Математическое моделирование прямого и обратного ударного перемещения режущего инструмента Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

© И.Н. Миков, Л.П. Осипова, Н.Н. Стефанова, 2006

УДК 622.02:621.9.01

И.Н. Миков, Л.П. Осипова, Н.Н. Стефанова

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРЯМОГО И ОБРАТНОГО УДАРНОГО ПЕРЕМЕЩЕНИЯ РЕЖУЩЕГО ИНСТРУМЕНТА

Семинар № 23

Для получения на поверхности хрупкого материала полутоновых и штриховых изображений механическим путём, с использованием станка, применяют методы гравировки [1], - нанесение изображения резанием (долблением, с удалением стружки или пыли). Растровое гравирование реализуется посредством электромеханического преобразователя. Он состоит из магнитопро-вода, якоря с долбяком, пружин и катушек. Ток управления 11 создаёт катушкой ■ 1 электромагнитное импульсное усилие Р3М. Якорь с долбяком, имея массу т^ преодолевает зазор Д н между остриём дол-бяка и поверхностью минерала, разгоняется и в момент удара имеет энергию р. Долбяк внедряется в минерал на величину Д Ид, оставляет воронку разрушения, имеющей площадь 8рг. Обратный ход долбяка (- 7) реализуется одним из двух путей: 1) при однокатушечном исполнении (■2= 0, 12 = 0) обратный ход долбяка обеспечивается пружиной (РВозврта = Рджины); 2) при двухкатушечном исполнении (■2 Ф 0, 12 Ф 0) обратный ход долбяка обеспечивается возвратной катушкой (Рвозврата = Рэ/м

возврата-Рпружины) •

Долбяк с пружиной представляют собой колебательную систему, изображённую на рис. 1. Она может быть описана

Рис. 1. Схема колебательной системы с источником рассеяния энергии.

дифференциальным линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Такое уравнение имеет вид [2]:

шх" + Гх' + СХ = Р БШ(ю1) (1)

где ш - масса, кгсек2/м; г - коэффициент пропорциональности между силой сопротивления и скоростью, кгсек/м; с - коэффициент жёсткости пружины, кг/м; Р вт(о>1) - возмущающая гармоническая сила.

Уравнение (1) характеризует вынужденные колебания, если Р $т(о>1) = 0, то колебания будут свободные.

Решением уравнения (1) для свободных колебаний будет выражение (2):

Х (?) = ёаХ (х(0)С05Ю1/1 + [Х (0) +

+ах(0)]/ю1]5/п ю^} = ае"а4 ^чп^^ + 91) (2) а = т/([х(0)]2 + [Х (0) + ах (0)]/ю1]2 ) где х(0), х (0) - начальные отклонения и скорость; а - коэффициент затухания; ф! -начальная фаза; = у( ю0 - а2 ) - частота

собственных затухающих колебаний; ю0 = У(с/ш) - частота собственных колебаний.

Рассматриваемая система «якорь-пружина-катушка» является электромагнитным механизмом. В теории автоматического регулирования (ТАР) её движение описывается уравнением (3) [3]:

шх" + гх' + ¥П ( х) = ¥э (/, х), (3)

где ш - масса подвижных частей; г - коэффициент трения; - сила пружины; ¥э -

электромагнитная сила (тяговая характеристика электромагнита, зависящая от хода якоря х и управляющего тока в катушке

0В ТАР рассматриваются переходные характеристики звеньев, которые являются их реакцией на единичное ступенчатое воздействие. Поэтому можно говорить о вынужденных колебаниях. С другой стороны уравнение динамического (любого) звена второго порядка записывается в виде (4):

й2 х<ь[ ' ' + й! х*[ ' + аох^[ = Ьох в[ (4)

При корнях, когда а12 < 4 а0 а2, звено второго порядка называется колебательным.

Первая форма записи этого звена

Т хвых + 2‘гТхвых + хвых = кхвх (5)

Вторая форма записи этого звена

хвых + 2‘г®0хвых + ®0хвых = ®0 кхвх (6)

где Т = ^(а2 / а0 ) - постоянная времени; С, = аг/2А (а2а0) - относительный коэффициент затухания; к = Ь0/а0 - коэффициент усиления звена; ю0 = 1/Т = л/(а0/а2 ) - частота собственных колебаний звена [1/сек].

