемента преграды со стороной S (рис. 2), можно записать из треугольника ABC:

S 1 ' ГТ-ТТ

cos а=тт7=^; tg а=Уп

AHS Лп

(11)

где уП - производная функции у = Дх) кривой преграды в произвольной точке; А,п- относительное удлинение кривой преграды у = Дх)в произвольной точке.

« ' R

Рис. 2. Схема деформации при сдвиге материала преграды В точке разрыва (х = у = Н ), рад:

уп = yR =

Из уравнения (10) следует (R R / ^A,c min):

-1.

W = XfJ = (1-^Г^ или ^max = (1 - Уп)-1.

(12)

(13)

Энергетические соотношения

Энергия предельной деформации преграды W равна кинетической энергии Wк, Дж, недеформированного снаряда в момент его соприкосновения с преградой, которая, в свою очередь, равна сумме энергий деформирования снаряда Wс и преграды Wп, а также энергии перемещения снаряда от момента его соприкосновения с преградой до разрыва последней Wп.с:

Ж = Ж + Ж + Жпс.

(14)

Кинетическая энергия снаряда:

4 V 2

Жк = -кЯ3 • р — = —лR3pV2. к 3 2 3

(15)

На рис. 1 представлена физическая картина перемещения деформированного снаряда при преодолении им пластической преграды в виде зависимости у = Дх). Значение координаты х изменяется от нуля до границы пластической деформации Як. По оси у считаем, что сферическое тело снаряда радиусом Я в процессе деформирования приобрело форму эллипсоида вращения с осями Я ф ст1п по координате х, а по у — Я • Хст1п . Эллипсоид контактирует с деформируемой преградой до точки с координатами х = Я и у = Н . На участке (Я — Як) нет контакта с деформируемым телом.

Уравнение эллипса при максимальной деформации снаряда примет вид

(У — Н)— х2Х,

Я2Х—

+-

Я2

= 1,

(16)

где Н - координата по оси у центра тяжести деформированного снаряда. Тогда, из уравнения (16) имеем:

у = Н + X л/Я2 — X . х2 • у'

■У ст1п \ ст1п э

—X—

• х

;у =■

—X2 ■ Я2

(Я2 — XCImn • х2)

3/ 2 \/2

(17)

При х = Я из (17):

У = У = X х/Я2 — X Я • У = у-= —

У У стт \ стт ? у у я

^тт Я

1-

; У = УЯ =

я2 — ^ Я

—XV Я2

(Я2 — ^тт Я2 )

> 3/ 2\/2

(18)

где у — половина толщины эллипса (при х = Я).

С учетом (12) и (18) получаем, рад:

Из (18) и (19):

уЯ = —/

—1 = —

X — min Я

Я 2 — ^ть Я

Я = Я

Xпmax 1

^тт (Xпmax + Xcmin )

уя = я

5/

XíL

Р-

•uXпmax — 1 + X;

3

стт

(19)

(20)

(21)

Если принять, что в момент разрыва преграды ее касательное напряжение тптах по кольцу радиусом Я и толщиной уравновесится предельным касательным напряжением снаряда тстах по кольцу радиусом Я и толщиной 2уЯ , то получим зависимость для определения 5:

2

X

2

2пЯ8 • т = 2пЯ • 2 у; • т

^ пшах ^ у Я сшах ?

откуда

8 = ^^ ~я . (22)

т

пшах

(8

Продифференцировав-— выражение (22) и приравняв его к нулю, получим

dS

^сп

откуда экстремальное значение

К

= 0 =

Г 2т ^

cmax

т

V nmax J

dy R dk___

2 ( knmax — 1 I

13

. (23)

Так как Хсшшэ < 1 (сжатие эллипсоида), то, с учетом (13), получим экстремальное значение относительного сужения при разрыве преграды:

2У^ = 0,2087...; =(32у

= 1 = [") = 0,20Ü7...; knm,x = (%)"'. (24)

Таким образом, если уп<упэ, то Хсшт рассчитываем по формуле (23), а еслиуп > упэ, то считаем, что снаряд не деформирован, и принимаем Хсшт = 1. Тогда энергия деформирования снаряда (при о = осшт э) составит (8):

^ = V ис, (25)

где объем снаряда, м3:

V =

4nR3

Средняя относительная энергия деформации снаряда, Дж/м3:

2 2 П — П —

U = cm^-— 02c = lnkcmln(^clnkcm^ — 2^).

2Е с

Тогда зависимость (25) может быть представлена с учетом (23), Дж:

Wc = 2Ля31ПАс.э(е 1пХс.э -2002с).

Энергия деформирования преграды Wп состоит из энергии Wп1 (участок её прилегания к снаряду с координатой х е |0; Я^) и энергии WIa с координатой х е |Я; Я ^ (зона пластического деформирования преграды без ее соприкосновения со снарядом). Як - граница пластического деформирования мембраны, определяемая из равенства сил:

2пЯ8Тпшах = 2пЯк 8Т02п,

откуда

— т — о

Я = Я^шж = (26)

т02п 002п

3

В первой зоне (при х < Я) относительное удлинение при сдвиге составит (11), (17):

^ = ^( уп )2 +1-1+ ^ -1

И . х2

стт

2 (Я2 — ^ х2)

1 +

—2 2 Я

— X • О

откуда ^п --4=2г х2.

