Математическое моделирование процесса обработки грузовых вагонов при переходе с колеи 1435 на 1520 мм Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 656.213.073.23

А. А. БОСОВ, Н. А. МУХИНА (ДИИТ), А. И. КУЗЬМЕНКО (Академия таможенной службы Украины)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ОБРАБОТКИ ГРУЗОВЫХ ВАГОНОВ ПРИ ПЕРЕХОДЕ С КОЛЕИ 1 435 ТА 1 520 мм

Запропоновано удосконалений метод розрахунку основних показнишв одноканально! СМО з ерлангов-ським вхщним потоком та експоненцшним часом обслуговування И рацюнального завантаження.

Предложен усовершенствованный метод расчета основных показателей одноканальной СМО с эрланго-вским входящим потоком и экспоненциальным временем обслуживания и её рациональной загрузки.

The advanced method is offered of calculation of main factors of a singular channel quene system with Erlang incomer flow and exponential service time and its rational load.

Исследованию потока поездов посвящено достаточно много публикаций, укажем на работы [1; 2], в которых особое внимание уделяется моделированию потока поездов как случайного потока с распределением интервалов времени между поездами по закону Эрланга с дифференциальной функцией распределения

f (t ) =

X(Xt)

k-1

-Xt

(k -1)!

где X и к - параметры распределения.

Отметим, что при к = 1 распределение Эрланга переходит в экспоненциальное, а при к > 9 приближается к нормальному. Если к ^<х>, то получим регулярный поток [1].

Имея в виду применение результатов моделирования на транспорте, рассмотрим отдельные технические устройства пограничной передаточной станции (сортировочную горку или вытяжной путь, пункт перегруза, пункт перестановки тележек, напольное устройство 2000) как одноканальную систему массового обслуживания (СМО) с эрланговским входящим потоком и временем обслуживания, распределенным по экспоненциальному закону с параметром ц, установившийся режим которой подробно рассматривается в [3].

В данной статье предлагается новый способ расчета установившегося режима такой системы и решение задачи определения рациональных параметров с позиции минимизации потерь от простоя СМО и пребывания поездов в очереди на обслуживание.

Прежде чем рассмотреть поток Эрланга с произвольным к, положим к = 3.

В этом случае граф возможных состояний можно представить в виде рис. 1.

Рис. 1. Граф состояний и переходов в СМО при k = 3

На рис. 1 кружками обозначены состояния простейшего потока, а квадратики отражают состояния СМО для потока Эрланга при k = 3 .

Дифференциальные уравнения для вероятностей состояний системы представлены в виде:

dt = -xp0 + ; dt

dPm dt

= -XPm + XPm-1 + pPm+k, m < k;

dPm dt

= -(X + |) Pm +XPm-1 +^m+k, m > k ,

Установившийся режим определится следующей системой алгебраических уравнений:

0 = -XPo + 0 = -XP1 +XP0 + |P4; 0 = -X2 P2 +XP1 +|P5; 0 = -X2 P2 +XP1 +|P5; *0 = - (X + |)P3 +XP2 + |P6; *0 = - (X + |)P4 +XP3 + |P7; *0 = -(X + |)p5 +XP4 + |8; *0 = -(X + |)P6 +XP5 +|P9;

(1)

к которой необходимо добавить начальное условие

I Рг = 1 • (2)

I = 0

что позволяет представить произвольное Рп через Р0 в виде

Рп = гРоуп-к, п >к.

Решение системы, составленной из уравнений, помеченных (*), будем искать в виде

Pv = у1, где произвольное уравнение может Значение Ро определим из условия (2) с

быть представлено следующим образом: учетом того, что

-(А + ц) +ХРп-1 +ЦРп+к=0. (3) Ро (1 - у1+1)

Р1 =-*-при у = 1,2,...,к-1,

1 - У

После подстановки Р1 = у в (3) получим

/- \ п Л п-1 п+к п где Р„ - решения системы уравнений (2), не

-(А + Ц)у + Ау +цу =0.

V

помеченных звездочкой.

Поделив уравнение на уп-1 и положив при Условие (2) через Рп представим в виде этом Г = А/ц,, получим к-1

-(г + 1)у + г + ук+1 = 0

Ро +1 Pv + £ Рп = 1

v=1 п=к

Учитывая, что к = 3, приходим к уравнению или

У4-(г + 1)у + г = 0. (4) Р0 + --0-1(1 - У1"1) + ГР0 £

У 1=1 п=к

Легко убедиться, что у = 1 является реше- откуда

уп-к= 1

к

нием уравнения (4), следовательно, его можно 1 - у

представить в виде Р0 = Т- К+1 . (6)

к_у_у_у__+ г

(у - 1)(у + у2 + у3 - Г ) = 0, 1 - у

а так как значение у = 1 нельзя взять для опре- В выражении (6) у является решением деления Р1 в силу условия (2), то с необходи- уравнения

1 V

мостью приходим к решению уравнения

у + у2 +... + ук 1 = Г .