Для механической системы [2] вводятся следующие обозначения: а2 = ш, а1 = г, а0 = с, Ь0 = 1, к = Ь0/а0 = 1/с, Т = л/(ш/с ), ю0 = А(с/ш), 2СТ = г/с, С, = г/2^(ш с).

Примем обозначение (оригинал) единичного ступенчатого воздействия - хвх (?) = 1(0, а обозначение реакции звена (оригинал) на это воздействие - хвых (?) = й(/).

На основе теории колебаний и автоматического регулирования для моделирова-

ния воспользуемся формулой (5), записанной в виде (7):

Т ■ к"(і) + 2 ■ £■ Т ■ к(і) + к(і) = к (7)

где Т = Vт / с , к = 1/ с; £ = 0.7 - коэффициент затухания (демпфирования). Из всех переходных процессов для различных £ оптимальным является процесс при £ = 0.707. Он имеет наименьшее время регулирования ґр ~ 3Т [3].

Решение уравнения (7) - переходная характеристика (функция) колебательного звена, т.е. системы «долбяк (якорь) - пружина - катушка».

Рассмотрим движение долбяка для одно- и двухкатушечного преобразователя. В расчётах примем А н = 0,25 мм, А кд = 0,1 мм, т = 0,005 кгсек2/м.

При £< 1, корни комплексно сопряжённые и решение уравнения (7) имеет вид:

Н(і) := -к

1 -

(8)

• :=>/ 1 - £ , Ф = аг^ (г/ С).

при Г :=У 1 - £ , Ф :

На рис. 2 приведены переходные характеристики (графики к(ґ)) для различных величин жёсткостей пружины с. Так, чем меньше жесткость, тем время, потраченное на преодоление некого пути к (технологического зазора), меньше.

Скорость долбяка у(ґ) = к’(ґ) является производной от перемещения к(ґ), выраженного формулой (8). Она зависит от жёсткости пружины с (рис. 2) и определяется уравнением (9):

-к -£

V) = — е

гґ

г 008 | Гт + ф!-^§ІП I Гт + ф

(9)

По графикам (рис. 3) видно, что при жесткости с>1000 кг/м якорь при проходе технологического зазора тормозится, а не

е

Г

Рис. 2. Переходные характеристики колебательного звена к (і) (якоря с долбяком и сильфонной подвеской) для электромеханического преобразователя

---- 0-2970 кг/м

..... 0=2000кг/м

---с-1000 кг/м

..... ст1 кг/м

---- сЧ).0001 кг/м

Рис. 3. Графики скоростей долбяка при различных значениях жёсткости пружины

разгоняется и его скорость в момент касания с заготовкой снижается с увеличением жёсткости. Что бы обеспечит необходимую для внедрения в материал величину кинетической энергии, он вынужден работать с большими токовыми импульсами, перегреваясь.

После, прохождения технологического зазора, начинается внедрение, и приведённая жесткость пружины с меняет своё значение и становится ск = 10000 кг/м.

и с

----- с=10000 кг/м

Рис. 4. Переходная характеристика на участке внедрения в материал

Здесь ск - это приведённая жесткость.

Её вводят для учёта упругих деформаций в момент касания с заготовкой и деформаций разрушения материала во время внедрения. Тогда меняется переходная характеристика якоря. Она представлена на рис. 4.

После преодоления расстояния равного А н + А кд = 0,35 мм. Долбяк начинает

Рис. 5. Переходные характеристики колебательного звена к (і) при возвратном движении долбяка (а - однокатушечный преобразователь, б - двухкатушечный преобразователь)

возвратное движение. Причём рассмотрим 2 случая:

1) однокатушечный преобразователь - возврат долбяка осуществляется только за счёт пружины. Аналогом являются свободные колебания в системе (рис. 5, а).

2) двухкатушечный преобразователь - возврат осуществляется второй катушкой. Колебания в системе становятся вынужденные (рис. 5, б).

Сведём данные о движении якоря в табл. 1.

