CC BY
76
УДК 621.311.001.57
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЖИМОВ РАБОТЫ СИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ САХАРНОГО ЗАВОДА
Коробейников Борис Андреевич д.т.н., профессор
Ищенко Алексей Ильич к.т.н., доцент
Смаглиев Александр Михайлович к.т.н., доцент
Павлюченков Антон Григорьевич студент
Петелина Марина Викторовна студент
Кубанский государственный технологический университет, Краснодар, Россия
В статье выполнено математическое моделирование режимов работы синхронного двигателя в координатах обобщенного вектора. Полученные результаты могут быть использованы для оценки переходных процессов в синхронных двигателях и их влияния на работу систем электроснабжения сахарных заводов
Ключевые слова: КООРДИНАТЫ ОБОБЩЕННОГО ВЕКТОРА, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, МАТРИЧНОЕ УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ, СИНХРОННЫЙ ДВИГАТЕЛЬ,
СКОЛЬЖЕНИЕ, ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ МОМЕНТ
UDC 621.311.001.57
MATHEMATICAL MODELLING OF A SYNCHRONOUS MOTOR USED AT SUGARMILL
Korobeinikov Boris Andreevich Dr.Sci.Tech., professor
Ishchenko Aleksey Iljich Cand.Tech.Sci., associate professor
Smagliev Aleksandr Mikhailovich Cand.Tech.Sci., associate professor
Pavlyuchenkov Anton Grigoryevich student
Petelina Marina Viktorovna student
Kuban State Technological University, Krasnodar, Russia
This article presents a synchronous motor model in generalized vector space. This model can be used to study synchronous motor transients as well as evaluate their influence on sugar mill processing in plant technological process
Keywords: GENERALIZED VECTOR SPACE, MATHEMATICAL MODELING, STATE-SPACE EQUATION, SYNCHRONOUS MOTOR,
SLIP, ELECTROMAGNETIC TORQUE
Высоковольтные синхронные двигатели, применяемые в системах электроснабжения сахарных заводов, оказывают большое влияние на надежность их работы. Математическое моделирование режимов работы синхронных двигателей позволяет прогнозировать режимы работы системы электроснабжения, связанные с пуском и самозапуском электродвигателей, и их влияние на работу системы электроснабжения в целом.
Симметричная модель многоконтурного синхронного двигателя в координатах обобщенного вектора представляется в виде следующего матричного уравнения состояния [1 - 3]: http://ej.kubagro.ru/2014/04/pdf/94.pdf
и = Я • і + Ь • Иі + і • Ь 7. • і
где и=|и иР о о ... 0';
I — ір іг1 іГ 2
Ігп\ .
Я
Я.
Я
Я
гі
Я
Г 2
Я
ГП
Ь
Ь м м м м
м Ьр м м м
м м ЬГ1 м . . м
м м м 2 ЬГ2 . м
м м м м . • ЬГП
Ь—
(0$Ь$ £0ям £0ям £0ям . . £0ям
эщм ЭЮ8Ьр со5м со8м . . эщм
эю5м эю5м Э^ЬГ\ со8м . . эю5м
эщм эщм эщм Э (0<$Ьг 2 . . эщм
эщм эщм эщм эю8м . • Э^ЬГП
(1)
Пї, із~ напряжение и ток статора;
Пр. ір— напряжение и ток возбуждения;
іГі, іГ1, ... , іГп- токи соответствующего демпферного контура ротора;
Я$; Ь$— активное сопротивление и индуктивность статора;
Яр; Ьр— активное сопротивление и индуктивность обмотки возбуждения; ЯГП; ЬГП— активное сопротивление и индуктивность "п" демпферного контура ротора;
Э— скольжение двигателя;
(05- синхронная скорость;
М- взаимная индуктивность.
Для определения электромагнитного момента следует использовать выражение [4]:
(2)
и,
У;
У:
Схема замещения синхронного двигателя приведена на рисунке 1. В указанной схеме зависимые источники равны:
и.
