CC BY
27
УДК 536.416
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПОЛУЧЕНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СПАЕВ СТЕКЛА С МЕТАЛЛОМ
© 2016 С.А. Дрюк, О.Н. Любимова Дальневосточный федеральный университет, г. Владивосток
Статья поступила в редакцию 25.03.2016
В статье предлагается математическая модель для определения параметров технологического режима изготовления длинных стеклометаллокомпозитных стержней. При постановке задача разделяется на две: стационарного течения вязкой жидкости по трубе круглого сечения и определения термических напряжений и деформаций в экспериментальном образце стеклометаллокомпозита в процессе остывания.
Ключевые слова: математическое моделирование, вязкая жидкость, термические напряжения, термические деформации
Развитие многих отраслей современного производства, в том числе строительной индустрии, связано с разработкой новых материалов, обладающих высоким комплексом механических свойств при экономической целесообразности. Предварительные теоретические и экспериментальные исследования свидетельствуют о перспективности разработки многослойных конструкционных материалов на основе стекла и металла (стали, алюминия и титана) - стеклометаллоком-позитов (СМК) [1, 2]. Материалы такого типа могут эффективно применяться в судостроении, химическом машиностроении и строительной индустрии. На текущем этапе материал находится в стадии экспериментальной разработки, исследуются технологические параметры получения экспериментальных образцов на основе стекла и стали, стекла и алюминия, и их физико-механические свойства. Смоделированы технологические режимы изготовления коротких СМК стержней до 250 мм и трехслойной цилиндрической оболочки - алюминий-стекло-алюминий. Стержни состоят из стальной оболочки (толщиной 0,8-2 мм) и стеклянного сердечника (диаметром 8-16 мм), технологический режим их изготовления предполагает прессование стеклянного сердечника при температуре размягчения стекла. Трехслойные цилиндрические оболочки изготавливаются при высоких температурах методом цен-трефугирования (послойного нанесения слоев из расплавов материалов).
Цель работы: построение математической модели для определения параметров технологического режима изготовления длинных СМК стержней методом протяжки расплава стекломассы в стальную трубку.
Постановка задачи. Основная идея получения длинных СМК стержней заключается в заполнении стекломассой металлического цилиндра при температуре размягчения (точки Литтлтона) стекла с последующим созданием спая сжатия при остывании образца. Для изготовления длинных стержней требуется создать особые условия ввиду технологической сложности равномерного наполнения металлического цилиндра вязкой стекломассой: при вертикальном заполнении сверху образуются воздушные прослойки, а при горизонтальном положении образца вероятно неравномерное распределение остаточных напряжений. В качестве оптимального способа наполнения металлического цилиндра расплавом стекла был выбран способ, схематично приведенный на рис. 1. В камеру
Дрюк Сергей Андреевич, аспирант. E-mail: druk92@mail.ru Любимова Ольга Николаевна, кандидат физико-математических наук, профессор. E-mail: berms@mail.ru
термической печи 1 устанавливается тигель 2 со стеклянной шихтой. При определенном температурном режиме шихта расплавляется, образуя вязкую однородную стекломассу 3. Через поршень 5 с отверстием для образца 4 передается давление Р1, которое позволяет выдавить вязкую стекломассу внутрь образца (рис. 1б). После заполнения стекломассой определенного объема начинается охлаждение экспериментального образца, в процессе которого на его верхний торец, с целью создания определенного уровня напряжений, подается давление P2.
В данном технологическом режиме моделированию подлежат следующие параметры: Tw - температура размягчения стекла, при достижении которой начинает подаваться давление; Р - давление; п - вязкость стекла при температуре Tw; V - свободный объем внутри образца до эксперимента; t1 - время, за которое при данных параметрах стекломасса заполнит весь свободный объем, эволюция напряженно-деформируемого состояния экспериментального образца в
процессе охлаждения при ^ - ]•
Математическая модель. Для определения параметров технологического режима разделим задачу на две несвязанные:
- стационарного течения вязкой жидкости по трубе круглого сечения (одинакового вдоль всей длины трубы), t е [0-£i],Tv = const (рис. 2);
- определения термических напряжений и деформаций в экспериментальном образце стеклометаллокомпозита в процессе остывания, ^ температура зависит от времени T(t) (рис. 2).