2 3

у + у + у = Г . Для решения данного уравнения воспользу-

Для произвольного к имеем емся пакетом символьных вычислений [4].

1 Рассмотрим пример, когда к = 3, г = 3,5, а

£/ = Г . у = 0,883379.

1=1 Положим

Данное уравнение при г < к имеет единст- ^ = р + р + + р .

венный положительный корень, меньший 1. 001 к-1'

В общем случае при V > к вероятности Р1 ^ = Рк + Рк+1 +... + Р2к-1

могут рассчитываться по формуле (5) ............................

Р = суу . (5) = Ртк + Ртк+1 + ... + Р(т+1)к-1

Постоянный множитель с в этом случае ................................,

определяется из первого уравнения системы (1) тогда среднее число поездов в СМО будет равно

3

- гР0 + су = 0 <ю <ю к-1

г ■■■ / ,----т / , ■ ■ ■ / , -1 тк+1 '

или в общем случае

т = £ т^т = £ т Рт т=0 т=0 1=0

- ГР0 + с • у к= 0, После элементарных преобразований получим

откуда _ Гр

Г т =-0

с =--Р0

.к

у

0 >

(1 - ук)(1 - у)

Затраты от простоя СМО и пребывания поездов в очереди будем учитывать по формуле

2=р0 + ст,

где с - отношение стоимости поезда-часа к стоимости СМО-часа.

Зависимость функции затрат г от параметра г при заданных к и с представлена на рис.2.

Зависимость потерь от загрузки

О 0.5 1 1.5 2

Рис.2. Зависимость z (r) при трех значениях c и k = 3

Как следует из рисунка, при фиксированных c и k функция z(r) имеет минимум.

На рис. 3 представлена зависимость параметра r как функции c, при котором z принимает минимальное значение.

Scatterplot (AlbinaR 10v*10c) r = 2.4296-9.214"x+13.6593"xA2-7.0571"xA3

2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 1.6 1.4

>- 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2

-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

c

Рис. 3. Зависимость минимальных затрат r(c), при которой реализуется min Z

r

На рис. 4 представлена зависимость минимальных затрат как функция от параметра c.

С достаточной степенью точности данная зависимость может быть описана полиномом третьей степени

min Z (r, c) = 0,0626+1,1217-c-1,6892-c2 + 0,8683-c3,

r

а значение параметра r(c), при котором z достигает своего наименьшего значения равно

r(c) = 2,4296- 9,214 c + 13,6593c2 - 7,0571c3.

0.35 0.30 0.25 n 0.20 0.15 0.10 0.05

-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

c

Рис. 4. Зависимость минимальных потерь z от параметра c

Для построения аналогичных зависимостей, (см. рис. 3, 4), при произвольном к предлагается программа на языке Maple. Программа (в среде Maple8) >restart:with(plots): Warning, the name changecoords has been redefined >k:=3:

>f:=x->sum(xAi,i=1..k);

к

f: = x ^^ хг i=1

>MZS:=proc(A,B,E,F) local a,b,e,x1,x2,f1,f2,f;global y;a:=A:e:=E:f:=F:b:=B:x1:=evalf(a+(3-sqrt(5))*(b-a)/2, 9):x2:=evalf(a+(-1+sqrt(5))*(b-a)/2, 9):f1:=evalf(f(x1),

9):f2:=evalf(f(x2), 9):while (b-a)>e do if(f1<f2) then

b:=x2:x2:=x1:f2:=f1:x1:=evalf(a+(3-sqrt(5))*(b-a)/2, 9):f1:=f(x1):b-a:fi:if(f1>f2) then

a:=x1:x1:=x2:f1:=f2:x2:=evalf(a+(-1+sqrt(5))*(b-a)/2, 9):f2:=f(x2):b-a:fi:if(f1=f2) then a:=x1:b:=x2:b-

a:fi:od:y:=(a+b)/2:end:

>

R:=array(1..500):ZZ:=array(1..500):C: =array(1..500):

> m:=1:for c from 0.01 by 0.01 to 1 do z0:=1000:for r from 0.01 by 0.01 to k do A:=0.01:B:=k-.01:E:=0.0001:F:=x->abs(f(x)-r):MZS(A,B,E,F):po:=(1-y)A2/((1-y)A2+(k-1)*(1-y)-yA2+yA(k+1)+r*(1-y)):Mcp:=r*po/((1-yAk)*(1-y)):Z:=po+c*Mcp:if z0>Z then r0:=r:z0:=Z:Tcp0:=Tcp end if:end do:R[m]:=r0:ZZ[m]:=5*z0:C[m]:=c:m:=m+ 1:end

do:pR:=plot([C[m1],R[m1],m1=1..m-

1],color=blue):pZZ:=plot([C[m1],ZZ[m1

],m1=1..m-1]):display({pR,pZZ});

Эта программа при заданном к позволяет строить кривые г (я) и шт 2 = /(с) (рис. 5).