‘ Ет
оф0--
Ер] ^р] Ерп
Ег]п ЕГ12 Ег11
Еупп Егп2 Ет 2
Рисунок 1 - Схема замещения синхронного двигателя При этом зависимые источники ЭДС равны:
- для контура статора:
ESl =
Е82 = ]Щ'М 'Ь',
Es3 ' Ьь
Esn J w M'irn;,
- для контура возбуждения:
efi = Jsws' LF-iF;
EF2 = Jsws- M ■ is;
Efs = J'WM ■ iri;
Esn = Jsws'M ■irn;,
- для контура ротора:
Ernl = JswMis;
Ern2 = JSG)s-M ■iF;
Ern3 =Js w ■ M ■ ir1;
Егпп = ]8^'Ет'1т.
Для явно полюсного синхронного двигателя в симметричном виде электрическая цепь содержит три взаимосвязанных контура, что позволяет получить аналитические выражения для анализа режимов работы. В установившемся режиме математические модели синхронных двигателей значительно упрощаются, так как при синхронной скорости вращения в установившемся режиме токи в демпферных обмотках отсутствуют. Поэтому для явно полюсного и неявнополюсного синхронных двигателей многоконтурные цепи получаются одинаковыми и, в соответствии с рисунком 2, матричное уравнение получается следующее:
иу = КуУ (3)
где Uy =
Usy UFy
V =
1су 1Еу
К
Яс
у
Я
С0сЬс С0$Ы 0 0
и.
1(ІУ^
О—0 0
1Ру
иъ
Ру
Рисунок 2-Схема замещения синхронного двигателя в симметричном виде для установившегося режима
При симметричном представлении синхронного двигателя в координатах обобщенного вектора [4] необходимо решить уравнение состояния в матричной форме (1) с учетом начальных условий, характеризующих данный режим работы.
Однако при учете только одного контура при моделировании демпферной обмотки получение аналитического решения в координатах обобщенного вектора для симметричной модели синхронного двигателя сложно. Математическая модель синхронного двигателя в этом случае должна содержать три взаимосвязанных контура: статора, возбудителя и демпферного. При ненулевых начальных условиях перехода в операторную форму для уравнений состояния имеем:
+ и$ — 2 £ + ТП^І р + 771-^1^; ^20 + /^5 = + т2^Б + т2^С!
^30 = %+ т2' •
І
гр = Ир + (Р + 75^5)1 р:
= Дд + СР+У^Нв.
ТЛі = (Р + /й)5}М;
™а = (р +
Е10 = ¿5 ■ ¿50 + М ■ Ір0 + М ■ і00;
Е2о = ■ ¿го + м ■ ¿50 + М - ¿£)0;
£30 = ¿о ■ ¿£>0 + А/ ■ ¿50 + А/ ■ Ір0;
$ =С-^ф(-1)“.
Тогда в результате преобразований:
р ипс
Первая составляющая тока статора обусловлена ненулевыми начальными условиями, а вторая ¿52 - напряжением питания. После преобразований в операторной форме
_ Е-р2 + в-р + Н 32 ~ А-р3 + В-р2 + С-р + О ' 5’ ^
где
А = ■ Ь,р - Ьв — М2 ■ (_Ьр + ¿д + ¿/5) 4" 2М^;
В — ■ ¿5 + /?5 ■ /,;■) + Яд ■ 1,^ ■ ¿5 —
-М2 • (Д^- + Д0 + Д5) + - [(25 + 1) ■ Л];
С ~ Іїр ' (Дд ■ ¿5 + Д5 ' ¿д) + Д5 ■ і?д — 5 " (5Ч- 2) ■ &>2 ' Л +
"К/^5[(^ 1) ’ ^5 ' №|Г ’ Ьр ' + 25 ' Д5 ' ' ¿о А/2) @ — (5 + 1) ' М2 • (Др + До)]*
О = Д5 ■ Ир ■ Дс - 52 ■ <у| ■ Д5 ■ (¿г ■ - А/2) -
—я ■ &)45*2 • Мт2 ■ (Д4ґ + Д^О ) + [5 • Д|5 • (Д^ґ ■ ¿¿О + Д^О ■ ) +
£■=/?■ М(М — ¿с) + (¿г ■ — А/2);
¿7 = Д4Г" Д^О ■ ^ ■ А/ ■ Д]Б + " 5 ■ " LjD — А/^2 ) -4-
я = д*. ■ Дп - 52 • 0)і ■ Ир ■ ¿0 - М2) + 5 ■ ШІ ■ (М - 1„) ■ /? - А/ +
Составляющая тока, обусловленная ненулевыми начальными условиями:
к -р2 + Р-р + <з
где к =
lsi А ■ р3 + В ■ р2 + С ■ р + D'
— LD) ■ М ■ Е20 + (Ai — ¿о) • Ai * £3о + (.Lp ■ ¿о — Ai2) •
Р = [-М • Rd + jù)s - (s + 1) • Ai - (AÎ - Lf)] ■ E20 +
+[-M ■ Rf + jù)s - (s + 1) • M ■ (Ai - Ld)] ■ E20 + h[iîF ■ Ld + Rd - Lp + j - s ■ (Os ■ (Lf ■ Ld — Ai2)] • E10l
Q = [-s ■ <y| ■ M - (Ai - ¿0) -0)s- M ■ Д0] • +
+[-s ■ <w5 ■ Ai - (Ai - Lf) -0)s- M ■ Rf] ■ E30 +
2 . /.»? • (i _ . ¿n Ai2) + @ + y'£i|s ■ (Др ■ Ld + Дд ■ L^-)] • E10.