Первая задача в случае параллельного течения вязкой жидкости между неподвижными стенками носит название пуазейлевого течения и при определенных допущениях имеет аналитическое решение [3]. Для трубы кругового сечения аналитическая зависимость скорости течения в зависимости от давления, характерного размера и вязкости имеет вид:
где и - скорость течения жидкости; АР - разница давлений между верхним и нижним торцами образца; l -длина образца; R - внутренний радиус образца; г - текущий радиус.
Масса Q вязкого стекла, протекающего в 1 секунду через поперечное сечение образца равна
(2)
где О - масса вязкого стекла; р - плотность стекломассы, тогда время заполнения свободного объема V стекломассой вычисляется по формуле:
V _ кЯ21 _ Йг1
9 2пр ГР сЕг ЗГ^г-иеЕг
(3)
Задача может быть существенно усложнена предположением, что при заполнении стекломассой металлического цилиндра ее вязкость изменяется по высоте.
в)
Рис. 1. Схематичное изображение установки для создания экспериментальных образцов СМК стержней:
а) принципиальная схема установки - 1 - корпус печи; 2 - тигель; 3 - стекломасса; 4 - образец; 5 - поршень; б) процесс постепенного заполнения образца; в) полностью заполненный стекломассой образец, с установленным на стеклянном торце поршнем 6 для передачи давления Р2
Рис. 2. Режим изменения температуры и давления: Тш - температура размягчения стекла; Tg -температура стеклования; Те - температура среды
Исследование термических напряжений СМК заключается в определении напряженно-деформируемого состояния в составном цилиндре при изменении температуры. Предположение, что напряжения не оказывают существенного влияния на температуру, позволяет решать последовательно следующие задачи: задачу определения температурных полей в материале; краевую задачу определения напряженно-деформируемого состояния для слоистого материала с температурными и структурными неоднородностями.
104.84
104.83
104.;
104.81
104.80
т.°с
\
1 = 260 мин \
\
\
\
____
4 4,8 г, 10 м
а)
540 530 520 510 500 190 480
\
\
1 =260 \ мин V
\
\
0
4 4.5 ! Ю м
б)
Рис. 3. Пример распределения температурных полей в СМК в фиксированный момент времени: а) при а < 80-10-3 м; б) при а > 80-10-3 м
Определение полей температуры для слоистых материалов заключается в постановке краевой задачи теплопроводности, с учетом изменяющихся теплофи-зических характеристик и условием идеального контакта на границе разных материалов и равномерного нагрева вдоль образующей [5]. Результатом решения
температурной задачи являются пространственно-временные поля распределения температуры ^г, £), с учетом которых далее решается задача определения напряжений и деформаций. Решение температурной задачи показало, что для диаметров образцов d < 80-103 м температура незначительно изменяется по диаметру композиционного стержня и ее можно считать не зависящей от радиуса (рис. 3), что позволяет сделать предположение о том, что в целом температура внутри стержня может быть задана как температура режима, т.е. Т = Тф.