1 = г (с, к)

X

к—1

I X = г ,

г=1

пришлось отказаться от использования стандартной операции яоЬе и создать процедуру поиска минимума по методу золотого сечения [5] для унимодальной функции

^ (X ) =

к—1

I X —^

г=1

Рис. 5. Спадающая кривая - г (c); возрастающая кривая - шт 2

г

Заметим, что появление ступенек в кривой г (с) обусловлено конечностью шага при определении минимума 2 (г, с) по г . Таким образом, если заданы параметры потока (X, к) и отношение стоимостей простоя поездов к стоимости простоя СМО, то данная процедура позволяет определить рациональное значение параметра г (с, к), а тем самым и свойство

СМО по обработке, т. е. среднее время обработки поезда в виде

Чтобы избежать ступенек (см. рис. 5), необходимо уменьшить шаг по Аг . Взяв Аг = 0,01, получим более гладкую кривую (рис. 6)

При точности поиска минимума Е = 0,0001 время на построение кривых (см. рис. 6) составило 458,0 с, т. е. примерно в 3,3 раза затраты времени стали меньше.

Имя процедуры М28(Л,Б,Б,Р), где А - левый конец, а В - правый конец интервала, на котором расположено значение х*, минимизирующее ^(х), формальный параметр Е представляет собой точность определения х*.

Если воспользоваться приближенной формулой

г (с) = 2,4296 — 9,214 с + 13,6593с2 — 7,0571с3,

при этом положить Аг = 0,01 -к, А = 0,001; В = г (с ) + Аг, а далее применить процедуру

М28, то время счета составит 125 с.

Как известно, процесс передачи грузов на пограничных передаточных станциях с колеи 1435 на 1520 мм и наоборот, может осуществляться путем перегруза, перестановки тележек вагонов или с использованием раздвижных колесных пар. Рассмотрим путевое устройство 8И'^2000 по изменению расстояния между колесами [6]. Обслуживание состоит в прохождении поезда по данному устройству со скоростью &. Если средняя длина поезда равна Ь, тогда среднее время обслуживания будет равно

1 = 1 + е ц= & ,

где е - длина устройства 8Ц^2000 с учетом участков пути подхода и ухода поезда. С другой стороны, это время должно удовлетворять соотношению

Рис. 6. Графики получены при Аг = 0,01

В этом случае машинное время, затраченное на решение задачи, составило 1531,1 с.

Для сокращения времени счета при построении графиков, в процессе решения уравнения

Ь

&

'(с, к) X

откуда можно определить рациональную скорость движения поезда по устройству 2000 в виде

3 (L + .

r (c, к)

При отношении стоимости простоя устройства к стоимости простоя поезда в очереди c = 0,04 и параметрах потока поездов А, = 7,54 ; к = 3 из

графика (см. рис. 6) получим r (c, к) = 1,51. Положив L = 1,2 км, e = 100 + 27,1 = 127,1 м, определим

(1,2 + 0,1271 )• 7,54

3 = ^---— = 6,63 км/ч,

1,51 '

при этом среднее время обслуживания поезда составит 12 мин.

Предложенный в статье подход позволит более оперативно и точно определять время пребывания поездов на технических устройствах передаточных станций и может быть использован для повышения эффективности пропуска грузовых поездов через границу.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Шаболин Н. Н. Оптимизация процесса переработки вагонов на станциях. - М.: Транспорт. 1973. - 184 с.

2. Акулиничев В. М. Математические методы в эксплуатации железных дорог / В. М. Акулиничев, В. А. Кудрявцев, А. Н. Корешков. -М.:Транспорт. 1981, -223 с.

3. Саати Т. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. - М.: Советское радио. 1965. - 510 с.

4. Васильев А. Н. Самоучитель Maple 8, - М.-СПб-К, Диалектика, 2003. - 352 с.

5. Васильев Ф. П. Численное решение экстремальных задач. - М.: Наука, 1980. -518 с.

6. Сувальский Р. М. SUW-2000 - новое решение для железнодорожных сообщений / Р. М. Сувальский, Ю. В. Демин. // Железнодорожный транспорт №6(33), 2003. - С. 24-27.

Поступила в редколлегию 06.07.2006.