1 Дс
S£ 1 ÉjJ 1 {¿p ■ L-д
Для определения ненулевых начальных условий необходимо решить следующую систему уравнений:
Uso — Zso ■ iso + m
10 lF0
+ m
10 lD0’
. Л
0 =z
D0 1 £50
Inn + m20 • I50 + m20 ' l/0*
где
Z50 = Rs + /£1)5 ■ Ls;
Zpa = Rp +js,g ■ ü)s ■ iF;
Zпа ~ До + 7so ' ’ Lq;
m1D = ■ Ai;
m20 = js0 ■ 0)s ■ M.
После преобразования ток статора
; -*-и
ÎÇfl — т%
х50 ~ п ^0' ^ '
иО
где Н0,00 определяются как и ^ D при ^ = ^0.
Начальные токи обмоток возбуждения и успокоительной:
1
P-Z
D 0
т
20 О
-m?
F О
F0 " ZDO ~ ïriia ZFo'ZdO~™2
о ’>»1 г, . „ oj
‘по
(1П20 ' Ст20 -2Ро) Но _ т20 ' Р \ _ Ц
ч ‘ “ т?о О0 2р0 • Zд0 -т20/
Ток возбуждения в операторной форме содержит следующие составляющие:
= + ^2'
где 1р1 -составляющая от питающего напряжения;
1р2 -составляющая, обусловленная ненулевыми начальными условиями.
При этом
К
Ер - р2 + Ср - р + Нр
(Кр ■ р2 + Рр - р + <?р) • (Е - р2 + С - р + Я)
"(Ер ■ р2 + вр ■ р + Нр) ■ (Л ■ р* + В ■ р2 + С ■ р + О)
где
Ер = ¿ д -¿р — М2;
Ср = [.[)■ Яр + Ьр - Дд + 7'2 ■ 5 ■ * Ер;
Яр = Др ■ Дд — 52 ■ <У2 ■ Ер + ¡5 - - Др + Ьр - Дд);
Рр = М - Дд + }2 5 ■ 0)Б ■ Кр;
(?р = 52 ■ ■ (А/ — ¿д) • А/ + ;$ ■ ■ М ■ Дд.
Составляющая тока возбуждения, обусловленная ненулевыми начальными условиями, равна
Его ' + Еэо ■ т2
Ер-р2 + Ср-р + Нр
(Ер ■ р2 + Др ■ р + (?р) ■ (Е ■ р2 + Д - р + (?) ?р ■ р2 + Ср ■ р + Яр) • (Л ■ р3 + В ■ р2 + С ■ р +
Применяя формулу разложения к выражению для тока статора в операторной форме можно получить изменение этого тока во времени:
Е - р2 + (7 - р; + Я
■ 4Л ■ р? + ЗВ ■ р? + 2С - Р; + О
ехрр!'? +
где р— корни характеристического уравнения
р ■ (Л ■ р3 + В ■ р2 + С ■ р + О) = 0.
При этом в операторной форме напряжение питания следующее
Изменение тока возбуждения является более сложным в переходном процессе:
1*(0 = > —-----=---—-------— ■ ехр^ -
ЪЕР - р] + 2СР - Р] + НР
(*> ' Ру + рР ■ Р} + <?г) • 1 (е-з э? + £7 - р; + я] [ ■ ехрр?