2Я

Относительная энергия пластической деформации (формулы (7), (8) и (9)):

и =

Т То2 = ^(О^п — 2о02п) - 022^ х2

G

-2

Я

(27)

т. е. из уравнения (27) можно заключить, Дж/м3:

и = и.

п —2

Я

где ип — относительная энергия пластической деформации преграды при ее разрушении:

и =

2 2 2 2 т — Тт о — От

птах 02п _ птах 02п

Gп

2Е п

1п (1 — Уп ) [Еп 1п (1 — ^п )— 2О02п ] .

Истинное нормальное напряжение материала преграды при его разрушении

Оптах = О02п + Е lnXпmax = О02п — Е 1п(1 — Уп) .

Отсюда энергия на участке х е [0,я], Дж/м3:

(28)

Жп1 = |2пxdxS•и = -5Я ип

* О

-«Ъ2ТТ _-5Я (оПmax — о22п)

2 4Е п

Во второй зоне х е |Я, Як ] касательные напряжения в преграде

(29)

Я

х

(30)

Из уравнений (8) и (30), по аналогии с уравнением (29), получаем, Дж:

Я I

Жп2 = I 2-xdx-

(тп — т22П )_ -5Я2ОПп

О п

2Е п

2 • 1П-

■ — 1 +

V Опmax J

(31)

Тогда из уравнений (29) и (31) получаем:

Жп = Жп1 + Жп2 = 5 • Кп

где Кп - коэффициент энергии деформации преграды, Дж/м:

К = - я

К п=т

2

1^2 1г, Опт* (ОпmaX О

2Опmax 1П---

2 ' 02п

О

02п

(32)

4

X

стт

+

х

2

х

Я

Т = т

п пmax

О

Я

Энергия перемещения снаряда Жп с может быть вычислена приближенно, Дж:

= ^ Н

2

где Fmax - максимальное усилие растяжения преграды в момент ее разрыва, Н:

(33)

F = 2nRSx = 2п RS-

73 •

Касательное напряжение на участке х е |Я; Як ^ составит (30):

(34)

R

Gn

тп = Tnmax = Т02п + Gn lnkn = T02n + ~ln

х 2

1 + (УП)2

откуда, рад:

Уп =

2 Г R ^ —1

exp G т--т ^max 02п

х

п V / J

(35)

Я

При х = Як, тпшах Я = т02п , откуда У'п= 0 .

Як

При х=Я, из уравнения эллиптической формы деформированного снаряда (18), у'= уЯ

и у'= уЯ.

Тогда уравнение (35) типа уп = Д(х), при невозможности решить его прямым интегрированием, можно аппроксимировать в виде функции, м; 1/м:

уп = а( х - Як)п,

у' = ап(п -1)(х - Як)п-2.

При граничных условиях

х = Як, уп = 0; х = Я, уп = Н; уп = уЯ; у; = уЯ,

получаем, м:

Тт t R

H = — у- —

S R

П

nmax _1

V J02n J

(36)

где

n = 1 +

Г RyR V Г

V kcmin R J

V П02п

—1

(37)

Уравнение энергии перемещения снаряда (33), с учетом (34) и (36), примет вид, Дж/м:

Wп.c = 8 • Кис (38)

где Кп.с - коэффициент пропорциональности в энергии по перемещению снаряда:

n

П

nmax

-2

= — -Я Оп

(

у/3 •>

Опmax _1

V О02п

Толщину пробиваемой преграды находим из формулы (14) с учетом (32) и (38):

Ж — Ж

5 = Ж Ж (39)

К п + К п. с

Пример

Найти максимальную толщину преграды 5, высоту подъема краев пробоины Н и радиус зоны пластической деформации Як из стали Ст3 (стВ п = 3,72-108 Па; а02 п = 2,2-108 Па; ¥ п = 0,6), которую преодолевает свинцовый шарик (Я = 8 •10—3м; р = 1,134 • 104кг/м3; стВ с = 5• 107 Па; ст02 с = 5• 106 Па; = 0,9) при скорости столкновения с преградой V = 320 м/с.

Решение

1. Согласно формуле (24), т. к. уп = 0,6 > упэ = 0,2087, считаем, что деформацией снаряда при столкновении можно пренебречь, т. е. принимаем: минимальное относительное удлинение снаряда - Xcmin = 1; энергия его деформации - Жс = 0.

2. По формуле (5) при оВ = оВпи о02 = о02п определяем пластический модуль материала

преграды: Еп = 7,619 • 108Па.

3. По формуле (28) определяем истинное нормальное напряжение материала преграды при его растяжении: опт^ = 9,181 • 108 Па.

4. По формуле (13) определяем относительное предельное удлинение материала преграды при ее разрыве: Xпmax = 2,211.

5. По формуле (20) определяем координату по оси х места разрыва преграды: Я = 7,135 •10—3м.

6. По формуле (15) определяем кинетическую энергию снаряда: Жк = 1,2452 • 103 Дж.