Математическое моделирование охваты-вает временной период от момента перехода стекломассы в стеклообразное состояние Tg до полного остывания стеклометаллокомпозита (см. рис. 2). Считаем, что стекло находится в упругом состоянии, а металлическая оболочка при достижении определен-ного уровня напряжений - в состоянии упругопластичес-кого деформирования. Деформирование двуслойного цилиндра в процессе остывания является следствием разницы механических характеристик материалов и давления на стеклянный сердечник распределенного по верхнему торцу (рис. 1в). Геометрия цилиндра позволяет сделать предположение о осесимметричной деформации цилиндра. Поэтому краевая задача механики в упругой области состоит из уравнений равновесия записанных в цилиндрической системе координат
сг„„ — сг__
= О,
(4) ди^ dz'
(5)
соотношений Коши
IL
'99
2 \дг уравнений состояния
-xfi
дг " г
1 fduz 1 Эиг\ + 1
dz Г
гдн an, özz, афф, özr, en, ezz, ew, ezr, ur, ur - компоненты тензоров напряжений, деформаций и перемещений, соответственно, отличные от нуля вследствие предположения осесимметричной деформации и являются функциями от координат r (радиус), z (длина), t (время); а -коэффициент линейного температурного расширения,
X, р - параметры Ламе, зависящие от механических свойств материала. Поскольку в нашей задаче рассматривается двухслойный цилиндр, выполненный из различных материалов (см. рис. 1в), механические характеристики для СКг^/ имеют вид:
а А , = [ ^ г ^ п>
Краевые условия на границе сопряжения двух разных материалов записываем, предполагая, наличие идеального контакта:
атт(г1 ~ О-^О = «гг(*1 + иг{гг- 0,г, 0 =иг(г± + 0,г, с).
Краевые условия на внешней боковой поверхности и на торцах запишем, учитывая равномерно распределенное давление на стеклянный сердечник со стороны верхнего торца, и отсутствие нагрузки на внешней поверхности цилиндра и на нижнем торце
<г„.(г2,г,|) = 0, 0 <е<1,
■: - ■ - ■:■ (8) Начиная с некоторого момента времени при охлаждении образца в нем формируются напряжения за счет разницы коэффициентов линейного температурного расширения и модулей упругости первого рода, которые приводят к процессу пластического течения в металлической оболочке. В таком случае уравнения равновесия (4) необходимо интегрировать отдельно в
области пластического течения г е [грг2] и в области обратимого деформирования г при условии
= 2 К.
где K -
(9)
предел текучести.
Отметим, что требование непрерывности этих параметров на границе области пластического течения приводит к необходимости определения поля перемещений не только в области обратимого деформирования, но и в области с накопленными необратимыми деформациями. Распределение предела текучести будем считать известной функцией, линейно зависящей от текущей температуры:
* = ^(1-5
где ^ - предел текучести при начальной температуре.
Выводы: при относительно простой постановке задачи (4) - (9) следует отметить сложность получения аналитических зависимостей и построения численного решения ввиду наличия разных материалов, их реологических свойств и различного типа деформирования. Используя методы численного интегрирования можно исследовать процесс накопления необратимых деформаций, пользуясь заданным распределением температур и определенного в зависимости от такого распределения предела текучести.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Пикуль, В.В. Эффективность стеклометаллокомпозита // Перспективные материалы. 2000. №6. С. 63-65.
2. Lyubimova, O.N. Structure and constitution of glass and steel compound in glass-metal composite / O.N. Lyubimova, A.V. Morkovin, S.A. Dryuk, P.A. Nikiforov // «Applied Mechanics and Materials», AIP Conference Proceedings. 2014. 1623. P. 379-382.
3. Ландау, Л.Д. Гидродинамика: Теоретическая физика: t.VI, 3-е изд., перераб. / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 986. 736 с.
4. Смирнов, В.С. Теория прокатки и штамповки. - М.: Изд-во «Металлургия», 1967. 460 с.
5. Зарубин, В.С. Математические модели термомеханики / В.С. Зарубин, Г.Н. Кувыркин. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 168 с.
MATHEMATICAL MODELING THE PROCESS OF RECEIVING CYLINDRICAL SEALS OF GLASS WITH METAL
© 2016 S.A. Dryuk, O.N. Lyubimova
Far Eastern Federal University, Vladivostok
In article the mathematical model for determination the parameters of technological mode of production the long the glass-metal composite cores is offered. At statement the task is divided into two: a stationary current of viscous liquid on a round section pipe and determination of thermal stresses and deformations in experimental sample of glass-metal composite in the course of cooling.
Key words: mathematical modeling, viscous liquid, thermal stress, thermal deformations
Sergey Dryuk, Post-graduate Student. E-mail: druk92@mail.ru
Olga Lyubimova, Candidate of Physics and Mathematics, Professor. E-mail: berms@mail.ru