В первом случае (1 катушка) при увеличении значения жесткости пружины с, уменьшается время возврата якоря (рис. 5, а). При единичном воздействии (2 катушки), приложенном к системе, получаем сокращение времени, за которое якорь проходит необходимое расстояние (рис. 5, б) при тех же жёсткостях Увеличение жёсткости пружины приводит к увеличению времени возврата.

При жёсткости пружины однокатушечного преобразователя с1=2!03 и двухкатушечного - с2 =2,97-103, видим

(В

§■

£

х

I

1

с

5

%

I

к.??

С

ж § 2 £ £ Ь

* £ о

г

я .9* р'в

м

I

£.=■ В ^ >8 £ 3 ф

| В

(У 0

Н

5 \о 7 О

Я X X «

я 5

И „

§1 г а

- ь

м ^

§ X |8

I £ £ I

X (О

а

* \

и

а

(С

л

I?

СМ

ю

со

со

40

Г^-

сь

см

V

к*

см

1-0

(С

V

л

10

см

со

к

V

к*

со

V -5

ш

00

о

А

Л

см

40

см

40

о

т—I *

гН

\о

ОС

Л

’Г

о

(рис. 5), что время возвратного движения

будет одинаково для случая 1 и 2. С увеличением жёсткости пружины надобность во второй катушке отпадает. Однако при значениях порядка 103 и выше электромагнит начинает нагреваться. Использование второй катушки и пружины с жёсткостью меньше 103, позволяет работать с более слабыми токами и без нагрева преобразователя. Из таблицы видно, что сократить время обратного движения долбяка можно либо за счёт использования однокатушечного преобразователя с более жёсткой пружиной, либо двухкатушечного преобразователя - с менее жёсткой.

Переходные характеристики якоря при прохождении технологического зазора, внедрении в материал и возврате в исходное положение представлены на рис. 6 при жесткости пружины сз= св = 103 кг/м ( ) и 1 кг/м (- -), ск = 104 кг/м.

Суммарное время прохождения технологического зазора, внедрения в материал и возврат якоря в исходное положение соответствует периоду растра.

Из анализа таблицы и рис. 6. видно, что при жёсткости пружины порядка 103 кг/м, она начинает работать на возврат и наличие второй катушки лишь сокращает период растрирования в 1,8 раза. Однако при малой жёсткости, порядка 1 кг/м, для возврата долбяка в исходное положение необходимо наличие второй катушки.

При использовании двухкатушечного преобразователя с пружиной малой жёсткости период растра минимален. Но такая пружина в использовании технологически опасна, к тому же её трудно изготовить. Из рис. 2. и рис. 5. видно, что переходные характеристики процессов при с = 1 кг/м и с = 0,0001 кг/м расположены близко и расхождение во времени для них мало.

Итак, для оптимальной работы электромеханического преобразователя без перегрева с минимальным временем прямого и обратного хода якоря, составляющим период растра, требуется нали-

Рис. 6. Переходные характеристики долбяка в процессе отработки сигнала - нанесении лунки на поверхность материала

чие второй катушки и пружины малой жёсткости (с порядка 1 кг/м).

Скорость перемещения по строке и период растра обратно пропорциональны [1]. Производительность гравирования

1. Технология и станок для растровой факсимильной гравировки минералов. Миков И.Н., Осипова Л.П. - Сборник трудов IV международной научно-технической конференции "Теория и практика добычи, обработки и применения природного камня", Магнитогорск, 2004, стр. 210 -221Ф.М.

напрямую зависит от скорости. Уменьшая период растра, увеличиваем скорость гравирования, а значит, поднимаем производительность процесса, причём всё это происходит без потери качества.

--------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

2. Диментберг, Шаталов К. Т., Гусаров А.А. Колебания машин. - М.: 1964

3. Красовский А.А., Поспелов Г.С. Основы автоматики технической кибернетики. - М.:, Изд. ВВИА имени проф. Н.Е. Жуковского, 1961.

— Коротко об авторах

Миков И.Н. - доктор технических наук, доцент, кафедра «Технология художественной обработки материалов», Московский государственный горный университет.

Осипова Л.П. - аспирант, кафедра «Технология художественной обработки материалов», Московский государственный горный университет.

Стефанова Н.Н. - аспирант, ГГУ, Болгария, г. София.