7. По формуле (32) определяем коэффициент энергии деформации преграды: Кп = 2,080-105 Дж/м.

8. По формуле (21) определяем производную кривой деформации преграды прих = Я : уя =—1,9719.

9. По формуле (37) определяем степень аппроксимационной кривой: п = 7,257.

10. По формуле (38) определяем коэффициент пропорциональности в энергии по перемещению снаряда: Кп.с = 6,860-105 Дж/м.

11. По формуле (39) определяем толщину пробиваемой преграды: 5 = 1,393-10"3 м.

12. По формуле (36) определяем высоту подъема краев пробоины: Н = 6,152 • 10—3 м.

13. По формуле (26) определяем радиус зоны пластической деформации: Як = 2,978-Ю"2 м.

Эти параметры соответствуют экспериментальным данным [1, 2].

Заключение

В результате исследований получены алгоритм и методика расчета оптимальной толщины пластической преграды, пробиваемой сферическим телом, с использованием минимума физико-механических и кинематических характеристик материалов преграды и сферического тела. Методика не требует проведения дорогостоящих баллистических испытаний, что позволяет прогнозировать выбор материала преграды. Пример расчета демонстрирует большие возможности методики для применения в отраслях, связанных с охранной деятельностью и изготовлением защитных листовых покрытий.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Широкорад А. Б. Энциклопедия отечественной артиллерии. Минск: Харвест, 2000. 1156 с.

2. Андреев А. Г., Жигалов Н. Ю. Судебная баллистика и судебно-баллистическая экспертиза. Волгоград: ВА МВД России, 2003. 164 с.

3. Степанов Р. Д. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1979. 560 с.

Статья поступила в редакцию 27.06.2016, в окончательном варианте - 1.12.2016

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Комиссаров Юрий Алексеевич - Россия, 125047, Москва; Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева, д-р техн. наук, профессор; профессор кафедры электротехники и электроники; komiss@muctr.ru.

Малков Георгий Александрович — Россия, 125047, Москва; Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева; канд. техн. наук; доцент кафедры механики; GAMalkov@mail.ru.

Лясникова Наталия Николаевна — Россия, 125047, Москва; Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева; канд. физ.-мат. наук; доцент кафедры механики; lyasn@muctr.ru.

Киселев Михаил Александрович — Россия, 125047, Москва; Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева, ассистент кафедры электротехники и электроники; j_u_s_m@mail.ru.

Yu. A. Commissarov, A. G. Malkov, N. N. Lyasnikova, M. S. Kiselev

THE ALGORITHM OF CALCULATION OF THE SHELL THICKNESS, OVERCOME SPHERICAL BODY

Abstract. The algorithm of calculation of the maximum thickness of the plastic barriers, overcome spherical body with given geometric, kinematic and physical-mechanical parameters, which is based on the analysis of the deformation of a barrier and a spherical body. The technique uses the minimum parameters of the body and the obstacles presented in the relevant references. It does not require expensive mechanical and ballistic tests, based on the calculation of energy balance: energy barriers and deformation of a spherical body, the energy to move the body before the emergence of boundary stresses, leading to the destruction of barriers on the one hand and the initial kinetic energy of the spherical body with the other hand. The example used methodology (algorithm) of calculation, which showed that sufficiently accurate coincidence of the experimental and theoretical data.

Key words: thin-walled plastic barrier, spherical body, kinetic energy, strain energy, plastic module, the maximum of the barriers, the method of determining the thickness.

REFERENCES

1. Shirokorad A. B. Entsiklopediia otechestvennoi artillerii [Encyclopedia of Russian artillery]. Minsk, Kharvest Publ., 2000. 1156 p.

2. Andreev A. G., Zhigalov N. Iu. Sudebnaia ballistika i sudebno-ballisticheskaia ekspertiza [Forensic ballistics and forensic ballistic expertise]. Volgograd, VA MVD Rossii, 2003. 164 p.

3. Stepanov R. D. Soprotivlenie materialov [Strength of materials]. Moscow, Nauka Publ., 1979. 560 p.

The article submitted to the editors 27.06.2016, in the final version - 1.12.2016

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Komissarov Yuriy Alekseevich - Russia, 125047, Moscow; Mendeleev Russian Chemical and Technological University; Doctor of Technical Sciences, Professor; Professor of the Department of Electrical Engineering and Electronics; komiss@muctr.ru.

Malkov Georgy Aleksandrovich — Russia, 125047, Moscow; Mendeleev Russian Chemical and Technological University; Candidate of Technical Sciences; Assistant Professor of the Department of Electrical Engineering and Electronics; GAMalkov@mail.ru.

Lyasnikova Natalia Nikolaevna — Russia, 125047, Moscow; Mendeleev Russian Chemical and Technological University; Candidate of Physical and Mathematical Sciences; Assistant Professor of the Department of Mechanics; lyasn@muctr.ru.

Kiselev Mikhail Aleksandrovich — Russia, 125047, Moscow; Mendeleev Russian Chemical and Technological University; Assistant of the Department of Electrical Engineering and Electronics; j_u_s_m@mail.ru.