6 А * Ер - р^ + $ (Ер - В + Ср - Л) 'Р. М [¿’.гг ■ С + Ср ■ В + Нр - Л) ■ 4р3 +
-*2 0
1=2
' %р± + ^30 2£:Р ■ р + ^
■ т,
7=2
(л> ■ р] + Р,г ■ Р; + <?,■) • ■ р/ + Р ■ р] + (?) ■ ехр
5 А- Ер- ру + 4 Pj • (Ер ■ В + йр ■ А) + Зр] (Ер - С + йр ■ В + Нр
где р2, рз - корни характеристического уравнения Ер - р2 + йр - р + Нр = 0;
Рз= 0,
где р5, р6 - корни характеристического уравнения http://ej.kubagro.ru/2014/04/pdf/94.pdf
A-p3+B-p2 + C- p + D=0.
Приведенные выражения для токов iS(t) и iF(t) являются универсальными. Изменяя начальные условия можно получить конкретные выражения для токов соответствующих режимов при Si = const .
При пуске синхронного двигателя необходимо учитывать только составляющие токовТ^ и 1Р1в начальной стадии пуска в течение около 0,2 с.
Пусть необходимо определить ток статора при пуске синхронного двигателя типа СТД-1000 со следующими параметрами:
LS = 0,003702;
Lf = 0,006060;
M = 0,0025;
Rs = 0,04232;
Rf = 0,035514;
Rd = 0,045;
Ld = 0,00277.
В начальной стадии пуска при s = 1 корни характеристического уравнения следующие:
Pi = 0;
P2 = - 3,72 - 73,14;
р3 = - 188,2 - j314;
р4 = - 16,2 - j314,
тогда выражение для тока статора в начальной стадии переходного процесса в координатах обобщенного вектора:
+ (-2,3 + 73,84) ■ exp<-188’2-;314)t + (-0,053 + /1,04) ■ exp(-16'2-'314>t.
Для тока статора фазы «а» переходя от координат обобщенного вектора к фазным координатам:
72 -t
2 Зехр~18 -i6,2-t
Ток статора содержит периодическую составляющую и сложную апериодическую составляющую, имеющую три затухающих тока с различными постоянными времени.
Полученные результаты могут быть использованы для анализа переходных процессов в системах электроснабжения сахарных заводов.
1. Гаррис М., Лоуренсон П., Стеренсон Д. Система относительных единиц в теории электрических машин. М.: Энергия, 1975. 120 с.
2. Стрижков И.Г. Основы теории синхронных машин с несколькими обмотками на статоре / И.Г. Стрижков // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2012. - №10(84). С. 469 - 507. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2012/10/pdf/36.pdf
3. Сивокобыленко В.Ф., Павлюков В. А. Параметры и схемы замещения асинхронных двигателей с вытеснением тока в роторе //Электрические станции, 1976. № 2.
4. Ковач К.П., Рац И. Переходные процессы в машинах переменного тока. М.-Л.: Госэнергоиздат,1963. 744 с.
1. Garris M., Lourenson P., Sterenson D. Sistema otnositel'nyh edinic v teorii jel-ektricheskih mashin. M.: Jenergija, 1975. 120 s.
2. Strizhkov I.G. Osnovy teorii sinhronnyh mashin s neskol'kimi obmotkami na statore
/ I.G. Strizhkov // Politematicheskij setevoj jelektronnyj nauchnyj zhurnal Kubanskogo gosu-darstvennogo agrarnogo universiteta (Nauchnyj zhurnal KubGAU) [Jelektronnyj resurs]. -Krasnodar: KubGAU, 2012. - №10(84). S. 469 - 507. - Rezhim dostupa:
http://ej.kubagro.ru/2012/10/pdf/36.pdf
3. Sivokobylenko V.F., Pavljukov V.A. Parametry i shemy zameshhenija asinhronnyh dvigatelej s vytesneniem toka v rotore //Jelektricheskie stancii, 1976. № 2. S. 51-54.
4. Kovach K.P., Rac I. Perehodnye processy v mashinah peremennogo toka. M.-L.: Gosjenergoizdat, 1963. 744 s.
Список литературы
С. 51-54.
References
